专题07 相似三角形中的动点问题（5大题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

专题07 相似三角形中的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 5 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 10 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 16 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如不同顶点对应），分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、动点未超出运动范围），排除不合理的解。 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 秒． 【答案】2或/2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 根据题意和坐标与图形性质求得，和，分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，，， 当时， ∵点B的坐标为， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，动点P从A点出发，沿射线方向运动，速度为，同时动点Q从A点出发，沿射线方向运动，速度为，以点P为圆心，为半径作圆， 时，与相切． 【答案】2或8 【分析】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．设时，与相切，则，，利用勾股定理可得，再分两种情况：①当与相切，且位于的左侧时；②当与相切，且位于的右侧时，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得． 【详解】解：设时，与相切， 则，， ∵在中，，，， ∴， ①如图，当与相切，且位于的左侧时， 则， 过点作于点，连接，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得或（此时，不符合题设，舍去）； ②如图，当与相切，且位于的右侧时， 则， 过点作于点，连接，则， 同理可得：，， ∴， 在中，，即， 解得或（此时，不符合题设，舍去）； 综上，或时，与相切， 故答案为：2或8． 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2．（24-25九年级下·江西赣州·期中）如图，在菱形中，，，于点E，交于点F，若P是菱形边上的一动点，当的面积是时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】先根据菱形，，证出是等边三角形，再根据，求出长 ，从而把到的距离为h算出来， 再根据高的大小观察菱形四边位置即可得出答案． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形, ，， ∴， 是等边三角形， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 设到的距离为h， ∵的面积是， ∴， ∴， Р点有3个应置， 当点P为中点时，， 当点P与点C重合时，， 当点P与点B重合时，， 是等边三角形， ， ， 综上所述，，，． 故答案是：，，． 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E），分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长度为正、未超出原线段范围），排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】1或3或8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，则，根据相似三角形的性质可分两种情形构建方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似， ①当时，，解得 经检验，是该方程的解． ②当时，，解得或， 经检验，或是该方程的解． ∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8． 故答案为：1或3或8． 【变式2-2】（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点M，N分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且与相似，已知，，则的长为 ． 【答案】或5 【分析】根据已知条件先求出斜边的长度，再分情况讨论与相似时的情况，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵与相似， ∴有以下两种情况： ①当时，，连接，如图所示： ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，，连接，如图所示： 则， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，的长为或5． 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，点在边上，且，动点在边上，连接和，若，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，延长到F，使得，连接，过点D作于G，可证明垂直平分，得到，则当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明，得到，则，由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到F，使得，连接，过点D作于G， ∵中，， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 知识点总结 1. 相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2. 最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。 解题技巧 1. 转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2. 结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，在上截取，可证得，从而．即当点D，点P，点E三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】解：如图，连接，在上截取， ∵正方形的边长为8，的半径为4， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、E共线时，最小， ∵， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 【变式3-2】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在中，，，，动点D在内，且使得的面积为10，点E为的中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作的垂线交于点M，延长，取，连接，，过点E作于点F，证明，得出，求出，，证明垂直平分，得出，得出，根据两点之间线段最短，得出当点N，D，E三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点D作的垂线交于点M，延长，取，连接，，过点E作于点F，如图所示： ∵，，， ， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ，， ，则， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ， ∵两点之间线段最短， ∴当点N，D，E三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，直线垂直的半径于点，是上的一个动点，，垂足为，若的半径为4，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，作直径，连接，得到，由得到，根据函数的性质求解最值即可． 