精品解析：甘肃庆阳市环县第四中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

环县四中2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面是离散型随机变量的是（ ） A. 电灯泡的使用寿命 B. 小明射击1次，击中目标的环数 C. 测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D. 一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 【答案】B 【解析】 【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可. 【详解】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意； 对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意； 对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意； 对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】由，可知其对称轴为：， 又， 所以， 由对称性可知：， 故选：C 3. 一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 4. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 6. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 7. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为. 故选：D. 8. 在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于经验回归方程，以下判断正确的是（ ） A. 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 【答案】BCD 【解析】 【分析】由经验回归方程斜率可得A；由经验回归方程必过样本中心点可得B；由经验回归方程性质计算可得C、D. 【详解】对于A选项，由，故变量x与变量y负相关，所以A项错误； 对于B选项，经验回归方程必过点，所以B项正确； 对于C选项，根据经验回归方程，可预测变量时，变量，所以C项正确； 对于D选项，在回归方程中，当变量x减少一个单位时， y平均增加2个单位，所以D项正确. 故选：BCD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知随机变量满足，，则 C. 已知随机变量，满足，，则 D. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用条件根概率公式计算判断A；利用方差的性质计算判断B；利用数学期望的性质计算判断C；利用古典概型概率公式计算可判断D. 【详解】A选项，由，有，A选项正确； B选项，，∴，，故B选项错误； C选项，∵，∴，，C选项正确； D选项，从7个数中任取3个数，则基本事件总数为，而这3个数的中位数是4的基本事件数为，故这3个不同的数的中位数为4的概率为，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 恒成立 D. 恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的导函数，设，利用导数研究的单调性，最值，判断C，再确定的极值判断A，利用证明由此判断BD. 【详解】函数的定义域为， ， 设，则， 当时，，函数，即在上单调递减， 当时，，函数，即在上单调递增， 又，所以C错误； 又，所以存在，使得，又， 所以当，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值， 所以函数有两个极值点，故A正确； 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又， 所以当时，，当且仅当时取等号， 所以当时，，当且仅当时取等号， 所以函数只有一个零点，恒成立，B错误；D正确； 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 【答案】 【解析】 【分析】借助相关系数的性质计算即可得. 【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 且， 所以H组数据的线性相关性最强. 故答案为：. 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可. 【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：. 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式列出方程求解. 【详解】由，得；由，得，而， 由，得， 即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AI所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AI第一次引起人类的恐慌．由novalAI，DALL-E2等软件创作出来的绘画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异．AI会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？ 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）列联表如下： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 6 30 总计 42 18 60 （2）年龄与理解情况无关【解析】 【分析】（1）依据题意直接计算即可； （2）计算卡方判断. 【小问1详解】 完成列联表如下： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 6 30 总计 42 18 60 【小问2详解】零假设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关， 由题意，． 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断成立． 即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010． 16. 甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响． （1）若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用甲至少投中次的对立事件，即可求出概率； （2）分析甲比乙恰好多次命中的两种可能情况：甲命中次且乙次，或甲命中次且乙次，各自用独立事件的概率乘法求出后相加. 【小问1详解】 甲连续投篮次，“至少投中次”的对立事件是“两次均未投中”， 甲投不中的概率为，连续两次未投中的概率为， 故至少投中次的概率为. 【小问2详解】 甲投中的次数比乙投中的次数恰好多包含两种互斥情况， 第一种：甲投中次，乙两次未投中， 甲投中次可能为第一次命中或第二次投中，故其概率为， 乙两次未投中的概率为， 此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率； 第二种：甲投中次，乙投中次， 甲连续投中次的概率为， 乙投中次的概率为， 此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率； 甲乙相互独立，故甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接， 在菱形中，，，所以， 在中，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得逆定理及线面垂直判定定理证明平面，再结合菱形的对角线性质及线面垂直判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理即可证明结论； （2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求分别得平面与平面的法向量，再结合夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记，连接， 由点是棱的中点，且点是的中点，所以， 又由（1）知平面，所以平面， 则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 因为是的中点，且， 所以， 所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. （1）若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率； （2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作，，抓娃娃机各一次； 方案二：操作抓娃娃机三次. 假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 【答案】（1） （2）选择哪种方案都一样.理由：选择方案一：X可能的取值为0，20，40，60，              ， ，       ， 所以， 所以 若选择方案二，设他所获奖品的总件数为Z，则，          ，，，           因为，所以选择方案一和方案二一样． 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式代入计算； （2）列出随机变量的分布列，计算方案一的期望，由二项分布期望公式代入计算方案二的期望，再比较大小可得. 【小问1详解】 记小张分别操作，，抓娃娃机能中奖为事件A，B，C， 则，，，，，．     因为每次的结果互不影响，所以小张分别操作，，抓娃娃机能中奖的概率为：． 【小问2详解】 略 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明如下; 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 要证，即证， 只需证明，即证， 令，则需证， 令， 求导， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以， ∴. 【解析】 【分析】（1）求导，令，解得，进而可求得极小值； （2）令，求导，利用分类讨论求得的取值范围； （3）利用已知条件求得，利用分析法可知需证，利用换元法，进而构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，可得， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 当时，所以， 函数在单调递增，则， 所以不等式恒成立， 当时， ， 所以函数在单调递增，， 所以不等式恒成立， 当时，令，， 令，， 存在，使得，在，，则在上单调递减，， ，，则在上单调递减，， 即在，，则在上单调递减， 又，故不等式不恒成立， 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县四中2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面是离散型随机变量的是（ ） A. 电灯泡的使用寿命 B. 小明射击1次，击中目标的环数 C. 测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D. 一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.8 D. 0.9 4. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 5. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 6. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 7. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 8. 在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于经验回归方程，以下判断正确的是（ ） A. 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知随机变量满足，，则 C. 已知随机变量，满足，，则 D. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有两个零点 C. 恒成立 D. 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据. 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AI所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AI第一次引起人类的恐慌．由novalAI，DALL-E2等软件创作出来的绘画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异．AI会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？ 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 16. 甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响． （1）若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. （1）若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率； （2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作，，抓娃娃机各一次； 方案二：操作抓娃娃机三次. 假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $