专题02 不等式（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦上海高考不等式工具性应用，构建“基础-中档-压轴”三阶方法体系，融合逻辑推理与跨模块知识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考向1-5|5考向，含2026真题典例4道+3年真题13道+模拟题20道|基础解法规范/逻辑判断技巧/均值配凑方法/参变分离策略/压轴工具应用|从基础求解到跨模块工具应用递进，贯穿分类讨论、数形结合思想，强化数学思维的严谨性与迁移性|

专题02 不等式 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 不等式是上海高考数学贯穿全卷的工具性核心模块，试卷命题特点为不单独设置纯不等式解答大题，全面渗透填空题、选择题、函数导数、解析几何、数列压轴、实际应用题所有题型。 上海卷核心命题特色：弱化纯不等式证明，强化不等式代数工具属性，深度融合多模块知识，重点考查逻辑推理、分类讨论、数形结合三大核心数学思想。 考向1：基础不等式求解（一元二次、分式、绝对值） 2026春考第2题 2025秋考第2题 2025春考第2题 2024秋考第3题 2024春考第9题 考向2：不等关系与逻辑判断（大小比较、充要条件） 2026春考第14题 2024春考第13题 考向3：基本不等式最值（均值不等式配凑、实际应用） 2026秋考第7题 2025秋考第8题 2024春考第6题 考向4：含参不等式恒成立（导数、函数综合） 2025秋考第16题 2024春考第21题 考向5：不等式压轴工具应用（21题隐性必考） 2026秋考第19题 2025秋考第19题 2025春考第21题 2024秋考第18题 2024秋考第21题 1. 跨模块融合全面升级：基础题绑定几何切线意义，中档题融合解析几何参数约束，应用题结合生活实景，彻底打破单一知识壁垒； 2. 多元变量考查常态化：摒弃传统单变量简单比较，重点考查双变量、三变量对称代数式最值与不等判断，强化均值不等式灵活变形能力； 3. 不等式与逻辑证明深度绑定：新定义大题主流解法为“假设存在—推导矛盾不等式—否定假设”，将不等关系与反证法、逻辑推理深度融合； 4. 重审题轻计算：大幅减少复杂代数运算，重点设置等号成立条件、变量取值范围、恒成立/存在性文字辨析陷阱，考查学生审题细致度与思维严谨性。 2027届备考延伸策略 1. 基础夯实：熟练掌握一元二次、分式、绝对值不等式通用解法，规范解题步骤，杜绝定义域、符号、解集书写等低级失误； 2. 中档突破：专项强化参变分离恒成立/存在性题型、基本不等式拆分配凑技巧、实际情境建模转化训练，攻克中等分值核心难点； 3. 压轴拔高：针对性训练导数构造函数放缩、数列递推不等式放缩、简单凹凸不等式应用，掌握压轴题通用推导逻辑； 4. 习惯优化：所有最值、范围类题型，第一步优先标注变量取值范围，最后验证等号可取性，规避高频扣分陷阱。 考向一 基础不等式求解 典例1．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 考向二 不等关系与逻辑判断 典例2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考向三 基本不等式最值 典例3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 考向四 不等式压轴工具应用 典例4．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 考向一 基础不等式求解 1．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 3．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 考向二 不等关系与逻辑判断 5．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 考向三 基本不等式最值 6．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 7．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 考向四 含参不等式恒成立 8．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 9．（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 考向五 不等式压轴工具应用 10．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 11．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 12．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 13．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 二、填空题 3．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 4．（2026·上海·一模）不等式的解集为__________. 5．（2026·上海·三模）不等式的解集是______． 6．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 7．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 8．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 9．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 10．（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 11．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 12．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 13．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 14．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 15．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 16．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 三、解答题 17．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 18．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 19．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 20．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 不等式是上海高考数学贯穿全卷的工具性核心模块，试卷命题特点为不单独设置纯不等式解答大题，全面渗透填空题、选择题、函数导数、解析几何、数列压轴、实际应用题所有题型。 上海卷核心命题特色：弱化纯不等式证明，强化不等式代数工具属性，深度融合多模块知识，重点考查逻辑推理、分类讨论、数形结合三大核心数学思想。 考向1：基础不等式求解（一元二次、分式、绝对值） 2026春考第2题 2025秋考第2题 2025春考第2题 2024秋考第3题 2024春考第9题 考向2：不等关系与逻辑判断（大小比较、充要条件） 2026春考第14题 2024春考第13题 考向3：基本不等式最值（均值不等式配凑、实际应用） 2026秋考第7题 2025秋考第8题 2024春考第6题 考向4：含参不等式恒成立（导数、函数综合） 2025秋考第16题 2024春考第21题 考向5：不等式压轴工具应用（21题隐性必考） 2026秋考第19题 2025秋考第19题 2025春考第21题 2024秋考第18题 2024秋考第21题 1. 跨模块融合全面升级：基础题绑定几何切线意义，中档题融合解析几何参数约束，应用题结合生活实景，彻底打破单一知识壁垒； 2. 多元变量考查常态化：摒弃传统单变量简单比较，重点考查双变量、三变量对称代数式最值与不等判断，强化均值不等式灵活变形能力； 3. 不等式与逻辑证明深度绑定：新定义大题主流解法为“假设存在—推导矛盾不等式—否定假设”，将不等关系与反证法、逻辑推理深度融合； 4. 重审题轻计算：大幅减少复杂代数运算，重点设置等号成立条件、变量取值范围、恒成立/存在性文字辨析陷阱，考查学生审题细致度与思维严谨性。 2027届备考延伸策略 1. 基础夯实：熟练掌握一元二次、分式、绝对值不等式通用解法，规范解题步骤，杜绝定义域、符号、解集书写等低级失误； 2. 中档突破：专项强化参变分离恒成立/存在性题型、基本不等式拆分配凑技巧、实际情境建模转化训练，攻克中等分值核心难点； 3. 压轴拔高：针对性训练导数构造函数放缩、数列递推不等式放缩、简单凹凸不等式应用，掌握压轴题通用推导逻辑； 4. 习惯优化：所有最值、范围类题型，第一步优先标注变量取值范围，最后验证等号可取性，规避高频扣分陷阱。 考向一 基础不等式求解 典例1．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 考向二 不等关系与逻辑判断 典例2．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 考向三 基本不等式最值 典例3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 考向四 不等式压轴工具应用 典例4．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 考向一 基础不等式求解 1．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 3．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 考向二 不等关系与逻辑判断 5．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 考向三 基本不等式最值 6．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 7．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 考向四 含参不等式恒成立 8．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 9．（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【答案】(1)； (2) 由题意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先减后增，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. (3) 必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 考向五 不等式压轴工具应用 10．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 11．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 12．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 13．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 2．（2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【详解】设，则， 对于①，当时，，故，满足点到轴与轴的距离之差为1，①正确； 对于②，由基本不等式可得，即，故，②错误. 二、填空题 3．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】因为，所以，即，所以解集为 4．（2026·上海·一模）不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】当时，则有，满足题意； 当时，则，由可得，解得. 故原不等式的解集为. 5．（2026·上海·三模）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】， 所以原不等式的解集为. 6．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【答案】 【详解】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 7．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 8．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 9．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 10．（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 11．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 12．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 13．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 14．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 15．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 16．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 三、解答题 17．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 18．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【详解】（1）解：设，因为点焦点的距离等于， 由抛物线的定义，可得 ，故 将代入抛物线，可得， 所以点的坐标为或. （2）解：由题意，设直线方程，且 由，可得，即， 即 ，解得， 联立方程组，整理得， 则，且，所以，解得， 所以直线方程，当时，， 此时直线过定点，定点坐标为. （3）解：由题意，可设直线且， 由，可得  则直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 同理可得：，即， 则， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 19．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【详解】（1）由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； （2）法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； （3）当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 20．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】(1)函数和函数为T函数，理由：，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $