甘肃兰州市新区教育片区联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学学科 参考答案与解析 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 C 0 B C D 【部分试题详细解析】 T 由+2y+1-0,可化为y=x+小，显然其与直线)-2x-3垂直，示意图如下： 由图，当平行于y=2x-3的直线与f(x)相切，且M恰好为切点时，lMN最小， 由'(x)=e,令f(x)=2→e*=2→x=n2,则f(n2)=2,即切点为(ln2,2), 所以x+2y+t=0过切点M(ln2,2),则n2+4+t=0→t=-4-hn2 Ts 设圆柱o0的底面半径为，则其侧面积s=2o12,解特=32 4 连接0D则OB=OB==3V2 所以oM=BM-OB=万-5-5，易知DE1BC 所以MB=√OE2-OM 3√2 2 4 以B为坐标原点，平面BEM内过点B且与BC垂直的直线为轴，BC所在直线为，轴，AB所在 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),A(0,0,1),E1,√2,0，M(0,V2,0), 所以BA=(0,0,1),BE=(1,V2,0,AM=(0,√2，-1)， 数学参考答案及评分标准第1页共8页 ii.BA=0 设平面ABE的法向量为=(x,,z),则 .BE=0’ 0 [z=0 即 x+2v=0'则2=0，取1，得元=(5-10). 设直线4M卢平面ABE所成角为6， 、O、 Bs:---- E 则sin6=cos(AM,m= V3x53 即直线AM与平面ABB所成角的正弦值为y 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD BC AC 【部分试题详细解析】 T1当x≤0时，f=(2-x+,所以f'()=-(++(2-×2+1)=3x+1-)】 所以(-1)=0，故A正确： 由f()>0可得-1<x<0;由f()<0可得x<-1.所以f(x)在(1,0)上单调递增，在(0，.-1)上单 调递减，且f(-1)=0,所以函数f(x)在(-∞，0]上只有x=-1一个零点.根据∫(x)是定义在R上的 偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如下： 由图可知，函数f(x)有x=-1和x=1两个零点，故C正确： 设x0,则-x<0,因为函数f()为偶函数，所以f(y)=f(-x)=[2-(←x)](←x+1=(x+2)(-1, 故B错误： 当0<时，six∈(0,1)，所以0<sinx<sinx<1,因为函数f()在(0,1)上单调递减，所以 f(sinx)<f(sinx),故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 数学参考答案及评分标准第2页共8页 题号 12 13 14 答案 64 2-3 【评分说明】14题第一空2分，第二空3分。 【部分试题详细解析】 设函数f(x)的最小正周期为T由题意可知0： 因为函数fx)在0， 2 上单调递增，则子，即T≥x, 可得π≥元，解得4≤2，且aez,0则4=1,2 解法一：因为函数f(x)=2sin(m+)为偶函数， 则0=kπ+，keZ,且0≤0<2m,则k=01,9=元3证 Γ2’2 若0分则f=2nm+引=2am=2oa. 即f(x)=2cosx或f(x)=2cos2x,不符合题意， 若a证.则=2ma+ -2coscx=-2cos(lax), 即f(x)=-2cosx或f(x)=-2cos2x,符合题意： 且-2s-1或-2as-2o+到-2cl 3 综上所述：0=1 解法二：因为f(x)=2acos(a+0), 若两数/为钱函数，则了0)-2as0-0,即o00且0<9s2江，则9=要 若a=子，则J(-2smm+}=2cwm=2cos4,了=-24n(a4, 即了)-2<0或)-4sn2x<0在0到内恒成立， 可知函数在0)上单调递减，不符合题意。 若0经.则f=2anam+}=-2aam=-2coa,f=2asna4. 即了)-2imr0或/)=4sm2x>0在(0写到内恒成立， 可知函数()在0习上单调递增，符合题意。 且f）21成-2-u到 2cg1: 数学参考答案及评分标准第3页共8页 综上所述：( 解法三： 因为函数f()=2si血(+0)为偶函数，且函数f(y在[0，上单调递增， 可知了)在x=0处取到极小值，则0=2kπ，5∈Z,且0≤0<2x, 则k=0-,则f-2m云+） 2 =-2cosax =-2cos(ax), 即f(x)=-2cosx或f(x)=-2cos2x,符合题意； 且)-2cw号-1或）-2ag2or+-2o昏-1 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)(6分) 解：分层抽样中，长时研学人数为25×工=5人， (2分) 35 短时研学人数为10×2人， .（2分) 选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率为p=xc_12_4. (2分) -357 (2)（7分) 零假设H。:学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长无关， (2分) X72-106x0.15x10 22.161>7.879' (2分) 40×60×35×65 所以零假设H不成立。 (1分) 依据0.005的独立性检验， (1分) 能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关…(1分) 【本大题列式正确但结果错误均扣1分】 16.(15分) (1)f)=hx-2x+1,定义域为(0，+)则f()=号 x21 (2分) 当x∈(0,2)时，f"()>0,当x2,+o时，f"()<0,… (2分) 故f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+∞）上单调递减，…(2分) 故f()在2时取到极大值f(2)=血2，无极小值： .（2分) 2)因f)-3故=r@1号 22’ (2分) 1 f(①)=皿-号+1=)，…(2分) 数学参考答案及评分标准第4页共8页 故切线方程为：号-小， .（2分) 整理得：x-2y=0..（1分) 【本题第一问列表求极值也可】 17.(15分) (1)(6分) P D 证明：连接AC,交BD于点O,连接OE,由ABCD是菱形，得O为AC的中点，…(1分) 而E为AP的中点，则OE/PC,.........(2分) .OEC平面BDE,PC平面BDE,......(2分)【此处缺少条件扣1分】 所以PC/平面BDE..(1分) (2)(9分)解：由PHL底面ABCD,得e4Dam∠4D-A-}6m4D-2, (2分) 则sin∠BAD=1,即∠BAD=90°，于是菱形ABCD为正方形， (1分) 以点A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(6,0,0),C(6,6,0),D(0,6,0),P(0,0,6)， PC=(6,6,-0,由PF=2C,得PF-PC=4,4-4④，则F4,4,2), BD=（6,6,0),BF=(-2,4,2),PD=(0,6,-6),.（1分) i.BD=-6r+6y=0 设平面BDF的法向量为n=(x,y,z), mBF-2x+4+2z=0'令x=1,得 n=(1,1,-1),…(2分) 设平面PcD的法向量为m=(a,b,c),则 mPC6a+60c0令b=1,得m=o,(2分) m PD=6b-6c=0 显然.m=0,所以平面BDF与平面PCD的夹角为90°.......（1分) 数学参考答案及评分标准第5页共8页 【此处未下结论扣1分】 18.(17分) (1)(7分) 解：依题意，X2的可能取值为1,23,4，其中P(X2=1)=p2= (1分) 则P(X2=2)=p(1-p)+(1-p)p2=p-p3- ，.…（1分) P(=3)=(1-p)xc×p×(1-p)=2p(1-p)2=多 .(1分) P=4)=(1-p)3=7 .(1分) 所以，随机变量X2分布列为： (2分) X2 1 2 3 4 10 4 P 9 27 27 27 则E0x)=1×号+2×号+3×号+4×分=号 27 (1分) 91 (2)(4分) 解：因为n(n∈N*)个周期结束后共有2个细胞， 所以，必在某一个周期结束后分裂成2个细胞....(1分) 不妨设细胞在第k个周期时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞， 此事件概率为P2k=pk-1×(1-p)×(p2)m-k=(1-p)×p2n-1-k,…(1 分) 所以P(X=2)=P21+P22++P2n=∑X=1(1-p)·p2m-1-k =(1-p)p2m-1p1-k=p1-1.(1-p)(2分) (3)(6分) 证明：因为n(n∈N*)个周期结束后共有3个细胞， 设细胞在第k个周期时分裂为2个新的细胞， 这两个细胞在剩下的(n-k)个周期中，其中一个分裂为2个细胞， 另一个一直保持分裂为1个细胞， 此事件的概率为： P3k=pk-1.(1-p)·C2pn-k.P2(n-k)=pk-1.(1-p)·2·pn-k,pn-k-1.(1-pn-k) 得P3k=2p2n-2.(1-p)pk-2p3m-2.(1-p)p2k, ...（2分) 则PXm=3)=P31+PA32+…+Pm=2p2m-2.(1-p)∑g1pk-2p3m-2.(1-p)· 数学参考答案及评分标准第6页共8页 ∑1p2 =2p0-11-p0-1)1-p四=2p”p-p”)-1-p9 1+p (1+p)p2 .（1分) 其中p∈(（，1)，pe(0,1), 令x=p”,P(Xn=3)=2xp-1-9<2x(1-1-9 (1+p)p2 (1+p)p2 记f(x)=x(1-x)2,f'(x)=(1-x)(1-3x), (1分) 令f'(x)=0,得x=3 当x∈(0，)，f'(x)>0,f)单调递增： 当xE(（,1,f'(x)<0,fx)单调递减， 则f(xmax=f(（)=多 .（1分) 所以P(Xn=3)<274+pP 8 8 27p2 (1分) 19.(17分) (1)(6分) 解：设M表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到A,第三次抽到C}, 由题意得第一、二次抽到A的概率依次为、子第三次抽到C的概率为， ..（2分) 所以P(W0=x号x写 (1分) 又因为最后一次抽到C的情况有抽了1次)、抽了2次)、抽了3次}、抽了4次)， 除了最后一次，其它抽到A, …(1分) 则对应概率依次为好×号是、品×号××号0 6 5-1401 ....（1分) 所以该顾客最后一次取到的是写有C的卡片的条件下，他共抽了3次的概率为：。 1 ,1 5 56 …（1分) (2)(i)(5分) 这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序，有A姓=24种情况，....（1分) 要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情沉： ①最适合灯迷是第3个，其它的随意在哪个位置，有A3=6种情况；.(1分) 数学参考答案及评分标准第7页共8页 ②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第1个或第2个，.(1分) 其它的随意在哪个位置，有2A?=4种情况， …（1分) 综上所达，所求概率为=吕…(1分) (i)(6分) 记事件A表示最适合灯谜被摘到，事件B:表示最适合灯谜排在第i个， 则P(B)=是 由全概率公式知：P(4=二P(AB)P(B)=二1P(4B),(1分) 当1≤i≤k时，最适合灯谜在前k条中，不会被摘到，此时P(AB)=0;.(1分) 当k+1≤i≤n时，最适合灯谜被摘到， 当且仅当前1-1条灯谜中的最适合那条在前k个之中时，此时PB,)=奇 所以P(A)=(+车1++名)=点n是 令g(w=ln2>0),则g'(w=ln2-是 由g(x)=0,得x=2 当x∈(0,2时，g'(x)>0;当xe台，m时，g'(x)<0, 所以g(x)在(0，上单调递增，在(，n)上单调递减，…(2分) 则g(x)mx=g白= 当k=时，P(A)=1n取得最大值， 所以P的最大值为，此时t的值为…(2分) 数学参考答案及评分标准第8页共8页■■ 2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学学科答题卡 姓名： 准考证号 学校： [0] [0] [0] [0] [0][0][0] [0][0] [0][0] [1] [1] C1] C1] [1] C1] C1] [1] C1] [1] [1] 班级： [2] [2] [2] [2] [2] [3] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 座号： [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9][9] [9][9] [9][9][9] [9] [9] [9] [9] .选择题(40分) 1[A][B][C][D]3[A][B][C][D]5[A][B][c][D]7[A][B][C][D] 2[A][B][c][]4[A][B][c][D]6[A][B][c][D]8[A][B][C][] ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 二选择题(18分) 9[A][B][C][D]10[A][B][C][D]11[AJ[B][c][D] ■■■■■ 三填空题(15分) 13 13 14 四解答题(77分) 15(13分) I口■ ID:4143600 第1页共 16(15分) 17(15分) 2页 ■ 清使用2B铅笔填涂选择题 18(17分) 口■▣ ID:4143600 第2页共 答案等选项及考号 19(17分) 2页 ■2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学学科试卷 一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上： 1.若向量a=(2,2,3),b=(-1,2,1),c=(01,1),则a(6+c)= A.5 B.8 C.10 D.12 2.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将相应的相关系数进行比较，正确的是() 20F 20 20· 20 16 6 16 12 12 8 8 8 4 048121620 048121620 048121620 048121620 相关系数 相关系数2 相关系数r3 相关系数r4 A.1<3<4<2 B.3<1<2<4 C.1<3<<4 D.3<1<4<2 3.己知函数f(x)的导函数为f(x),若 f2)-f2+△=-3，则f(2)= △X→0 △X A.-3 B.-2 C.2 D.3 4.某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩x（单位：次)近似服从正态分布v☑60，)且 P(120<X160)=0.45,则该校2000名学生中约有多少人一分钟跳绳超过200次.( A.100 B.150 C.200 D.250 5.根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为-b+10.3,则b为( x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 A.-0.6 B.-0.7 C.-0.8 D.-0.9 6.某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是2,3，假设在两处 2 遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为 ( A.1 B.1 C.5 D.Z 3 12 12 7.已知直线x+2y+t=0与函数f(x)=e的图象交于点M,与直线y=2x-3交于点N,当MW 最小时，t= () A.子2 B.2 +hn2 C.-2-n2 D.-4-ln2 8.如图，AB为圆柱OO的一条母线，BC是下底面圆的直径，弦DB与BC交于点M.已知 高二数学 第1页 (共4页) 圆柱的高为1，侧面积为35若BM=5,且M恰为DE的中点，则直线A卢平 2 面ABE所成角的正弦值为 () 0 D B E A.② B.3 C.v6 3 D.号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.下列结论正确的是 () A.经验回归方程12-0.3x中，当x增加一个单位时，平均增加0.3个单位 B.相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C.随机变量X服从二项分布B兮)， Y=2X+1,则D(Y)=3 D.随机变量X服从正态分布5，a),且P2<X<=a,则r(xX>8)=a 10.在空间直角坐标系中，已知点41,2，-1)B0,1,1).下列结论正确的有（） A.AB=4 B.OA.OB-1 C.若=(4,2，且1AB则3 D.若=(1,1，且mAB则2 11.f(x)是定义在R上的偶函数且当x≤0时，函数f(x)=(2-x)x+)2,则() A.f'(-1)=0 B.当x0时，f(x)=(x-2)-1)2 C.f(x)恰有2个零点 D.当0<时，f(sinr)>f(sinx) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量5~B(,p),若E(5)=16,D(5)=12,则n= 13.设离散型随机变量x的分布列如表，则1≤X≤2”的概率为 X 0 1 P 1 1 3 4 高二数学 第2页 (共4页) 14.已知f)=2sn(c+)(ae乙，0≤0<2)是偶函数，在区间0上单调递增.则 2兀 3 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某市开展航天科普进校园”系列研学实践活动，为了解研学活动参与时长与 学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们 的研学累计参与时长（规定：累计参与时长6课时为长时研学，<6课时为短时研学）与 科创竞赛获奖情况，得到如下2×2列联表： 科创竞赛 研学时长 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 (1)从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随 机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲 会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率： 2)依据0.005的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有 关 n(ad-be) 附：x=(a+bc+d)(a+cb+d 其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分)已知函数fx)=nr- x+1. (1)求函数f(x)的极值： (2)求在点（包，f()处的切线方程. E 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底 面ABCD是菱形，E是PA的中点. (1)证明：PC/平面BDE. (2)若PA=AB=6,四棱锥P-ABCD的体积为72，且PF=2FC, 高二数学 第3页 (共4页) 求平面BDF与平面PCD的夹角. 18.(17分)现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期T内分裂一次，一个细胞 每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成 一个新细胞的概率为2'分裂成两个新细胞的概率为12：新细胞在下一个周期？ 内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周 期r内开始分裂，记n(nEN*)个周期结束后，细胞的数量为X,其中pe(,1) (1)若，求x的分布列和数学期望： (2)求p(Xm=2): (3)求证：PX=3)0 19.(17分)“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文 化传统，发展地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动 (1)某商户借灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B,C两类，抽到较易的 B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠抽取灯谜 规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母， 3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片， 若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，问：已知 该顾客最后一次取到的是写有C的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率 (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前 走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不 相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不 摘前I≤k<0条灯谜，自第+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的， 就摘这条灯谜，否则就摘最后一条设k=,记小明摘到那条最适合的灯谜的概 率为P (i)若=4，=2求P; (i)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的 值.（取2+++=加 高二数学 第4页 (共4页)