专题04 有理数的混合运算（重难点讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的混合运算核心知识点，系统梳理加减运算（含法则及减法转化加法思想）、乘除运算（含乘法法则、符号规律、倒数及除法转化乘法）、乘方（含定义及符号法则），最终整合为混合运算顺序（先乘方再乘除后加减，同级从左到右，括号优先），构建从基础到综合的学习支架。 该资料以明确目标为导向，分题型设计典例与变式，结合巩固及强化训练。通过“题型04”中解题过程错误分析，培养学生运算能力与推理意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层训练查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题04 有理数的混合运算 1. 掌握有理数加法、减法的课本运算法则，能熟练进行加减运算；理解有理数减法的转化思想，掌握加减混合运算的统一方法； 2. 熟记有理数乘、除法法则，准确判断运算结果的符号；掌握倒数的定义和求法，理解除法与乘法的转化关系； 3. 理解乘方、底数、指数、幂的课本定义，区分易混淆乘方形式；掌握乘方运算的符号法则，能熟练计算有理数的乘方； 4. 严格掌握课本规定的有理数混合运算顺序，规范解题步骤. 一、有理数的加减运算 1. 有理数加法法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0（互为相反数相加得0）； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 2. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：。核心思想：将减法运算全部转化为加法运算。 3. 有理数的加减混合运算：统一成加法运算，省略加号和括号，写成省略括号的和的形式，再计算。 二、有理数的乘除运算 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2. 多个有理数相乘符号规律：几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数；只要有一个因数为0，积就为0。 3. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。1的倒数是1，-1的倒数是-1，0没有倒数。 4. 有理数除法法则 （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数，都得0； （2）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 3、 有理数的乘方 1. 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 2. 乘方符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。 四、有理数的混合运算 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 题型01有理数的加减混合运算 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式】计算： 题型02多个有理数的乘法运算 【典例】不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【变式】计算： (1)； (2)． 题型03有理数的乘除混合运算 【典例】计算： 【变式】计算： (1)； (2)； (3)． 题型04有理数四则混合运算 【典例】计算：． 【变式】阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 题型05乘方运算的符号规律 【典例】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型06含乘方的有理数混合运算 【典例】计算： 【变式】计算：． 【巩固训练】 1．计算：得（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．_______． 5．______． 6．计算：． 7．在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 8．规定表示某种新计算：；计算：（） 9．计算： (1) ． (2)； 10．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【强化训练】 1．如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 2．若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 3．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 4．_________． 5．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 6．计算：． 7．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1) (2) / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的混合运算 1. 掌握有理数加法、减法的课本运算法则，能熟练进行加减运算；理解有理数减法的转化思想，掌握加减混合运算的统一方法； 2. 熟记有理数乘、除法法则，准确判断运算结果的符号；掌握倒数的定义和求法，理解除法与乘法的转化关系； 3. 理解乘方、底数、指数、幂的课本定义，区分易混淆乘方形式；掌握乘方运算的符号法则，能熟练计算有理数的乘方； 4. 严格掌握课本规定的有理数混合运算顺序，规范解题步骤. 一、有理数的加减运算 1. 有理数加法法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0（互为相反数相加得0）； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 2. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：。核心思想：将减法运算全部转化为加法运算。 3. 有理数的加减混合运算：统一成加法运算，省略加号和括号，写成省略括号的和的形式，再计算。 二、有理数的乘除运算 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2. 多个有理数相乘符号规律：几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数；只要有一个因数为0，积就为0。 3. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。1的倒数是1，-1的倒数是-1，0没有倒数。 4. 有理数除法法则 （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数，都得0； （2）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 3、 有理数的乘方 1. 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 2. 乘方符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。 四、有理数的混合运算 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 题型01有理数的加减混合运算 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ． 【变式】计算： 【答案】 10 【详解】解：原式 ． 题型02多个有理数的乘法运算 【典例】不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 【变式】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型03有理数的乘除混合运算 【典例】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型04有理数四则混合运算 【典例】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式】阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号 (2)见解析 【详解】（1）解：计算括号内的式子得：，因此步骤①计算正确； 乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，步骤②先计算了，改变了正确的运算顺序，因此第一处错误是第②步； 原式中，正数除以负数应得负值，而结果为正数，结果符号错误，遗漏负号，因此第二处错误是第③步； 故答案为：②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号． （2）解： ． 题型05乘方运算的符号规律 【典例】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【变式】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 题型06含乘方的有理数混合运算 【典例】计算： 【答案】 【详解】解： 【变式】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【巩固训练】 1．计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式， ． 2．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 3．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 4．_______． 【答案】 【详解】解： ． 5．______． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 6．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 7．在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 8．规定表示某种新计算：；计算：（） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， （）． 9．计算： (1) ． (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 【强化训练】 1．如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【答案】B 【详解】解：∵2025个有理数相乘所得的积为0， ∴这2025个数中至少有一个数为0． 故选：B． 2．若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【详解】，，，，． 对于a：，共有四个负因数， ∵偶数个负数相乘为正， ． 对于b：， ，再乘以， ． 为正数，为负数． 故选C． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 4．_________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 5．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 6．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 7．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $