专题3.2 一元一次方程的应用（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用这一核心知识点，承接方程解法，系统梳理审清题意、找准等量关系等解题步骤，涵盖行程、工程、销售等12类典型题型的数量关系，搭建从理论到实际应用的学习支架。 资料以生活实际和古代问题为背景设计题型，通过典例与变式训练培养学生抽象能力和模型意识，助力用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题。课中辅助教师系统授课，课后分层练习与真题巩固帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题3.2 一元一次方程的应用 教学目标 1.掌握运用一元一次方程解决实际问题的基本步骤：审清题意、找准等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验并作答，规范完整解题书写格式。 2.熟悉行程、工程、利润、配套、数字、积分、储蓄等常见实际题型的数量关系，能精准挖掘题目中的等量关系建立一元一次方程模型。 3.能区分直接设元与间接设元两种设未知数方法，根据题目特点灵活选择设元方式简化列式与计算。 4.通过分析生活实际问题，感受方程模型的实用性，提升文字信息提取、逻辑分析与数学建模能力，体会转化、建模数学思想，培养严谨审题、检验结果的解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）列一元一次方程解应用题的完整解题流程与书写规范； （2）梳理各类典型应用题的核心等量关系，根据题意列出一元一次方程； （3）正确设未知数，求解方程并检验解是否符合实际情境。 2. 难点 （1）从较长、条件分散的文字应用题中，准确提炼隐藏的等量关系； （2）行程、工程、利润类复杂题型中数量关系梳理，区分速度、效率、成本、利润率等易混淆概念； （3）合理选择间接设元法简化复杂问题，检验方程的解是否具备实际意义，排除不符合题意的解； （4）结合图表、分段收费类综合性实际问题建立方程模型。 知识点01 列一元一次方程解应用题 1. 列方程解应用题的一般步骤： ①弄清题意和题中的数量关系，用字母（如）表示问题涉及的未知数； ②分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）； ③根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； ④解这个方程，求出未知数的值； ⑤检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）。 2. 常用应用题中的等量关系：本金×利率×期数=利息；本金+利息=本息和；实际售价－进价（或成本）=利润。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设木长尺，则绳子长为尺，再根据绳子对折后量长木，长木还剩余尺列方程即可. 【详解】解：设木长尺，则 绳子长为尺，根据题意得 . 2．某商店购进一批文具，每件进价元，标价元．现打折销售，每件仍获利元，该商品打几折出售？ 【答案】八 【分析】设该商品打折出售，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】解：设该商品打折出售， 根据题意得， ， 答：该商品打八折出售． 题型01 行程问题 【典例1】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）周末，小明和爸爸骑车去郊外游玩，他们同时从家出发，沿相同的路线分别以10千米/时和12千米/时的速度一直骑行，爸爸骑行了11千米后发现小明没跟上，立刻回头去找小明，往回骑行的速度还是12千米/时，不一会儿，就遇到了小明，此时小明骑行了多长时间？ 【答案】小明骑行了1小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设会合时他们骑行了小时，利用路程等于速度乘以时间，结合两人的路程之和为，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明骑行了小时，根据题意，得 解这个方程，得 答：小明骑行了1小时． 三大基础模型： 相遇问题：路程和总路程，； 追及问题：路程差初始距离，； 航行问题：顺水速度船速水速，逆水速度船速水速。 【变式1】如图，跑道由两个半圆部分和两条直跑道组成，两个半圆跑道的长都是，两条直跑道的长都是．小斌站在处小强站在处，两人同时逆时针方向跑步，小斌每秒跑，小强每秒跑．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．半圆跑道上 B．直跑道上 C．半圆跑道上 D．直跑道上 【答案】C 【分析】设小强第一次追上小斌的时间为x秒，根据小强的路程小斌的路程的长度，也就是85米，再进一步判断即可． 【详解】解：设小强第一次追上小斌的时间为x秒， 根据题意，得：， 解得， 则且， 所以他们的位置在半圆跑道上． 【变式2】轮船沿江从港顺流行驶到港需要小时，比从港逆流返回港少用小时，若轮船在静水中的速度为千米/小时，水流速度为千米/小时，则港和港相距多少千米．列方程表示为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， ∵顺流行驶时间为小时， ∴港到港的路程为， ∵轮船顺流比逆流少用小时， ∴逆流行驶时间为小时， ∴港到港的路程为， 又∵两港的路程为定值， ∴可列方程为． 【变式3】为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【答案】 【分析】设经过两人首次相遇，两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，方向相反，相对速度为速度之和，首次相遇时，总路程等于跑道周长减去，即可列出方程进行求解． 【详解】解：设经过两人首次相遇， 根据题意，得， 解得． 答：经过两人首次相遇． 【变式4】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 【答案】千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用(行程问题)，关键是根据轿车与货车行驶同样距离的时间差建立等量关系列方程求解． 【详解】解：设常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 根据题意，轿车比货车少用分钟，可列方程：， 方程两边同时乘以得：， 合并同类项得：； 答：常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 题型02 工程问题 【典例1】某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产个，天完成任务．实际每天比原计划多生产个，实际多少天完成任务？ 【答案】天 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决实际问题，熟练掌握“工作效率工作时间工作总量”是解题的关键．设实际天完成任务，根据题意，列出方程并求解，即可求出实际完成天数． 【详解】解：设实际天完成任务， 根据工作总量不变，可得， 解得： 答：实际天可以完成任务． （1）核心公式：工作总量工作效率工作时间；合作效率各效率之和； （2）通用等量关系：单独工作量合作工作量（总工程）。 【变式1】（25-26七年级上·新疆·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某项工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．8天 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出方程求解．设完成该工程还需要x天，然后根据甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，甲队先做5天，剩下部分由两队合做，列出方程求解即可． 【详解】解：设完成该工程还需要x天， 由题意得：， 解得， 则完成该工程还需要3天． 故选：B． 【变式2】有一些相同的房间需要粉刷，一天4名一级技工粉刷9个房间，结果还有30平方米没有刷完；同样的时间，6名二级技工刷完10个房间还多刷了35平方米，已知一名一级技工比一名二级技工每天多刷10平方米，求每个房间需要粉刷的面积． 【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积为平方米 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，找出题目中的等量关系，列出方程． 设每个房间需要粉刷的面积为平方米，根据一级技工和二级技工的粉刷情况，列出关于每人每天粉刷量的方程，利用一级技工比二级技工每天多刷10平方米的关系求解． 【详解】解：设每个房间需要粉刷的面积为平方米， 根据题意可得， 解得：， 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为40平方米． 【变式3】课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 【答案】(1)见解析 (2)师傅徒弟每人均应得元 【分析】（1）补充“两人合作需要几天完成？”，设需要天可以完成，列出一元一次方程，进而求出的值； （2）徒弟先做一天，可求出第一天徒弟做了总工作量的，剩下了由徒弟与师傅共同完成，设徒弟师傅还需天完成剩余的，列出一元一次方程，进而求出的值，然后按工作量比例分配报酬即可． 【详解】（1）解：补充：问两人合作需要几天完成？ 设两人合作需天完成， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天， ∴， 解得：， 答：两人合作需要天可完成． （2）解：设徒弟先做天后，师傅徒弟一起还要天能完成剩余工作量， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天 ∴， 解得：， ∴徒弟共完成总工作量的，报酬为（元）； 师傅完成总工作量的，报酬为（元）． 答：师傅徒弟每人均应得元． 题型03 销售问题 【典例1】某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题关键是理清进价、标价、售价之间的关系，理解打折的含义，根据题意逐步表示出售价即可列出方程． 【详解】解：∵设这件商品的进价为元，商品按进价提高后标价， ∴标价为元， ∵再打八折销售，售价为元， ∴打八折后的售价为， 因此可列方程为． 【典例2】肖丽去商店买练习本，回来后告诉同学们：“店主给我说，如果多买一些就给我折优惠，所以我就买了本，结果便宜了元，”请求原来每本练习本价格． 【答案】 原来每本练习本的价格为元． 【详解】解：设原来每本练习本价格为元， 根据题意可得， 化简得， 解得． 即原来每本练习本价格为元． （1）核心必考公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 （2）综合推导公式：售价进价利润率。 【变式1】近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 【答案】4500 【分析】设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克，根据总收购费用为元列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这次收购了千克梨，则苹果收购了千克， 根据题意得，， 解得：， 答：这次收购了千克梨． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）由于电影《哪吒2》角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个售价为130元，可盈利． (1)“哪吒”款手办每个的利润率是_____，“敖丙”款手办每个进价为_____元． (2)该商家两款手办分别购进多少个？（用一元一次方程解答） (3)当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打折销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家共获利2140元，请问“敖丙”款手办打了几折？（用一元一次方程解答） 【答案】(1)，100 (2)商家购进“哪吒”款手办60个，“敖丙”款手办40个 (3)“敖丙”款手办打了九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据利润率利润原价解答即可； （2）设商家购进“哪吒”款手办个，“敖丙”款手办个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可； （3）设“敖丙”款手办打了折，根据题意列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：“哪吒”款手办每个的利润率是，“敖丙”款手办每个进价为元； 故答案为：，100 （2）解：设商家购进“哪吒”款手办个，“敖丙”款手办个， 由题意得： 解得， 答：商家购进“哪吒”款手办60个，“敖丙”款手办40个； （3）解：设“敖丙”款手办打了折， 由题意得： 解得： 答：“敖丙”款手办打了九折． 【变式3】（25-26七年级上·四川达州·期末）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共140只，购进140只节能灯的进货价恰好为3700元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润560元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 【答案】(1)购进甲种型号的节能灯80只，购进乙种型号的节能灯60只 (2)乙型号节能灯按预售价售出了25只 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进140只节能灯的进货款恰好为3700元”列方程，解方程即可求解； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利560元列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲种型号的节能灯80只，购进乙种型号的节能灯60只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是25只． 【变式4】学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案：甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元；乙商店促销方案：买四送一． (1)若每根跳绳30元，小明在甲商店购买了2根，则需付款________元； (2)小明发现若购买20根这种跳绳，按照甲、乙各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 【答案】(1)39 (2)每根跳绳的标价为20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据“每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元”，即可求解； （2）每根跳绳的标价为x元．根据题意，列出方程．解方程即可． 【详解】（1）解：元， 即需付款39元； （2）解：设每根跳绳的标价为x元，根据题意得： ， 解得：． 答：每根跳绳的标价为20元． 题型04 配套问题 【典例1】某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 【答案】需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮 【分析】根据配套比例，大齿轮数量与小齿轮数量应满足的比例，因此大齿轮数的3倍等于小齿轮数的2倍，据此列出方程即可． 【详解】解：设生产大齿轮的工人数为个，则生产小齿轮的工人数为个， 则可得， 解得， 个， 答：需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮． （1）核心逻辑：配套比例相等，零件数量比=题目规定的配套比； （2）固定等量关系：A零件总数配套份数B零件总数对应份数。 【变式1】某加工厂有名工人，平均每人每天加工桌面个或桌腿个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总人数得到加工两类部件的人数，分别表示出每天生产桌面和桌腿的总数，再根据配套的数量关系列方程即可． 【详解】解：安排名工人加工桌面，则加工桌腿的工人人数为名，依题意得 【变式2】一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 【答案】150 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是做题的关键．根据题意，设用x立方米木材做桌面，利用等量关系列方程，最后解方程即可． 【详解】解：设用x立方米木材做桌面，则工厂能做张桌面，用立方米木材做桌腿，则可以做个桌腿， 根据题意，得， 解得， ∴，， 故工厂能做150张方桌． 答：工厂能做150张方桌． 【变式3】（25-26七年级上·陕西安康·期末）劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 【答案】(1) 男生28人，女生22人 (2) 安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先设女生有x人，男生有人，根据总人数为50列出方程，求出解； 对于（2），先设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据桶底总数是桶身总数的2倍列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设女生有x人，男生有人，根据题意，得 ， 解得，则， 所以男生有28人，女生有22人； （2）解：设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据题意，得 ， 解得，则， 所以安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套． 题型05 方案问题 【典例1】某商场销售某种夹克和裤子，每件夹克标价为100元，每条裤子标价为60元，为减少库存量，于是该商场老板开展了促销活动，活动期间，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一件夹克送一条裤子； 方案二：夹克和裤子均按标价的出售． 现有顾客要到该商场购买夹克件，裤子x条． (1)请用含x的代数式分别表示按方案一、方案二购买的费用？ (2)当购买裤子多少条时，两种方案付款一样多？ 【答案】(1)方案一购买费用为：元；方案二购买费用为：元 (2)购买裤子100条时，两种方案付款一样多 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，正确地列代数式，并根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据两种优惠方案分别列式并化简即可； （2）当时，即两种方案付款一样多，求解即可． 【详解】（1）解：方案一购买费用为： 元； 方案一购买费用为： 元； （2）解：令， 解得：， 答：购买裤子件时，两种方案付款一样多． 【变式1】甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出了不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元后，超出部分按8折收费；在乙超市累计购买商品超出200元后，超出部分按折收费．若顾客累计购买商品元． (1)当x为何值时，顾客在两家超市购买所付的费用一样？ (2)有顾客准备购买500元的商品，你认为应该去哪家超市？请说明理由． 【答案】(1)600 (2) 乙超市， 理由：根据题意，甲超市实际支付费用为元；乙超市实际支付费用为元； 当时， ， 由． 故到乙超市购买更便宜些． 【分析】（1）根据题意，甲超市实际支付费用为元；乙超市实际支付费用为元；建立方程解答即可． （2）计算代数式的值，比较大小后解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用----打折问题，求代数式的值，熟练并准确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲超市实际支付费用为元；乙超市实际支付费用为元； 根据题意，得， 解得． 答：当x为600时，顾客在两家超市购买所付的费用一样． （2）略 【变式2】为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批型足球和型足球． 已知型足球的标价比型足球的标价每个贵元，购买个型足球和个型足球共需元． (1)型足球和足球的标价各是多少： (2)该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买个型足球和个型足球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)答：型足球的标价为元/个和足球的标价元/个． (2)方案二更合算，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设型足球的标价为元/个，则型足球的标价为元/个，根据题意，列出方程，，解出，即可； （2）由（1）可得，、型足球的标价，根据题意，分别求出方案一，方案二的费用，进行比较，即可． 【详解】（1）解：∵型足球的标价比型足球的标价每个贵元， ∴设型足球的标价为元/个，则型足球的标价为元/个， ∵购买个型足球和个型足球共需元， ∴， 解得：， ∴型足球的标价为元/个， 答：型足球的标价为元/个和足球的标价元/个． （2）方案二更合算，理由如下： 解：由（1）可得，型足球的标价为元/个和足球的标价元/个， ∴方案一的总费用为：（元）， 方案二的总费用为：，超出的部分为，超过部分按七折收费， ∴总费用为：（元）， ∵， ∴方案二更合算． 【变式3】某超市销售美味食用油，每桶20L，定价为100元，节日期间进行促销活动，为满足大众采购需求，在购买不少于10桶时，该超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费． (1)假设某饭店需要购买10桶美味食用油，且需送货上门． 若采用方案一购买，需要______元；若采用方案二购买，该饭店只需要购买______桶美味食用油即可． (2)假设某饭店需要购买x桶美味食用油（，x是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买x桶美味食用油需要______元；采用方案二购买x桶美味食用油需要______元． ②某次进货时，饭店的采购员发现两种采购方案相差100元，请你算一算饭店这次采购多少桶美味食用油？ 【答案】(1)600；5 (2)①；；②饭店这次采购10或30桶美味食用油 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可． （2）①利用总价=单价×数量，结合两种销售方案的优惠方法，即可用含x的代数式表示出采用两种方案所需费用；②由①的结论，结合两种采购方案相差100元，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】（1）方案一购买，需要（元）． 方案二，需要购买5桶美味食用油即可． （2）根据题意得：采用方案一购买x桶美味食用油需要（元）． 采用方案二购买x桶美味食用油需要（元）． ②根据题意得：或， 解得或． 答：饭店这次采购10或30桶美味食用油． 题型06 比赛积分问题 【典例1】在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【答案】23道 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题，根据这位同学得了90分，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题． 根据题意，得， 解得：． 答：这位同学答对了23道题． （1）核心等量：总积分胜场积分平场积分负场积分； （2）场数关系：总场数胜场平场负场。 【变式1】足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总场次和负场数求出胜场数，再根据“胜场得分+平场得分=总得分”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设该队共平了场， ∵该队共进行场比赛，负了场， ∴该队胜的场次为 ， ∵胜一场得分，平一场得分，总得分是分， ∴胜场总得分是，平场总得分是， 根据总得分列方程得：． 【变式2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．某中学举行以“钟鸣寄哀思，史鉴照前路”为主题的知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩是88分，设小华答对了x道题，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据得分规则，分别表示出答对的得分与答错/不答的扣分，再根据最终成绩列出等式． 【详解】解：∵小华答对了道题，总题数为道， ∴不答或答错的题目数量为道． ∵答对一道得4分，不答或答错一题扣2分，最终成绩为分， ∴可列方程为； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·期末）某学校举行了以“铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平，开创未来”为主题的知识竞赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有场比赛（每场比赛都要分出胜负）．积分规则如下：胜场积分，负场积分，积分超过分才能获得决赛资格．已知乙队在初赛阶段的积分为分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 【答案】 乙队在初赛阶段胜场，负场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解．设乙队在初赛阶段胜场，则负场，再根据“乙队在初赛阶段的积分为分”，列出方程并求解即可． 【详解】解：设乙队在初赛阶段胜场，则负场， 由题意得， 解得， ． 答：乙队在初赛阶段胜场，负场． 题型07 数字问题 【典例1】已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【答案】33 【详解】解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 【变式1】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 【变式2】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 【答案】8 【详解】解：根据题意得，， 解得． 【变式3】如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，以及数字规律的探索，解决本题关键是表示出字框中其他的3个数． （1）根据框中最小的数为，则其他3个数字表示为，，，根据加法列代数式即可； （2）假设和为124，根据（1）中得到的和的代数式列出一元一次方程，解方程判断即可． 【详解】（1）解：设框中最小的数为． 则其他3个数字为，，， ∴框中4个数的和为； （2）解：假设框中4个数的和可能是124， ∴， 解得， ∴最小的数为25． 故框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 题型08 古代问题 【典例1】“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡笼里有鸡也有兔，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，请问笼中有多少只鸡？多少只兔？这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找准等量关系，正确表示兔子数量和总脚数即可． 【详解】解：∵设有只鸡，总头数为，每只动物只有个头， ∴兔子的数量为只， ∵每只鸡有只脚，每只兔有只脚，总脚数为，总脚数等于鸡的脚数加兔的脚数， ∴列方程得． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）用若干根绳子测井深，把绳三折来量，井外余4尺；把绳四折来量，井外余1尺．设井深x尺，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设井深为尺，三折将绳子分成3等段，4折将绳子分成4等段，根据绳长不变可得出方程． 【详解】解：设井深为尺， 由题意得：． 【变式2】我国明朝珠算发明家程大位，他完成的古代数学名著《直指算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找准馒头总数的等量关系，据此列出方程即可． 【详解】解：∵设大和尚有名，总和尚数为100名， ∴小和尚人数为名， ∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，总馒头数为100个， ∴大和尚分得的总馒头数为，小和尚分得的总馒头数为， ∴可列方程为． 【变式3】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 【变式4】（25-26六年级上·上海金山·期末）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 题型09 电费、水费问题 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． （1）题型特征：分段计费，不同用量区间单价不同，超额部分高价计费； （2）计费公式：总费用基础区间费用超额区间费用； （3）解题步骤：①判断用量是否超标；②分段套用单价计算；③根据总费用列方程求用量； （4）核心思想：分段计算、累加求和，临界点用量单独验证。 【变式1】如图，一块边长为的正方形绿地沿某一方向加宽，扩大后绿地面积是，则根据题意列出方程正确的是（　　）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（几何面积问题）． 【详解】解：原正方形绿地边长为，沿某一方向加宽后，绿地变为长方形， ∴其中一边长仍为，另一边长为， ∵扩大后面积为， ∴可列方程：． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）某市自来水公司为了限制单位用水，每月只给某单位计划内用水，计划内用水每吨收费元，超过计划部分每吨按元收费．若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水________吨． 【答案】3050吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该单位该月用水x吨，可证明该单位该月的用水量大于，分别求出用水的费用和超过部分的费用，二者的和为1540，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设该单位该月用水x吨， ∵， ∴该单位该月的用水量大于， ∴， 解得， ∴该单位该月用水3050吨， 故答案为：3050． 【变式3】随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【答案】(1)， (2)小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 【分析】本题考查一次函数的表达式、一元一次方程的应用，用方程表示“花费一样多”这一等量关系是解题关键． （1）根据“总花费=月租费+流量费”，直接列含的代数式； （2）根据“两种套餐花费一样”，列一元一次方程并求解． 【详解】（1）解：根据题意，按第一种套餐， 小李每月流量费用为元， 月租费50元， 每月需花费：元； 按第二种套餐， 每月需花费：元． 答：，． （2）解：由题意可得，若两种套餐花费一样多， 则， 解得． 答：小李每月使用流量时，两种套餐花费一样多． 【变式4】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 【答案】(1)； (2)应交电费元 (3)该户居民用电372度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用每月应交电费月用电量，即可得出结论；利用每月应交电费超过400度的部分，即可得出结论； （2）利用每月应交电费月用电量，即可求出结论； （3）根据该户居民某月交费231元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，每月用电量不超过240度，应交电费． 根据题意得，每月用电量超过400度，应交电费． 故答案为：；； （2）解：根据题意可得元， 答：应交电费82.5元； （3）解：（元，（元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民用电度． 题型10 几何问题 【典例1】如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． 【答案】圆柱的高为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据圆柱的体积长方体的体积，列方程，即可求解． 【详解】解：设圆柱形水桶的高为，由题意，得 ， 解得． 答：圆柱的高为． 【变式1】有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20厘米，倒立时空余部分高度为5厘米，则瓶内现有饮料______立方分米． 【答案】24 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设饮料瓶瓶底的面积为平方分米，根据瓶内饮料的体积不变，列出方程即可求解． 【详解】解：20厘米分米，5厘米＝分米， 设饮料瓶瓶底的面积为平方分米， 由题意得：， 解得， ∴瓶内现有饮料为． 故答案为：24． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 【答案】(1)米 (2)长为33米，宽为25米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，根据题意找到数量关系是解题关键． （1）根据图象，五彩石的面积为长方形空地的面积减去两个四分之一圆的面积，作差法求解即可； （2）根据题意，长方体底面长方形的周长为米，根据长与宽之间的数量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，铺五彩石的空地的面积是米； （2）解：设此长方体的宽为x米，则此长方体的长为米， 根据题意得：， 解得， ∴（米）． 答：此长方体的长为33米，宽为25米． 【变式3】黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．数学之星小明查阅资料发现：若一个长方形的短边与长边的比为，这样的长方形称为黄金长方形，黄金长方形能够给画面带来美感，令人愉悦．如图，为了使长220米的篱笆恰好用完．同时围住花田的三面，且长方形的形状更接近黄金长方形，应设计成多少米？(结果保留整数) 【答案】61米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设长方形的长边为x米，则短边长为米，根据篱笆总长为220米列出方程，解方程即可． 【详解】解：设长方形的长边为x米，则短边长为米，根据题意得： ， 解得：， （米）， 答：应设计成61米． 题型11 动点问题 【典例1】如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．由题意可知点P在上，根据题意可列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】解：根据题意可知点P在上，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：． 故当t的值为6时，点P追上点Q． 故选：C． 【典例2】已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为 (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点P对应的数是1 (2)存在；点P对应的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， 对于（1），根据点P的位置，结合两点之间的距离相等可得方程，求出解； 对于（2），先确定点P不在点A，B之间，再分两种情况列出方程，求出解. 【详解】（1）解：∵点P到点A，B之间的距离相等， ∴点P在点A，B之间， ∴， 解得； 所以点P对应的数是1； （2）解：存在， ∵点A到点B的距离是， ∴点P不在点A，B之间， ∴或， 解得或. 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据路程、速度和时间的关系，结合所走的路程来建立方程求解． 【详解】解：动点，的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒， 当它们相遇时，，运动的路程分别为和， 点表示，点表示10， 之间的距离为， 动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动， 比多走的路程就是， ， 解得． 故答案为：． 【变式2】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或， t (2)点M所对应的数是 (3)存在，或 【分析】（1）分①当时，②当时，两种情况进行讨论； （2）设经过a秒，P、Q两点相遇，根据题意列出方程，求出a的值，即可得到点M所对应的数； （3）分三种情况进行讨论即可． 本题考查了一元一次方程，数轴，掌握一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； ②当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； C、Q两点在数轴上相距的长度为t； 故答案为：或；t； （2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇， ， 解得：， 则点M所对应的数是：， 即点M所对应的数是； （3）解：存在，或，理由如下： ①当时， ， 解得：； ②当时， ， 解得：； ③当时， ， 该方程无解； 综上所述：或 【变式3】我们规定：对于数轴上不同的三个点A，B，P，当点A在点B左侧时，若点P到点A的距离恰好为点P到点B的距离的k倍，则称点P是的k阶点． 已知在数轴上，点A、点B表示的数分别为． (1)若点C是 的3阶点，则点C所表示的数 ； (2)若动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动．求运动时间为多少秒时，原点O恰好是的4阶点． (3)点F在A，B之间运动，且不与A、B两点重合，D是的3阶点，E是的2阶点，且满足点D、E分别在线段和上．当点F运动时，若存在m、n，使得式子的值与F点位置无关，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)或 (2)运动时间为秒或秒时，原点O恰好是的4阶点 (3) 【分析】本题考查了数轴上新定义， （1）设C表示的数为c，根据题意得：，进行计算即可得； （2）设运动时间为t秒，则M表示的数为，N表示的数为，则，，根据题意得：，进行计算即可得 （3）设F表示的数为x，D表示的数为d，E表示的数为e，根据题意得：，，，，则，根据式子的值与F点位置无关，得的值与x无关，则，即可得； 理解新定义，掌握两点间的距离，解一元一次方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设C表示的数为c， 根据题意得：， ， 解得或， ∴C表示的数为或； 故答案为：或； （2）解：设运动时间为t秒，则M表示的数为，N表示的数为， ∴，， 根据题意得：， ， 解得或， ∴运动时间为秒或秒时，原点O恰好是的4阶点； （3）解：设F表示的数为x，D表示的数为d，E表示的数为e， 根据题意得：，， ∴，， ∴ ∵式子的值与F点位置无关， ∴的值与x无关， ∴， ∴． 题型12 其他问题 【典例1】某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【答案】10千克 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量． 【详解】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为， 设需要药液质量为千克，则药水质量为千克， 由题意，， 解得． 答：需要10千克的这种药液． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 【答案】 【分析】设动力臂是，根据杠杆原理“阻力阻力臂动力动力臂”列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设动力臂是， 由题意得：， 解得， 所以动力臂是． 【变式2】请用方程的方法解，如图，天平的两个盘内分别盛有和的盐，应从盘内拿出多少盐放到盘中，才能使天平平衡？ 【答案】应从盘中拿出盐放到盘中，才能使天平平衡． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设从盘内拿出盐放到盘内，则盘和盘最后的剩余量分别为和， 由“两盘内所盛盐的质量相等”结合上一步结论，列出关于的方程，通过解方程，求出的值即可． 【详解】解：设从盘内拿出盐放到盘中， 根据题意，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 答：应从盘中拿出盐放到盘中，才能使天平平衡． 【变式3】为支持西部贫困地区“希望工程”爱心捐款活动，某单位53名职工共捐款1760元，捐款情况如下表， 捐款数额（元） 10 20 50 100 人数 16 7 表中捐款20元和50元的人数不小心被墨迹掩盖已看不清楚，请你帮助确定表中被墨迹掩盖的数据，并说明理由． 【答案】捐款20元的人数为20人，捐款50元的人数10人，理由见解析 【分析】设捐款20元的人数为人，则捐款50元的人数为人，根据共捐款1760元建立方程，解方程即可． 【详解】解：（人），（元）， 设捐款20元的人数为人，则捐款50元的人数为人， 由题意得：， 解得， 则， 答：捐款20元的人数为20人，捐款50元的人数10人． 【变式4】（25-26七年级上·广东汕头·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“合并式方程”，例如：的解为，且，则方程是合并式方程． (1)判断是否是合并式方程，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是合并式方程，求的值． 【答案】(1)不是；理由见解析 (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程的应用，解题的关键是理解“合并式方程”的概念． （1）根据“合并式方程”的定义判定． （2）根据“合并式方程”的定义列式即可求解． 【详解】（1）解：， 解得， ∴此方程不是“合并式方程”； （2）解：∵是“合并式方程”， ∴ 解得：． 1．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 2．（25-26七年级下·山西晋城·期末）在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 【答案】D 【分析】先设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为，再表示出三数之和，即可得出关于的一元一次方程，最后结合月历表中数的特点，即可得出结论． 【详解】解：根据月历表可设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为， 这三个数的和为． A、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故A选项不符合题意； B、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故B选项不符合题意； C、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故C选项不符合题意； D、当时，解得，则，，，不符合月历表中数的特点，故D选项符合题意． 3．某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【答案】A 【分析】设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，根据方程进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据方程，可知年拥有新能源汽车的家庭数量比年拥有新能源汽车的家庭数量多． 4．2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 【答案】95 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先设出“乡村民宿”的投资金额为未知数，再根据总投资额的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果; 【详解】解：设该村的“乡村民宿”投资金额是万元，则“生态养殖”的投资金额为万元， 根据题意列方程得： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 5．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据参赛总场数用表示出负场的场数．再根据总得分等于胜场得分与负场得分的和列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． 6．（2026·山西阳泉·二模）为保障中国空间站的常态化运行，天舟系列货运飞船需为空间站（或空间实验室）运输补给物资和载荷、补加推进剂等．在一次补给任务中，运送物资中包含饮用水和食品．若每箱饮用水质量为20千克，每箱食品质量为30千克，此部分物资总质量为480千克．运送的饮用水箱数比食品箱数多4箱，则饮用水和食品各有多少箱？ 【答案】饮用水有12箱，食品有8箱 【分析】设食品有箱，则饮用水有箱，根据物资总质量为480千克列方程并解方程即可． 【详解】解：设食品有箱，则饮用水有箱， 由题可列， 整理得， 解得， ∴（箱）， 答：饮用水有12箱，食品有8箱． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某超市计划购进甲、乙两种型号的台灯台，这两种型号台灯的进价、售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 甲种 乙种 (1)如果超市的进货款为元，那么可计划购进甲、乙两种型号的台灯各多少台？ (2)为确保乙种型号的台灯销售更快，超市决定对乙种型号的台灯打折销售，且保证乙种型号台灯的利润率为，问乙种型号台灯需打几折？ 【答案】(1) 计划购进甲、乙两种型号的台灯分别为40台和60台 (2) 乙种型号台灯需打9折 【分析】（1）设购进甲种台灯数量为台，根据总台数得到乙的数量，再根据总进货款的等量关系列方程求解； （2）设乙种型号台灯需打折，根据利润率的等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设超市计划购进甲种型号的台灯为台，则购进乙种型号的台灯为台， 根据题意可得， 解得， ∴乙种台灯数量为（台）， ∴计划购进甲、乙两种型号的台灯分别为台和台． （2）解：设乙种型号台灯需打折， 根据题意可得， 解得， ∴乙种型号台灯需打折． 8．（25-26六年级下·山东东营·期中）已知两地相距，甲车从地出发开往地，同时乙车从地开往地，甲车的速度是，乙车的速度是．求出发多长时间两车相遇？（列方程解题） 【答案】小时 【分析】题目中存在的等量关系为甲车行驶的路程乙车行驶的路程． 【详解】解：设出发小时两车相遇．根据题意，得： ， 解得：， 所以，出发小时两车相遇． 9．某工厂计划生产一种新型产品，若甲车间单独生产，需要20天完成；若乙车间单独生产，需要30天完成．现甲车间先单独生产5天，然后乙车间加入一起生产，问还需要多少天可以完成生产任务？ 【答案】还需要9天 【分析】先表示出甲，乙两个车间的工作效率，再根据工作总量相等得出方程，然后求出解即可． 【详解】解：设还需要x天完成，根据题意，得 ， 解得， 答：还需要9天 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）课程育英才，素养创未来．我校开设了丰富的选修课程，其中羽毛球运动是深受学生喜爱的课程之一．某班需要购买20副羽毛球拍和若干盒羽毛球．现了解：某体育用品商场销售一种品牌羽毛球拍和羽毛球，一副羽毛球拍定价160元，一盒羽毛球定价80元．根据市场调查，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．现该班要到该商场购买20副羽毛球拍，羽毛球x盒（的整数）． (1)用含x的代数式分别表示两种方案需付的金额； (2)当时，计算两种方案购买需付的金额各是多少元？ (3)当x取何值时，两个方案需付的金额相等？ (4)直接写出x在什么范围内时，用方案一购买更合算？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)方案一应付费：元；方案二应付费元 (3) (4) 【分析】题目主要考查列代数式、求代数式的值，以及一元一次方程的应用，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）根据题意分别列出两个方案的代数式即可； （2）当时，分别代入（1）中结果求解即可； （3）根据两个方案需付的金额相等列出方程求解即可； （4）根据（3）的结果以及题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：方案一：元． 方案二：元． （2）解：当时 方案一需付费：（元）． 方案二需付费：（元） （3）解：由题意得，， 解得， 答：当时，两个方案需付的金额相等； （4）解：由（3）得当时，两个方案的费用相同， ∴当时，，选择方案一购买更合算． 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据“最终成绩答对的题得的分答错的题扣的分”列式求解． 【详解】解：设小华答对道题，则不答或答错道题， 由题意列式为： ， ， ， ， ； ∴小华答对道题． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 【答案】D 【分析】设中间数为，则七个数分别为、，、、、，，其和为，即和一定是的倍数，并结合中间数的位置解答． 【详解】解：设“H字框”中间的数为，则框出的七个数分别为、，、、、，， ∴七个数的和为， 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(日历中的数必须是整数，不合理)； 所以，只有对应的方程解不符合实际，因此和不可能是． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应长度如图所示，则的长为_____． 【答案】3 【详解】解：设， 根据题意得， 解得：， 则的长为． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 5．（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)1 (2)或5 (3)点P所对应的数是 【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、3，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别列方程求出x的值即可； （3）首先表示出运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后得到，，然后根据题意得到，然后分三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、3， ∴点P对应的数是； （2）解：①当点P在A左边时， 解得：； ②点P在B点右边时，， 解得：， 综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）解：设运动时间为t， 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵的值为10 ∴ ∴当时， 解得（舍去）； 当时， 解得 ∴点P表示的数为； 当时， 解得（舍去）； 综上所述，点P所对应的数是． 6．（25-26七年级下·吉林延边·期末）文艺展演是延吉市第四中学每年九月份的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完还剩下9分钟；如果每个节目表演5分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出7分钟．求此次文艺展演一共有多少个节目？ 【答案】此次文艺展演一共有16个节目 【分析】设此次文艺展演一共有x个节目，抓住计划表演总时长不变这一不变量，根据两种安排方式列出等量关系，即可求解． 【详解】解：设此次文艺展演一共有x个节目，根据题意，得 ， 解得， 答：此次文艺展演一共有16个节目． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】(1)①36；②3； (2)“灵动数”b为79 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【详解】（1）解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36；             ②； （2）解：依题意得：原两位数为，         新两位数为，             ，             ， ； ，             十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 9．（25-26六年级下·山东淄博·期末）某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【分析】（1）先判断打印张数是否超过对应方案的免费额度，因为方案一免费500张、方案二免费750张，800张均超过两者免费额度，所以分别按照“办卡费+超出部分×对应单价”的规则，列代数式计算两个方案的费用； （2）先判断支付费用对应的打印张数是否超过方案一免费额度，因为30元对应500张，66元大于30元，所以先计算超出免费额度的费用，再除以超出部分单价得到超出张数，最后加免费额度的张数得到总张数； （3）分区间讨论的取值：如果，比较两个方案的固定费用；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解，最后检验解是否符合即可． 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． 10．（25-26七年级下·吉林·期末）推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． (1)清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ (2)清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； (3)树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 【答案】(1)清越家该月的耗电量为，自来水使用量为 (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列一元一次方程即可求解； （2）用每千米减少的碳排放量每天上下学的往返距离即可求解； （3）用整个学年减少的总碳排放量一棵树一年吸收的量即可求解． 【详解】（1）解：设清越家该月的耗电量为，自来水使用量为， 由题意得，， 解得，， 则自来水使用量为， 答：清越家该月的耗电量为，自来水使用量为； （2）解：每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量； （3）解：她减少的碳排放量大约相当于种植了． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 一元一次方程的应用 教学目标 1.掌握运用一元一次方程解决实际问题的基本步骤：审清题意、找准等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验并作答，规范完整解题书写格式。 2.熟悉行程、工程、利润、配套、数字、积分、储蓄等常见实际题型的数量关系，能精准挖掘题目中的等量关系建立一元一次方程模型。 3.能区分直接设元与间接设元两种设未知数方法，根据题目特点灵活选择设元方式简化列式与计算。 4.通过分析生活实际问题，感受方程模型的实用性，提升文字信息提取、逻辑分析与数学建模能力，体会转化、建模数学思想，培养严谨审题、检验结果的解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）列一元一次方程解应用题的完整解题流程与书写规范； （2）梳理各类典型应用题的核心等量关系，根据题意列出一元一次方程； （3）正确设未知数，求解方程并检验解是否符合实际情境。 2. 难点 （1）从较长、条件分散的文字应用题中，准确提炼隐藏的等量关系； （2）行程、工程、利润类复杂题型中数量关系梳理，区分速度、效率、成本、利润率等易混淆概念； （3）合理选择间接设元法简化复杂问题，检验方程的解是否具备实际意义，排除不符合题意的解； （4）结合图表、分段收费类综合性实际问题建立方程模型。 知识点01 列一元一次方程解应用题 1. 列方程解应用题的一般步骤： ①弄清题意和题中的数量关系，用字母（如）表示问题涉及的未知数； ②分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）； ③根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； ④解这个方程，求出未知数的值； ⑤检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）。 2. 常用应用题中的等量关系：本金×利率×期数=利息；本金+利息=本息和；实际售价－进价（或成本）=利润。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某商店购进一批文具，每件进价元，标价元．现打折销售，每件仍获利元，该商品打几折出售？ 题型01 行程问题 【典例1】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）周末，小明和爸爸骑车去郊外游玩，他们同时从家出发，沿相同的路线分别以10千米/时和12千米/时的速度一直骑行，爸爸骑行了11千米后发现小明没跟上，立刻回头去找小明，往回骑行的速度还是12千米/时，不一会儿，就遇到了小明，此时小明骑行了多长时间？ 三大基础模型： 相遇问题：路程和总路程，； 追及问题：路程差初始距离，； 航行问题：顺水速度船速水速，逆水速度船速水速。 【变式1】如图，跑道由两个半圆部分和两条直跑道组成，两个半圆跑道的长都是，两条直跑道的长都是．小斌站在处小强站在处，两人同时逆时针方向跑步，小斌每秒跑，小强每秒跑．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．半圆跑道上 B．直跑道上 C．半圆跑道上 D．直跑道上 【变式2】轮船沿江从港顺流行驶到港需要小时，比从港逆流返回港少用小时，若轮船在静水中的速度为千米/小时，水流速度为千米/小时，则港和港相距多少千米．列方程表示为______． 【变式3】为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【变式4】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 题型02 工程问题 【典例1】某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产个，天完成任务．实际每天比原计划多生产个，实际多少天完成任务？ （1）核心公式：工作总量工作效率工作时间；合作效率各效率之和； （2）通用等量关系：单独工作量合作工作量（总工程）。 【变式1】（25-26七年级上·新疆·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某项工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．8天 【变式2】有一些相同的房间需要粉刷，一天4名一级技工粉刷9个房间，结果还有30平方米没有刷完；同样的时间，6名二级技工刷完10个房间还多刷了35平方米，已知一名一级技工比一名二级技工每天多刷10平方米，求每个房间需要粉刷的面积． 【变式3】课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． (1)请你把题目补充完整并作出解答； (2)若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 题型03 销售问题 【典例1】某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【典例2】肖丽去商店买练习本，回来后告诉同学们：“店主给我说，如果多买一些就给我折优惠，所以我就买了本，结果便宜了元，”请求原来每本练习本价格． （1）核心必考公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 （2）综合推导公式：售价进价利润率。 【变式1】近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用30000元从果农处收购苹果和梨共千克，并通过互联网进行销售．若苹果的收购价为每千克6元，梨的收购价为每千克4元，则这次收购了____________千克梨． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）由于电影《哪吒2》角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个售价为130元，可盈利． (1)“哪吒”款手办每个的利润率是_____，“敖丙”款手办每个进价为_____元． (2)该商家两款手办分别购进多少个？（用一元一次方程解答） (3)当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打折销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家共获利2140元，请问“敖丙”款手办打了几折？（用一元一次方程解答） 【变式3】（25-26七年级上·四川达州·期末）某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共140只，购进140只节能灯的进货价恰好为3700元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润560元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 【变式4】学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案：甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元；乙商店促销方案：买四送一． (1)若每根跳绳30元，小明在甲商店购买了2根，则需付款________元； (2)小明发现若购买20根这种跳绳，按照甲、乙各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 题型04 配套问题 【典例1】某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． （1）核心逻辑：配套比例相等，零件数量比=题目规定的配套比； （2）固定等量关系：A零件总数配套份数B零件总数对应份数。 【变式1】某加工厂有名工人，平均每人每天加工桌面个或桌腿个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 【变式3】（25-26七年级上·陕西安康·期末）劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 题型05 方案问题 【典例1】某商场销售某种夹克和裤子，每件夹克标价为100元，每条裤子标价为60元，为减少库存量，于是该商场老板开展了促销活动，活动期间，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一件夹克送一条裤子； 方案二：夹克和裤子均按标价的出售． 现有顾客要到该商场购买夹克件，裤子x条． (1)请用含x的代数式分别表示按方案一、方案二购买的费用？ (2)当购买裤子多少条时，两种方案付款一样多？ 【变式1】甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出了不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元后，超出部分按8折收费；在乙超市累计购买商品超出200元后，超出部分按折收费．若顾客累计购买商品元． (1)当x为何值时，顾客在两家超市购买所付的费用一样？ (2)有顾客准备购买500元的商品，你认为应该去哪家超市？请说明理由． 【变式2】为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批型足球和型足球． 已知型足球的标价比型足球的标价每个贵元，购买个型足球和个型足球共需元． (1)型足球和足球的标价各是多少： (2)该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买个型足球和个型足球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 【变式3】某超市销售美味食用油，每桶20L，定价为100元，节日期间进行促销活动，为满足大众采购需求，在购买不少于10桶时，该超市制定了两种销售方案以供选择： 方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费． (1)假设某饭店需要购买10桶美味食用油，且需送货上门． 若采用方案一购买，需要______元；若采用方案二购买，该饭店只需要购买______桶美味食用油即可． (2)假设某饭店需要购买x桶美味食用油（，x是偶数），且需送货上门． ①采用方案一购买x桶美味食用油需要______元；采用方案二购买x桶美味食用油需要______元． ②某次进货时，饭店的采购员发现两种采购方案相差100元，请你算一算饭店这次采购多少桶美味食用油？ 题型06 比赛积分问题 【典例1】在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ （1）核心等量：总积分胜场积分平场积分负场积分； （2）场数关系：总场数胜场平场负场。 【变式1】足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．某中学举行以“钟鸣寄哀思，史鉴照前路”为主题的知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩是88分，设小华答对了x道题，则可列方程为______． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·期末）某学校举行了以“铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平，开创未来”为主题的知识竞赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有场比赛（每场比赛都要分出胜负）．积分规则如下：胜场积分，负场积分，积分超过分才能获得决赛资格．已知乙队在初赛阶段的积分为分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 题型07 数字问题 【典例1】已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【变式1】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【变式2】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 【变式3】如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 题型08 古代问题 【典例1】“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡笼里有鸡也有兔，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，请问笼中有多少只鸡？多少只兔？这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）用若干根绳子测井深，把绳三折来量，井外余4尺；把绳四折来量，井外余1尺．设井深x尺，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】我国明朝珠算发明家程大位，他完成的古代数学名著《直指算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【变式4】（25-26六年级上·上海金山·期末）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 题型09 电费、水费问题 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） （1）题型特征：分段计费，不同用量区间单价不同，超额部分高价计费； （2）计费公式：总费用基础区间费用超额区间费用； （3）解题步骤：①判断用量是否超标；②分段套用单价计算；③根据总费用列方程求用量； （4）核心思想：分段计算、累加求和，临界点用量单独验证。 【变式1】如图，一块边长为的正方形绿地沿某一方向加宽，扩大后绿地面积是，则根据题意列出方程正确的是（　　）．    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）某市自来水公司为了限制单位用水，每月只给某单位计划内用水，计划内用水每吨收费元，超过计划部分每吨按元收费．若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水________吨． 【变式3】随着时代的来临，小李换了新发布的手机并且需要新办一种套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费元/；第二种是没有月租费，但流量资费元/．设小李每月使用流量． (1)小李按第一种套餐每月需花费___________元，按第二种套餐每月需花费___________元；（用含的式子表示） (2)小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【变式4】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 题型10 几何问题 【典例1】如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． 【变式1】有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20厘米，倒立时空余部分高度为5厘米，则瓶内现有饮料______立方分米． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某体育馆在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石．（单位：米） (1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留π） (2)为了便于施工，用高为2米长为116米的围挡把该施工地段围成一个无盖的长方体，如果该长方体的长比宽多8米，那么此时长方体的长、宽各为多少米？ 【变式3】黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．数学之星小明查阅资料发现：若一个长方形的短边与长边的比为，这样的长方形称为黄金长方形，黄金长方形能够给画面带来美感，令人愉悦．如图，为了使长220米的篱笆恰好用完．同时围住花田的三面，且长方形的形状更接近黄金长方形，应设计成多少米？(结果保留整数) 题型11 动点问题 【典例1】如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【典例2】已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为 (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 【变式2】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【变式3】我们规定：对于数轴上不同的三个点A，B，P，当点A在点B左侧时，若点P到点A的距离恰好为点P到点B的距离的k倍，则称点P是的k阶点． 已知在数轴上，点A、点B表示的数分别为． (1)若点C是 的3阶点，则点C所表示的数 ； (2)若动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动．求运动时间为多少秒时，原点O恰好是的4阶点． (3)点F在A，B之间运动，且不与A、B两点重合，D是的3阶点，E是的2阶点，且满足点D、E分别在线段和上．当点F运动时，若存在m、n，使得式子的值与F点位置无关，求出m，n满足的数量关系． 题型12 其他问题 【典例1】某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【变式1】（2026·辽宁铁岭·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 【变式2】请用方程的方法解，如图，天平的两个盘内分别盛有和的盐，应从盘内拿出多少盐放到盘中，才能使天平平衡？ 【变式3】为支持西部贫困地区“希望工程”爱心捐款活动，某单位53名职工共捐款1760元，捐款情况如下表， 捐款数额（元） 10 20 50 100 人数 16 7 表中捐款20元和50元的人数不小心被墨迹掩盖已看不清楚，请你帮助确定表中被墨迹掩盖的数据，并说明理由． 【变式4】（25-26七年级上·广东汕头·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“合并式方程”，例如：的解为，且，则方程是合并式方程． (1)判断是否是合并式方程，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是合并式方程，求的值． 1．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西晋城·期末）在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 3．某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 4．2026年发布的中央一号文件主题是“锚定农业农村现代化，扎实推进乡村全面振兴”．桃源村积极响应政策，计划在“生态养殖”和“乡村民宿”两个项目上共投资210万元，其中“生态养殖”的投资金额比“乡村民宿”的投资金额多20万元，则该村的“乡村民宿”投资金额是_____万元． 5．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 6．（2026·山西阳泉·二模）为保障中国空间站的常态化运行，天舟系列货运飞船需为空间站（或空间实验室）运输补给物资和载荷、补加推进剂等．在一次补给任务中，运送物资中包含饮用水和食品．若每箱饮用水质量为20千克，每箱食品质量为30千克，此部分物资总质量为480千克．运送的饮用水箱数比食品箱数多4箱，则饮用水和食品各有多少箱？ 7．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某超市计划购进甲、乙两种型号的台灯台，这两种型号台灯的进价、售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 甲种 乙种 (1)如果超市的进货款为元，那么可计划购进甲、乙两种型号的台灯各多少台？ (2)为确保乙种型号的台灯销售更快，超市决定对乙种型号的台灯打折销售，且保证乙种型号台灯的利润率为，问乙种型号台灯需打几折？ 8．（25-26六年级下·山东东营·期中）已知两地相距，甲车从地出发开往地，同时乙车从地开往地，甲车的速度是，乙车的速度是．求出发多长时间两车相遇？（列方程解题） 9．某工厂计划生产一种新型产品，若甲车间单独生产，需要20天完成；若乙车间单独生产，需要30天完成．现甲车间先单独生产5天，然后乙车间加入一起生产，问还需要多少天可以完成生产任务？ 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）课程育英才，素养创未来．我校开设了丰富的选修课程，其中羽毛球运动是深受学生喜爱的课程之一．某班需要购买20副羽毛球拍和若干盒羽毛球．现了解：某体育用品商场销售一种品牌羽毛球拍和羽毛球，一副羽毛球拍定价160元，一盒羽毛球定价80元．根据市场调查，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一盒羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．现该班要到该商场购买20副羽毛球拍，羽毛球x盒（的整数）． (1)用含x的代数式分别表示两种方案需付的金额； (2)当时，计算两种方案购买需付的金额各是多少元？ (3)当x取何值时，两个方案需付的金额相等？ (4)直接写出x在什么范围内时，用方案一购买更合算？ 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应长度如图所示，则的长为_____． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 5．（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 6．（25-26七年级下·吉林延边·期末）文艺展演是延吉市第四中学每年九月份的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完还剩下9分钟；如果每个节目表演5分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出7分钟．求此次文艺展演一共有多少个节目？ 7．（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 9．（25-26六年级下·山东淄博·期末）某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 10．（25-26七年级下·吉林·期末）推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． (1)清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ (2)清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； (3)树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $