专题1.4常用逻辑用语重难点题型讲义（4个知识点+21大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

专题1.4常用逻辑用语重难点题型专训 （4个知识点+21大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 命题的概念 题型二 判断命题的真假 题型三 指出命题的条件和结论 题型四 写出原命题的否命题及真假判断 题型五 写出原命题的逆命题及真假判断 题型六 写出原命题的逆否命题及真假判断 题型七 逆否命题在证明中的应用 题型八 原命题与逆否命题等价性的应用 题型九 已知命题的真假求参数 题型十 判断命题的充分不必要条件 题型十一 根据充分不必要条件求参数 题型十二 充分条件 题型十三 判断命题的必要不充分条件 题型十四 根据必要不充分条件求参数 题型十五 必要条件 题型十六 充要条件的证明 题型十七 探求命题为真的充要条件 题型十八 根据充要条件求参数 题型十九 既不充分也不必要条件 题型二十 反证法的概念辨析 题型二十一反证法证明 拓展训练一 各类命题的真假判断 拓展训练二 命题及其各类条件的判定和证明 拓展训练三 根据命题的各类条件求参数 知识点一：命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 知识点二：充分条件，必要条件、充要条件 【定义】 1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【即时训练】 1．（2023·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（25-26高一上·全国·课前预习）当时，我们称是的 条件， 的 条件. 知识点三：反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 2．（23-24高二下·江苏无锡·期末）用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设 . 知识点四：从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知或，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【经典例题一 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（2023高一·全国·专题练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 1．（2023·四川成都·模拟预测）小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真．现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮品）有（    ） ①一位正在喝酒的男性； ②一位正在喝果汁的女性； ③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性； ④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性． A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 2．（23-24高二上·甘肃临夏·阶段练习）下列语句是命题的是（ ） A．空集是任何集合的子集 B．指数函数是增函数吗 C．x>15 D．2x-1<0 3．（2023高一下·安徽·阶段练习）关于的方程，给出下列结论：①是该方程的根；②是该方程的根；③该方程两根之和为2；④该方程两根异号.以上四个结论有且仅有一个结论是错误的.则 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【经典例题二 判断命题的真假】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若a、，则关于x的方程的解为． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 3．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）试写出一个的值： ，使“若，则”为假命题. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 【经典例题三 指出命题的条件和结论】 【例1】（2023高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【例2】（2023高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式. （1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； （2）对顶角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 1．（23-24高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 2．（23-24·辽宁沈阳·三模）已知，，则命题“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则或 C．若且，则 D．若或，则 3．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 4．（2023高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【经典例题四 写出原命题的否命题及真假判断】 【例1】（23-24高二上·四川成都·期中）原命题为 “若，则​且​”，则其否命题为（    ） A．若 ​，则​，且​ B．若 ​，则​，且​ C．若 ​，则​，或​ D．若 ​，则​，或​ 【例2】（2023高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断真假： （1）直角相等. （2）等圆的面积相等，周长相等. （3）有的三角形为正三角形. （4）∀x>0，x+1>. 1．（23-24高二上·青海西宁·期末）命题“若，则”的否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·全国·课后作业）“若两直线平行，则同位角相等”的逆命题是（    ） A．若同位角相等，则两直线不平行 B．若两直线平行，则内错角相等 C．若内错角相等，则两直线不平行 D．若同位角相等，则两直线平行 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）“且”的否定形式为 . 4．（23-24高三·全国·专题练习）写出命题“若，则，全为0”的否命题. 【经典例题五 写出原命题的逆命题及真假判断】 【例1】（2023高三上·安徽池州·阶段练习）命题p：“若a<b，则a3<b3”的逆命题为q，则p与q的真假性为（    ） A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 1．（23-24高一上·上海金山·期中）命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023高二上·广西桂林·期末）命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·全国·期中）命题“若且，则”的否命题是 .（选填“真”或“假”） 4．（2023高一·全国·课后作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．若是假命题，则写出该命题的逆命题． (1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角； (2)当时，或； (3)已知，，当时，，． 【经典例题六 写出原命题的逆否命题及真假判断】 【例1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题真假. 若有两实根，则；； 若，则，. 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆否命题是（    ） A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数 B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数 C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数 D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数 2．（23-24高二上·吉林·期末）命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高三上·四川·阶段练习）命题“若，则不都小于1”的逆否命题为 ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）写出命题：“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出各个命题的真假. 【经典例题七 逆否命题在证明中的应用】 【例1】（2023上海 高一）为了保证“如果一个人参加数学竞赛，那么他的数学成绩必须达到优秀”这一规定成立，老师需要检查以下四位同学的情况。那么，老师至少需要检查哪几位同学？（    ） ①数学成绩优秀的小明，正在报名参加数学竞赛； ②数学成绩未达标的小红，没有报名参加数学竞赛； ③正在报名参加数学竞赛的小刚，数学成绩未知； ④数学成绩未达标的小丽，正在报名参加数学竞赛。 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断命题“若与的积不是有理数，则至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由. 1．（23-24高二·全国·单元测试）若命题“如果p,那么q”为真,则(　　) A．q⇒p B．⇒ C．⇒ D．⇒p 【答案】C 【详解】分析：和原命题等价的命题是逆否命题，所以直接写出逆否命题即可. 详解：互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们具有相同的真假性， 原命题的逆否命题为若，则， ⇒ 故选：C. 点睛：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 2．（2023高三·全国·专题练习）有下列四个命题（1）“若，则”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题．其中真命题为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（1）（2）（3） 3．（23-24高一·全国·课后作业）求证:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 4．（23-24高一·全国·课后作业）证明：若，则. 【经典例题八 原命题与逆否命题等价性的应用】 【例1】（23-24高二上·宁夏·期末）下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”的否命题为“若，则” B．命题“”的否定是“” C．命题“若，则”的逆否命题为假命题 D．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 【例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）证明：“已知、，若，则.”为真命题. 1．（23-24高二下·陕西商洛·阶段练习）在命题“若是奇数，则，都是奇数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2023·广西梧州·一模）命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高二上·广西·阶段练习）“若，则”的逆否命题为 命题．（填“真”或“假”） 4．（23-24高一上·上海浦东新·开学考试）已知实数，满足. (1)求证：中至少有一个实数不小于1； (2)设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值. 【经典例题九 已知命题的真假求参数】 【例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【例2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 1．（2023高二上·甘肃白银·期末）若“且”是真命题，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二上·陕西西安·期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·课后作业）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【经典例题十 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（25-26高一上·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 1．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．（25-26高一上·全国·单元测试）对于实数，“”是“且”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 4．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合． (1)判断8、9、10是否属于集合A； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【经典例题十一 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）若是的充分不必要条件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 1．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【经典例题十二 充分条件】 【例1】（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”的充分条件是“”，求实数的取值范围． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 2．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中p是q的充分条件吗？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：. 【经典例题十三 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，，； (2)对于实数，，，或； (3)，. 1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高三·全国·专题练习）已知命题：两个三角形对应两边成比例，：两个三角形相似，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的 条件；并证明. 【经典例题十四 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若是的必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【经典例题十五 必要条件】 【例1】（24-25高一上·贵州遵义·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 1．（2023高一上·全国·专题练习）若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【经典例题十六 充要条件的证明】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（23-24高一·福建福州·阶段练习）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高三下·甘肃武威·专题练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）已知两个命题p：，q：，则p是q的 条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【经典例题十七 探求命题为真的充要条件】 【例1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知p, q都是r的必要条件， s是r的充分条件， q是s的充分条件， 那么： (1)s是q的什么条件？ (2)p是q的什么条件？ 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 2．（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 4．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【经典例题十八 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于的方程的解为的充要条件是 ． 4．（2023高一上·江苏·期中）已知，恒成立，． （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【经典例题十九 既不充分也不必要条件】 【例1】（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 1．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·福建南平·阶段练习）已知，则是的 条件（请用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”回答） 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)四边形的对角线互相平分，四边形是矩形； (4)，； (5)，关于x的方程有实根. 【经典例题二十 反证法的概念辨析】 【例1】（23-24高一上·上海·阶段练习）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【例2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是（    ） A．且 B．a，b不全为0 C．a，b中至少有一个为0 D．a，b中只有一个为0 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）用反证法证明时，否定结论“至多有一个解”的说法中，正确的是（    ） A．没有解 B．有一个解 C．至少有两个解 D．至少有一个解 2．（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）给出一个命题：若，且，则中至少有一个小于零，在用反证法证明时，应该假设（    ） A．中至少有一个正数 B．全为正数 C．全都大于或等于0 D．中至多有一个负数 3．（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 【经典例题二十一 反证法证明】 【例1】（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（    ） A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个奇数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则三个数，，（    ） A．至少有一个大于0 B．至少有一个大于等于0 C．都大于0 D．可能都小于0 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知，，，用反证法证明“与至少有一个不小于3”的假设是（    ） A．与有一个不小于3 B．与至多有一个不小于3 C．与至少有一个大于3 D．与都小于3 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设 ，得出的矛盾为 . 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【拓展训练一 各类命题的真假判断】 【例1】（23-24高二上·福建·期中）命题“若，则”的否命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： （1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （2）矩形的对角线互相平分且相等； （3）相似三角形一定是全等三角形. 1．（23-24高二上·山东济南·开学考试）设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（    ） A．若方程有实根，则 B．若方程没有实根，则 C．若方程有实根，则 D．若方程没有实根，则 2．（24-25高三下·广西·期中）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．（23-24高二下·北京·期末）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 4．（23-24高二上·新疆·期中）写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 【拓展训练二 命题及其各类条件的判定和证明】 【例1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； (3)，． 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【拓展训练三 根据命题的各类条件求参数】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合，集合． (1)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． (2)若；求实数的取值范围． 1．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）有下列三个命题：①“若，则互为相反数”的否命题；②“若，则”的否命题；③“若或，则”的逆否命题.其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）设，下列四个命题中真命题的是（    ） A．“若，则” 的否命题 B．“若，则” 的逆否命题 C．若，则且 D．“若，则”的逆命题 5．（2023高二上·河南驻马店·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与不等价 B．一个命题的逆命题为假，则它的逆否命题一定为真 C．“若全不为，则”的逆否命题是“若，则全为” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 6．（多选题）（（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（   ） A．有些菱形是正方形 B．若，则 C．， D．， 7．（多选题）（（24-25高一上·浙江温州·期中）若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（多选题）（（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 9．（多选题）（（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（（24-25高一上·山西大同·阶段练习）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）命题，则 12．（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 13．（23-24高一·全国·课后作业）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 14．（23-24高一上·上海嘉定·期中）命题“已知，如果，那么或”的逆否命题为 . 15．（23-24高二上·浙江·期末）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一个即可） 16．（2023高二上·安徽安庆·阶段练习）写出命题“若m<1,则一元二次方程x2 +x+m=0有实数解”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. 17．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19． （24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）写出下列命题的否定． ①所有能被3整除的整数都是奇数； ②的个位数字不等于3． （2）请判断下列两个命题中，p是否为q的充要条件，并说明理由． ①两个三角形相似，这两个三角形的三边对应成比例； ②． 20．（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4常用逻辑用语重难点题型专训 （4个知识点+21大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 命题的概念 题型二 判断命题的真假 题型三 指出命题的条件和结论 题型四 写出原命题的否命题及真假判断 题型五 写出原命题的逆命题及真假判断 题型六 写出原命题的逆否命题及真假判断 题型七 逆否命题在证明中的应用 题型八 原命题与逆否命题等价性的应用 题型九 已知命题的真假求参数 题型十 判断命题的充分不必要条件 题型十一 根据充分不必要条件求参数 题型十二 充分条件 题型十三 判断命题的必要不充分条件 题型十四 根据必要不充分条件求参数 题型十五 必要条件 题型十六 充要条件的证明 题型十七 探求命题为真的充要条件 题型十八 根据充要条件求参数 题型十九 既不充分也不必要条件 题型二十 反证法的概念辨析 题型二十一反证法证明 拓展训练一 各类命题的真假判断 拓展训练二 命题及其各类条件的判定和证明 拓展训练三 根据命题的各类条件求参数 知识点一：命题 1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系： 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·期中）“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】直接取特殊值验证即可. 【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题. 故答案为：假 知识点二：充分条件，必要条件、充要条件 【定义】 1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 【即时训练】 1．（2023·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）当时，我们称是的 条件， 的 条件. 【答案】 充分 必要 【分析】略 【详解】略 知识点三：反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 2．（23-24高二下·江苏无锡·期末）用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设 . 【答案】 【分析】由反证法的定义得应假设： 【详解】由反证法的定义得应假设： 故答案为 【点睛】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 知识点四：从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知或，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系求解即可. 【详解】设或， 若q是p的充分不必要条件，则是的真子集，则， 故答案为：. 【经典例题一 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据命题的概念逐项判断即可. 【详解】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 【例2】（2023高一·全国·专题练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 【答案】(1)是，理由见解析； (2)是，理由见解析； (3)不是，理由见解析； (4)不是，理由见解析； (5)是，理由见解析； (6)不是，理由见解析； (7)是，理由见解析 【分析】结合命题的概念，对题中语句逐个分析，可得出答案. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题； （2）“23-24年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题； （3）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题； （4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题； （5）因为“，”中，所以“”是真的，所以它是命题； （6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题； （7）“”是假的，所以它是命题. 1．（2023·四川成都·模拟预测）小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真．现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮品）有（    ） ①一位正在喝酒的男性； ②一位正在喝果汁的女性； ③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性； ④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性． A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由题可知需检测喝酒的人是否年满20岁，或检测未满20岁的人是否在喝酒，据此可得答案. 【详解】要检验命题，需要保证喝酒的人已经年满20岁，因此需要检测①；同时要保证未满20岁的人没有在喝酒，因此需要检查④． 故选：C． 2．（23-24高二上·甘肃临夏·阶段练习）下列语句是命题的是（ ） A．空集是任何集合的子集 B．指数函数是增函数吗 C．x>15 D．2x-1<0 【答案】A 【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，逐一判断即可. 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，命题是真命题，故A正确； 对于B，指数函数是增函数吗？不是陈述句，故B不正确； 对于C、D，x>15，2x-1<0不能判断真假，故C、D不正确. 故选：A 3．（2023高一下·安徽·阶段练习）关于的方程，给出下列结论：①是该方程的根；②是该方程的根；③该方程两根之和为2；④该方程两根异号.以上四个结论有且仅有一个结论是错误的.则 . 【答案】13 【分析】分别假定①、②、③、④是假命题，可求出答案. 【详解】若②是假命题，则其余三个是真命题，则，，两根不异号，不符合. 若③是假命题，则其余三个是真命题，则两根不异号，不符合. 若④是假命题，则其余三个是真命题，则两根和不为2，不符合. 若①是假命题，则其余三个是真命题，则，，符合.此时，，所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【分析】（1）利用命题的定义判断即可. （2）利用命题的定义判断即可. （3）利用命题的定义判断即可. （4）利用命题的定义判断即可. （5）利用命题的定义判断即可. （6）利用命题的定义判断即可. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 【经典例题二 判断命题的真假】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【答案】B 【分析】分别研究两个命题的真假性即可得到答案. 【详解】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有. 同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故. 这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等. 与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理. 同时，设，则，所以. 故，所以，同理. 有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②： 对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数. 所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取. 根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，. 再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，. 从而对任意整数，据，，有. 这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有. 由于是奇数，故不全是偶数，从而. 根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确； 对于②，设，，. 则满足全部条件，但两两不相等，故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已有条件的适当转化。 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若a、，则关于x的方程的解为． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析. 【分析】（1）推出为的真子集，则得到； （2）举出反例即可. 【详解】（1），则为的真子集， 故，故其为真命题. （2）当时，该方程的解为，故其为假命题. 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【分析】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）试写出一个的值： ，使“若，则”为假命题. 【答案】（答案不唯一）. 【分析】借助有理数与无理数定义即可得. 【详解】如，此时，，故原命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一）. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】（1）举例判断即可； （2）令，均为整数，然后化简变形进行判断. 【详解】（1）假命题．例如一个钝角是160°，一个锐角是20°，它们的差为140°，是钝角，而不是一个锐角． （2）真命题．证明：记均为整数． 令 则均为奇数． 所以． 因为为偶数， 所以为奇数， 即为奇数， 即若为奇数，则是奇数． 【经典例题三 指出命题的条件和结论】 【例1】（2023高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】D 【分析】将A中的命题写成“若p，则q”的形式可判断选项A是错误的；根据命题的定义可判断选项B是错误的；根据菱形的定义可判断选项C是错误的；根据命题的定义可判断D. 【详解】命题“直角相等”，写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的； 语句“当时，方程有实根”是陈述句，而且可以判断真假，所以选项B是错误的； 选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”； 选项D，当时，方程成立，所以是真命题. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，属于基础题. 【例2】（2023高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式. （1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； （2）对顶角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【答案】答案见解析 【分析】找出命题的条件及结论即得. 【详解】（1）若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形. （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等. （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分. （4）如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 1．（23-24高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 【答案】D 【分析】将其改写为“若p，则q”的形式，从而判断A；根据命题的定义判断B；举反例判断C，D； 【详解】对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误； 对于B，所给语句是命题，则B错误； 对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误； 对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了命题的概念以及判断命题的真假，属于中档题. 2．（23-24·辽宁沈阳·三模）已知，，则命题“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则或 C．若且，则 D．若或，则 【答案】A 【分析】根据命题“若，则”的否命题是“若，则”，直接写出它的否命题即可. 【详解】命题“若，则或”的否命题是 “若，则且”. 故选：A. 3．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写． 【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为： 若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 4．（2023高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【答案】答案见解析． 【分析】确定出命题的条件和结论后改写． 【详解】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式： 若两个数的绝对值相等，则它们也相等； （2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式： 若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等； （3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式： 若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等； （4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式： 若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似． 【经典例题四 写出原命题的否命题及真假判断】 【例1】（23-24高二上·四川成都·期中）原命题为 “若，则​且​”，则其否命题为（    ） A．若 ​，则​，且​ B．若 ​，则​，且​ C．若 ​，则​，或​ D．若 ​，则​，或​ 【答案】C 【分析】根据否命题的定义即可判断. 【详解】由原命题的否命题的形式可知： 否命题为“若 ​，则​，或​”. 故选：C 【例2】（2023高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断真假： （1）直角相等. （2）等圆的面积相等，周长相等. （3）有的三角形为正三角形. （4）∀x>0，x+1>. 【答案】答案见解析 【分析】根据命题的否定定义写出否定，并判断真假. 【详解】(1)该命题的否定：有些直角不相等.这是一个假命题. (2)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题. (3)该命题的否定：所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题. (4)该命题的否定：∃>0，使+1≤. 因为x+1-=+>0，所以∀x>0，x+1>是真命题，它的否定是假命题. 【点睛】关键点点睛：全称量词的否定要变成特称量词，特称量词的否定要变成全称量词. 1．（23-24高二上·青海西宁·期末）命题“若，则”的否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据原命题的否命题是条件结论都要否定． 【详解】解：因为原命题的否命题是条件结论都要否定． 所以命题“若，则”的否命题是若，则； 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）“若两直线平行，则同位角相等”的逆命题是（    ） A．若同位角相等，则两直线不平行 B．若两直线平行，则内错角相等 C．若内错角相等，则两直线不平行 D．若同位角相等，则两直线平行 【答案】D 【分析】根据逆命题的定义判断. 【详解】若两直线平行，则同位角相等的逆命题为若同位角相等，则两直线平行. 故选：D. 3．（23-24高一上·上海闵行·期末）“且”的否定形式为 . 【答案】或 【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论. 【详解】原命题的否定形式为：或， 故答案为：或. 4．（23-24高三·全国·专题练习）写出命题“若，则，全为0”的否命题. 【答案】若，则，不全为0. 【分析】根据否命题定义对条件与结论同时否定，即可得结果. 【详解】命题“若，则，全为0”的否命题为：若，则，不全为0. 【点睛】本题考查否命题，考查基本分析求解能力，属基础题. 【经典例题五 写出原命题的逆命题及真假判断】 【例1】（2023高三上·安徽池州·阶段练习）命题p：“若a<b，则a3<b3”的逆命题为q，则p与q的真假性为（    ） A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 【答案】A 【分析】利用函数的单调性即可作出判断. 【详解】∵在上为增函数， ∴， ∴p与q均为真命题. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【详解】（1）若，则； 逆命题：若，则. （2）若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除． （3）若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 1．（23-24高一上·上海金山·期中）命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据逆否命题的定义，易求出命题的逆否命题. 【详解】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题，即命题“若，则”的逆否命题是若“，则”. 故选：C． 2．（2023高二上·广西桂林·期末）命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】根据逆命题的定义即可得出答案. 【详解】由命题“若，则”， 其逆命题为：若，则. 故选：B 3．（23-24高一上·全国·期中）命题“若且，则”的否命题是 .（选填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】根据四种命题的定义，得到命题的逆命题，举例即可判定其逆命题真假，再根据四种的等价关系，即可求解否命题的真假，得到答案. 【详解】由题意，命题“若且，则”的逆命题是“若，则且”， 例如：时，此时成立，但且不成立，则逆命题命题为假命题， 根据四种命题的等价关系，原命题的逆命题与否命题是等价的，所以其否命题也是假命题. 故答案为假. 【点睛】本题主要考查了四种命题的改写，以及四种命题的等价关系的应用，其中解答中熟记四种命题的改写，求得命题的逆命题并判定其真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 4．（2023高一·全国·课后作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．若是假命题，则写出该命题的逆命题． (1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角； (2)当时，或； (3)已知，，当时，，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】由“若p，则q”的形式求解. 【详解】（1）若一个三角形是等腰三角形，则其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角．该命题是真命题． （2）若，则或．该命题是真命题． （3）已知，，若，则，．该命题是假命题． 该命题的逆命题：已知，，若，，则． 【经典例题六 写出原命题的逆否命题及真假判断】 【例1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用逆否命题的定义求解. 【详解】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”. 故选：D 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题真假. 若有两实根，则；； 若，则，. 【答案】真命题；真命题. 【解析】利用方程有实根与判别式关系，求出的范围，再判断是否成立即可； 利用其逆否命题的真假判断原命题的真假即可. 【详解】有两实根，则， 所以原命题为真命题； 其逆否命题为：若且，则，为真命题， 所以原命题为真命题. 【点睛】本题考查命题的真假判断，以及逆否命题与原命题之间的真假性关系，属于基础题. 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆否命题是（    ） A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数 B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数 C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数 D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数 【答案】D 【分析】否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件， 得到的命题是原命题的逆否命题. 【详解】命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆否命题 是：“若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数”. 故选：D. 2．（23-24高二上·吉林·期末）命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用四种命题的相互关系求解. 【详解】解：命题“若，则”的逆否命题是： 若，则， 故选：C 3．（23-24高三上·四川·阶段练习）命题“若，则不都小于1”的逆否命题为 ． 【答案】若都小于1，则 【分析】根据命题逆否命题的形式，即可求解. 【详解】原命题的逆否命题要将原命题的条件和结论都否定后再将所得条件与结论对换， 所以命题的逆否命题是“若都小于1，则”． 故答案为：若都小于1，则 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）写出命题：“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出各个命题的真假. 【答案】逆命题：若，则；假命题. 否命题：若，则；假命题. 逆否命题：若，则；真命题 【分析】由逆命题、否命题、逆否命题的定义直接写出结果并判断． 【详解】逆命题：若，则；当时，满足条件，但结果不成立，所以它是假命题. 否命题：若，则；当时，满足条件，但结果不成立，所以它是假命题. 逆否命题：若，则；真命题 【点睛】本题考查了四种命题形式及其真假判断，属于基础题． 【经典例题七 逆否命题在证明中的应用】 【例1】（2023上海 高一）为了保证“如果一个人参加数学竞赛，那么他的数学成绩必须达到优秀”这一规定成立，老师需要检查以下四位同学的情况。那么，老师至少需要检查哪几位同学？（    ） ①数学成绩优秀的小明，正在报名参加数学竞赛； ②数学成绩未达标的小红，没有报名参加数学竞赛； ③正在报名参加数学竞赛的小刚，数学成绩未知； ④数学成绩未达标的小丽，正在报名参加数学竞赛。 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】：B 【详解】：原命题为“参加数学竞赛→数学成绩优秀”，其逆否命题为“数学成绩未优秀→未参加数学竞赛”。 • 需验证原命题：检查参加竞赛的人成绩是否优秀（③）； • 需验证逆否命题：检查成绩未优秀的人是否未参加竞赛（④）。 因此至少需要检查③和④。 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断命题“若与的积不是有理数，则至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由. 【答案】真命题，理由见解析. 【分析】转化为逆否命题来判断，若都是有理数，则与的积是有理数. 【详解】真命题，理由如下： 原命题的逆否命题：若都是有理数，则与的积是有理数. 由，则可设且， 则，即原命题的逆否命题是真命题，故原命题为真命题. 【点睛】本题考查了命题真假的判断，考查了原命题与逆否命题真假值相同的应用，属于基础题. 1．（23-24高二·全国·单元测试）若命题“如果p,那么q”为真,则(　　) A．q⇒p B．⇒ C．⇒ D．⇒p 【答案】C 【详解】分析：和原命题等价的命题是逆否命题，所以直接写出逆否命题即可. 详解：互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们具有相同的真假性， 原命题的逆否命题为若，则， ⇒ 故选：C. 点睛：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 2．（2023高三·全国·专题练习）有下列四个命题（1）“若，则”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题．其中真命题为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】分别写出命题的逆命题、否命题、逆否命题判断（1），（2），（3）；由互为逆否命题的两个命题共真假判断（4）． 【详解】（1）的逆命题：“若，则”是真命题; （2）的否命题：“面积不相等的三解形不是全等三角形”是真命题； （3）的逆否命题：“若没有实数解，则m>1”是真命题； 命题（4）是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A={1，2，3，4，5}，B={4，5}，显然是错误的，故选D． 【点睛】在判断四种命题之间的关系时，首先要清楚命题的条件和结论，确定一个命题为原命题，就相应的有了它的“逆命题”，“否命题”，“逆否命题”；互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性． 3．（23-24高一·全国·课后作业）求证:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 【答案】构造命题p:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 其逆否命题为:若a+b=1,则a2+2ab+b2+2a+2b-3=0, 下面证明逆否命题为真命题. 因为a+b=1, 所以a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a+b)2+2(a+b)-3=12+2-3=0. 即逆否命题成立,所以原命题为真命题. 【分析】根据命题求出逆否命题，结合完全平方公式即可证得逆命题的真假，从而得到原命题真假. 【详解】构造命题p:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 其逆否命题为:若a+b=1,则a2+2ab+b2+2a+2b-3=0, 下面证明逆否命题为真命题. 因为a+b=1, 所以a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a+b)2+2(a+b)-3=12+2-3=0. 即逆否命题成立,所以原命题为真命题. 【点睛】本题考查命题的证明，如果直接证明有难度，则可以选择证明其逆否命题，根据原命题与逆否命题同真同假即可证得原命题. 4．（23-24高一·全国·课后作业）证明：若，则. 【答案】证明见解析 【解析】先写出原命题的逆否命题，判断逆否命题的真假，再由原命题和逆否命题同真假即得。 【详解】证明：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.由得.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题.故若，则. 【点睛】原命题的真假不易判断时，可通过判断其逆否命题的真假，来证明原命题的真假。 【经典例题八 原命题与逆否命题等价性的应用】 【例1】（23-24高二上·宁夏·期末）下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”的否命题为“若，则” B．命题“”的否定是“” C．命题“若，则”的逆否命题为假命题 D．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 【答案】D 【解析】利用四种命题的逆否判断的正误，命题的否定判断的正误；根据充分条件与必要条件判断C的正误；根据椭圆的离心率可得关系，进而求得双曲线的渐近线方程； 【详解】解：对于，命题“若，则”的否命题为：“若，则”，故错误； 对于，命题“，使得”的否定是：“ 均有”，故错误； 对于，因为原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，故C错误； 对D，因为，所以双曲线的渐近线方程为，故 D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用． 【例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）证明：“已知、，若，则.”为真命题. 【答案】证明见解析. 【分析】根据原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. 【详解】由原命题与逆否命题同真同假,将命题变为逆否命题去证明真假即可. “已知、,若,则. 其逆否命题为“已知、,若,则. 证明如下:若 则 所以 “已知、,若,则.成立 即原命题“已知、,若,则.”为真命题 得证. 【点睛】本题考查了原命题与逆否命题的真假关系及简单应用,利用等价关系证明简单的命题,属于基础题. 1．（23-24高二下·陕西商洛·阶段练习）在命题“若是奇数，则，都是奇数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】举出反例得到原命题为假命题，根据命题之间的关系得到逆否命题也是假命题，判断出逆命题为假命题，从而否命题也是假命题. 【详解】“若是奇数，则，都是奇数”是假命题，可举出反例，比如为奇数，但中一奇一偶，故原命题为假命题，则逆否命题也是假命题. “若是奇数，则，都是奇数”的逆命题是“若，都是奇数，则是奇数”，此为假命题， 因为若，都是奇数，则为偶数，故“若是奇数，则，都是奇数”的否命题也是假命题； 综上：真命题的个数为0. 故选：D 2．（2023·广西梧州·一模）命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原命题和它的逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可. 【详解】原命题：若，则是真命题，它的逆否命题为真命题， 逆命题为：若，则为假命题．否命题为假命题， 所以在三个命题中真命题的个数是， 故选：B． 3．（2023高二上·广西·阶段练习）“若，则”的逆否命题为 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】判断原命题的真假后可得逆否命题的真假． 【详解】时，，因此命题“若，则”是假命题．从而逆否命题也是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查四种命题的关系，在四种命题中互为逆否的两个命题同真假．即原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．常常在一个命题不易判断真假时，可能通过判断其逆否命题的真假得出结论． 4．（23-24高一上·上海浦东新·开学考试）已知实数，满足. (1)求证：中至少有一个实数不小于1； (2)设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用反证法求解即可； （2）由于若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现，分析即得解. 【详解】（1）假设全都小于1，则与题目矛盾， 故中至少有一个实数不小于1. （2）因为且， 集合的所有非空子集数为个， 由于时，中的元素和为0，因此计算所有的，的和时，不妨把也计上， 因为若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现， 所以在32个子集中一定有16个包含，另外16个不包含， 故的平均值. 【经典例题九 已知命题的真假求参数】 【例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意求出的取值范围，判断选项 【详解】由题意得，，解得 故选：D 【例2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，是真命题，即，可得的取值范围； （2）根据题意可得若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题，结合（1）的结论可解. 【详解】（1）根据为假命题，可得是真命题， 即方程有两个不相等的实数根， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是； （2）若命题为真命题， 由（1）可知此时必定为真命题，不符合题意； 所以若p、q中一真一假，则为真命题且为假命题， 此时且，即，可得实数的取值范围是. 1．（2023高二上·甘肃白银·期末）若“且”是真命题，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合交集判断真命题的等价条件. 【详解】由，解得． 故选：B. 2．（2023高二上·陕西西安·期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据命题为真命题，转化为，恒成立求解. 【详解】因为命题为真命题，即，恒成立， 即，恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：B 3．（2023高一·全国·课后作业）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 【经典例题十 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（25-26高一上·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质可判断充分性，用特殊值验证可说明必要性不成立. 【详解】若，由不等式的基本性质得，则成立，即． 若，不妨取，则不成立，即． 所以是的充分不必要条件． 故选：A 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合元素的特征证明即可. 【详解】集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于集合，即是的充分条件； 又，而，即由推不出，即必要性不成立； ∴“”的充分非必要条件是“”. 1．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 2．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）对于实数，“”是“且”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】由，可得且，可知充分性成立，赋值法可判断必要性不成立. 【详解】由，可得且，所以且， 所以“”是“且”的充分条件； 满足且，但， 所以“”不是“且”的必要条件． 所以“”是“且”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 4．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合． (1)判断8、9、10是否属于集合A； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的定义即可判断； （2）由即可证明. 【详解】（1）∵，，∴，， 假设，m，， 则，且， ∵，或， 显然均无整数解，∴， ∴，，. （2）∵集合， 则恒有，∴， ∴即一切奇数都属于A， 又∵，， ∴“”的充分不必要条件是“”. 【经典例题十一 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）若是的充分不必要条件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可． 【详解】由是的充分不必要条件知“若则”为真，“若则”为假， 根据互为逆否命题的等价性知，“若则”为真，“若则”为假， 故选：B． 【例2】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 1．（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记，，依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】记，， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于，所以， 所以的取值范围为. 故选：D 3．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集和交集的定义可得出集合，； （2）根据题意可知,分析可知，，根据集合的包含关系可得出关于的不等式组，解出的取值范围，再对的取值范围的端点值进行检验即可得解. 【详解】（1）当时，， 又因为，则，. （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，则, 因为，则，则， 由题意可得，解得， 检验：当时，，合乎题意， 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【经典例题十二 充分条件】 【例1】（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 【例2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”的充分条件是“”，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）时，，或， 因为，所以. （2）若“”的充分条件是“”，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【详解】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 2．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件定义即得. 【详解】由，是的充分条件， 所以，故 故选：C 3．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据充分条件的知识列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，“”是“”的充分条件， 所以， 所以，解得或. 故答案为：或 4．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中p是q的充分条件吗？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：. 【答案】(1)p是q的充分条件. (2)p是q的充分条件. 【分析】（1）根据三角形的性质及充分条件的概念判断即可； （2）根据一元二次方程的根及充分条件的概念判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，则由得，所以p是q的充分条件. （2）当时，成立，故p是q的充分条件. 【经典例题十三 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件与集合之间的关系，判断出两个集合之间的包含关系，求出结果. 【详解】已知，则，解得， 因为，所以“”不可以推导出“”，但是“”能推导出“”， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，，； (2)对于实数，，，或； (3)，. 【答案】(1)是的充分必要条件. (2)是的充分不必要条件. (3)是的必要不充分条件. 【分析】根据充分、必要条件条件的定义判断即可. 【详解】（1）在中，显然有，所以是的充分必要条件. （2）由，则或； 当时，满足或，但， 所以是的充分不必要条件. （3）由得或； 所以是的必要不充分条件. 1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知命题：两个三角形对应两边成比例，：两个三角形相似，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由相似三角形的性质和判定，结合充分性、必要性的判断，得到答案. 【详解】由相似三角形的性质定理可知，若两个三角形相似，则两个三角形对应两边成比例，必要性成立； 由相似三角形的判定定理可知，若两个三角形对应两边成比例且夹角相等， 或两个三角形对应三边成比例，则两个三角形相似，充分性不成立； 故是的必要不充分条件． 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【分析】先证充分性，利用反例可得其是否成立；再证必要性，根据分式不等式的求解，分情况讨论，可得答案. 【详解】由，可取，则，故充分性不成立； 由，则当时，；当时，， 所以，故必要性成立. 故答案为：必要非充分 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的 条件；并证明. 【答案】必要不充分，证明见解析 【分析】根据一元二次方程的根的分布以及充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的必要不充分条件. 证明如下： 方程（）有一个正根和一个负根， 等价于，即. 又是的必要不充分条件， 所以“”是“方程（）有一个正根和一个负根”的必要不充分条件. 【经典例题十四 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得. 【详解】“”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 【例2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)当时，求出集合利用补集和交集的运算可求得集合； (2)由必要不充分条件的定义可知且，再利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，即， 所以集合. 又全集，所以， 当时，集合， 所以. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且. 所以或，解得. 故实数的取值范围为. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若是的必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为集合的包含关系，结合集合的运算，即可求解. 【详解】设集合，， 因为是成立的必要条件，可得，可得. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】由命题“，”为真命题， 得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件. 故选：. 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 【经典例题十五 必要条件】 【例1】（24-25高一上·贵州遵义·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，根据必要不充分定义得到结果. 【详解】因为，所以， 则“”是“”的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 1．（2023高一上·全国·专题练习）若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据交并补运算结果，借助韦恩图，对每个命题进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对①，即为，故符合； 对②，即为，故不符合； 对③，结合图可得即为，故符合； 对④，即为，故可得，但得不到，故不符合； 对⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，这与不等价， 故五个命题中，与等价的有2个， 故选：B. 2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出两个集合，若是的充分条件，则，从而得到不等式，求出答案；由是的必要条件可得，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 【经典例题十六 充要条件的证明】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】的式子，一般要分k为奇数与偶数两种情况讨论. 【详解】因为，所以或， 对， 当时，，与对应； 当时，，与对应， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【例2】（23-24高二·福建福州·阶段练习）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 2．（2025高三下·甘肃武威·专题练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断结合一元二次方程的根的情况可判断. 【详解】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）已知两个命题p：，q：，则p是q的 条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）. 【答案】充要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】当时， 若中至少有一个为零，则成立， 若，则， 若，则， 综上，当时，成立，故充分性成立； 当时，，即， 整理得，所以成立，故必要性成立； 所以p是q的充要条件. 故答案为：充要 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义即可证明. 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 【经典例题十七 探求命题为真的充要条件】 【例1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知p, q都是r的必要条件， s是r的充分条件， q是s的充分条件， 那么： (1)s是q的什么条件？ (2)p是q的什么条件？ 【答案】（1）充要条件；（2）必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义和关系进行推理即可. 【详解】(1)，是的充分也是必要条件． (2)是的必要条件． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义进行推导即可，属于简单题. 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 【答案】A 【分析】结合不等式的性质即可求解，结合充分必要条件的定义即可求解． 【详解】解：且， 故的充要条件为都不为2． 故选：A． 2．（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论是否为0，当时，显然无解，故，用表示出方程的解，令结果大于0，求得的取值范围. 【详解】当即时，，，所以； 当即时，，. 故选：C. 3．（2024高一·全国·专题练习）写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 【答案】 【分析】将化简即可得到答案. 【详解】将等式整理得， 即，即． 故原式的等价于：． 故答案为： 4．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要条件但不是充分条件. 【详解】（1）（1）因为集合，， 若，则， 故的一个既充分也必要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要条件但不是充分条件可以是.（答案不唯一）. 【经典例题十八 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 【例2】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 2．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 4．（2023高一上·江苏·期中）已知，恒成立，． （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，恒成立，即△，解得即可求得集合． （2）由是的必要不充分条件，则，根据集合之间的关系，即可求出 的范围． 【详解】解：（1），恒成立， △，得到， ． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 当，即，所以， 当，即， 所以，，即， ，即， 所以， 综上所述：． 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用充分必要条件的定义进行判断求解，属于基础题． 【经典例题十九 既不充分也不必要条件】 【例1】（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举反例和可得出. 【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件. （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， ∴是的必要非充分条件. 1．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取，可判断充分性不成立；取，可判断必要性不成立，从而得到答案. 【详解】取，此时，则充分性不成立；取，此时，则必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的定义判断． 【详解】时，，但仍然有，因此不充分， 时，，但仍然有，因此不必要． 故选：D． 3．（23-24高一上·福建南平·阶段练习）已知，则是的 条件（请用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”回答） 【答案】既不充分又不必要条件 【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】当时,满足但不成立. 当时,满足但不成立. 故p是q的既不充分又不必要条件. 故答案为：既不充分又不必要条件. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)四边形的对角线互相平分，四边形是矩形； (4)，； (5)，关于x的方程有实根. 【答案】(1)必要不充分； (2)既不充分也不必要； (3)必要不充分； (4)充分不必要； (5)充分不必要 【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）解：由可得或， 即由推不出，但由可以推出， 所以条件p是条件q的必要不充分条件； （2）解：由是直角三角形推不出是等腰三角形， 由是等腰三角形推不出是直角三角形， 所以条件p是条件q的既不充分也不必要条件； （3）解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)， 由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分， 所以条件p是条件q的必要不充分条件； （4）解：由可得，即有， 但由只能得， 即由可以推出，但由不可以推出， 所以条件p是条件q的充分不必要不条件； （5）解：由，可得， 从而得方程有实根， 但由方程有实根，可得， 即， 即由可以推出，但由不可以推出， 所以条件p是条件q的充分不必要不条件. 【经典例题二十 反证法的概念辨析】 【例1】（23-24高一上·上海·阶段练习）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 【例2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是（    ） A．且 B．a，b不全为0 C．a，b中至少有一个为0 D．a，b中只有一个为0 【答案】B 【分析】根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项. 【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a，b全为0的否定是a，b不全为0，故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题. 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）用反证法证明时，否定结论“至多有一个解”的说法中，正确的是（    ） A．没有解 B．有一个解 C．至少有两个解 D．至少有一个解 【答案】C 【分析】应用反证法反设命题即可. 【详解】因为“至多有一个解”意思为：解的个数小于等于一个，所以用反证法否定结论时，取他的反面，可设解的个数大于一个，又因为解的个数必须为整数个，所以假设至少有两个解. 故选：C 2．（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）给出一个命题：若，且，则中至少有一个小于零，在用反证法证明时，应该假设（    ） A．中至少有一个正数 B．全为正数 C．全都大于或等于0 D．中至多有一个负数 【答案】C 【分析】由反证法的定义结合命题的否定可得. 【详解】因为“中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”， 所以由用反证法证明数学命题的方法时，对结论进行否定，应假设“全都大于等于”. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【答案】或 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 【答案】假设三角形的内角至少有两个钝角. 【分析】求出要证命题：“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得到结论. 【详解】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立， 而要证命题：“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故应先假设三角形的内角至少有两个钝角. 故答案为：假设三角形的内角至少有两个钝角. 【经典例题二十一 反证法证明】 【例1】（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（    ） A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个奇数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 【答案】A 【分析】利用反证法的步骤直接可得出答案. 【详解】利用反证法，则需假设“自然数a，b，c都不是奇数”，即“自然数a，b，c都是偶数”. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【答案】证明见解析 【分析】假设，，，利用不等式的基本性质推出矛盾，结合反证法的原理得出所证结论成立. 【详解】假设，，，由不等式的基本性质得，这与矛盾， 故假设不成立，故、、中至少有一个小. 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则三个数，，（    ） A．至少有一个大于0 B．至少有一个大于等于0 C．都大于0 D．可能都小于0 【答案】B 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】因为 ，当时取等号， 假设三个数，，都小于0， 则，这与矛盾， 所以三个数，，至少有一个大于等于0. 故选：B. 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知，，，用反证法证明“与至少有一个不小于3”的假设是（    ） A．与有一个不小于3 B．与至多有一个不小于3 C．与至少有一个大于3 D．与都小于3 【答案】D 【分析】根据量词的否定形式可得答案. 【详解】因为“至少有一个不小于”的否定是“都小于”． 所以“与至少有一个不小于3”的假设是与都小于3， 故选：D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设 ，得出的矛盾为 . 【答案】 （或） 【详解】由题意假设，则，，， 因为，所以， 即，所以， 因为不论q为何值，都大于等于0，即假设不成立，所以. 由以上分析过程可知：反设为，得出的矛盾为. 同理可得出矛盾. 综上：反设为， 得出的矛盾为或. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）设且互不相同时，中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先假设均大于等于，则，再根据基本不等式推出，与假设矛盾，即可证明； （2）先根据已知条件求出，再假设中都小于，求出的范围与已知矛盾，即得证. 【详解】解：（1）假设均大于等于， 则， 则， 且互不相同， ， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 这与均大于等于矛盾， 故假设不成立， 则且互不相同时， 中至少有一个小于． （2）， ， ， ， 则， 故， 假设中都小于， 即，，， 即与矛盾， 故中至少有一个不小于． 【拓展训练一 各类命题的真假判断】 【例1】（23-24高二上·福建·期中）命题“若，则”的否命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】根据否命题的知识可选出答案. 【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则” 故选：B 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： （1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （2）矩形的对角线互相平分且相等； （3）相似三角形一定是全等三角形. 【答案】（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”；原命题为真命题，否命题也为真命题；（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”；原命题是真命题，否命题是真命题；（3）否命题是：“如果两三角形不相似，那么它们一定不是全等三角形”；原命题是假命题，否命题是真命题. 【分析】（1）先根据概念写出否命题，再分别判断原命题及否命题的真假； （2）先将命题改成“如果，那么”，再根据概念写出否命题，再分别判断原命题及否命题的真假； （3）先将命题改成“如果，那么”，再根据概念写出否命题，再分别判断原命题及否命题的真假. 【详解】（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”；原命题为真命题，否命题也为真命题； （2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”；原命题是真命题，否命题是真命题； （3）否命题是：“如果两三角形不相似，那么它们一定不是全等三角形”；原命题是假命题，否命题是真命题. 【点睛】本题考查否命题以及命题真假判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 1．（23-24高二上·山东济南·开学考试）设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（    ） A．若方程有实根，则 B．若方程没有实根，则 C．若方程有实根，则 D．若方程没有实根，则 【答案】B 【分析】由逆否命题的定义判定即可. 【详解】原命题的逆否命题是将条件与结论互换并分别否定， 即命题“若，则方程有实根”的逆否命题是“若方程没有实根，则”. 故选：B 2．（24-25高三下·广西·期中）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】先确定原命题的真假，再得到否命题的真假，判断选项即可. 【详解】注意到当时，，则是假命题，是真命题； 又注意到时，，则为真命题，是假命题； 所以和都是真命题． 故选：B. 3．（23-24高二下·北京·期末）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 【答案】①②③ 【解析】举出反例可判断①②③，按照、分类，即可判断④，即可得解. 【详解】对于①，由，可得，故①为假命题； 对于②，由，可得，故②为假命题； 对于③，由，可得，故③为假命题； 对于④，当时，，， 此时满足； 当时，，， 此时满足；故④为真命题； 故答案为：①②③. 【点睛】解决本题的关键是准确理解题目中的概念，举出合理反例、合理分类. 4．（23-24高二上·新疆·期中）写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 【答案】见解析 【分析】根据四种命题的定义即可写出，逐一判断真假即可. 【详解】逆命题：若且，则.真命题 否命题：若，则或.真命题 逆否命题：若或，则.真命题 【点睛】本题主要考查逆命题，否命题，逆否命题及其真假判断，属于中档题. 【拓展训练二 命题及其各类条件的判定和证明】 【例1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且，可得，所以是的充分条件； 如，故是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【例2】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件． (1)，中至少有一个不为零； (2)，； 【答案】(1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 (3)p是q的充要条件 【分析】（1）（2）根据充分、必要条件分析判断； 【详解】（1）若可得中至少有一个不为零，即充分性成立， 但中至少有一个不为零不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. （2）若可得，即充分性成立， 但不能得出，例如，即必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. (删了3） 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的概念进行判断即可. 【详解】因为若，则； 若，则． 故“”是“”的充要条件． 故选：A 3．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】判断“”和“”之间的推出关系，即可得答案. 【详解】当时，可得，当时，也可得出， 故“”是“”的充要条件， 故答案为：充要 4．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【答案】必要非充分条件 【分析】利用韦达定理结合不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】由韦达定理，， 判定条件结论 （注意条件中，、需满足） ①由得，，所以． ②为了证明，可以举出反例 取，，满足，，但不成立． 综上可知，是两根均大于1的必要非充分条件． 【拓展训练三 根据命题的各类条件求参数】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 【例2】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合，集合． (1)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． (2)若；求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论； （2）先说明，由条件结合交集的定义列不等式求的范围. 【详解】（1）命题，命题，若是的充分条件，则有． 所以解得：． 所以实数的取值范围． （2）因为，要使，只需或， 解得：或． 所以实数的取值范围． 1．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件可得答案. 【详解】若，则或，可得，或， 故由不一定推出； 反之，若，则，则， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高二上·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可求得实数的取值范围； （2）分析可知，，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 【答案】B 【分析】由，则为偶数可判断；时可判断. 【详解】若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）有下列三个命题：①“若，则互为相反数”的否命题；②“若，则”的否命题；③“若或，则”的逆否命题.其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据否命题的定义写出①②中命题的否命题并判断真假，根据原命题和逆否命题的真假性关系可得③的真假性. 【详解】对于①，“若，则互为相反数”的否命题为“若，则不互为相反数”；由相反数定义可知原命题的否命题为真命题； 对于②“若，则”的否命题为“若，则”， 当，时，，原命题的否命题为假命题； 对于③，当，时，，即原命题为假命题，其逆否命题为假命题； 综上所述：真命题的个数为. 故选：B. 4．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）设，下列四个命题中真命题的是（    ） A．“若，则” 的否命题 B．“若，则” 的逆否命题 C．若，则且 D．“若，则”的逆命题 【答案】D 【分析】对于AB，举例判断，对于C，直接解方程，对于D，由不等式的性质判断 【详解】对于A，命题“若，则”的否命题为““若，则”，若，则，所以A错误， 对于B，命题“若，则” 的逆否命题为“若，则” ，若，则，所以B错误， 对于C，若，则或，所以C错误， 对于D，“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以，所以，所以D正确， 故选：D 5．（2023高二上·河南驻马店·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与不等价 B．一个命题的逆命题为假，则它的逆否命题一定为真 C．“若全不为，则”的逆否命题是“若，则全为” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 【答案】D 【分析】根据四个命题的关系，直接判断选项. 【详解】A.，反过来，所以两个不等式等价，故A不正确； B.原命题的逆命题和逆否命题是互否关系，不等价，所以不能判断逆否命题是否一定为真，故B不正确； C. “若全不为，则”的逆否命题是“若，则至少一个为”，故C不正确； D.一个命题的否命题和逆命题是互为逆否关系，所以两个命题等价，故D正确. 故选：D 6．（多选题）（（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（   ） A．有些菱形是正方形 B．若，则 C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据特称命题的定义，逐项进行检验，可得答案. 【详解】对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A正确； 对于B，等价于，则，这不是存在量词命题，故B错误； 对于C，对有，故C正确； 对于D，对有，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选题）（（24-25高一上·浙江温州·期中）若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】根据充分不必要条件，可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 易知. 故选：ABC. 8．（多选题）（（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可. 【详解】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 9．（多选题）（（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 10．（多选题）（（24-25高一上·山西大同·阶段练习）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件时m的范围，可得它的真子集即为充分不必要条件，选出结果． 【详解】“不等式在上恒成立”的充要条件即方程至多一个实数根， 所以，解得， 所以不等式恒成立的充分不必要条件是的真子集． 故选：CD. 11．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）命题，则 【答案】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】，则. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，解不等式组即可得解． 【详解】，， 是的充分条件， 则，解得， 故答案为：． 13．（23-24高一·全国·课后作业）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】由题意得是的真子集，故. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海嘉定·期中）命题“已知，如果，那么或”的逆否命题为 . 【答案】如果且，那么 【分析】根据逆否命题的定义和复合命题的否定即可写出原命题的逆否命题. 【详解】“或”的否定是“且”，“”的否定是“”， 所以原命题的否定是“如果且，那么”， 故答案为：如果且，那么. 15．（23-24高二上·浙江·期末）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 /0.5 【分析】分别根据充要条件以及必要不充分条件的含义即可求解. 【详解】因为A是B的充要条件，则解集相同.，得，因为，则，解得；因为A是B的充分不必要条件，即 ，又因为，且，则，需要，解得，即 故答案为：； 16．（2023高二上·安徽安庆·阶段练习）写出命题“若m<1,则一元二次方程x2 +x+m=0有实数解”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. 【答案】答案见解析 【分析】由逆命题、否命题和逆否命题的概念改写，结合二次方程的性质判断即可. 【详解】逆命题：若一元二次方程x2 +x+m=0有实数解，则m<1， 因为一元二次方程x2 +x+m=0有实数解， 所以Δ=1-4m≥0，所以逆命题是真命题； 否命题：若m≥1,则一元二次方程x2 +x+m=0没有实数解， 因为m≥1，所以，方程x2 +x+m=0没有实数解，所以是真命题； 逆否命题：若一元二次方程x2 +x+m=0没有实数解，则m≥1， 由于方程无实数解，则，得不到m≥1，所以是假命题. 17．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用判别式求解可得； （2）分和，根据集合关系讨论即可. 【详解】（1）若是真命题，则， 解得，则； （2）当，即时，，此时，满足； 当，即时，， 因为，所以，则或，解得. 综上，实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 19．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）写出下列命题的否定． ①所有能被3整除的整数都是奇数； ②的个位数字不等于3． （2）请判断下列两个命题中，p是否为q的充要条件，并说明理由． ①两个三角形相似，这两个三角形的三边对应成比例； ②． 【答案】（1）答案见解析；（2）①是，理由见解析；②不是，理由见解析 【分析】（1）根据含有存在量词或全称量词的否定求解即可； （2）根据充分必要的定义判断即可. 【详解】（1）①命题的否定：存在能被3整除的整数不是奇数； ②命题的否定：的个位数字等于3； （2）①是的充要条件， 由三角形相似，，所以是的充分条件. 再相似三角形的判定定理，，所以是的必要条件， 综上，是的充要条件. ②不是的充要条件, ，但可能，所以不能推出，即不是的充分条件. 可得，所以能推出，即是的必要条件， 所以是的必要不充分条件，不是充要条件. 20．（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明见解析 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$