【详解】解：如图，作直径，连接， ， 的半径为， ， 直线与相切于点， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， 的最大值是， 【变式3-4】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，根据矩形的性质及勾股定理得，证明，得到，继而得到，当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，证明，得出，求出，，最后再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点， ∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是 【答案】1 【分析】本题考查菱形的性质，函数图像的认识，相似三角形的判定及性质． 由图像可知，再利用将军饮马和似三角形的判定及性质求最值即可． 【详解】解：由题得， 由图象得，， 取点E关于成轴对称的点G，如图，此时y取最小值， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：1． 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，当时，的值为 ． 【答案】0，4或 【分析】本题主要考查了矩形和函数图象的结合，动点路径问题，圆的垂径定理，勾股定理，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并结合图形获取正确信息． 以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点，结合图形和函数图象求出直角三角形的三边，然后分情况进行讨论，借助于圆的性质和解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点， 根据题意，结合图形可知，， 由图2点可得，假设长为，由勾股定理得， 即 解得, ∴， 根据等面积法可得， 由勾股定理得， 根据垂径定理得， 即此时； ， 结合图形可得此时； 当点与点重合时，,此时； 综上，或或， 故答案为：0，4或． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合思想的应用．根据抛物线与y轴交点得，结合矩形的性质进一步证明，由得，设，，结合，即，化解得，利用二次函数的性质的对称轴求得m，即可求得最大值a． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点为，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，， 则，即， 化解得，， ∴，解得， 则， 故答案为：． 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 例5．（24-25九年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． (1)求证：； (2)某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，猜想，证明见解析 【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果； ②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； （2）解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； 知识点总结 1. 相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2. 实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形稳定性、四边形特征），明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1. 从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2. 用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式5-1】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）综合探究：如图，在矩形中，E是对角线上一动点，连接．    (1)【操作探究】 如图①，，过点E作交线段于点F，根据题意在图①中画出，图中的值为 ； (2)【问题探究】 如图②，，过点E作交线段于点F，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，，过点E作交射线于点F，当为等腰三角形时，求的长. 【答案】(1)见解析，1 (2)，理由见解析 (3)或4 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质及判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据等腰三角形的判定和性质求边长，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据题意画出图形即可，过点作于点，过点作于点，根据条件得出四边形为正方形，证明即可求解； （2）过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形，证明和，利用对应边成比例即可求解； （3）分情况进行讨论，当点F在线段上时，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H，证明，得出对应角相等，利用勾股定理求出相关线段的长度，用表示出相关线段的长度，证明，，，利用对应边成比例列出方程进行求解即可；当点F在的延长线上时，延长交于点H，找出相等角，利用等角对等边进行求解即可． 【详解】（1）解：画出如图①，理由如下：    过点作于点，过点作于点， 在矩形中，当时，四边形为正方形， ∴平分对角， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：，理由如下： 如图②，过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形.      ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵, ∴， ∴, ∴ , ∴ ； （3）解：当点F在线段上时，如图③，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H.        ∵， ∴当为等腰三角形时，则有. 在和中 ∴， ∴， ∵在矩形中，， 由勾股定理得， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴, ∴ ，即， ∴， ， ∴， ， 由(2)知， ∴ ，即 ，化简得， ∴. 又∵， ∴， ∴，    ∴ ，即 ，解得(已舍去)； 当点F在的延长线上时，如图④，延长交于点H．    ∵， ∴当为等腰三角形时，则有， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或4． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 【答案】（1）；（2）不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形性质得，结合，得,得，即得； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，得到，由题知，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，由于点M的速度为v，点N的速度为，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； （2）在等腰直角三角形中，， ， ， ，由题知， ， ， ， ， ； （3）， ， 点M的速度为v，点N的速度为， ， ， ， ． 【变式5-3】（（2025·四川广元·模拟预测）【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点    （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若，求的值； 【拓展】 （3）如图3，已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接CF，延长CF，BF交边于点G，H，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 或 【分析】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握利用全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由，可设，，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，求出的值即可； （3）分点H在点D左侧，点H在点D右侧两种情况进行讨论．通过证明，得到，从而可设出、、、，结合，即可求解得到的值． 【详解】（1）证明：将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，连接， 由，可设，，令， 又 ， 在和中 由勾股定理得： 解得：或不合题意，舍去 ； （3）解：由，可设，，令，则 ①当点H在点D左侧时，如图3，    由（2）知， 将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， 又 ，即 ， 在和中 由勾股定理得： 解得或不合题意，舍去， ； ②当点H在点D右侧时，如图4，    则， 同理可得 ， 或不合题意，舍去 综上所述，或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，过点O作，交于点H，证明是的中位线，求出，，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．连接，可得，得到，，进而得，即得，据此解答即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（2025·广东中山·模拟预测）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）． A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点的函数图象、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，从图象中有效的获取信息是解题的关键． 由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E，进而得到当时，点P在上运动，，即可判断B；再求出的长，勾股定理求出的长，即可判断A；如图：过点P作于点H，证明，可求，即可判断C；求出时，的长，即可判断D选项． 【详解】解：由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E， 当时，点P在上运动，， 当时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意； ∵当时，， ∴，解得：， ∴，故选项A正确，不符合题意； 当时，点P在线段上，则， 如图：过点P作于点H，则：， ∴， ∴， ，即，解得：， ，故选项C错误，不符合题意； ， ∴当时，点P在线段上，此时，， ，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，点E为边上的一个动点，当 时，和相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质分两种情况，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵与相似， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，动点、分别在、上，且，连接、．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键；通过证明，可得，由，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ∴， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 的最小值为， 故答案为：． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】解：当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图1所示：作于， 则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ②当时，如图2所示： 由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③当时，连接，如图3所示： 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点为线段上的一个动点（点与点不重合），过点作于点，连接并延长，过点作于点．当与相似时，求点的坐标． 【答案】 点的坐标为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形的判定定理及相关性质是解题的关键． 由勾股定理可求的值，再由相似三角形的性质可得，即可求解. 【详解】解：对于直线，令，则；令，则， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 与相似，， ， ． 又． ， ， ，即， ． 又， 即， ， 解得， ∴点的坐标为． 8．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在．理由见解析 (2)存在或或时，使是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可． （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值． 【详解】（1）解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． （2）解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 9．（25-26九年级上·全国·周测）【问题发现】 （1）如图①，在中，是边上一动点（不与点B重合），，连接．填空： ①的值为________； ②的度数为________． 【拓展探究】 （2）如图②，在中，是边上一动点（不与点B重合），，连接．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①1；②；（2）．理由见解析 【分析】（1）根据已知条件推出，根据全等三角形的性质得到，，于是得到； （2）根据已知条件得到，由相似三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质得到结论. 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴. 故答案为：①1    ② （2）．理由如下： ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图1，在矩形中，，．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为6 (3)①或；② 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用矩形性质得，结合，通过角的互余关系推出，从而证明． （2）由等腰直角三角形性质得，结合相似推出全等，得到、，再在中利用勾股定理和三角形面积公式列方程求解． （3）①设，根据点与重合得，结合相似三角形对应边成比例列方程求解．②先由得，再结合推出，利用相似比求出，最后再根据求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：①设，则， 点与点重合， ， ， ， ， 整理得，， 解得，， 当，且点与点重合时，或； ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， 解得：． 11．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）分别证明、为等边三角形，则可得出，，，根据等式的性质得出，根据证明，得出，，即可求解； （2）证明，得出，，再证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）连接，，根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质可得出，，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，即； （3）连接，， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似三角形中的动点问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 5 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题…10 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题..16 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题.2】 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1.(2025九年级上浙江.专题练习)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm·动点 M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 10 2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒0<t< ,连接MN.若△BMN与ABC相似，求t的值为 3 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA(两角对应相等)、SAS(两边对应成比例且夹角相等)、SSS(三边 对应成比例)判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线 段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如 不同顶点对应)，分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、 动点未超出运动范围)，排除不合理的解。 【变式1-1】(24-25九年级上·浙江湖州阶段练习)如图，在ABC中，AB=4cm，AC=8cm，动点D以 1cm/秒的速度从A点向终点B运动，动点E以2cm/秒的速度从C点向终点A运动.如果两点同时运动，那 么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 秒 1/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C 【变式1-2】(25-26九年级上河北石家庄·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形 OABC的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为12,8)，现有两动点P,Q,点P以每秒3个单位的速度 从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接PC,PQ, CQ.设运动时间为t秒(t>0).若A,P,Q为顶点的三角形与aOCP相似时，则t= B 【变式1-3】(24-25九年级上江苏泰州阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm, 动点P从A点出发，沿射线AC方向运动，速度为2.5cm/s,同时动点Q从A点出发，沿射线AB方向运动， 速度为2cm/s,以点P为圆心，P2为半径作圆，s时，OP与BC相切. B O 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2.(24-25九年级下江西赣州期中)如图，在菱形ABCD中，AB=4V5,∠ABC=60°，AE⊥BC于点E, 交BD于点F,若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是4√5时，DP的长为一， B 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成 的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围 (如线段端点、边界位置)，确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E), 分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长 度为正、未超出原线段范围)，排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】(2025九年级上·全国·专题练习)如图，线段AB=9,AC⊥AB于点A,BD1AB于点B, AC=2,BD=4,点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角 形相似，则AP的长为 【变式2-2】(2026江西·模拟预测)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=8,点M是BC边上一 动点，连接AM,当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），BM的长为一 【变式2-3】(25-26九年级上山东聊城阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点M,N分别为AB, AC上一个动点，以MN为对称轴将△AMN折叠得到△DMN,点A的对应点为D,若点D落在BC上，且 △AMN与ABC相似，己知AC=6,AB=8,则CD的长为 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3.(2025黑龙江哈尔滨三模)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且CD:BD=2:1,动 点E在AB边上，连接ED和EC,若AC=3,求ED+EC的最小值为 B D 知识点总结 1.相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含 变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2.最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值)。 解题技巧 1.转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利 用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2.结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为 直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】(24-25九年级上江苏宿迁期末)如图，正方形ABCD的边长为8,0B的半径为4，点P是 0B上一个动点，则PD+PC的最小值为一 A 【变式3-2】(24-25九年级下·山东青岛自主招生)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5,AC=13 ,动点D在ABC内，且使得△ABD的面积为IO,点E为AC的中点，则DE+DC的最小值为 【变式3-3】(25-26九年级上浙江金华阶段练习)如图，直线1垂直00的半径0A于点A,M是⊙0上的 一个动点，MH⊥1，垂足为H,若⊙0的半径为4，则MA-MH的最大值为 【变式3-4】(2025九年级下·全国.专题练习)如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E、F分别是对 角线AC和边CD上的动点，且AE=CF,则BE+BF的最小值是 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4.(25-26九年级上辽宁阶段练习)如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点， 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且CE=4BE,连接EF、CF,设BF的长为x,EF+CF=y,点F从点B运动到点D时，y随x变化的关 系图像，图像最低点的横坐标是 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握A4、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高 的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系 转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出 对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应 动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】(2025辽宁丹东·二模)如图1，在ABC中，LC=90°，D为边AC上一点，动点E以每秒1 个单位长度的速度从点A出发，沿着折线AB一BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE,设点E的运动 时间为x(单位：秒)，DE2为y,在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中， y的最大值为」 D B 图1 图2 【变式4-2】(2025·新疆乌鲁木齐模拟预测)如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发， 沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与 x的函数图象如图2，当CP=2时，x的值为」 D 图1 图2 【变式4-3】(25-26九年级上江苏苏州期中)如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 边上的一个动点，连接EF,作FG⊥FE,交BC于点G,设AF=,BF+BG=y.图2是点F从点A运 动到点B的过程中，y关于x的函数图象.当x=2.5时，y的值最大，最大值是a,则a的值是」 G B 02.5 图1 图2 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 例5.(2425九年级下，河南郑州期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D是AC上的一个动点，过点D 作DE⊥BC于点E,延长ED交BA延长线于点F. A B E (I)求证：AD=AF; (②)某兴趣小组探究 正与D的关系，该小组探究发现，当0=)时， DF =1 当D DE DC DC 2 2时， DF 4 DE DC DE 请你继续探究： ①当AD DC 时，直接写出 F 的值； 3 DE ②当AD 义巴时，猎想胸值（用含m,n的式子表示，并证明 DC m 知识点总结 1.相似三角形的判定与动态量化：掌握A4、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的 代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2.实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形 稳定性、四边形特征)，明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1.从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、 未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2.用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实 际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式5-1】(25-26九年级上河南洛阳·期中)综合探究：如图，在矩形ABCD中，E是对角线AC上一动 点，连接DE. 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D E E E B B 图① 图② 图③ (I)【操作探究】 如图①，AB=AD,过点E作EF⊥DE交线段BC于点F,根据题意在图①中画出EF,图 ,DE的值为- EF (2)【问题探究】 如图②，AB=3,AD=4,过点E作EF⊥DE交线段BC于点F,探究线段DE与EF的数量关系，并说明 理由； (3)【拓展延伸】 如图③，AB=3,AD=4,过点E作EF⊥DE交射线BC于点F,当△EFC为等腰三角形时，求AE的长 【变式5-2】(24-25八年级下山东烟台·期末)在ABC中，动点M在边AC上从点A向终点C运动，同 时点N在边CB上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN,BM交于点 P. 【特例初探】 (1)如图1，若ABC为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，∠APB的度 数始终为 B B B 图1 图2 图3 【类比探究】 (2)如图2，若ABC为等腰直角三角形，斜边为AC,点M的速度为1，点N的速度为√2，则在此运动 过程中，∠APB的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 (3)如图3，若ABC为等腰三角形，底边为4C,且4C n,∠C=a,点M的速度为v,点N的速度 AB 为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n,a,v的代数式表示∠APB的度数， 【变式5-3】(2025四川广元模拟预测)【探究】如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E是CD上一动 点，连接BE,将△BCE沿着BE折叠，点C落在四边形ABCD内部的点F处，连接CF并延长，交AD于点 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D A GH D GH F E B B 图1 图2 图3 (1)求证：CE=DG; 2)如图2，延长加交边4D于点H,若G=3,求片的值， EC 【拓展】 (3)如图3，已知四边形ABCD是矩形，点E是CD上一动点，连接BE,将△BCE沿着BE折叠，点C落 在四边形ABCD内部的点F如，海接CR,延长C印，即交边0于点G,,若C,说子，求 DE的值· E B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级上广东河源·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E是 BA的延长线上一动点，连接OE交AD于点F,若CD=5,BC=8,AE=2,则AF的长为() 16 A.9 B. 16 c. D.2 2.(24-25九年级上安徽合肥期末)如图，矩形ABCD中，E是BC边上一动点， BC_EF=2, AB AE ∠AEF=90°，若BE=1,那么CF的长度为() B 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.5 C.2 D.5 3.(2025广东中山模拟预测)如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P,Q同时从点B出发，点P 沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s,设 P,Q同时出发s时，BPQ的面积为ycm.已知y与t的函数关系如图2所示（曲线OM为抛物线的一部 分)，则下列结论错误的是(). y/cm2 10----- E B 57 H 图1 图2 A.AE =3cm B.当5≤t≤7时，BPQ的面积是10cm2 C.当0≤1≤5时， D.当=5时，品0 P07 2 二、填空题 4.(24-25九年级上海南海口期中)如图，在ABC中，AD=3,DB=6,AC=10,点E为边AC上的一个 动点，当AE= 时，ADE和ABC相似. 5.(24-25九年级上·四川成都期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，动点M、N分别在BC 、AB上，且AN=2BM>0,连接AM、CN.若AC=1,则CN+2AM的最小值为 A M B 6.(2025河南驻马店·三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=10,BC=12,点E是线段BC上 一动点（不与点B,C重合），连接AE,将△ABE沿直线AE折叠，点B落到点F处，连接CF,BF.当 △BFC为等腰三角形时，BE的长为一 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B汽 E 三、解答题 7.（2025九年级上全国专题练习》如图，直线4By=+4与x锥交于点A,与y轴交于点R,P以线 段OA上的一个动点（点P与点O,A不重合），过点P作PC⊥AB于点C,连接BP并延长，过点A作 AD⊥BP于点D,当△BOP与△ABD相似时，求点P的坐标. YA B 8.(24-25九年级上河北衡水期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm,BC=6cm,动点M从点 C出发，在CA边上以每秒1cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点A出发，在AB边上以每秒2cm的 速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<5),连接PM. B B D →M (备用图) ①)是否存在某一时刻1，使。AMP的面积是ABC面积的三？若存在求出相应的：值，若不存在，请说明理 10 由. (②)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△AMP是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由 9.(25-26九年级上全国·周测)【问题发现】 (1)如图O,在R△ABC中，∠BAC=90,45=l,P是边BC上-一动点（不与点B重合）， AC LPAD=90°，LAPD=LB,连接CD.填空： ①8的值为 CD ②∠ACD的度数为 10/12