2.4 解直角三角形的应用（第1课时仰角与俯角问题）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用——仰角与俯角问题”，通过复习直角三角形的三边关系、锐角关系及边角关系，以探险者估算山峰水平距离为例导入，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，通过抽象建模（如测量东方明珠塔高度、树高）培养几何直观和抽象能力，步骤化总结解题过程（实际问题→数学问题→求解→答案）强化模型意识和推理能力。采用实例分析与归纳总结，助力学生提升应用能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 第1课时 仰角与俯角问题 2.4 解直角三角形的应用 导入新课 A B C a b c 1、直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) 2、直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° 3、直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 知二推一 cos A= sin A= tan A= 直角三角形中除了直角其它5个元素有什么关系呢？ ----在日常生活中，我们经常运用这些知识解决直角三角形有关的实际问题，今天我们来学习它。 学 习 目 标 1 2 了解仰角、俯角的概念，能正确识别图形中的仰角和俯角。 能运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题（重点） 新知探究 思 考 某探险者到达如图所示的点 A 处时，他准备估算出到目的地—海拔为 3500m 的山峰顶点 B 处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？ A B ． ． 求线段长度的常用方法有哪些？ 相似三角形 直角三角形 我们要构造直角三角形 实际问题 几何问题 抽象 有垂直，可找到直角三角形 新知探究 如图，BD 表示点 B 的海拔，AE 表示点 A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点 C ，ED表示海平面. A C B D E 海平面 3500m 1.用仪器先测量出点A 的海拔 AE。 2.用仪器测出仰角∠BAC。 3.用锐角的正切就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC 那什么是仰角呢？ 新知探究 总结归纳 仰角和俯角 名称 定义 图示 仰角 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角 俯角 仰角 眼睛 视线 视线 “上仰下俯”——视线在水平线上方为仰角，下方为俯角 新知探究 做一做 如图，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1 600m，仰角∠BAC=40°求A，B两点的水平距离 AC (tan40°≈ 0.839 1，结果精确到 1 m). A C B D E 海平面 因为 BD = 3 500m，AE = 1 600m，AC⊥BD，∠BAC = 40°， 所以 在Rt△ABC中， 即 从而 AC ≈ 2 264(m). 因此，A，B两点的水平距离 AC 约为2264 m. 例1 某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在塔底部1000m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面的高度 AE 为1.7m．如图所示.求上海东方明珠塔的高BD(tan25°≈ 0.466 3，结果精确到 1 m). 典例分析 BD=BC+CD BC=? CD=1.7m BC在Rt△ABC中，已知∠BAC和AC利用tan∠BAC可求BC 解 在Rt△ABC中，∠BAC＝25°， AC＝1000 m，因此 又tan25°≈0.466 3， 因此，上海东方明珠塔的高度 BD ≈ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468 (m) ． 答：上海东方明珠塔的高度 BD 约为468 m. 从而 BC ≈ 1 000 ×0.466 3 = 466.3(m) ． 典例分析 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程 一般过程 图示 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) ； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 实际问题 数学问题(解直角三角形) 数学问题的解 实际问题的解 抽象 (转化) 求解 得到 得到 解决 新知探究 总结归纳 基础巩固题 新知应用 1．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A．800sinα米 B．800tanα米 C． 米 D． 米 D α 800 ? 基础巩固题 新知应用 2.在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 α ，如果测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为　 　 米．（用含 α 的三角函数表示） （1.5+15tanα） 15m AC=? 在Rt△ABC中，BC=15m， ∴， ∴AC=15tanα ∴AE=1.5+15tanα 基础巩固题 新知应用 3.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（    ） A． B． C． D． 【解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°， ∴CD=AD=x，∴BD=16-x， 在Rt△BCD中，∠B=60°，∴， 即：， 解得， 故选A． A 基础巩固题 新知应用 4.如图，一艘游船在离开码头 A 后，以与和河岸成 30°角的方向行驶了 500m 到达 B 处，求 B 处与河岸的距离 BC. 解：从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此 从而BC=500×sin30°=250（m）. 答：B处与河岸的距离BC为250m． C 基础巩固题 新知应用 5. 如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？ 解：由题意得：∠B=∠α，∠C=90°． ∴sin B=sin α≈0.52． ∵sin B=， ∴AC=AB•sin B=2400×0.52=1248（米）． 答：飞机飞行的高度约为1248米． 基础巩固题 新知应用 6.某厂家新开发的一种电动车，其大灯 A 射出的光线 AB，AC 与地面 MN 所成的夹角∠ABN，∠ACN 分别为8°和15°，大灯 A 与地面的距离为 1m，如图所示，求该车大灯照亮地面的宽度 BC (tan 8°≈ 0.14，tan 15°≈ 0.27，不考虑其他因素，结果精确到0.1m) ． 解：作AD⊥MN，垂足于D. 如图，在Rt△ABD中，∠ABD =8°，AD =1m， 因此 从而 同理 CD ≈3.70 m. 所以 BC = BD-CD ≈ 3.4(m). 答:该车大灯照亮地面的宽度 BC 为3.4m. D 能力提升题 新知应用 7. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 α=30°，β=60° AD=120m BC=BD+CD BD和CD分别在三角形ABD和三角形ACD中可求 能力提升题 新知应用 A B C D α β 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120m. ∵ ∴BD=AD·tanα=120×tan30°= CD=AD·tanβ=120×tan60° ∴BC=BD+CD 答：这栋高楼约高277.1m. 能力提升题 新知应用 8.某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7） 能力提升题 新知应用 解：延长DF交AB于点G，由题意得： DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°， 设AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°， ∴FGx（m）， ∴DG＝DF+FG＝（x+8）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°， ∴x＝44，经检验：x＝44是原方程的根， ∴AB＝AG+BG≈12（m）， ∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m． 课堂小结 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程 一般过程 图示 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) ； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 实际问题 数学问题(解直角三角形) 数学问题的解 实际问题的解 抽象 (转化) 求解 得到 得到 解决 感谢聆听! $