1.2.5空间中的距离（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中两点、点到直线、点到平面等五类距离的定义及向量求法，以神舟飞船测控距离为导入实例，衔接空间向量描述位置关系的旧知，通过平面距离类比构建空间距离认知支架。 其亮点在于以互动探究发展数学抽象，如从平面距离本质迁移空间距离定义；用典例分层培养逻辑推理，如点到直线距离提供求垂足与投影两种解法；小结提炼向量坐标法通用步骤强化数学语言表达。助力学生形成距离转化思想，教师可依此高效开展分层教学。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.2.5空间中的距离 1.2 空间向量在立体几何中 的应用 学 习 目 标 1 2 理解图形与图形之间距离的概念，知道距离的本质是两点间连线长度的最小值。 掌握空间中两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、点到平面的距离公式。 理解点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离概念，并能说明它们之间的相互转化关系。 掌握向量长度的计算公式，会利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。 理解并掌握用平面法向量求点到平面距离的方法。 数学抽象：通过从具体生活情境中抽象出空间距离的概念，提升数学抽象素养。 逻辑推理：通过空间距离公式的推导和各类距离之间的相互转化，培养逻辑推理能力。 新课引入 大家都看过神舟飞船的发射直播吧？地面测控站要实时计算飞船和观测雷达之间的直线距离，还要精准算出飞船表面的部件到轨道平面的垂直距离，这些数据直接关系到飞行安全 这些航天领域的关键计算，用的就是咱们今天要学的空间距离知识。 之前咱们已经学会了用空间向量描述点、线、面的位置关系，今天咱们就把向量这个工具用起来，把空间里各类复杂的距离问题，转化成咱们熟悉的向量运算。 互动探究 平面几何中的距离 平面上两点之间的距离如何定义？点 P 到直线 l 之间的距离是如何定义的？两条平行直线 l ， m 之间的距离是如何定义的？ 两点间的所有连线中，线段最短，连接两点间的线段的长度称为两点间的距离。 从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短，它的长度称为这个点到直线的距离。 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为这两条平行线之间的距离。 由上可以看出，这些距离都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度。 目标一：空间两点之间的距离 互动探究 空间中两点之间的距离 空间的距离 空间中任意两个图形之间的距离也具有类似的性质，此距离小于等于两个端点分别在这两个图形上的线段长。空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长。因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，所以可通过向量来求空间中两点之间的距离。 基向量法：用基向量表示两点构成的向量，空间两点间的距离转化为向量的模，通过平方运算，转化为向量的数量积运算。 坐标法：建系，求两点的坐标，利用空间两点间距离公式求。 基向量法 例1 如图所示，已知 是平行六面体， ， ， ， ， ，求 的长。 向量表示 基向量条件 由已知可得 、 、 不共面，而且 ， ， 。 从而 ， ， 。 平方开方运算 ， ，即所求长为 坐标法 例1 如图所示，已知 是平行六面体， ， ， ， ， ，求 的长。 建系 因为 ∠BAD，取 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴。 垂直平面 ABCD 向上为 z 轴正方向 坐标 长度计算 A(0,0,0), B(4,0,0), D(0,3,0),又因为底面是平行四边形，由向量加法，所以：C(4,3,0),设 ,已知 ，且：，向量 ，，。 利用夹角公式求 ：, , , , ，,这样,可求 运算量有点大！ 目标二：空间点到直线的距离 互动探究 点到直线的距离 空间的距离 给定空间中一条直线 l 及 l 外一点 A ，因为 l 与 A 能确定一个平面，所以过 A 可以作直线 l 的一条垂线段，这条垂线段的长称为点 A 到直线 l 的距离。点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度。 原理 向量求法 1.求垂足坐标：建系，已知A点坐标，求出垂足的坐标，求出AB距离。把点线距转化为点点距，求垂足坐标的难度比较大，需要用共线关系，垂直关系，甚至三角形法则。 2.投影法：在直线上任取点P，连接AP，PB是AP在直线上的投影，求出AP,PB长，由勾股定理可求AB长。 P 典例分析 点到直线距离示例 建系 例2 距离 已知正方体 的棱长为1，求点 到直线 的距离。 这里介绍求垂足坐标 坐标 以 为原点， 、 、 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 则 ， ， ，因此 。 设 满足 ，且 ，则 ，即 ，所以 。 又因为 ，所以 ，即 ，解得 ，因此 。 从而可知的点 到直线 的距离为 。 典例分析 点到直线距离示例 建系 例2 距离 已知正方体 的棱长为1，求点 到直线 的距离。 这里介绍不求垂足坐标 坐标 以 为原点， 、 、 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 正方体顶点坐标为： 则直线 的方向向量为，在直线 上取点 ，则 计算： ,所以 因此，点 到直线 的距离为 目标三：空间点到平面的距离 互动探究 点到平面距离 空间的距离 给定空间中一个平面 α 及 α 外一点 A ，过 A 可以作平面 α 的一条垂线段，这条垂线段的长称为点 A 到平面 α 的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度。 一般地，若 是平面 外一点， 是平面 内一点， 是平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离 。 等于 在 上的投影的数量 典例分析 点到平面距离 例3 已知点在平面内，点在平面外，且平面的一个法向量为，则点B到平面的距离为( ) A. B. C. D. 小题专练公式，再练大题。 解析：因为， 所以点B到平面的距离为. 故选：A. 典例分析 点到平面距离 例4、5 已知平面的一个法向量为，点M在外，点N在内，且，则点M到平面的距离为( ) A. B. C. D. 小题专练公式，再练大题。 解析：由题意得，点M到平面的距离. 故选：B. 已知是平面的一个法向量，且，则点M到平面的距离为( ) A.2 B. C.4 D. 解析：依题意，点M到平面的距离. 故选：B. 典例分析 点到平面距离 例4 已知平面的一个法向量为，点M在外，点N在内，且，则点M到平面的距离为( ) A. B. C. D. 小题专练公式，再练大题。 解析：由题意得，点M到平面的距离. 故选：B. 典例分析 点到平面距离 建系 例6 向量坐标 第三步 如图所示，四棱锥 中，底面 是一个边长为1的正方形， 平面 ， 。求点 到平面 的距离。 解：依题意，AB,AD,AP 是两两互相垂直的。以 A 为原点，AB,AD,AP 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 则 ， ， ， 。 所以 ， ， 。 设平面 的一个法向量为 ，则 令 ，则得 ， ，此时 。 因为 ，所以点 到平面 的距离为 。 典例分析 点到平面距离 建系 例7 向量坐标 第三步 如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为( ) 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量为，则．． 点B到平面的距离．故选：C. 目标四：线面距和面面距 互动探究 线面距与面面距离 空间的距离 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； 当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离。 一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段。显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长。 相互平行的直线与平面之间的距离、相互平行的平面与平面之间的距离，都可以归结成点到平面的距离，因此同样可以通过空间向量来求得。 如图所示，如果直线 l 与平面 α 平行， n 是平面 α 的一个法向量， A ， B 分别是 l 上和 α 内的点，则直线 l 与平面 α 之间的距离为： d 线面距 面面距 如图所示，如果平面 α 与平面 β 平行， n 是平面 α 的一个法向量（当然也是平面 α 的一个法向量）， A 和 B 分别是平面 α 与平面 β 内的点，则平面 α 与平面 β 之间的距离为： 典例分析 线面距离求例 建系 例8 坐标 平行 已知棱长为2的正方体 中， 分别为 的中点，判断直线 与平面 的关系。如果平行，求出 与平面 之间的距离；如果不平行，说明理由。 以 D 为原点，DA,DC, 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 则 ，，，，，所以 ，，。 设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 , 则得 。 因为 ，所以 ，又因为点 显然不在平面 内，所以 与平面 平行。 距离 又因为 ，所以 典例分析 面面距离求例 建系 例9 坐标 正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点，则平面与平面的距离为________. 如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， ，.，，，，，， ，，，. 平面平面. 设是平面的一个法向量， 则解得 取，则，，得. 平面到平面的距离就是点B到平面的距离. ，平面与平面间的距离. 距离 目标五：针对训练 举一反三 1.已知平面的法向量，且点，，则点P到平面的距离为( ) A. B. C.2 D.4 解析：因为平面的法向量，且点，， 所以点P到平面的距离为. 举一反三 2.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为( ) A.10 B.3 C. D. 解析：由题得， 所以到平面的距离为， 故选：C. 举一反三 3.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为___________. 解析：由已知可得，所以点P到平面的距离为 . 故答案为： . 4.已知平面的法向量，为上一点，则点到的距离为________. 解析：由题意知，所以点P到的距离. 举一反三 5.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为( ) 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则． 令，则，， ．点B到平面的距离．故选：C. 举一反三 6.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，E是的中点，，则点C到平面的距离为 解析：如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为E是的中点，，所以，， 所以，，.设是平面的法向量，得.故点C到平面的距离为. 目标六：小结 学海拾贝 先帮大家梳理本节课的核心内容：咱们今天依次学习了空间中点到点、点到直线、点到平面、平行线面、平行面面以及异面直线的距离定义，也掌握了几何法和空间向量法两类计算路径。 这里要提醒大家几个高频易错点： 第一，用几何法找距离时，一定要确认你找到的线段确实是垂线段，很多同学容易把斜线段的长度误当成距离，尤其是点到平面的距离，必须证明该线段垂直于平面内的两条相交直线，不能仅凭肉眼直观判断。 第二，使用空间向量法计算距离时，点到直线的距离公式里，千万不要忘记代入“点与直线上任意一点连线的向量”，不少同学会直接用直线的方向向量代入运算，最终结果完全出错；而点到平面的距离公式，分子是平面法向量与点面连线向量的数量积的绝对值，分母是法向量的模长，这里的绝对值绝对不能丢，否则很容易出现负数的无意义结果。 学海拾贝 核心思想 空间所有距离问题，统一转化为两点间距离；向量法是通用解法，核心工具：空间向量、平面法向量。 空间五类距离：两点距离、点到直线距离、点到平面距离、平行线距离、平行平面距离。 向量坐标法通用步骤 建立空间直角坐标系，标出所有点坐标； 写出所需向量； 求直线方向向量 / 平面法向量； 代入对应距离公式计算； 化简得到距离。 优先观察：能否用几何法直接找到垂线段； 找不到垂线 → 建系，使用空间向量公式； 考题最常考：点到平面的距离（体积法也可作为备选方法） 补充：体积法求点面距离（重要备选） "底" 适合：坐标系难以建立、向量计算繁琐的几何体。 几点建议 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $