精品解析：甘肃省兰州市兰州新区2024-2025学年下学期期末水平测试八年级数学试题

甘肃省兰州市兰州新区2024-2025学年下学期期末水平测试八年级数学试题 注意事项： 1.全卷共120分，考试时间120分钟。 2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。 一、选择题：本大题共11小题，每题3分，共33分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　） A. B. C. D. 3. 一次函数和图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值是（ ） A. 14 B. 36 C. 48 D. 64 6. 如图，在等腰直角中，，将绕顶点A逆时针方向旋转后得到，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 8. 如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 1 B. 4 C. D. 9. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木万棵．可列方程是（ ）． A B. C. D. 11. 如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 14. 若是完全平方式，则的值是__________． 15. 门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是______°． 三、解答题：本大题共12小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组并求出它的所有整数解的和． 17. 因式分解 （1） （2） 18. 解分式方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：． 20. 如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）画出，使得和关于点P成中心对称； （2）请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 21. 如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 22. 如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）根据图象直接写出方程组的解为____________； （2）根据图象直接写出不等式的解集为___________； （3）求的面积． 23. 某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 24. 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 25. 如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若，的周长是10，求四边形的周长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直线交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为． （1）求点B的坐标及k的值； （2）在直线上找一点D使，求点D的坐标； （3）设F是坐标平面内一个动点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点F的坐标． 27. 唐朝诗人李颀诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省兰州市兰州新区2024-2025学年下学期期末水平测试八年级数学试题 注意事项： 1.全卷共120分，考试时间120分钟。 2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。 一、选择题：本大题共11小题，每题3分，共33分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，故符合题意； C．该图不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连接．若，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后利用三角形的外角的性质求得答案即可；本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 详解】解：∵，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：C． 3. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，以及一次函数的图象，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．先判断出的图象是哪个，再由一次函数和的图象可知，一次函数的图象在的图象上方时，对应的自变量的取值范围是，即可求解． 【详解】解：由可知其图象与轴交于负半轴，可判断其函数图象， ∵一次函数和的图象如图所示，其交点为， ∴由一次函数和的图象可知，一次函数的图象在的图象上方时，对应的自变量的取值范围是， ∴不等式的解集为， 则不等式的解集在数轴上表示为： 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移坐标变化，解题关键是掌握点平移时坐标变化规律； 根据向左平移横坐标减去平移距离即可求解． 【详解】解:将点向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是，即， 故选：A． 5. 已知，，则的值是（ ） A. 14 B. 36 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．提公因式分解得到，再整体代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 6. 如图，在等腰直角中，，将绕顶点A逆时针方向旋转后得到，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质求出，再根据旋转的性质得到和，即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程有增根求参数问题，根据分式方程有增根得，等式两边同时乘，得，再把代入得，进而可求解，熟练掌握分式方程有增根时的值是解题的关键． 【详解】解：分式方程有增根， ， 等式两边同时乘，得：， 将代入得：， 解得：， 故选A． 9. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，根据翻折可得，根据平行四边形可得，所以，从而可得，进而求解． 【详解】解：根据翻折可知：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木万棵．可列方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设原计划每天种植树木万棵．则实际每天种植棵，根据提前5天完成任务列方程即可． 【详解】解：设原计划每天种植树木万棵．根据题意可得， ， 故选：A． 11. 如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据，点E是的中点，，可知是等边三角形，得出，，进而得出，根据平行四边形得性质可判断①，再根据平行四边形的性质得，即可说明是否平分，然后说明是的中位线，可判断和的关系，再根据点O是的中点，得，由点E是的中点，得，进而得，然后根据平行四边形的性质得，即可判断④，得出答案． 【详解】∵，点E是的中点， ∴. ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴是平分． 则①②正确； ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 则③正确； ∵点O是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∴． 由平行四边形的性质得， ∴， 即． 则④不正确． 所以正确的有①②③. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，求三角形的面积等，弄清各三角形的面积之间的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度． 连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故答案为：． 14. 若是完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式得出即可求出答案． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ， 故答案为：． 15. 门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和内角综合．根据多边形的外角和是可求出处的外角，进而求解． 【详解】解：如图， 设处的外角为，则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本大题共12小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组并求出它的所有整数解的和． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再求和即可． 【详解】解：解得：， 解得：， 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为：， 所以它的所有整数解的和为：． 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的关键. （1）先提取公因式a，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）变形后提取公因式，再用平方差公式分解因式即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握方程的解法以及检验是解题的关键． （1）方程两边同时乘上后移项、合并，最后检验即可． （2）将原式的项化为同分母，分子移项合并，最后检验即可． 【小问1详解】 解：原方程化为． 方程两边同时乘上得：． 移项，合并，得：． 检验：将代入， 是原方程的解． 【小问2详解】 解：， 两边乘最简公分母得：， 展开得：． 合并同类项得：， 解得． 经检验，时，． 原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简得最后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）画出，使得和关于点P成中心对称； （2）请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）分以，为对角线两种情况，结合平行四边形的判定确定点即可． 本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求． 【小问2详解】 解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形； 当以对角线时，四边形为平行四边形． 则点和均为满足题意的点． 21. 如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，得出，即可得出． 【详解】解：证明：，， 和为直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形判定和性质以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 22. 如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）根据图象直接写出方程组的解为____________； （2）根据图象直接写出不等式的解集为___________； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据两直线的交点横纵坐标即为两直线组成的二元一次方程组的解进行求解即可； （2）根据函数图象找到直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出两直线解析式进而求出A、B坐标，再由进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数和的图象交于， ∴方程组的解为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由函数图象可知不等式的解集为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴ 把代入中得：， ∴， ∴， 在和中，当时，和， ∴， ∴， ∴． 23. 某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中代表实际距离； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】绿化这块空地所需的费用为元 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 24. 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元； （2）购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 25. 如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若，的周长是10，求四边形的周长． 【答案】（1）见详解 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质： （1）根据平行四边形的性质得出，，推出，证出即可； （2）由平行四边形的性质得出，，，由线段垂直平分线的性质得出，由已知条件得出，即可得出的周长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ∵的周长是10， ， ∴的周长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直线交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为． （1）求点B的坐标及k的值； （2）在直线上找一点D使，求点D的坐标； （3）设F是坐标平面内一个动点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点F的坐标． 【答案】（1），k的值为1； （2）或； （3）或或． 【解析】 【分析】（1）把点B的横坐标代入直线可得，再代入可得的值； （2）如图，由（1）得：由直线为，可得，在直线上取满足条件的点，结合，可得，再利用中点坐标公式求解即可； （3）先根据直线，求解，再分三种情况讨论求解即可； 【小问1详解】 解：∵点B的横坐标为．直线与直线交于点B， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，由（1）得：直线为， ∴， 在直线上取满足条件的点， ∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，∵直线， ∴， 当以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形时； ①以为对角线时，，，， 结合平移的性质可得：； ②以为对角线时，，，， 结合平移性质可得：； ③以为对角线时，，，， 结合平移的性质可得：； 综上：或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，中点坐标公式的灵活应用，平行四边形的性质，平移的性质，掌握合适的方法解题是关键. 27. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：． 【解析】 【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可． 问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解； （2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解； 问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】问题1：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是BE长度， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 故答案为：； 问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小， ∵点． ∴， 设直线的解析式为， ∵点，点． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标； （2）的最小值； 问题3：如图5，过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 即： ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $