专题03 相似三角形性质与判定的应用（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以12类题型系统整合相似三角形性质与判定的基础应用、动态探究及跨学科综合，提炼解题方法与易错点，形成从概念到综合的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求解|1典例+3变式|周长比/面积比性质，对应关系辨析|从相似基本性质到比例计算，强化性质应用| |网格作图|1典例+3变式|勾股定理求边长，相似比构造法|结合网格特征，培养几何直观与空间观念| |实际应用|1典例+3变式|测量模型（影子/反射/标杆），建模步骤|联系生活实际，发展模型意识与应用能力| |综合背景|6类题型（动点/坐标系/跨学科等）|分类讨论/坐标法/物理光学模型等|从单一背景到函数、圆等综合场景，提升推理能力与创新意识|

专题03 相似三角形性质与判定的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 相似三角形的性质求解 题型02 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型03 解直角三角形的实际应用 题型04 三角形重心的性质 题型05 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 题型06 坐标系中的相似三角形性质与判定的应用 题型07 利用相似三角形的性质与判定解决测量问题 题型08 相似三角形性质与判定在跨学科中的应用 题型09 利用相似三角形性质与判定解决古代问题 题型10 二次函数背景下的相似三角形性质与判定的应用 题型11 圆背景下相似三角形性质与判定的综合 题型12 反比例函数背景下相似三角形性质与判定的综合 ▌题型01 相似三角形的性质求解 1．相似三角形性质：周长比=相似比，面积比=相似比的平方。 2．对应边成比例、对应角相等、对应高（中线、角平分线）之比=相似比。 3．易错提醒：面积比是相似比的平方，不是相似比；注意"较小"与"较大"三角形的对应关系。 【典例1】两个相似三角形的面积之比为，其中较小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 【变式1-1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，D，E分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的度数． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． ▌题型02 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．网格作图法：先求原三角形各边长（勾股定理），再按相似比确定新三角形各边长。 2．构造技巧：利用格点构造对应边成比例的三角形，注意保持对应角相等。 3．易错提醒：相似比为面积比的算术平方根；注意格点三角形的顶点必须在格点上。 【典例2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【变式2-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形． (1)如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为． (2)请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比．相似比为：______ 【变式2-2】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． ▌题型03 解直角三角形的实际应用 1．测量模型：利用平行光线（影子）或镜面反射构造相似三角形，建立比例式求解。 2．盲区问题：过观察点作辅助线，构造相似三角形，利用对应边成比例求距离或高度。 3．易错提醒：同一时刻物高与影长成正比（平行投影）；注意单位统一。 【典例3】（2026·浙江湖州·模拟预测）某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处． (1)求证：． (2)已知，求物体的高度（即线段的长）． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 【变式3-3】（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． ▌题型04 三角形重心的性质 1．重心定义：三角形三条中线的交点，重心将每条中线分为2:1（顶点到重心:重心到对边中点）。 2．面积性质：重心将三角形分成3个面积相等的小三角形。 3．易错提醒：重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍，不要搞反比例。 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【变式4-1】（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，若四边形的面积为10，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【变式4-2】（2026·浙江湖州·二模）如图，点是的重心，动点从点出发，沿的方向运动直至回到点停止，设点运动的路程为，为，关于的部分图象如图所示，则_____，函数的最小值为_____． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1，剪一个直角三角形纸板，在它的直角顶点处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线．如图2所示，再次在直角三角形纸板点处系一根线，其中为边上的一点，画延长线，交于点，即可找到该直角三角形纸板的重心．若，的面积为，则的面积为________． ▌题型05 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 1．动点相似策略：设运动时间t，用t表示动点位置，分情况讨论对应相似关系。 2．分类讨论：注意对应顶点的不同匹配方式，列出比例式求解t的值。 3．易错提醒：动点问题要注意运动范围和时间限制，检验解是否在有效范围内。 【典例5】如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 ______秒 【变式5-3】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． ▌题型06 坐标系中的相似三角形性质与判定的应用 1．坐标法：用坐标表示边长，利用相似比建立方程求未知点坐标。 2．常见模型：坐标系中的等腰直角三角形、特殊角三角形与相似结合。 3．易错提醒：注意坐标的正负号（象限），距离用绝对值。 【典例6】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______． 【变式6-2】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式6-3】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． ▌题型07 利用相似三角形的性质与判定解决测量问题 1．测量方法：影子法（平行投影）、镜子法（反射）、标杆法（视线共线）。 2．建模步骤：从实际问题中抽象相似三角形模型，设未知数，列比例式求解。 3．易错提醒：注意单位统一；检验结果是否符合实际意义。 【典例7】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（   ）． A． B． C．3 D．30 【变式7-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边长度为a，垂直于水平线的一边长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体的水平距离为c，则物体的高度x是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】根据以下素材，探索解决问题． 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 【变式7-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中） 【变式7-4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． ▌题型08 相似三角形性质与判定在跨学科中的应用 1．物理光学：凸透镜成像、平面镜成像、小孔成像中构造相似三角形模型。 2．投影问题：光源-物体-屏幕构成相似三角形，利用对应边成比例求像的大小。 3．易错提醒：注意物理公式与几何比例的对应关系；关注实际限制条件。 【典例8】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 【变式8-1】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【变式8-2】如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【变式8-3】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【变式8-4】（25-26九年级上·福建漳州·期中）根据背景素材，探索解决问题． 【变式8-5】（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． ▌题型09 利用相似三角形性质与判定解决古代问题 1．古代测量：《九章算术》中的井深、城池等问题，利用相似三角形建立方程。 2．建模方法：将古文描述转化为几何图形，找出相似三角形，列比例式求解。 3．易错提醒：仔细理解古文含义，正确画出几何图形；注意单位的换算。 【典例9】土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为___________尺． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南南阳·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 【变式9-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ ▌题型10 二次函数背景下的相似三角形性质与判定的应用 1．抛物线中的相似：利用抛物线上点的坐标特征，构造相似三角形求点坐标或解析式。 2．综合题型：相似+等腰三角形、相似+面积最值等，需联立方程求解。 3．易错提醒：注意分类讨论（不同的相似对应方式）；坐标与线段长的转化要加绝对值。 【典例10】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使． (1)求线段OC的长； (2)求该抛物线的函数关系式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为________；若于点，则点到点的最大距离为________． 【变式10-2】如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，过抛物线的顶点C作轴，交x轴正半轴于点D，交于点E，P为射线上一点，作点P关于直线的对称点Q，交于点F，连接，已知． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)当点P的纵坐标是1时，判断点Q是否落在抛物线上，并说明理由； (3)连接． ①若四边形的面积是的面积的4倍，求点P的坐标； ②设线段交抛物线于点M，若，，四边形的面积分别记为，，则 ． 【变式10-3】如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． ▌题型11 圆背景下相似三角形性质与判定的综合 1．圆中相似：利用圆周角定理及其推论等找等角，证明三角形相似。 2．常用性质：直径所对圆周角为90°、同弧所对圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角。 3．易错提醒：圆中辅助线很重要（连半径、作直径）；注意多种情况的讨论。 【典例11】（2026·浙江丽水·二模）如图，是的外接圆，的半径为，，，是上一点，连接，，，并延长，交于点，与交于点． (1)求的长； (2)当是的直径，求的值； (3)求的最大值． 【变式11-1】（2026·浙江温州·三模）如图，是圆的直径，为弧的中点， ，，则的值为______． 【变式11-2】如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，交于点，连接． (1)如图，求的度数． (2)如图，过作于，交于，求证：； (3)如图，连接，若，，求的半径（画出辅助线，写出简要过程）． 【变式11-3】是半圆的直径，，是半圆上的点，，垂足为点，连接，交于点，连接，． (1)【探索实践】如图，当时， ①求的长； ②求的值． (2)【猜想证明】当时，猜想的值（用含的式子表示），并证明你的猜想； (3)【综合运用】如图，作点关于的对称点，连接，．若，求的值． ▌题型12 反比例函数背景下相似三角形性质与判定的综合 1．反比例函数与相似：利用图像上点的坐标特征（xy=k），构造相似三角形建立比例关系。 2．面积问题：利用k的几何意义（过双曲线上点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为|k|）。 3．易错提醒：注意坐标的正负号（不同象限的分支）；相似比与面积比的关系。 【典例12】如图所示，点A是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以为底作等腰，且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为______ 【变式12-1】（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，坐标系中有一等边，点，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点横坐标为，与轴交于点，与轴交于点，记四边形面积为，面积为，，用的代数式表示________． 【变式12-3】如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点为的中点，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形性质与判定的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 相似三角形的性质求解 题型02 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型03 解直角三角形的实际应用 题型04 三角形重心的性质 题型05 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 题型06 坐标系中的相似三角形性质与判定的应用 题型07 利用相似三角形的性质与判定解决测量问题 题型08 相似三角形性质与判定在跨学科中的应用 题型09 利用相似三角形性质与判定解决古代问题 题型10 二次函数背景下的相似三角形性质与判定的应用 题型11 圆背景下相似三角形性质与判定的综合 题型12 反比例函数背景下相似三角形性质与判定的综合 ▌题型01 相似三角形的性质求解 1．相似三角形性质：周长比=相似比，面积比=相似比的平方。 2．对应边成比例、对应角相等、对应高（中线、角平分线）之比=相似比。 3．易错提醒：面积比是相似比的平方，不是相似比；注意"较小"与"较大"三角形的对应关系。 【典例1】两个相似三角形的面积之比为，其中较小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，小、大三角形的相似比为，设另一个三角形的周长为x， 则4：x=1：2， 解得：x=8 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【变式1-1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【分析】先根据相似三角形的性质得出，然后根据一次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，其相似比为k， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，D，E分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出的度数，再由相似三角形的对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，相似比是，， ∴，即， 解得， 故为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过证明，即可得到答案； （2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． ▌题型02 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．网格作图法：先求原三角形各边长（勾股定理），再按相似比确定新三角形各边长。 2．构造技巧：利用格点构造对应边成比例的三角形，注意保持对应角相等。 3．易错提醒：相似比为面积比的算术平方根；注意格点三角形的顶点必须在格点上。 【典例2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 【变式2-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形． (1)如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为． (2)请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比．相似比为：______ 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【分析】（1）先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据相似比，求得格点三角形的各边长，即可求解； （2）先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据有一条公共边，确定相似比以及各边的长，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，， 所画三角形与原三角形的相似比为，则所画三角形的各边长分别为、、，如下图所示 （2）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，， 有一个边为公共边，假设公共边为，并且所画三角形边长为的边与原三角形边长为边相对应，此时相似比为， 则所画三角形的各边长为，，，如下图所示： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． ▌题型03 解直角三角形的实际应用 1．测量模型：利用平行光线（影子）或镜面反射构造相似三角形，建立比例式求解。 2．盲区问题：过观察点作辅助线，构造相似三角形，利用对应边成比例求距离或高度。 3．易错提醒：同一时刻物高与影长成正比（平行投影）；注意单位统一。 【典例3】（2026·浙江湖州·模拟预测）某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处． (1)求证：． (2)已知，求物体的高度（即线段的长）． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． (2) 【分析】（1）根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解； （2）根据相似三角形的性质得到，结合图形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3-3】（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二：如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②略 （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． ▌题型04 三角形重心的性质 1．重心定义：三角形三条中线的交点，重心将每条中线分为2:1（顶点到重心:重心到对边中点）。 2．面积性质：重心将三角形分成3个面积相等的小三角形。 3．易错提醒：重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍，不要搞反比例。 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明：， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 【变式4-1】（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，若四边形的面积为10，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，，则点三点共线，，，在的延长线上取一点，使，连接，则，得到四边形是平行四边形，进而得到，，则，，设，则，证明，得，由此解出，则，然后根据即可得出的面积． 【详解】解：连接交于点，连接，， 点是的重心，点是边的中点， 点三点共线， ， 在的延长线上取一点，使，连接，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设， 四边形的面积为10， ， ， ， ，即 解得：， ， 的面积为：． 【变式4-2】（2026·浙江湖州·二模）如图，点是的重心，动点从点出发，沿的方向运动直至回到点停止，设点运动的路程为，为，关于的部分图象如图所示，则_____，函数的最小值为_____． 【答案】 5 【分析】先根据函数图象中时的y值，求出的长度，再根据时的图象拐点特征，确定，的长度。根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设中点为点D，连接，则，，求出，，得，得点G到边的距离最小，过点G作于点E，求出，得，即得的最小值为． 【详解】解：动点从出发， 当时，与重合， 此时， 得； 当运动到点时，路程， 由图2可知，此时，， 得， 由， 得， 故是直角三角形，， 面积． 如图，分别连接并延长，交边于点P，交边于点Q，交边于点R， 则P，Q，R分别为边的中点， ∴， ∴； 又， ∴， ∴． ∴重心将原三角形分为3个面积相等的小三角形． 因此． 为方便解析，将以点G为中心旋转适当角度，再以点G为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 则， 设中点为点D，连接，则， ∵点G为的重心， ∴过点G，， 由位似性质得，， ∴，， ∴， ∵，，的面积都为6， ∴点G到边的距离最小， 过点G作于点E， 则， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1，剪一个直角三角形纸板，在它的直角顶点处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线．如图2所示，再次在直角三角形纸板点处系一根线，其中为边上的一点，画延长线，交于点，即可找到该直角三角形纸板的重心．若，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为(需证明)，结合相似三角形求出与的比例，再通过面积公式计算面积．根据直角三角形面积公式得到的值；利用重心性质得到重心到的距离与的关系；过重心作的垂线，通过相似三角形的判定得到；通过线段比例求出与的比例；最后代入直角三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：的面积为， ，即． 如图，延长交于，连接 ∵点为直角三角形纸板的重心， ∴是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴， ∴， ∴． 作于，则， ∴． ∴，，， ∴． ， ，设，则，， ． ， ， ， ． 的面积为． 故答案为：． ▌题型05 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 1．动点相似策略：设运动时间t，用t表示动点位置，分情况讨论对应相似关系。 2．分类讨论：注意对应顶点的不同匹配方式，列出比例式求解t的值。 3．易错提醒：动点问题要注意运动范围和时间限制，检验解是否在有效范围内。 【典例5】如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)时，的面积为16cm2 (2)或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案； （2）由，可得当或时，以，，为顶点的三角形与相似，再代入值计算即可． 【详解】（1）解：运动结束的时间为：， ， 由题意知，，， ， 的面积为，即， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，的面积为； （2）， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似， 或， 解得：或， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的性质，分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒， 由题意可得，， ∵是的中点， ∴， 当时， , ∴，解得， 当时， , ∴，解得， 综上可知，点的运动时间为或， 故答案为：或 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 ______秒 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ∴，即． 解得． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间t秒． (1)______ ，______ （用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)当______时，是等腰三角形． 【答案】(1)5， (2)当t为秒或秒时，与相似，理由见详解 (3)当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【分析】（1）运用勾股定理得出，再结合动点运动速度以及运动方向，得出，即可作答． （2）根据与相似，进行分类讨论，再代入数值到比例式中进行计算，即可作答． （3）根据是等腰三角形，进行分类讨论，且每个情况进行作图，再结合等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，直角边，． ∴， ∵ 在点P自点A沿方向向B作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴； （2）解：当t为或时，与相似，理由如下： ∵点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，移动的速度为每秒， ∴， 由（1）得，， ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； ∵， 故当时，则， ∵ ∴， ∴； 综上：当t为或时，与相似． （3）解：由（2）得， 由（1）得，， 依题意，当时，如图所示： 则， 解得； 依题意，当时，如图所示： 过点P作， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得， 依题意，当时，如图所示： 过点Q作， 则， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ▌题型06 坐标系中的相似三角形性质与判定的应用 1．坐标法：用坐标表示边长，利用相似比建立方程求未知点坐标。 2．常见模型：坐标系中的等腰直角三角形、特殊角三角形与相似结合。 3．易错提醒：注意坐标的正负号（象限），距离用绝对值。 【典例6】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式6-2】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【变式6-3】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得米，米，米，，，则，由相似三角形的性质代入数据计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，米，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点A的坐标为， 故选：C． ▌题型07 利用相似三角形的性质与判定解决测量问题 1．测量方法：影子法（平行投影）、镜子法（反射）、标杆法（视线共线）。 2．建模步骤：从实际问题中抽象相似三角形模型，设未知数，列比例式求解。 3．易错提醒：注意单位统一；检验结果是否符合实际意义。 【典例7】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（   ）． A． B． C．3 D．30 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的应用．易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示；设曲尺平行于水平线的一边长度为a，垂直于水平线的一边长度为b，当人眼F，曲尺两边端点C，E，物体的顶端点A在同一直线上时，人眼F到过点B的水平线的高度为h，人眼F到物体的水平距离为c，则物体的高度x是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，过E作于H，证得，推出，求出，因此，于是得到答案． 【详解】解：过E作于H， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-2】根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）8.6m 【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似可证明； （2）还需要测出的长，令，证明，得即 ，从而即可得解； （3）过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形，进而得，，证，得，即，求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：还需要测出的长，令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形， ∴(m)，，， ∴(m)， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴(m)． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式7-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中） 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯2 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯-20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度 ； （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度； （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式； （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯（如表所示），道路宽度忽略不计，呢么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造 个路灯． 【答案】（1）米；（2）路灯的高度为米；（3）；（4） 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，反比例函数的实际应用， （1）根据题意易证，得到，由此即可得到答案； （2）证明，得到，由题意可得米，米，米，求出，再证明，推出，得到，进而得到，即可求解； （3）根据表格数据可得，即可解答； （4）先求出符合《城市道路照明设计标准》规定的路灯的高度，再求出此路灯高度下所照明范围的半径，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， 故答案为：米； （2）∵， ∴， ∴， 由题意可得米，米，米， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴米， 答：路灯的高度为米； （3）由表格数据得， ∴， ∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为； （4）∵， ∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定， ∵， ∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米）， ，则至少需要个路灯． 故答案为：． 【变式7-4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】(1)12米 (2)米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． ▌题型08 相似三角形性质与判定在跨学科中的应用 1．物理光学：凸透镜成像、平面镜成像、小孔成像中构造相似三角形模型。 2．投影问题：光源-物体-屏幕构成相似三角形，利用对应边成比例求像的大小。 3．易错提醒：注意物理公式与几何比例的对应关系；关注实际限制条件。 【典例8】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴物体缩小为原来的． 【变式8-1】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 【变式8-2】如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，． (1)求的长． (2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质． (3)若要求不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， 画出图象如下： 性质：当时，随的增大而减小； (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解． （2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）由，，解不等式即可求解． 【详解】（1）解∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）由(1)得，， ∴， ∴或， 画图及性质：略 （3）由，， 则， 解得， ∴的取值范围为：． 【变式8-3】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 【变式8-4】（25-26九年级上·福建漳州·期中）根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．    问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．    任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）．    【答案】问题解决1：（1）相似三角形的应用；（2）灯泡到地面的高度为；问题解决2：旗杆的高度为． 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 问题解决1： （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，即可求的长，进而得出结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】问题解决1： 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得， 则小红求得用到的几何知识是相似三角形的应用， 故答案为：相似三角形的应用； （2）∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示， 测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． 【变式8-5】（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】(1)小军到平面镜的距离为2米 (2)米 (3)的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． （2）解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． （3）略 ▌题型09 利用相似三角形性质与判定解决古代问题 1．古代测量：《九章算术》中的井深、城池等问题，利用相似三角形建立方程。 2．建模方法：将古文描述转化为几何图形，找出相似三角形，列比例式求解。 3．易错提醒：仔细理解古文含义，正确画出几何图形；注意单位的换算。 【典例9】土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为___________尺． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，通过已知的杆长和第一时刻的影长计算第二时刻的影长. 【详解】解：，， ， ． 根据题意，得尺，尺， 解得， 第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南南阳·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学问题中的相似，运用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行同位角相等）， ∴， ∴， ∵里，里，点，点分别是，的中点，里， ∴里，里， ∴（里）． 故答案为：． 【变式9-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 【答案】米 【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可． 【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且， ∴ （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得， （米）． ▌题型10 二次函数背景下的相似三角形性质与判定的应用 1．抛物线中的相似：利用抛物线上点的坐标特征，构造相似三角形求点坐标或解析式。 2．综合题型：相似+等腰三角形、相似+面积最值等，需联立方程求解。 3．易错提醒：注意分类讨论（不同的相似对应方式）；坐标与线段长的转化要加绝对值。 【典例10】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使． (1)求线段OC的长； (2)求该抛物线的函数关系式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）令抛物线中，可得出、的坐标．再由已知证明，得出，从而求出的长度， （2）设，则，在中，可求出的值，继而就可得出，过点作于点，然后利用解直角三角形的知识，可求出点的坐标，代入可得出二次函数解析式． （3）设出点坐标，用坐标系两点间距离公式表示出和的长，分和两种情况，分别列方程即可求出点坐标． 【详解】（1）解：由 得，． 、两点坐标分别为：，． 由知，． 又，， ， ． ． 线段的长为． （2）解：由（1）知，，， 设，则 由得 解得，（舍去） ， 过点作于点， 的坐标为 将点的坐标代入抛物线的解析式得 抛物线的函数关系式为：． （3）由（2）可知抛物线， 抛物线的对称轴， 设P点坐标为， 的坐标为，的坐标． 故：，，， 若等腰三角形中，，即：，解得：， 此时P点坐标为：，， 若等腰三角形中，，即：，解得：， 此时P点坐标为：，， 综上所述：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得是以BC为腰的等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的知识，其中涉及了数形结合问题，由抛物线求二次函数的解析式，用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识．注意这些知识的综合应用． 【变式10-1】已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为________；若于点，则点到点的最大距离为________． 【答案】 【分析】设点坐标，点坐标，由求出的值，将、代入直线解析式，当时，即可求解，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得出点运动轨迹，即可求出点到点的最大距离，本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用相似求坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握字型相似，隐圆模型． 【详解】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则，，，， ，， ， ， ，即：， ， 设直线解析式，将、坐标代入， ，解得：， 则直线解析式：， 当时，，将代入，得：， 与轴的交点为， 设与轴的交点为点，中点为，点为点， ，，为中点， 在中，， 在中，， 点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆， 的最大值为：， 故答案为：，． 【变式10-2】如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，过抛物线的顶点C作轴，交x轴正半轴于点D，交于点E，P为射线上一点，作点P关于直线的对称点Q，交于点F，连接，已知． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)当点P的纵坐标是1时，判断点Q是否落在抛物线上，并说明理由； (3)连接． ①若四边形的面积是的面积的4倍，求点P的坐标； ②设线段交抛物线于点M，若，，四边形的面积分别记为，，则 ． 【答案】(1)证明：∵是对称轴，； ∴， ∴， ∴， 当，则， 当，解得：，， ∴抛物线与x轴交点；；与y轴交点为， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)解：不在，理由如下：设直线为， ∵，， ∴， ∴，即直线为， 当时，，即E点为， ∵，则， ∴， 如图，连接， ∵由（1）得是等腰直角三角形． ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：，，，即Q坐标为， 当时，抛物线， 故Q点不在抛物线上． (3)①；② 【分析】（1）利用抛物线的对称轴求解，进一步求解，，即可得到结论； （2）求解直线为，，可得，如图，连接，结合轴对称的性质可得：，，，即Q坐标为，进一步求解即可； （3）①因为是等腰直角三角形，设，由E点坐标可得，用a表示和，根据四边形的面积是的面积的4倍，可知，列方程即可求出a，从而得到P点坐标． ②同（1）由①得：设，则P点坐标为，Q点坐标为，根据，利用三角形相似求出点M坐标，进而求出a的值，再根据面积的求法求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①由（2）可知是等腰直角三角形，，则P点坐标为， ∴Q点坐标为， ∵抛物线的顶点C为， ∴， ∴， 连接， ， ∵，四边形的面积是的面积的4倍， ∴， ∴， 整理得， 解得：（舍去），， 故P点坐标为； ②由①得：设，则P点坐标为， ∴Q点坐标为， ∵C点坐标为，E点坐标为， ∴， 作，垂足为H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴M坐标为， 又∵在抛物线上， ∴当时，则， 解得：，， 因为M点在的右边，所以M点为， ∴，解得：， ∴P点坐标为，Q点坐标为， ∴，， ∴， ， ∴. 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形面积综合、平面直角坐标系的点坐标变换、由直线围成的面积的求法，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点的求解，不规则的面积求法、点坐标变换的求法．明确直线上E与两个对称点构成等腰直角三角形表示坐标Q是解题的关键，也是求解本题的突破口． 【变式10-3】如图所示，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标． (3)若直线与（1）中所求的抛物线分别交于点M、N．问： ①是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)①存在值，使得，其值为或； ②当时，的取值范围是 【分析】（1）先根据抛物线，当时，取最大值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论： ①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； ②当在的延长线上时，由，根据相似三角形性质求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为(在左侧)，则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，取最大值， ∴抛物线的解析式是：， 即； 当时，， 即点坐标是， 当时，，解得：或， 即点坐标是，点坐标是(2，． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）过点作为垂足， ∵， ， ， 由勾股定理，得， ①当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足． ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足． ． ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． （3）设直线与抛物线的交点为在左侧)． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ， ， ①存在的值，使得．理由如下： ， ， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， 即， 化简得， ， 整理，得， 解得， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键． ▌题型11 圆背景下相似三角形性质与判定的综合 1．圆中相似：利用圆周角定理及其推理等找等角，证明三角形相似。 2．常用性质：直径所对圆周角为90°、同弧所对圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角。 3．易错提醒：圆中辅助线很重要（连半径、作直径、连切点）；注意多种情况的讨论。 【典例11】（2026·浙江丽水·二模）如图，是的外接圆，的半径为，，，是上一点，连接，，，并延长，交于点，与交于点． (1)求的长； (2)当是的直径，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，由，得垂直平分，在中用勾股定理求，进而得，再在中求． （2）由是直径得，利用圆内接四边形外角等于内对角和同弧所对圆周角相等，证明，得，再用勾股定理求代入计算． （3）作，证得；面积法求定长，过圆心作，利用圆半径求最大值，进而求最大值． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接、， ∵，， ∴垂直平分． ∴． 在中， ∵，， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． （2）解：如图， ∵是的直径， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 在中， ∵，， ∴． 由（）得， ∴． （3）解：连接，过作于，过作于，连接并延长交于，过作于，过作于点． 则四边形是矩形， ∴， 由（）得，，， ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． ∴， ∴当最大时，的值最大， ， ． 在中： ， ． ∴， 由垂线短最短可知即， ∴取最大值为，此时，点与点重合， ． 【变式11-1】（2026·浙江温州·三模）如图，是圆的直径，为弧的中点， ，，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据同弧所对圆周角相等以及是圆的直径，可得，再根据可证得，从而，根据面积比例求出线段相似比，最后根据等腰直角三角形性质和勾股定理表示出各边长，即可求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 是圆的直径， ， 所对的弧是，所对的弧是，为弧的中点， ， ， 所对的弧都是， ， ， ， ， 又， ， 相似三角形面积比是相似比的平方，且， ， 不妨设， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ． 【变式11-2】如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，交于点，连接． (1)如图，求的度数． (2)如图，过作于，交于，求证：； (3)如图，连接，若，，求的半径（画出辅助线，写出简要过程）． 【答案】(1)； (2)证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ∴， ∴， 在和中， ， ， ； (3)解：如图， 设，半径， 作于，于， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 的半径是． 【分析】（1）可证得是等腰直角三角形，进而求得结果； （2）连接，证明，即可得证； （3）设，半径，表示出和，和，利用求得，进而求得． 【详解】（1）解：是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 【变式11-3】是半圆的直径，，是半圆上的点，，垂足为点，连接，交于点，连接，． (1)【探索实践】如图，当时， ①求的长； ②求的值． (2)【猜想证明】当时，猜想的值（用含的式子表示），并证明你的猜想； (3)【综合运用】如图，作点关于的对称点，连接，．若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆的知识，三角形中位线等知识，解题的关键是掌握垂径定理，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，进行解答，即可． （1）①根据垂径定理，三角形的中位线，即可；②根据三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，即可； （2）根据三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，即可； （3）延长交于点，倍长至点，连接，设，求出，根据平行四边形的判定和性质，可得，根据角的互余，对角线相等，可得，根据相似三角形的判定和性质，得到，根据三角形的中位线，求出，再根据，即可． 【详解】（1）①解：∵，是半径， ∴，点是中点， ∵是直径，点是圆心， ∴是是中位线， ∴， ∵， ∴； ②∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）猜想：                 理由如下：，设，则 ∵，是半径， ∴，点是中点， ∵是直径，点是圆心， ∴是是中位线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长交于点，倍长至点，连接， 设， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，点是中点， ∵是直径，点是圆心， ∴是是中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 由上题结论得，， ∴． ▌题型12 反比例函数背景下相似三角形性质与判定的综合 1．反比例函数与相似：利用图像上点的坐标特征（xy=k），构造相似三角形建立比例关系。 2．面积问题：利用k的几何意义（过双曲线上点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为|k|）。 3．易错提醒：注意坐标的正负号（不同象限的分支）；相似比与面积比的关系。 【典例12】如图所示，点A是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以为底作等腰，且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为______ 【答案】4 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据题意得出，得出，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， 点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动， ， 连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且， ，， 则， ， ， 又， ， ， ， 点是双曲线在第二象限分支上的一个动点， ， ， . 【变式12-1】（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，作轴于点，作轴于点，推出 ，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意，，， 过点A作轴于点，过点B作轴于点， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，为定值． 【变式12-2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，坐标系中有一等边，点，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点横坐标为，与轴交于点，与轴交于点，记四边形面积为，面积为，，用的代数式表示________． 【答案】 【分析】过作轴于，则．过作轴于，连接.作，垂足分别为，先求出求出，进一步求出，代入即可求出． 【详解】解：∵点在上，横坐标为，故． 过作轴于，则．过作轴于，连接.作，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， 即为中点，则． ∵为等边三角形，为中点， ∴，即． ∵， ∴． 又， ∴． 设，则． ∴， ∵， ∴， ∵． ∴； 解得：． ∴ ∵点在上， ∴ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵为中点， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得： ∴ 【变式12-3】如图，已知点，点，以为边作正方形（两点均在第一象限），反比例函数的图象经过点，射线交该图象于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作轴交x轴于点F，证明，则，即可求出答案； （2）过点E作轴交x轴于点H，由（1）同理可得，再求出，由、E都在反比例函数图像上列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：过点D作轴交x轴于点F， 在正方形中，， ， 又 ∴， ， 又， ， ， ； （2）解：过点E作轴交x轴于点H， 由（1）同理可得 ∵，， ∴， ∴， 为中点， ∴， ∴， ， ∴， ， 又、E都在反比例函数图像上． ，得， （舍）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $