2.4 解直角三角形的应用 第2课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“与坡度、坡角有关的实际问题”，核心知识点包括坡度与坡角的定义、关系及应用。课堂导入从“衡量山‘险’的标准”切入，通过观察两条山路的陡峭程度引出坡度概念，搭建从生活现象到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以实际情境（如拦水坝横断面、步梯改造、种树株距）为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过例题推理和练习运算培养数学思维，用规范的数学语言表达问题解决过程。课堂小结系统梳理定义与关系，助力学生提升知识应用能力，为教师提供完整的教学资源支持。

湘教·九年级上册 与坡度、坡角有关的实际问题 新课导入 知者乐水，仁者乐山。 衡量山“险”与“不险”的标准是什么？ 探究新知 如图2.4-4，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？ 观 察 右边的路BD 陡些 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 图2.4-4 如图2.4-5，从坡脚点A上坡走到点B时，升高 的高度 h (即线段BC的长度)与水平前进的距离 l (即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示，即 (坡度通常写成 1∶m 的形式)． 坡度越大，山坡越陡． 图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α 图2.4-5 坡度等于坡角的正切 例2：如图2.4-6，一山坡的坡度 i = 1∶2 . 小华从山 脚 A 出发， 沿山坡向上到达点 B. 已知 A，B 两点间的直线距离为 240m，问：他从点 A 到点 B 高度上升了多少米(tan26.57°≈ 0.5， sin26.57°≈ 0.447，结果精确到0.1m)？ i=1∶2 图2.4-6 解：由于坡度i =1∶2，即 又 tan26.57°≈ 0.5，于是∠BAC ≈26.57°. 在Rt△ABC中， ∠C =90°，AB=240m ， 所以 因此 BC ≈ 240×0.447 ≈ 107.3(m) ． 答：小华从点 A 到点 B 高度上升了约107.3米． 又 sin26.57°≈ 0.447， 你还可以用其他方法求出BC吗？ 随堂诊断 1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD ＝ 3m ，坝高AE=DF=6m，坡角α ＝ 45°，β ＝30°，求 BC 的长. 解：因为坝高 AE=DF，且AE⊥BC， DF⊥BC， 所以四边形AEFD是矩形， 所以 EF = AD =3m. 因为 坡角α ＝ 45°，β ＝30°， 所以 BE = AE =6m， 所以 BC = BE+EF+CF= 答： BC 的长为 2. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的 步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE=10m， 其坡度为 i1 =1∶3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2 =1∶4，求斜坡AF的长度. (结果精确到 0.01m 参考数据： .) 解：因为DE的坡度为i1 =1∶ ， 所以∠DEC =30°， 在Rt△DEC中， 因为四边形ABCD为矩形， 所以AB = CD = 5m. 因为斜坡AF的坡度为i2=1∶ 4， 所以BF = 4AB = 20m. 在Rt△ABF中， 答：斜坡AF的长度为 20.62m. 练习 1. 一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 其中坡角为 α .已知屋顶的宽度 l 为 12m，坡屋顶的高度 h 为4m. 分别求屋顶斜面坡度、斜面 AB 的长度和坡角 α 的正弦值、余弦值. 【选自教材P82 练习 第1题】 A B C h l α A B C h l α 解：设CB中点为D ，则由题意可知 在Rt△ABD中， AD = h= 4 m， 由勾股定理得 D 答：屋顶斜面坡度为 ，斜面AB的长度为 ，坡角α的正弦值为 ，余弦值为 . 2.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间 的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=5.5，∠A=24°， 在Rt△ABC中， 所以AB= 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0m． 3.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m， 坝高 23 m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡度i =1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽 AD 和斜坡 AB的长(精确到0.1m)． E F 解：作BE⊥AD，CF⊥AD， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， 所以 AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)． 所以AD = AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． 因为斜坡AB的坡度 所以 α ≈ 18.43°. 因为 所以 E F 答：斜坡AB的坡面角α为18.43°，坝底宽 AD为132.5m ，斜坡 AB的长为72.7m ． 4.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚 C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发.如图，已知小山北坡的坡度i=1∶ ，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB、AC看成线段，结果保留根号) 解：过点 A 作 AD⊥BC于点D， 在Rt△ADC中，由i=1∶ 得 所以 ∠C=30°． 所以 在Rt△ABD中，∠B=45°， 所以 答：李强以12 米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A． D 课堂小结 从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示，即 (坡度通常写成1∶m的形式)． 图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α 坡度越大，山坡越陡． 坡度等于坡角的正切 $