2.2基本不等式同步练-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学初升高衔接同步练，以“基础巩固+能力提升”分层，题量10:3，梯度从单一知识点应用到综合实践，通过概念理解→运算训练→模型构建路径巩固基本不等式，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|基本不等式直接应用（求最值、判断正误、简单实际问题）|选择、填空、解答题结合，聚焦“一正二定三相等”条件，夯实概念理解与运算基础| |能力提升|实际情境优化（运输成本）、含参数函数值域、条件最值综合应用|设置航海运输等真实情境题，需转化变量构建模型，发展数学思维与问题解决能力|

暑假预习检测：2.2基本不等式 【基础巩固】 一、单选题 1．已知，函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．6 2．用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（    ） A． B． C． D． 3．已知 为正实数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．16 4.已知则的最大值为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 5.若 a>0,b>0，ab=16，则 a+b的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、多选题 6．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最大值为2 D．最小值为 三、填空题 7．周长为6的所有矩形中，面积最大为________． 8．已知正实数，满足，则的最小值为________． 四、解答题 9．当时，求的最小值． 10．已知，求函数的最小值. 【能力提升】 11．现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为45海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 12．求函数的值域. 13．若，，且，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【参考答案】 1．【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是4． 故选：A． 【解题关键】本题考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式求最值的条件：一正二定三相等是解题关键． 2．【详解】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，菜地的面积为平方米，则，即，则，， 由基本不等式得， 当且仅当即时，取得最大面积， 所以当有缺口的一边的篱笆长为米时，菜地的面积最大. 故选：C 3．【详解】 且 ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立． ∴的最小值为9． 故选：B 4． 【详解】：根据基本不等式有 故==25，当且仅当时取得最大值。 故选：C 5．【详解】当且仅当 时取得最小值。 故选B 6．【详解】当时，无最小值，故A错误； 因为，所以，故B正确； ，所以的最大值为1，C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：BD 7．【详解】设矩形长宽为a，b，，则, 所以. 故答案为：. 8．【详解】，当且仅当即时取等号，所以的最小值为3. 故答案为：3. 9．【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故最小值为12． 10．【详解】由可得， 当且仅当时，即时等号成立， 故的最小值为9. 11．【详解】设轮船以x海里/小时行驶． 则每小时燃料费用为，全程所用的时间为小时． 全程运输成本，． 所以， 当且仅当，即时取等号． 故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小． 12．【详解】， 当时，， 当且仅当，即时取等号. 所以当时，. 当时，， ，， 所以y=13-≤13-12=1. 当且仅当，即时取等号， 所以当时，. 综上所述：函数的值域为： 【解题关键】本题主要考查求函数的值域，用基本不等式求最值要注意一正二定三相等. 13．【详解】解:因为 , 当且仅当,即,时,等号成立. 所以, 故的最大值为. 【解题关键】 （1）均值不等式应用特征：题中有两正数和与两正数积; （2）均值不等应是：一正,二定,三相等;三个条件均满足,求出的最值才会正确. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $