专题04 单调性、奇偶性、周期性和对称性的应用24种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦函数单调性、奇偶性、周期性和对称性四大核心性质，系统涵盖判断、证明、求区间、比较大小等24个考法题型，构建完整知识应用网络。 清单采用题型分类与方法总结结合的方式，如单调性判断归纳五种方法，周期性公式表梳理16类周期条件，培养学生数学思维与推理意识。设易错点标注（如单调区间用逗号连接），思维导图呈现考法关联，助力学生自主高效复习，教师可据此精准教学提升备考效率。

专题04 单调性、奇偶性、周期性和对称性的应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 判断函数的单调性 四种常用判断方法，按需选用： 1. 定义法：任取区间内，作差判断正负； 2. 图像法：图像上升为增函数，下降为减函数； 3. 复合函数同增异减：内外层单调性相同则整体递增，相反则递减； 4. 导数法：区间内单调递增，单调递减； 5. 四则运算法：增+增=增，减+减=减，负号翻转单调性。 1．（2026高三·全国·一轮复习）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·北京）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型02 用定义证明函数的单调性 定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。 具体如下：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么 ①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数； ＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数. 上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零 4．（2026高一·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递减． 5．（2026高一·湖北黄冈·期中）求证：函数在区间上是减函数． 6．（2026高三·全国·专题练习）判断并证明函数（其中）在上的单调性. 题型03 求函数的单调区间 1. 优先求定义域，单调区间必须是定义域子集； 2. 基础函数：一次、二次、指数对数直接结合图像写区间； 3. 复合函数：拆分内外层，利用“同增异减”分层判断； 4. 分式、根式函数：分离常数、换元转化为基础函数； 5. 复杂函数：求导，解得递增区间，得递减区间； 注意：多个单调区间不能用“”连接，用逗号隔开。 7．（2026高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 8．（2026高一·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高三·安徽阜阳·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 11．（2026高二·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 题型04 利用单调性比较大小 比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。 注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小. 13．（26-27高三·云南昆明·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·四川成都·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型05 利用函数的单调性解抽象不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范． 注：自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若f(x)是增(减)函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2). 在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号f，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行. 18．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河北邢台·模拟预测）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·甘肃兰州·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 22．（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型06 利用函数的单调性求参数的取值范围 利用函数单调性求参数的取值范围． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。 ③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值， 注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分 (1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．(2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间． 24．（2026·甘肃白银·模拟预测）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2026高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 27．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 利用函数单调性求最值 1. 闭区间连续单调函数：最值一定在区间端点处取得； 2. 开区间单调函数：无最值，只有值域趋近边界； 3. 分段函数：逐段求出每段最值，再对比得到全局最值； 4. 复合函数：先判断整体单调性，再代入区间端点计算。 28．（2026高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 29．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 30．（2026高二·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 31．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．（2026高三·贵州·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 题型08 根据函数最值求参数 逆向题型解题步骤： 1. 分析函数单调性、对称轴、分段分界点； 2. 结合给定最值，判定取到最值的自变量位置； 3. 将最值点代入函数，构造含参数等式/不等式； 4. 分类讨论参数，检验参数取值下最值与题干一致。 33．（2026高一·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 34．（2026高三·广东中山·开学考试）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 35．（2026高三·全国·一轮复习）若函数在上的最大值为2，则实数____________． 36．（2026高三·河南·开学考试）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（2026高三·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 38．（2026高三·北京·阶段检测）已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是__________． 题型09 函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　 39．（2026·上海·模拟预测）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 40．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 41．（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 42．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 43．【多选】（2026·江西·模拟预测）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 题型10 已知函数的奇偶性求函数值 利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解； 44．（2026高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 45．（2026高一·浙江·期末）若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 46．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，且当时，，则______． 47．（2026·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型11 局部奇偶函数 已知奇函数，，则 （1） （2） 48．（2026高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于______________． 49．（2026高一·北京·期中）已知函数，且，则_____________． 50．（2026高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则__________. 51．（2026高一·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 题型12 已知函数的奇偶性求解析式 利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式； 52．（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 53．（2026高一·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 54．（2026高一·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 55．（2026高一·山西·期中）若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为___________． 题型13 已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．　 56．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 57．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 58．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 59．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 60．（2026·福建福州·模拟预测）若函数为奇函数，则____． 61．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型14 应用奇偶性画函数图象 应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． 2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 62．（2026高一·甘肃庆阳·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 63．（2026高一·四川广安·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   64．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 65．（2026高一·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 题型15 利用函数的奇偶性求最值 利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 66．（2026高一·上海宝山·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 67．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 68．（2026高二·湖南衡阳·期末）若为定义在R上的奇函数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 69．（2026高二·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则________. 70．（2026高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________． 题型16 由函数周期性求值 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. (3) 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 关于直线x＝a与x＝b对称或 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称或 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称或 2|b－a| 奇函数，关于对称或 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称或 4a 偶函数，关于对称或 4a 4a f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x+1)=f(x)-f(x-1) 6 71．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 72．（2026高三·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 73．（2026·河北唐山·模拟预测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 74．（2026·山东东营·模拟预测）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 75．（2026·河北衡水·模拟预测）若偶函数满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 题型17 由函数周期性求解析式 1. 设目标区间内自变量，加减整数倍周期，平移至已知解析式区间； 2. 由周期性，代入已知区间表达式化简； 3. 分段写出不同周期区间对应的解析式，多用于周期分段图像类问题。 76．（2026·上海静安·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 77．（2026高一·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 78．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 79．（2026高三·河北石家庄·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 题型18 自对称中的轴对称 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 80．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 81．（2026高三·河南·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 82．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 83．（2026·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型19 自对称中的中心对称 函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 84．【多选】（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 85．（2026高三·海南省直辖县级单位·期中）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 86．（2026高一·广东阳江·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则______． 题型20 互对称问题 互对称指两个不同函数图像相互对称，分三类： 1. 与关于轴对称； 2. 与关于轴对称； 3. 与关于直线对称； 解题：利用对称变换规则写出另一函数解析式，结合图像交点、值域求解。 87．（2026高三·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 88．（2026高三·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型21 双重对称问题 1. 两条轴对称：关于对称周期； 2. 两个中心对称：关于对称周期； 3. 一条轴+一个中心对称：同时具备轴对称、中心对称，函数必为周期函数； 解题：先推导周期，再结合周期、奇偶转化自变量求值、求零点。 89．（2026高三·山东日照·阶段检测）已知函数，的定义域均为，且 ， ．若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 90．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 91．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 92．【多选】（2026高二·湖南长沙·期中）已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．函数图象关于点对称 C． D．当时， 题型22 函数对称性的证明 1. 证轴对称：任取图像上一点，证明其对称点也满足函数解析式；即证； 2. 证中心对称：任取图像上一点，证明对称点在图像上，即证； 3. 抽象函数证明：通过赋值构造与的等量关系完成证明。 93．【多选】（2026·安徽合肥·模拟预测）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 94．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数， . (1)求证：曲线的图象是一个中心对称图形，并求对称中心； (2)若，求过曲线上一点的切线方程； (3)用表示、中的最小值，设函数 ()，讨论的零点的个数. 95．（2026·吉林延边·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：函数的图象是中心对称图形； (3)若函数为减函数，求实数a的取值范围． 96．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，函数. (1)当时，函数为减函数，求实数的最小值; (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)当时，证明：方程有三个不等实根. 题型23 函数对称性的应用 1. 求值：利用对称点函数值和为定值，快速计算多个自变量函数值之和； 2. 零点求和：成对零点关于对称轴对称，每组零点相加等于两倍对称轴横坐标； 3. 解不等式：利用对称把未知区间自变量转化到已知单调区间； 4. 结合周期：双重对称推导周期，化简大自变量。 97．（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 98．（2026高一·贵州黔东南·期末）已知函数，且，则的所有零点之和为（   ） A．2 B． C． D． 99．（2026高三·河南·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型24 函数性质的综合应用 综合题解题顺序： 1. 先梳理已知全部性质：奇偶、单调、周期、对称； 2. 多重转化：利用周期、对称将自变量统一到同一个单调对称区间； 3. 脱去符号：借助单调性转化为普通不等式； 4. 兼顾定义域约束，联立求解参数、范围、函数值、零点相关问题； 核心思路：数形结合，画出简易图像辅助分析性质叠加关系。 100．【多选】（2026高二·浙江宁波·期末）定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（     ） A．函数为偶函数 B．函数为周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 单调性、奇偶性、周期性和对称性的应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 判断函数的单调性 四种常用判断方法，按需选用： 1. 定义法：任取区间内，作差判断正负； 2. 图像法：图像上升为增函数，下降为减函数； 3. 复合函数同增异减：内外层单调性相同则整体递增，相反则递减； 4. 导数法：区间内单调递增，单调递减； 5. 四则运算法：增+增=增，减+减=减，负号翻转单调性。 1．（2026高三·全国·一轮复习）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、二次函数单调性判断AB；利用指数函数单调性判断CD． 【详解】对于A，函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数在上单调递减，故B错误； 对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递增，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，故D错误． 故选：C． 2．（2026·北京）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性、单调性的定义和初等函数单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对A，设，其定义域为R，因为，， 所以，则不是奇函数，故A错误； 对B，设的定义域为，关于原点对称，，满足奇函数的定义， 所以是奇函数，任取，，且， 则 ， 由于，有，且，所以，即. 所以，所以， 所以在区间上单调递减，故B错误； 对C，设，其定义域为，关于原点对称， 因为，所以是偶函数，故C错误； 对D，设，其定义域为，关于原点对称， 且，则其为奇函数， 又因为均在上单调递增，则函数在上单调递增，故D正确. 题型02 用定义证明函数的单调性 定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。 具体如下：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么 ①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数； ＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数. 上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零 4．（2026高一·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递减． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将代入原函数，根据题意解出值即可得出解析式 （2）根据定义设，且，计算得出即可的证. 【详解】（1）， 故的解析式为： （2）设，且 因为，所以 故，所以在上单调递减. 5．（2026高一·湖北黄冈·期中）求证：函数在区间上是减函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义即可求证. 【详解】设，且， 则, ，且， 又， , ,即 ， 故函数在区间是减函数. 6．（2026高三·全国·专题练习）判断并证明函数（其中）在上的单调性. 【答案】减函数，证明见解析 【分析】法一：根据单调性的定义，按照步骤证明即可；法二：利用导数法求解单调递减区间即可证明. 【详解】证明：法一（定义法）：设， 则. ，，，. 因此当时，，即， 此时函数在上为减函数. 法二（导数法）：对求导得. 又，，所以，所以函数在上为减函数. 题型03 求函数的单调区间 1. 优先求定义域，单调区间必须是定义域子集； 2. 基础函数：一次、二次、指数对数直接结合图像写区间； 3. 复合函数：拆分内外层，利用“同增异减”分层判断； 4. 分式、根式函数：分离常数、换元转化为基础函数； 5. 复杂函数：求导，解得递增区间，得递减区间； 注意：多个单调区间不能用“”连接，用逗号隔开。 7．（2026高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 8．（2026高一·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 9．（2026高一·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 10．【多选】（2026高三·安徽阜阳·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【分析】令，结合对数函数、二次函数和复合函数的性质即可得结果. 【详解】令，所以 . 由于在 上单调递减，在上单调递增，且是增函数， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又关于对称，所以的图象关于直线对称 故选：CD. 11．（2026高二·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 12．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【分析】求导后可得函数的单调区间，再求出函数定义域及其奇偶性，设，则，求出时的单调性即可得解. 【详解】，则当或时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增， 对，有且， 则， 又，故为偶函数，故只需分析时的单调性， 令，则， 当时，，当时，，，故， 在上单调递减，则单调递增； 当时，，，故， 在上单调递减，上单调递增， 则当时，单调递减，时，单调递增； 故当时，单调递增区间为、， 单调递减区间为， 由偶函数性质可知，当时，单调递增区间为， 故函数的单调递增区间为，，. 题型04 利用单调性比较大小 比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。 注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小. 13．（26-27高三·云南昆明·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】单调递增，故， 单调递增，故， ， 对于，，设函数，， 故函数在上单调递增， 所以， 则，所以， 故． 14．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. 15．（2026高二·四川成都·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 16．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 题型05 利用函数的单调性解抽象不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范． 注：自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若f(x)是增(减)函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2). 在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号f，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行. 18．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 19．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】的定义域为R， 因为，所以函数是R上的增函数. 因为，所以函数是奇函数， 所以由得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 20．（2026·河北邢台·模拟预测）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 21．（2026高二·甘肃兰州·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，， 因为，可知函数为的偶函数， 又因为， 当时，， 若，则，即； 若，则，，可得， 可知在内单调递减，则在内单调递增. 对于不等式， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，可得， 即，可得，解得，且； 综上所述：不等式解集为. 22．（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系及单调性的定义判断的单调性，再应用赋值法求得、，不等式等价化为，结合单调性求解集. 【详解】任取，，且，因为， 所以， 因为时，，且， 所以， 所以，即， 所以在上是增函数， 令，所以， 令，，所以， 不等式等价于， 所以，即， 因为在上是增函数，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 23．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 题型06 利用函数的单调性求参数的取值范围 利用函数单调性求参数的取值范围． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。 ③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值， 注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分 (1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．(2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间． 24．（2026·甘肃白银·模拟预测）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 25．（2026高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 26．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 27．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 题型07 利用函数单调性求最值 1. 闭区间连续单调函数：最值一定在区间端点处取得； 2. 开区间单调函数：无最值，只有值域趋近边界； 3. 分段函数：逐段求出每段最值，再对比得到全局最值； 4. 复合函数：先判断整体单调性，再代入区间端点计算。 28．（2026高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 29．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 30．（2026高二·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 31．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 32．（2026高三·贵州·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 【答案】8 【分析】根据已知条件求出的解析式，通过换元法，结合二次函数的性质及反比例函数的性质求解． 【详解】因为，恒成立，将换成得 ， 两式比较，得， 又因为在定义域上单调递减，所以 故或， 由在定义域上单调递减，而在区间内单调递增，不符合题意； 在区间内单调递减，故， 的定义域， 令，则，故，解得， ，开口向下，对称轴为， 故的最大值为， 已知，是反比例函数，故取最大值时，取最小值， 故函数的最小值为． 题型08 根据函数最值求参数 逆向题型解题步骤： 1. 分析函数单调性、对称轴、分段分界点； 2. 结合给定最值，判定取到最值的自变量位置； 3. 将最值点代入函数，构造含参数等式/不等式； 4. 分类讨论参数，检验参数取值下最值与题干一致。 33．（2026高一·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 34．（2026高三·广东中山·开学考试）已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 35．（2026高三·全国·一轮复习）若函数在上的最大值为2，则实数____________． 【答案】2 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】令，则在上的最大值， 最小值． 当时，，解得． 当时，，解得（舍去）． 综上，． 故答案为：2 36．（2026高三·河南·开学考试）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 37．（2026高三·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分、、、四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】①若，则， 因为的图象的对称轴为， 故该函数在上单调递增，所以， 若，则，当时，，则有最小值； 若，因为在上单调递减，所以， 若存在最小值，则，得，舍去； 若，因为在上单调递增，所以， 若存在最小值，则，得； ②若，因为在上单调递增，所以， 因为，则的最小值必在上取得，符合题意； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 38．（2026高三·北京·阶段检测）已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】当时，，则当时，，利用导数研究函数的单调性和最大值即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以当时，， 当时，，所以， 令有：或，由或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，令，即， 解得或，所以，    要使当时，，只需，即， 故答案为：. 题型09 函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　 39．（2026·上海·模拟预测）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，定义域关于原点对称，，为偶函数，故A选项错误； 对于B选项，，，为非奇非偶函数，故B选项错误； 对于C选项，为偶函数，故C选项错误； 对于D选项，为奇函数，故D选项正确. 40．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 41．（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性，单调性即可求解. 【详解】对于A，为指数函数， 是非奇非偶函数且在定义域内单调递减，故A选项错误； 对于B，，故为偶函数， 当时，， 由对数函数性质可知在内单调递增，故B选项正确； 对于C，为正切函数，是奇函数， 由正切函数性质可知在区间上单调递增，但在定义域内不具有单调性， 如，，但，故C选项错误； 对于D选项，，， 因为，所以为奇函数， 根据幂函数的相关性质得在定义域内单调递增，故D选项错误. 42．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在区间上的单调性. 【详解】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 43．【多选】（2026·江西·模拟预测）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性定义计算判断结合幂函数的奇偶性判断求解. 【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为， 因， 故为偶函数，为奇函数， 而为奇函数，为偶函数，A,D错误，为偶函数，为奇函数，B，C正确； 题型10 已知函数的奇偶性求函数值 利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解； 44．（2026高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 45．（2026高一·浙江·期末）若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的奇偶性，求出时的解析式，代入求值，即得答案. 【详解】由于函数是奇函数， 故时，，则， 故， 故选：B 46．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，且当时，，则______． 【答案】26 【分析】解法一：根据奇函数的定义域为及可得，再由可得结果；解法二：根据奇函数的定义域为及可得，再由奇函数的定义求出在的解析式，从而计算出结果. 【详解】解法一：因为奇函数的定义域为，所以，得， 所以． 解法二：因为奇函数的定义域为，所以，得， 当时，，所以， 所以． 故答案为：26. 47．（2026·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，. 故选：C 题型11 局部奇偶函数 已知奇函数，，则 （1） （2） 48．（2026高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于______________． 【答案】－16 【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果. 【详解】令， 则， 由得， 由得，所以，则 所以， 故答案为：－16． 49．（2026高一·北京·期中）已知函数，且，则_____________． 【答案】 【分析】令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出. 【详解】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又， 所以. 故答案为： 50．（2026高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则__________. 【答案】2 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 51．（2026高一·广东佛山·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】化简可得，令， 易知，所以为奇函数， 则. 故选：B 题型12 已知函数的奇偶性求解析式 利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式； 52．（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 53．（2026高一·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 54．（2026高一·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 55．（2026高一·山西·期中）若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为___________． 【答案】2 【分析】代入得出.然后根据的奇偶性及其性质化简得出.与已知联立得出的表达式，即可得出的表达式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，，， 所以有. 又， 两式相加化简可得，. 两式相减化简可得，. 所以，. 解可得，或. 所以，函数的零点个数为2. 故答案为：2. 题型13 已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．　 56．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 57．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可 【详解】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称， 令，因为，所以为奇函数. 此时，则， 若为奇函数，则，即， 因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即. 若，则,,则为奇函数. 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 58．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 59．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，所以，， 所以，即， 所以且，故. 60．（2026·福建福州·模拟预测）若函数为奇函数，则____． 【答案】1 【详解】函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数， 所以，，， 所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得. 61．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 题型14 应用奇偶性画函数图象 应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． 2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 62．（2026高一·甘肃庆阳·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 63．（2026高一·四川广安·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 64．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 【答案】(1)作图见解析； (2)递减区间为； (3). 【分析】（1）根据奇函数求解析式，结合图象关于原点对称，画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. 【详解】（1）由题图及是R上的奇函数， 若，则，故， 由，故，函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 65．（2026高一·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 题型15 利用函数的奇偶性求最值 利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 66．（2026高一·上海宝山·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用偶函数及单调性的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数， 若在上为严格增函数，则在上为严格减函数， 因此在上的最大值为； 若在上的最大值为，不能得到在上为严格减函数， 如函数是上的偶函数，在上的最大值为， 而在上不单调，因此不能得到在上为严格增函数， 所以“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的充分非必要条件. 故选：B 67．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 68．（2026高二·湖南衡阳·期末）若为定义在R上的奇函数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 【答案】B 【分析】利用奇偶性化简即可得解. 【详解】由为定义在R上的奇函数，得， 则，解得， 则的最小值为． 故选：B 69．（2026高二·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则________. 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 70．（2026高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为__________． 【答案】 【分析】构造函数，由其为奇函数即可求解； 【详解】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 题型16 由函数周期性求值 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. (3) 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 关于直线x＝a与x＝b对称或 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称或 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称或 2|b－a| 奇函数，关于对称或 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称或 4a 偶函数，关于对称或 4a 4a f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x+1)=f(x)-f(x-1) 6 71．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 72．（2026高三·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【分析】首先根据偶函数的定义结合已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以 73．（2026·河北唐山·模拟预测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用偶函数性质得，得. 周期，，因此. ，且， 则 因此. 74．（2026·山东东营·模拟预测）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 75．（2026·河北衡水·模拟预测）若偶函数满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知的一个周期为2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解. 【详解】因为，用代替得， 即，又因为函数为偶函数，则， 则，所以的一个周期为2， 因为，且， 当时，，则. 题型17 由函数周期性求解析式 1. 设目标区间内自变量，加减整数倍周期，平移至已知解析式区间； 2. 由周期性，代入已知区间表达式化简； 3. 分段写出不同周期区间对应的解析式，多用于周期分段图像类问题。 76．（2026·上海静安·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 77．（2026高一·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 【答案】 【分析】当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 78．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 79．（2026高三·河北石家庄·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用周期函数定义证明即可； （2）当时，可得出，再由可求得解析式； （3）计算出的值，再利用函数的周期性即可解出. 【详解】（1）∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. （2）∵，∴. 当时，， 此时. （3）当时，；当时，. ∴， ∴，又函数的一个周期为4， ∴ . 题型18 自对称中的轴对称 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 80．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案. 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 81．（2026高三·河南·期中）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由函数定义域的对称性解得，再由特值法得的方程求解验证即可. 【详解】由题意知，且， 因为函数的图象关于直线对称， 则是方程的根， 故，解得，则. 又由得，,解得. 故，即， 验证：函数的定义域为，且， 且， 故函数的图象关于直线对称，满足题意. 则. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是由题意得，从而利用对称轴得到，进而得到是方程的根，由此得解. 82．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明：由（1）知，，恒有， 若，则，，而，因此； 若，则，，，因此， 综上，可得. 【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式. （2）由（1）的结论，按分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证. 【详解】（1）函数，因函数的图象与的图象关于直线对称， 则， 故函数的解析式为. （2）略 83．（2026·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 题型19 自对称中的中心对称 函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 84．【多选】（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 【答案】ABC 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 85．（2026高三·海南省直辖县级单位·期中）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 86．（2026高一·广东阳江·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则______． 【答案】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 题型20 互对称问题 互对称指两个不同函数图像相互对称，分三类： 1. 与关于轴对称； 2. 与关于轴对称； 3. 与关于直线对称； 解题：利用对称变换规则写出另一函数解析式，结合图像交点、值域求解。 87．（2026高三·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 88．（2026高三·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，得到函数的解析式，利用对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为； 所以，得， 因为，所以，得. 故选：A. 题型21 双重对称问题 1. 两条轴对称：关于对称周期； 2. 两个中心对称：关于对称周期； 3. 一条轴+一个中心对称：同时具备轴对称、中心对称，函数必为周期函数； 解题：先推导周期，再结合周期、奇偶转化自变量求值、求零点。 89．（2026高三·山东日照·阶段检测）已知函数，的定义域均为，且 ， ．若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算26项的总和，判断D. 【详解】  ①，  ②， 关于对称，故  ③， 从②式换元得，代入①式得：， 代入③式的，得： ， 换元得：  ④，再将 得，联立得，即周期为4， 对应也满足，周期也为4. 选项A：即，但由式④， 得，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，由得， ，故C错误； 选项D：由得，又，故，解得，，， ，. 一个周期和为：，从到共6个完整周期（24项）， 剩余，，总和为： ， 故D正确. 90．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两个函数关系式消去，推导得出的对称轴，结合偶函数性质推出函数周期，利用周期性和对称性求出，再代入关系式求出，最终计算目标值. 【详解】由得. 又因，则有， 即，故函数的图象关于直线对称. 又是偶函数，其图象关于直线对称. 故的一个周期为. 由得. 在中令，得. 由得. 因此. 91．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【答案】99 【分析】先利用函数的对称性找到等式关系，再用赋值法得到，从而求出. 【详解】因为 关于点 对称，所以, 即， 因为 关于点 对称，所以, 因为 ，所以 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 因此， 在，令，得， 因此. 92．【多选】（2026高二·湖南长沙·期中）已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．函数图象关于点对称 C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】先根据为奇函数推出的对称中心，再结合与的关系分析的对称性、周期性、进而判断各选项. 【详解】A选项中，因为为奇函数，所以， 则，故A正确， B选项中，由A选项可知，，， 所以，即， 所以关于点对称，又的图象关于对称， 所以的对称中心为，，不是，故B错误， C选项中，由A项得关于对称，即，， ，，因为的图象关于对称， 所以，又，所以， 所以，即， 所以关于对称，即， 因此，， 所以，故C正确， D选项中，因为，所以， 又，所以，则， 所以，则的周期为4， 所以，又因为， 所以，所以，故D正确． 题型22 函数对称性的证明 1. 证轴对称：任取图像上一点，证明其对称点也满足函数解析式；即证； 2. 证中心对称：任取图像上一点，证明对称点在图像上，即证； 3. 抽象函数证明：通过赋值构造与的等量关系完成证明。 93．【多选】（2026·安徽合肥·模拟预测）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的对称性求解判断即可. 【详解】对于A，，满足，图像关于中心对称，故A满足； 对于B，是偶函数，关于轴对称，故B错误； 对于C，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为， ，所以函数图像的对称中心为，故C满足； 对于D，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为1， 所以函数图像的对称中心为，故D满足． 94．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数， . (1)求证：曲线的图象是一个中心对称图形，并求对称中心； (2)若，求过曲线上一点的切线方程； (3)用表示、中的最小值，设函数 ()，讨论的零点的个数. 【答案】(1)； 证明：设的对称中心为，则对，， ∴ ， ∴，∴， ∴曲线的图象是一个中心对称图形，对称中心为； (2)， (3)当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，函数有三个零点. 【分析】（1）设的对称中心为，根据求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义，求出切线方程，再代入求解即可； （3）由时，得在零点；当时，若，则，可判断出是函数的一个零点；若，则，可判断出不是函数的零点；当时，只考虑在内的零点个数即可，然后分或、，利用函数的单调性可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵，∴， 设切点为，则切线方程为 将代入得， 整理得，即，∴或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即. （3）（ⅰ）当时，，函数 ∴在时无零点. （ⅱ）当时， 若，则，， 故是函数的一个零点； 若，则，， 故不是函数的零点； （ⅲ）当时，，因此只考虑在内的零点个数即可. ①当或时，在内无零点， 因此在区间内单调而，， ∴当时，在区间内有一个零点， 当时，在区间内没有零点； ②当时，函数在内单调递减，在内单调递增， ∴， 若，即，则在内无零点. 若，即，则在内有唯一零点. 若，即，由，， ∴当时，在内有两个零点， 当时，在内有一个零点. 综上可得：当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，函数有三个零点. 95．（2026·吉林延边·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：函数的图象是中心对称图形； (3)若函数为减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)解：由函数， 可得， 所以 ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. (3) 【分析】（1）当时，求得，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，求得，即可得证； （3）求得，转化为在内恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，可得， 又由，可得， 所以函数的图象在处的切线方程，即. （2）略 （3）解：由，其定义域为， 且， 因为函数是减函数，所以在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，不等式可化为， 即， 当时，恒成立，此时； 当时，， 令，则，因为且，即且， 则， 令， 令，则，， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为，则的最小值为， 因为恒成立，所以，即实数的取值范围为. 96．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，函数. (1)当时，函数为减函数，求实数的最小值; (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)当时，证明：方程有三个不等实根. 【答案】(1) (2)令 ，解得，则函数定义域为， 因为 ， 所以关于点中心对称，即曲线是中心对称图形. (3)当时，， 当时，， 令，则， 则函数在区间上单调递减， 而，，可得， 由零点存在性定理得存在使得 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，则，， 而，可得方程在区间上有一解， 由曲线的对称性知，方程在区间上也有一解， 故方程在区间上有三解. 【分析】（1）将原函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再求出，进而建立不等式求解参数范围，最后得到最值即可； （2）利用函数的对称性证明即可； （3）利用导数结合零点存在性定理得到的零点，进而得到的单调性，最后再结合零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当 时，记， 其中，则， 因为函数为减函数，所以恒成立 因为，当且仅当时等号成立，故， 而 成立，可得，解得，故 的最小值为 . （2）略 （3）略 题型23 函数对称性的应用 1. 求值：利用对称点函数值和为定值，快速计算多个自变量函数值之和； 2. 零点求和：成对零点关于对称轴对称，每组零点相加等于两倍对称轴横坐标； 3. 解不等式：利用对称把未知区间自变量转化到已知单调区间； 4. 结合周期：双重对称推导周期，化简大自变量。 97．（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质和已知条件推出函数的周期，再利用周期性和奇函数性质求出的值，最后求出的值. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且， 又，即，则关于对称， 所以，所以，则， 所以，即的周期为， 所以， 所以. 98．（2026高一·贵州黔东南·期末）已知函数，且，则的所有零点之和为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为与的图象在和上各有2个交点，数形结合及对称性求零点的和即可. 【详解】因为，由，得， 函数与的图象都关于直线对称， 且与的图象在和上各有2个交点，如下图所示： 所以在和上的所有零点之和为. 故选：B 99．（2026高三·河南·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合导数确定函数的单调性及零点个数，再利用对称性求出零点和. 【详解】函数，由，得或， 而，则， 即是函数图象的对称中心，， 函数在上单调递减，而在上单调递增， 则函数在上单调递减，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，当从大于2的方向趋近于2时，， ，则函数在上有唯一零点， 由对称性知函数在有唯一零点，两个零点和为2， 所以函数的零点之和为2. 故选：B 题型24 函数性质的综合应用 综合题解题顺序： 1. 先梳理已知全部性质：奇偶、单调、周期、对称； 2. 多重转化：利用周期、对称将自变量统一到同一个单调对称区间； 3. 脱去符号：借助单调性转化为普通不等式； 4. 兼顾定义域约束，联立求解参数、范围、函数值、零点相关问题； 核心思路：数形结合，画出简易图像辅助分析性质叠加关系。 100．【多选】（2026高二·浙江宁波·期末）定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（     ） A．函数为偶函数 B．函数为周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点 【答案】ABD 【分析】根据已知及奇偶性的定义判断A，再由已知及偶函数性质判断B，最后利用奇偶性、周期性研究函数的对称性和零点判断C、D. 【详解】因为是偶函数，所以， 因为，所以， 将 替换为，得， 结合，可得，即， A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确， B：由，可得， 所以函数是周期为的周期函数，正确， C：由（关于 轴对称）和周期为， 因为，所以，而， 因此， 则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误； D：在中，令，得， 因为是偶函数，所以，代入得，解得， 结合周期为，可知均为， 同理，由，可知也为， 在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个， 因此至少有个零点，正确. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $