专题02 不等式（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整理了不等式专题，涵盖等式与不等式性质、三个“二次”关系、基本不等式等核心考点，通过知识脑图搭建体系，分基础梳理与高阶思维分层突破，形成完整知识脉络。 清单采用分层设计与素养导向结合，基础层夯实性质与关系，高阶层突破含参分类讨论、多元配凑等难点，培养数学思维。设易错剖析模块标注忽视基本不等式条件等陷阱，提炼一元二次不等式“化正→判根→写解集”标准化流程，配备新题对点练和典例解析，助力学生自主复习，教师可精准把握重难点，提升备考效率。

专题02 不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等式性质与不等式性质 考点02三个“二次”之间的关系 考点03基本不等式 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 难点解读02基本不等式多元与非常规配凑 难点解读03恒成立与存在性不等式求参 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01基本不等式求最值 ▶重点突破・考法深研 重点01利用不等式性质判断命题真假 重点02基本不等式常规配凑求最值 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01一元二次不等式标准化解题 技法点拨02一元二次方程根的分布问题 技法点拨03基本不等式实际应用 技法点拨04不等式证明 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视不等式成立条件致错 易错点02忽视基本不等式应用的条件致错 易错点03解分数不等式忽略分母不为零致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式性质与不等式性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【新题对点练】（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 考点02 三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【新题对点练】（2026·天津河西·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，，则 考点03 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 【新题对点练】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 新高考中档高频难点，解题遵循固定讨论顺序：先讨论二次项系数正负与是否为0，再讨论判别式判定有无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集；参数变化直接改变解集形态，极易出现漏解、错解． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或，故选：C． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求的值． (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】（1）因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得：， 则原不等式为：， 即， 所以不等式的解集为， 从而得出， 所以. （2）由不等式得：， 因为，所以不等式变形得到：， 所以对应方程的根为：或， ①当时，即，不等式为， 此时不等式解集为：； ②当时，即， 此时不等式解集为：或； ③当时，即， 此时不等式解集为：或； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：或； 当时，不等式解集为：或. 难点解读02 基本不等式多元与非常规配凑 突破基础定值题型，考查消元法、齐次化、“1”的代换、拆项配凑、多次连用基本不等式；核心难点是构造和定、积定结构，同时验证等号成立条件，规避取不到最值的陷阱，是不等式压轴小题主考方向． 【典例1】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知，则的最小值为_________. 【答案】7 【解析】由题意，且 所以，则， 又， 令， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最小值为7. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】由题意，，故， 因为正数a，b满足，故. 令，则，， 故. 又，故当且仅当，即时， 取最大值. 难点解读03 恒成立与存在性不等式求参 新高考高频综合难点，常结合二次函数、分式函数综合命题，核心考查参数约束与最值逻辑．恒成立问题依托函数最值构建不等关系，二次型恒成立需结合开口方向与判别式双重判定，复杂题型可采用分离参数法求解．解题易混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑，分离参数时易忽略自变量正负，导致不等号方向出错、参数范围偏差． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【典例2】（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 素养进阶·答题技法突破 题型01 基本不等式求最值 考情定位：北京高考选填高频中档题型，极少考查复杂配凑，侧重基础最值求解与条件辨析，广泛服务于函数、解析几何、不等式恒成立求参数等综合题型，是核心解题工具． 核心考法：①利用和定积最大、积定和最小的标准模型求最值；②运用乘 1 法求解分式型二元最值问题；③将不等式恒成立问题转化为最值问题求解参数范围；④辨析等号成立条件，判断结论正误． 解题要点：解题必先验证 “一正二定三相等”；无定值则简单配凑构造定值；等号不成立时，切换函数单调性求解；避免多次放缩、重复套用不等式，防止取值范围失真． 【典例1】（2026·天津·高考真题）的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【解析】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 【典例2】（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【典例3】（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 重点01 利用不等式性质判断命题真假 核心解题要点：简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形． 高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关系． 【典例1】（24-25高三上·天津河西·阶段检测）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误，故选：C 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）设，若，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误；故选：D. 重点02 基本不等式常规配凑求最值 核心解题要点：无定值则主动配凑定值，常用拆项、补常数、调整系数；分式和式优先使用“1”的代换构造齐次定值结构；全程验证正数条件与等号可取性． 高频陷阱：忽略变量为负的情况；只凑定值不验证等号，导致最值取不到；多次连用不等式等号条件冲突． 【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【答案】C 【解析】由， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号.故选：C 【典例2】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 技法点拨01 一元二次不等式标准化解题 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测），不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，不等式可化为，解得， 所以原不等式的解集为.故选：C 【典例2】（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）设，则“”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】因为，则，又因为指数函数是单调递增的，所以， 又因为，所以，求解可得， 由不能推出，所以“”不是“”的充分条件， 由能推出，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要非充分条件.故选：A. 技法点拨02 一元二次方程根的分布问题 统一构造二次函数；两根同区间必联立、对称轴区间约束、端点函数值符号；单根跨区间只需端点函数值异号；含参先讨论二次项系数是否为0；解集借助数轴规避边界遗漏． 【典例1】（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以，解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：，解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：，解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 技法点拨03 基本不等式实际应用 解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解． 【典例1】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 【典例2】（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 技法点拨04 不等式证明 1、无附加条件的不等式证明：证明时要根据其结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形形式，这也是证明轮换对称结构的不等式（把b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫做轮换对称性，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路． 2、有附加条件的不等式的证明：应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到． 【典例1】（24-25高二下·河北·期末）设正数，满足．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：因为，，且， 所以，所以， 而， 因为，在上单调递增， 所以，即成立． (2)证明： ， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，，， 所以， 即． 【典例2】(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 易错点01 忽视不等式成立条件致错 辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）设、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，不妨取，，此时，不成立， 即“”“”； 若，则，所以，，即， 即“”“”. 所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 【典例2】（24-25高三上·天津·期末）设a则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时成立，但没有意义，及充分性不成立； 当则此时成立，即必要性成立．故选：B 易错点02 忽视基本不等式应用的条件致错 辨析：（1）利用基本不等式以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件． （2）对形如的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意，同号． 【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误.故选：C. 【典例2】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立．故选. 易错点03 解分数不等式忽略分母不为零致错 辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如． 【典例1】（2026·天津·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，解得，故， ，解得，故， ． 【典例2】（25-26高三上·天津蓟州·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将不等式移项可得：， 通分后得：，整理得：，即. 该不等式等价于，解得：.故选：A 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，解得， 即，结合， 可得,故选：C 2．（25-26高三上·天津河北·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由等价于， 所以“”是“”的充要条件.故选：C 3．（25-26高三上·天津·阶段检测）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确.故选：D. 4．（25-26高三上·天津·期中）正项等差数列中，，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．6 【答案】B 【解析】由等差数列性质可得，又、， 则， 当且仅当即、时等号成立； 故的最小值为.故选：B. 5．（25-26高三下·天津·开学考试）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立. 因此的最大值为.故选：B. 6．（24-25高二下·天津武清·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为0.25 C．若，则的最小值为2 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】D 【解析】令，则，所以又， 当且仅当，即时取等号，而不满足，A错误； 因为，当且仅当，即时取等号，故的最大值为，B错误； 因为，当，则，则的最小值不是2，C错误； 因为正实数满足，所以， 当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确．故选：D. 7．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 8．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【解析】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数，所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为.故选：B 二、填空题 9．（25-26高三上·天津河西·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】， 当且仅当且，即时等号成立. 10．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）若，，，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】，，， 则， 当且仅当，时取到等号． 即的最小值为6. 11．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）若正数x，y满足，则的最小值是_____________. 【答案】 【解析】正数x，y满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 12．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，,若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 13．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 14．（25-26高三下·天津津南·开学考试）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时，， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 三、解答题 15．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或；(2)；(3)答案见解析 【解析】（1）可化为，解得或， 故不等式的解集为或. （2）可化为，解得， 故不等式的解集为. （3）当时，可化为，解得； 当时，可化为，即， 方程的两根为， 当时，，可化为，解得； 当时，，可化为，解得或； 当时，，可化为，解得； 当时，，可化为，解得或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 16．（25-26高三上·天津河西·期中）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)；(2)（i）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． （ⅱ） 【解析】（1）由题意得，，1是方程的两根， 则，解得． （2）（i）若，则． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． （ⅱ）若，则． 令，则在上恒成立， 所以，即，解得或， 即x的取值范围为． $专题02 不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等式性质与不等式性质 考点02三个“二次”之间的关系 考点03基本不等式 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 难点解读02基本不等式多元与非常规配凑 难点解读03恒成立与存在性不等式求参 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01基本不等式求最值 ▶重点突破・考法深研 重点01利用不等式性质判断命题真假 重点02基本不等式常规配凑求最值 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01一元二次不等式标准化解题 技法点拨02一元二次方程根的分布问题 技法点拨03基本不等式实际应用 技法点拨04不等式证明 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视不等式成立条件致错 易错点02忽视基本不等式应用的条件致错 易错点03解分数不等式忽略分母不为零致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式性质与不等式性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【新题对点练】（2026·天津南开·一模）已知，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 考点02 三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 【新题对点练】（2026·天津河西·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点03 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)． 【新题对点练】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 难点解读01 含参一元二次不等式分类讨论 新高考中档高频难点，解题遵循固定讨论顺序：先讨论二次项系数正负与是否为0，再讨论判别式判定有无实根，最后结合两根大小关系、开口方向确定解集；参数变化直接改变解集形态，极易出现漏解、错解． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求的值． (2)若，求关于的不等式的解集． 难点解读02 基本不等式多元与非常规配凑 突破基础定值题型，考查消元法、齐次化、“1”的代换、拆项配凑、多次连用基本不等式；核心难点是构造和定、积定结构，同时验证等号成立条件，规避取不到最值的陷阱，是不等式压轴小题主考方向． 【典例1】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知，则的最小值为_________. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最大值为________. 难点解读03 恒成立与存在性不等式求参 新高考高频综合难点，常结合二次函数、分式函数综合命题，核心考查参数约束与最值逻辑．恒成立问题依托函数最值构建不等关系，二次型恒成立需结合开口方向与判别式双重判定，复杂题型可采用分离参数法求解．解题易混淆恒成立与存在性的最值选取逻辑，分离参数时易忽略自变量正负，导致不等号方向出错、参数范围偏差． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【典例2】（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 素养进阶·答题技法突破 题型01 基本不等式求最值 考情定位：北京高考选填高频中档题型，极少考查复杂配凑，侧重基础最值求解与条件辨析，广泛服务于函数、解析几何、不等式恒成立求参数等综合题型，是核心解题工具． 核心考法：①利用和定积最大、积定和最小的标准模型求最值；②运用乘 1 法求解分式型二元最值问题；③将不等式恒成立问题转化为最值问题求解参数范围；④辨析等号成立条件，判断结论正误． 解题要点：解题必先验证 “一正二定三相等”；无定值则简单配凑构造定值；等号不成立时，切换函数单调性求解；避免多次放缩、重复套用不等式，防止取值范围失真． 【典例1】（2026·天津·高考真题）的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【典例2】（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【典例3】（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 重点01 利用不等式性质判断命题真假 核心解题要点：简单命题可通过不等式性质直接推导；复杂多选命题优先特殊值代入快速排除；含变量不确定正负时，严禁随意乘除、平方变形． 高频陷阱：默认变量为正随意变形；忽略不等式不可逆性；传递性使用条件不充分，盲目推导大小关系． 【典例1】（24-25高三上·天津河西·阶段检测）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）设，若，则下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 重点02 基本不等式常规配凑求最值 核心解题要点：无定值则主动配凑定值，常用拆项、补常数、调整系数；分式和式优先使用“1”的代换构造齐次定值结构；全程验证正数条件与等号可取性． 高频陷阱：忽略变量为负的情况；只凑定值不验证等号，导致最值取不到；多次连用不等式等号条件冲突． 【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【典例2】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 技法点拨01 一元二次不等式标准化解题 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测），不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）设，则“”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 技法点拨02 一元二次方程根的分布问题 统一构造二次函数；两根同区间必联立、对称轴区间约束、端点函数值符号；单根跨区间只需端点函数值异号；含参先讨论二次项系数是否为0；解集借助数轴规避边界遗漏． 【典例1】（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 技法点拨03 基本不等式实际应用 解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解． 【典例1】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例2】（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 不等式证明 1、无附加条件的不等式证明：证明时要根据其结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形形式，这也是证明轮换对称结构的不等式（把b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫做轮换对称性，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路． 2、有附加条件的不等式的证明：应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到． 【典例1】（24-25高二下·河北·期末）设正数，满足．证明： (1)； (2)． 【典例2】(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 易错点01 忽视不等式成立条件致错 辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）设、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（24-25高三上·天津·期末）设a则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点02 忽视基本不等式应用的条件致错 辨析：（1）利用基本不等式以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件． （2）对形如的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意，同号． 【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 易错点03 解分数不等式忽略分母不为零致错 辨析：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如． 【典例1】（2026·天津·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津蓟州·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津河北·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·天津·阶段检测）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津·期中）正项等差数列中，，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．6 5．（25-26高三下·天津·开学考试）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 6．（24-25高二下·天津武清·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为0.25 C．若，则的最小值为2 D．若正实数满足，则的最小值为8 7．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 8．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C．12 D． 二、填空题 9．（25-26高三上·天津河西·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为_________. 10．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）若，，，则的最小值为______． 11．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）若正数x，y满足，则的最小值是________. 12．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，,若，则的最小值为_______. 13．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为_____. 14．（25-26高三下·天津津南·开学考试）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 三、解答题 15．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 16．（25-26高三上·天津河西·期中）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． $