2.4 解直角三角形的应用（第2课时坡度、坡角问题）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用——坡度、坡角问题”，通过回顾直角三角形的勾股定理、锐角互余及三角函数关系导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生理解坡度、坡角概念及应用。 其亮点在于以“哪条路陡”的现实问题引入，结合山坡、堤坝、车库斜坡等实例，通过构造直角三角形转化问题，培养数学眼光、思维与语言。典例与分层练习结合，小结突出“两个转化”方法，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学路径。

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 第2课时 坡度、坡角问题 2.4 解直角三角形的应用 导入新课 1、直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) 2、直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° 3、直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 知二推一 cos A= sin A= tan A= 直角三角形中除了直角其它5个元素有什么关系呢？ A B C a b c 学 习 目 标 1 2 知理解坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系（重点） 能运用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题（重难点） 新知探究 A D B 观察与思考：从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，哪条路比较陡？ 右边的路 BD 陡些. 在数学上，用什么量来刻画哪条路更陡呢？ 坡度 新知探究 总结归纳 从坡脚点A上坡走到点B 时，升高的高度 h (即线段BC的长度)与水平前进的距离 l (即线段AC的长度)的比叫作坡度 坡度的概念 用字母 i 表示 (坡度通常写成 1∶m 的形式)． 坡度等于坡角的正切 坡度越大，坡角α越大，山坡越陡 α 坡角：山坡与地平面的夹角α叫作坡角。 例2 如图2.4-6，一山坡的坡度 i = 1∶2 . 小华从山脚 A 出发， 沿山坡向上到达点 B. 已知 A，B 两点间的直线距离为 240m，问：他从点 A 到点 B 高度上升了多少米(tan26.57°≈ 0.5， sin26.57°≈ 0.447，结果精确到0.1m)？ 典例分析 ∠BAC 已知一个锐角和斜边求对边，用正弦 典例分析 解：由于坡度i =1∶2，即 又 tan26.57°≈ 0.5，于是∠BAC ≈26.57°. 在Rt△ABC中， ∠C =90°，AB=240m ， 所以 因此 BC ≈ 240×0.447 ≈ 107.3(m) ． 答：小华从点 A 到点 B 高度上升了约107.3米． 又 sin26.57°≈ 0.447， 例2 如图2.4-6，一山坡的坡度 i = 1∶2 . 小华从山脚 A 出发， 沿山坡向上到达点 B. 已知 A，B 两点间的直线距离为 240m，问：他从点 A 到点 B 高度上升了多少米(tan26.57°≈ 0.5， sin26.57°≈ 0.447，结果精确到0.1m)？ 你还可以用其他方法求出BC吗？ 新知探究 总结归纳 方法总结： 用坡度解决实际问题时，要注意两个转化： 一是把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 二是构造直角三角形，把坡度转化为直角三角形的内角（即坡角） 基础巩固题 新知应用 1．如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡面的_______，记作i，即i＝_____(坡度通常写成_______的形式)．坡面与________的夹角叫作坡角，记作α.显然坡度等于坡角的________，即i＝____＝_________．坡度越________，山坡越陡． 坡度 1：m 水平面 tanα 正切 大 基础巩固题 新知应用 2.已知一斜坡的坡度i=1∶ A.60° B.45°C.30° D.无法确定 ,那么该斜坡的坡角α的度数为( ) 3、某堤的横截面如图所示.堤高BC是 5 m,迎水斜坡AB的长是13 m,那么斜坡AB的坡度是( )A.1∶3 B.1∶2.6C.1∶2.4 D.1∶2 C C 5 13 12 iα (坡度通常写成 1∶m 的形式)． 基础巩固题 新知应用 4. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67) 280 5、如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是 _____ m. 500 ？ 基础巩固题 新知应用 1. 一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 其中坡角为 α .已知屋顶的宽度 l 为 12m，坡屋顶的高度 h 为4m. 分别求屋顶斜面坡度、斜面 AB 的长度和坡角 α 的正弦值、余弦值. A B C h l α 12 4 三线合一 D BD=6m 6 基础巩固题 新知应用 A B C h l α 解：设CB中点为D ，则由题意可知 在Rt△ABD中， AD = h= 4 m， 由勾股定理得 D 答：屋顶斜面坡度为 ，斜面AB的长度为 ，坡角α的正弦值为 ，余弦值为 . 基础巩固题 新知应用 2.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴AE=3·BE=3×23=69(m)． FD=2.5·CF=2.5×23=57.5(m)． ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． ∵斜坡AB的坡度 ∴α ≈ 18°26′. ∵ ∴ E F 构造直角三角形 能力提升题 新知应用 4．如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为6米，车库的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中∠ACB＝14°)． (1)求车库的高度AH； (2)求点B与点C之间的距离．(结果精确到1米)(参考数据：sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25) 能力提升题 新知应用 解：由题意可得，AH∶BH＝1∶2.设AH＝x，则BH＝2x， 故x2＋(2x)2＝(6)2， 解得：x＝6. 故车库的高度AH为6 m； （2）：∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12， ∴CH＝BC＋BH＝BC＋12. 在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝. 又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝， ∴0.25＝，解得：BC＝12，故点B与点C之间的距离是12 m. 能力提升题 新知应用 5.如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sin α＝，然后又沿着坡度为i＝1∶4的斜坡向上走了1千米达到点C.问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米？(结果保留根号) 解：过点B作BF⊥AD于点F，过点B作BE⊥CD于点E. 由题意得：AB＝0.65千米，BC＝1千米， ∴sin α＝＝，∴BF＝0.65×＝0.25(km)． F E 能力提升题 新知应用 ∵斜坡BC的坡度为：1∶4. ∴CE∶BE＝1∶4. 设CE＝x，则BE＝4x，由勾股定理得：x2＋(4x)2＝12，解得：x＝. ∴CD＝CE＋DE＝BF＋CE＝+. 故小明从A点到点C上升的高度CD是（+）km. F E 课堂小结 坡度、坡角问题 坡度、坡角的概念 运用解直角三角形解决坡度、坡角问题 感谢聆听! $