甘肃兰州市新区教育片区联考2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试卷

**基本信息** 融入文化传承与生活实践，如“二十四节气”图形判断、《九章算术》行程问题，梯度覆盖几何直观、运算能力等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|轴对称与中心对称、不等式、三角板叠放角度计算|结合非遗文化素材，基础概念与空间观念结合| |填空题|4/12|分式意义、平行四边形内角、平行线距离、三角形中线|考查几何性质与代数限制条件，强调基础应用| |解答题|11/72|因式分解、分式方程、平行四边形证明、新定义“准等边三角形”|含阅读探究（换元法）和跨情境应用（商家购进问题），体现推理能力与创新意识|

2025-2026学年第二学期期末考试试题八年级数学答案 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D D C A A D A B D D A 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. x≠﹣3 14. 60° 15. 10cm或2cm 16. 一．选择题（共12小题） 1．【解答】解：A．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．【解答】解：A、若a＞b，则a+5＞b+5，原变形错误，不符合题意； B、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，原变形错误，不符合题意； C、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，原变形错误，不符合题意； D、若a＞b，则，正确，符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：∵图中是一副三角板叠放， ∴∠ACB＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠α是△ACE的外角， ∴∠α＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°． 故选：D． 4．【解答】解：A．6a2b2＝3ab•2ab，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．【解答】解：∵△ABC的三个内角度数之比为3：4：5， ∴设三角的度数分别为：3x°，4x°，5x°， ∴3x+4x+5x＝180， 解得：x＝15， ∴三个内角的度数分别为：45°，60°，75°， ∴此三角形为锐角三角形． 故选：C． 6．【解答】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以∠ABC108°， ∵正五边形的每个条边相等， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝（180°﹣108°）÷2＝36°． 故选：A． 7．【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形； B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形； C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形； D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形． 故选：D． 8．【解答】解：由函数图象可知，当x＞﹣1时，一次函数y＝kx+b的图象在直线y＝3的下方， ∴不等式kx+b＜3的解集为x＞﹣1， 故选：A． 9．【解答】解：如图所示，CB与FD交点为G， ∵EF∥BC，∠F＝45°， ∴∠F＝∠BGD＝45°， 又∵∠ADF是△BDG的外角，∠B＝30°， ∴∠ADF＝∠B+∠BGD＝30°+45°＝75°， 故选：B． 10．【解答】解：用一个未知数列出方程为， 故选：D． 11．【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 12．【解答】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE＝DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABCAC•BCAB•CD， 即AC•BC＝AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得，AC＝4， ∴3×4＝5CD， ∴CD， ∴线段DE长度的最小值是， ∴故选：A． 二．填空题（共4小题） 13．【解答】解：要使代数式有意义，必须x+3≠0， 解得：x≠﹣3， 即实数x的取值范围是x≠﹣3． 故答案为：x≠﹣3． 14．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝240°， ∴∠A＝120°， ∴∠B＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：60°． 15．【解答】解：①当直线l1与l3在直线l2的同一侧时， l1与l3的距离是：6﹣4＝2（cm）． ②当直线l1与l3在直线l2的异侧时， l1与l3的距离是：6+4＝2（cm）． 综上，直线l1与l3的距离是10cm或2cm． 故答案为：10cm或2cm． 16．【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ． ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA＝BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5， ∴MNDE． 故答案为：． 三．解答题（共11小题，共72分） 17．（5分）【解答】解：， 由①得x＞1，…………………………………………1分 由②得x＜4，…………………………………………2分 ∴原不等式组的解集是1＜x＜4，…………………………………………3分 ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：…………………………………………5分 ． 18．（5分）【解答】解：如图， 理由是：因为P是∠A的平分线和MN的垂直平分线的交点， 所以P到∠A的两边AB和AC的距离相等，P到M、N的距离相等， …………………………………………4分（角平分线、垂直平分线各2分） 所以P就是所求．…………………………………………5分 19．（6分）【解答】解：（1）ax2﹣2axy+ay2 ＝a（x2﹣2xy+y2）…………………………………………1分 ＝a（x﹣y）2；…………………………………………3分 （2）m2（m﹣n）+（n﹣m） ＝m2（m﹣n）﹣（m﹣n）…………………………………………1分 ＝（m﹣n）（m2﹣1）…………………………………………2分 ＝（m﹣n）（m+1）（m﹣1）．…………………………………………3分 20．（8分）【解答】解：（1）原方程化为． 方程两边同时乘上（2x﹣5）得：x﹣5＝2x﹣5．…………………………………………2分 移项，合并，得：x＝0．…………………………………………3分 检验：将x＝0代入2x﹣5≠0，∴x＝0是原方程的解．…………………………………………4分 （2）， 两边乘最简公分母得：（x+1）2﹣（x2﹣1）＝4，…………………………………………1分 展开得：x2+2x+1﹣x2+1＝4． 合并同类项得：2 x+2＝4，…………………………………………2分 解得x＝1．…………………………………………3分 经检验，x＝1时，x﹣1＝0．∴原分式方程无解．…………………………………………4分 21．（6分）【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，…………………………………………1分 ∵BE⊥AC，DF⊥AC，…………………………………………2分 ∴∠OEB＝∠OFD＝90°，…………………………………………3分 在△BOE和△DOF中， ，…………………………………………4分 ∴△BOE≌△DOF（AAS），…………………………………………5分 ∴BE＝DF．…………………………………………6分 22．（5分）【解答】解：原式＝（）•…………………………………………1分 • …………………………………………2分 • …………………………………………3分 ＝x﹣1，…………………………………………4分 当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．…………………………………………5分 23．（6分）【解答】证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的中线， ∴点D、E分别是边AC、AB的中点，…………………………………………1分 ∴DE是△ABC的中位线，…………………………………………2分 ∴DE∥BC，DEBC，…………………………………………3分 同理得：FG∥BC，FGBC，…………………………………………4分 ∴DE∥FG，DE＝FG，…………………………………………5分 ∴四边形DEFG是平行四边形．…………………………………………6分 24．（7分）【解答】解：（1）设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为1.2x元， 由题意得：10，…………………………………………2分 解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，…………………………………………3分 ∴1.2x＝120， 答：商品第一次的进价为120元，第二次的进价为100元；…………………………………………4分 （2）由（1）可知，6000÷100＝60（件），6000÷120＝50（件）， 设每件商品的售价是m元， 由题意得：50（m﹣120）+60（m﹣100）≥2300，…………………………………………5分 解得：m≥130， 答：每件商品的售价至少是130元．…………………………………………7分 25．（6分）【解答】解：（1）∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在AB上， ∴∠ADE＝∠ABC＝36°，∠AED＝∠C＝90°，AB＝AD，…………………………………………1分 ∴∠DAE＝90°﹣36°＝54°， ∵AB＝AD， ∴，……………………………………2分 ∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝63°﹣36°＝27°；…………………………………………3分 （2）在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴，…………………………………………4分 ∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在AB上， ∴∠AED＝∠C＝90°，AE＝AC＝3，DE＝BC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，…………………………………………5分 在Rt△BDE中，．…………………………………………6分 26．（8分）【解答】解：（1）故选：C；…………………………………………2分 （2）（x﹣2）4；…………………………………………4分 （3）设x2+2x＝y，…………………………………………5分 原式＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1，…………………………………………6分 ＝（y+1）2， ＝（x2+2x+1）2，…………………………………………7分 ＝（x+1）4．…………………………………………8分 27．（10分）【解答】解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°， ∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；…………………………………………2分 （2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°， ∴分两种情况： ①当∠C﹣∠A＝60°时， ∴∠C＝∠A+60°＝95°，…………………………………………3分 ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；…………………………………………4分 ②当∠C﹣∠B＝60°时， ∵∠A＝35°， ∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，…………………………………………5分 ∴2∠B＝85°， ∴∠B＝42.5°； 综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；…………………………………………6分 （3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2， ∵△BCD是“准等边三角形”， ∴分两种情况： ①当∠C﹣∠CBD＝60°时， ∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°， ∴BD＝2CD， ∵CD2+BC2＝BD2， ∴CD2+（1）2＝（2CD）2， 解得：CD或CD（舍去），…………………………………………8分 ∴BD＝2CD； ②当∠BDC﹣∠CBD＝60°时， 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠C＝90°， ∴∠BDC+∠CBD＝90°， ∴2∠BDC＝150°， ∴∠BDC＝75°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BE＝DE，BDDE， 设DE＝BE＝x， 在Rt△ADE中，∠A＝30°， ∴AEDEx， ∵BE+AE＝AB， ∴xx＝2+2， 解得：x＝2， ∴BE＝DE＝2， ∴BDDE＝2；…………………………………………9分 当D与A重合时， ∵∠C﹣∠A＝60°， ∴△BCD是准等边三角形， 此时BD＝2BC＝2+2， 综上所述：BD的长为或2或2+2．…………………………………………10分 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/18 11:17:07；用户：兰州市东郊学校；邮箱：lzsdj@xyh.com；学号：45212497 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试 八年级数学学科试卷 一、单选题（本大题共12小题36分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．设，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C. D． 5．已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是（　　）三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 第3题图 第6题图 第7题图 6． 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　） A．36° B．30° C．45° D．40° 7．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC 8．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 9．将一副直角三角尺（∠C＝60°，∠F＝45°）按如图所示位置摆放，使点D落在边AB上，EF∥BC，则∠ADF的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 第8题图 第9题图 第12题图 10．我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（　　） A． B. C． D. 11．若分式方程无解，则的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 二．填空题（共4小题12分） 13．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 14．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B＝ ． 15．已知直线、、互相平行，直线与的距离是4cm，直线与的距离是6cm，那么直线与的距离是 ． 16．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ． 三．解答题（共11小题72分） 17.（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 18.（5分）在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明． 19.（6分）因式分解： （1） （2） 20.（8分）解分式方程： （1） （2） 21．（6分）已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．求证：BE＝DF． 22．(5分)先化简，再求值 ，其中 23．（6分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC和AB上的中线，且相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形． 24．（7分）某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件． （1）问商品的两次进价分别为多少元？ （2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完） 25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在AB上，连接BD． （1）若∠ABC＝36°，求∠BDE的度数； （2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长． 26．（8分）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程． 解：设 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 ； （3）请你用换元法对多项式 进行因式分解． 27．（10分）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数． 【解决问题】 （3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长． 八年级数学 第1页，共2页 八年级数学 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第二学期期末考试 八年级数学学科试卷 一、单选题（本大题共12小题36分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列 四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对 称图形的是() 2.设>b,则下列不等关系正确的是() A.a+5<b+5 B.a-2<b-2C.-3a>-3b D. a、b 5>5 3.如图，数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于() A.30°B.45° C.60° D.75° 4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是() A.6a'b2=3ab.2ab B.(x+1)(x-1)=x2-1 C.x2-4x+4=(x-2) D.x2-x-4=x(x-1)-2 5.已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是()三角形. A.锐角B.钝角C.直角 D.不能确定 45 30° 图1 图 第3题图 第6题图 第7题图 6.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得 到如图2所示的正五边形ABCDE,则∠BAC的度数是() A.36°B.30° C.45°D.40° 八年级数学 7.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平 行四边形的是() A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.A0=C0,B0=D0 D.AB∥DC,AD=BC 8.已知一次函数y=x+b的图象如图所示，则不等式x+b<3的解集为() A.x>-1 B.x<-1 C.x<3 D.x>3 9.将一副直角三角尺（∠C=60°，∠F=45°）按如图所示位置摆放，使点D落在边AB 上，EF∥BC,则∠ADF的度数是() A.70°B.75° C.80° D.85° 0 8 第8题图 第9题图 第12题图 10.我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日： 疾马至，少三日.疾马日速倍迟.译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市， 需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马 的速度是慢马的2倍.设未知数x,y,依题意列出一个方程y(x+1)=2y(x-3),则用一个 未知数列出方程正确的是() 9001800 900 900. 900 A. B.1800 C. =900-3D. +1 900-1 +3= x+1x-3 x-1 x+3 2 2y 2y 1.若分式方程m+,3=2无解，则a的值是() x-33-x A.3或2 B.1 C.1或3 D.1或2 12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,点D是斜边上任意一点，将点D绕 点C逆时针旋转60°得到点E,则线段DE长度的最小值为() A号 B.9c.8 D.3 第1页，共3页 二.填空题（共4小题12分） 13.若代数式x二5有意义，则实数x的取值范围是 x+3 14.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠B= 15.已知直线1、，、4互相平行，直线1与，的距离是4cm,直线，与1的距离是6cm,那 么直线1，与1，的距离是 16.如图，△ABC的周长为19，点D,E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N, ∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为 C 三.解答题（共11小题72分） 2+x>7-4x 17.(5分)解不等式组 4+x ,并把解集在数轴上表示出来 r< 2 18.(5分)在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M,N两处参加植树劳动，现要在道 路的AB,AC交叉区域内设一个茶水供应点P,使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN, 请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明. B/ 19.(6分)因式分解： N. （1)ax2-2axy+ay2 (2)m(-m+(n-1m) A 20.(8分)解分式方程： 5 (1) -=1 (2) x+1-1= 4 2x-55-2x x-1x2-1 八年级数学 21.(6分)已知：如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别 A D 为点E,F.求证：BE=DF, 、E 22.(5分)先化简，再求值 2x+2 x2-1 +1)÷ x+1 x2-2x+1 其中x$ B 23.(6分)如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC和AB上的中线，且相交于点0，F、G 分别是OB、OC的中点.求证：四边形DEFG是平行四边形， D G B 24.（7分)某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍， 第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件. (1)问商品的两次进价分别为多少元？ (2)商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售 价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完) 25.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,使 点C的对应点E落在AB上，连接BD. D (1)若∠ABC=36°，求∠BDE的度数； (2)若AC=3,BC=4,求BD的长. E B 第2页，共3页 26.(8分)阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅 可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式 分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式 (x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程. 解：设x2-4x=y 原式=(y+1)y+7)+9(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2（第四步) 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解. 八年级数学 27.（10分)定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边 三角形” 【理解概念】 (1)顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”.（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 (2)已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A=35°，∠C>90°.求∠B的度数， 【解决问题】 (3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1+√3，点D在AC边上，若 △BCD是“准等边三角形”，求BD的长. C D A 第3页，共3页2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学答题卡 学校 班级： 姓名： 考场： 座号： 注意事项 准考证号 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [0][0] [0][o][0][o][o] [o][0] [1] [1] [1][1][1] [1] [1] C1] [1] 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 [2] [2] [2][2] [] [2] [2] [2] [2] 4. 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 [3] [3] [3][3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7j [7] 正确填涂 ■ 缺考标记口 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9][9] [9] [9] [9] [9] 一.选择题36分) 1[a][B][c][D] 4[A][B][C][]7[A][B][C][D]l0[A][B][c][D] ■ 2[A][B][c][D] 5[A[B][c][D]8[A][B][c][D]ll[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][c][]9[A][B][c][D]l2[A][B][c][D] ■■■■■■■■■■ 二填空题12分) 14 15 6 三解答题72分) 175分) 18(5分) N 口口■ ID:4144829 第1页共 19(6分) 208分) D 21(6分) 0 225分) 2页 清使用2B铅笔填涂选择题 23(6分) G 247分) 25(6分) E B 口■▣ ID:4144829 第2页共 答案等选项及考号 26(8分)(1) (2) (3) 27(10分) (1) D 2页2025-2026学年第二学期期末考试试题八年级数学答案 选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 题号 2 4 6 10 11 答案 D 0 C A A A D 0 A 二.填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13.x≠-3 14.609 15.10cm或2cm 16. 5-2 一.选择题（共12小题） 1.【解答】解：A.选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意： B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意： C.选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D.选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意。 故选：D 2.【解答】解：A、若a>b,则a5>b+5,原变形错误，不符合题意： B、若a>b,则a-2>b-2,原变形错误，不符合题意； C、若a>b,则-3a<-3b,原变形错误，不符合题意： n若a>h脂 ,正确，符合题意 故选：D 3.【解答】解：，图中是一副三角板叠放， .∠ACB=90°，∠BCD=45°， ..∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-45°=45°， ,∠a是△ACE的外角， ∴.∠a=∠A+∠ACD=30°+45°=75°. 故选：D B 45D 30A 4.【解答】解：A.6ab=3ab2ab,等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意： B.(x+1)(x-1)=x2-1,从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不 第1页（共10页） 符合题意； C.x2-4x+4=(x-2)2,由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意： D.x2-x-4=x(x-1)-2,不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选 项不符合题意 故选：C. 5.【解答】解：，△ABC的三个内角度数之比为3：4：5， .设三角的度数分别为：3x°，4x°，5x°， .3x+4x+5x=180, 解得：x=15, 三个内角的度数分别为：45°，60°，75°， 此三角形为锐角三角形. 故选：C. 6.【解答】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以∠ABC=5-2)×180 5 =108°， 正五边形的每个条边相等， .△ABC是等腰三角形， .∠BAC=∠BCA, .∠BAC=(180°-108°）÷2=36°. 故选：A. 7.【解答】解：A、由“AB∥DC,AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平 行四边形： B、由“AB=DC,AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形： C、由“AO=CO,BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形： D、由“AB∥DC,AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该 四边形是平行四边形， 故选：D. 8.【解答】解：由函数图象可知，当x>-1时，一次函数y=kx+b的图象在直线y=3的下方， .不等式+b<3的解集为x>-1, 故选：A. 第2页（共10页） 9.【解答】解：如图所示，CB与FD交点为G, G B .EF∥BC,∠F=45°， .∠F=∠BGD=45°， 又，∠ADF是△BDG的外角，∠B=30°， ∴∠ADF=∠B+∠BGD=30°+45°=75°， 故选：B. 10.【解答】解：用一个未知数列出方程为2 +3=900 00 y 故选：D 1.【解答】解：+3=2， x-3+3-x 方程两边同时乘x-3得： -3=2（x-3), x-3=2x-6, -2x=3-6, (a-2)x=-3, 分式方程无解， .x-3=0, .x=3, ∴.3(a-2)=-3, 解得：a=1 “分式方程x+3」 =2无解， .a-2=0, 解得：a=2, 综上可知：a=2或1， 故选：D. 12.【解答】解：由旋转的性质得，CD=CE,∠DCE=60°， 第3页（共10页） ∴△CDE为等边三角形， ∴CD=CE=DE, 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时SABC=ACBC=ABCD, 即AC·BC=ABCD, 在Rt△ABC中，∠ACD=90°，AB=5,BC=3, 由勾股定理得，AC=4, ∴.3×4=5CD, cw-导 ·线段DB长度的最小值是子 故选：A. 二.填空题（共4小题） 13.【解答】解：要使代数式有意义，必须+3≠0。 x+3 解得：x≠-3， 即实数x的取值范围是x≠-3. 故答案为：x≠-3. 14.【解答】解：，四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,∠A=∠C, ∴∠A+∠B=180°， ,∠A+∠C=240°， .∠A=120°， .∠B=180°-120°=60°， 故答案为：60°. 15.【解答】解：①当直线11与3在直线2的同一侧时， 1与13的距离是：6-4=2(cm) ②当直线1与3在直线2的异侧时， h与l3的距离是：6+4=2(cm). 第4页（共10页） 综上，直线l1与l3的距离是10c或2c. 故答案为：10cm或2cm 16.【解答】解：，BN平分∠ABC,BNLAE, .∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE, 在△BNA和△BNE中， (LABN=∠EBN BN=BN ∠ANB=∠ENB ∴.△BNA≌△BNE（ASA), ..BA=BE, .∴.△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， .点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， N是△ADE的中位线， .BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12, .∴.DE=BE+CD-BC=5， N-3DB=多 5 故答案为： 三.解答题（共11小题，共72分） 2+x>7-4x① 17.(5分)【解答】解： 由①得x>1,…1分 由②得X<4,…2分 .原不等式组的解集是1<x<4，…3分 .该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：…5分 -4-3-2-1012345 18.(5分)【解答】解：如图， 理由是：因为P是∠A的平分线和MN的垂直平分线的交点， 第5页（共10页） 所以P到∠A的两边AB和AC的距离相等，P到MN的距离相等， B …4分（角平分线、垂直平分线各2分) 所以P就是所求。 …5分 19.(6分)【解答】解：（1)ax2-2y叶y2 =a(x2-2xy叶y2)…1分 =a(x-y);…3分 (2)m2(-n)+(n-m) =m2(l-n)-(l-n）…1分 =(l-n）(2-1)…2分 =(-)(叶1)(-1).…3分 20.(8分)【解答】解：(1)原方程化为2x一店25=1. 方程两边同时乘上（2x-5)得：x-5=2x-5.…2分 移项，合并，得：x=0……3分 检验：将x=0代入2x-5≠0，x=0是原方程的解.…4分 2)出1= 两边乘最简公分母得：(x+1)。(x2-1)=4,…1分 展开得：x2+2x+1-x2+1=4. 合并同类项得：2x+2=4,…2分 解得X=1.…3分 经检验，x=1时，x-1=0.原分式方程无解. …4分 21.(6分)【解答】证明：，四边形ABCD是平行四边形 OB=OD,…1分 BE⊥AC,DF⊥AC,…2分 ∠OEB=∠OFD=90°，…3分 在△BOE和△DOF中， 第6页（共10页） (LOEB =LOFD LBOE=LDOF, …4分 OB=OD .△BOE≌△DOF(AAS), …5分 BE=DF.…6分 22.(5分)【解答】解：原式=( 2x+2,x2-1 x-1)2 x2-1+x27 …】分 x+1 =x2+2x+1,x-1)2 x2-1x+1 …2分 (x+1)2x-1)2 =x+1)(x-1)x+1 …3分 =水-1，… …4分 当x=4时，原式=4-1=3. …5分 23.(6分)【解答】证明：，BD、CE分别是边AC、AB上的中线， 点D、E分别是边AC、AB的中点，…1分 DE是△ABC的中位线，…2分 ∴DB/BC,DE=2BC, …3分 同理得：G/BC,NG=BC, …4分 DE∥FG,DE=FG,…5分 .四边形DEFG是平行四边形.…6分 24.(7分)【解答】解：(1)设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为1.2x元， 由题意得： 60006000 =10,… 1.2x …2分 解得：x=100, 经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，…3分 .1.2x=120, 答：商品第一次的进价为120元，第二次的进价为100元：…4分 (2)由(1)可知，6000÷100=60（件），6000÷120=50（件）， 设每件商品的售价是元， 由题意得：50（m-120)+60(7m-100)≥2300，…5分 解得：m≥130， 答每件商品的售价至少是130元.…7分 25.(6分)【解答】解：(1)，△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,使点C的对应点E落在AB上， 第7页（共10页） ∠ADE=∠ABC=36°，∠AED=∠C=90°，AB=AD,…1分 ∠DAE=90°-36°=54°， .AB=AD, ADB=∠ABD=Z(180°-∠DAB)=7×1800-549)=630,…2分 .∠BDE=∠ADB-∠ADE=63°-36°=27°；…3分 （2)在Rt△ABC中， ,∠C=90°， ∴.AB=VAC2+BCZ=V32+4平=5， …4分 ,△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADB,使点C的对应点E落在AB上， .∠AED=∠C=90°，AE=AC=3,DE=BC=4, BE=AB-AE=5-3=2,…5分 在Rt△BDB中，BD=√BE2+DE=V22+平=2√5.…6分 26.(8分)【解答】解：(1)故选：C;… …2分 (2)(x-2)4;…4分 (3)设x2斗2x=y,…5分 原式=y(y+2)+1, =y2+2y41, …6分 =(y41)2, =(x2+2x+1)3,…7分 =(x+1)4.…8分 27.(10分)【解答】解：(1)，等腰三角形的顶角为120°， ∴.等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°， .顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；…2分 (2),△ABC是“准等边三角形”，∠A=35°，∠C>90°， 分两种情况： ①当∠C-∠A=60°时， ∠C=∠A十60°=95°，…3分 ∠B=180°-∠C-∠A=50°；…4分 ②当∠C-∠B=60°时， 第8页（共10页） ,∠A=35°， ∠C+∠B=180°-∠A=145°，…5分 .2∠B=85°， .∠B=42.5°； 综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；…6分 (3)'∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1+V5, ∴.∠ABC=90°-∠A=60°，AB=2BC=2+2W3, ,△BCD是“准等边三角形”， ∴分两种情况 ①当∠C-∠CBD=60°时， .∠CBD=∠C-60°=30°， ..BD=2CD, .CD2+BC2=BD2, ∴CD2+(1+V3)2=(2CD), 解得：C043支c0=孕（合去.…8分 3 ∴BD=2CD=23+6 3 ②当∠BDC-∠CBD=60°时， 过点D作DE⊥AB,垂足为E, B E C D ,∠C=90°， .∠BDC+∠CBD=90°， .2∠BDC=150°， ∴.∠BDC=75°， ∴.∠ABD=∠BDC-∠A=45°， ∴.△BDE是等腰直角三角形， ∴BE=DE,BD=V2DE, 第9页（共10页） 设DE=BE=x, 在Rt△ADE中，∠A=30°， ∴AE=V3DE=Vx, .BE+AF=AB, ∴.x+V5x=2+2V5, 解得：x=2, .,BE=DE=2, BD=√2DE=2y2;…9分 当D与A重合时， ,∠C-∠A=60°， ∴△BCD是准等边三角形， 此时BD=2BC=2+2W5, 踪上所述：BD的长为3或2V2或2+2V5 …10分 第10页（共10页）