29.3弧长与扇形面积（分层作业，13大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦弧长与扇形面积，以“基础计算—综合应用—拓展提升”分层设计，覆盖公式直接应用到空间路径问题，强化运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础计算|弧长、扇形半径等8个单一知识点|4题/点，直接套用公式，巩固运算能力| |综合应用|弧形路径、弓形面积等4类图形问题|结合旋转、切线等知识，培养推理意识| |拓展提升|圆锥侧面最短路径|需展开曲面转化平面，发展空间观念|

29.3弧长与扇形面积 知识点一 计算弧长 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，A，B，C均在半径为的上，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·二模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，正八边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的弧长为（     ） A． B． C． D． 知识点二 计算扇形半径 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 3．（2026·安徽阜阳·二模）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 知识点三 计算圆心角 1．（2026·河北石家庄·二模）如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 2．（2026·湖南·一模）若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______度． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 4．（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 知识点四 计算扇形面积 1．（2026·辽宁大连·二模）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·辽宁锦州·二模）如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏盐城·二模）如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 知识点五 计算圆锥的侧面积 1．（2026·江苏徐州·二模）若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏常州·一模）已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是_____（结果保留π）． 3．（2026·四川内江·二模）圆锥体的底面直径，高为，则该圆锥侧面展开图的面积为______． 4．（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 知识点六 计算圆锥的底面半径 1．（2026·宁夏吴忠·一模）如图用圆心角为度，半径为的扇形，如果将，重合围成一个圆锥，那么圆锥底面的半径是______cm． 2．（2026·山东济宁·二模）已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 3．（2026·云南普洱·二模）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是_____． 4．（2026·云南昆明·二模）一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为20，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点七 计算圆锥的高 1．（2026·云南楚雄·一模）已知圆锥侧面展开图的面积为，其底面圆半径为，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南临沧·二模）将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 3．（2026·云南昭通·一模）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 4．（25-26九年级下·云南昭通·期中）已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 知识点八 计算圆锥的侧面展开图的圆心角 1．（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 2．（2026·云南玉溪·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·一模）圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则它的侧面展开图的扇形圆心角的度数为________． 4．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个半径为6的扇形，该扇形的圆心角的度数________． 知识点一 求某点的弧形路径长度 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为_____________（结果保留）． 2．（2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 3．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 4．（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 知识点二 计算弓形面积 1．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为______，求阴影部分面积______． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 3．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 知识点三 求其他不规则图形的面积 1．（2026·湖北武汉·一模）如图，是的直径，，，是的三条切线，，，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南商丘·二模）如图，扇形中，，点为弧上一点，以为邻边构造菱形，则图中阴影部分面积的和为_____． 3．（2026·河南·模拟预测）如图，中，，，，以点为圆心，的长为半径在的右侧作弧，交延长线于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分面积为_______． 4．（2026·山东青岛·二模）如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 知识点四 求图形旋转后扫过的面积 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点、的坐标分别是，将绕点按逆时针方向旋转后得到． (1)画出（不要求写出作法； (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 3．（2026·安徽滁州·一模）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的． (2)将△ABC绕点A逆时针旋转，画出旋转后的，并求出在旋转的过程中扫过的面积． 4．（2026·河北邯郸·一模）如图，在△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 知识点一 求圆锥侧面上的最短路径 1．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3弧长与扇形面积 知识点一 计算弧长 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，A，B，C均在半径为的上，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，可求出圆心角的度数．将圆的半径和圆心角度数，代入弧长公式，即可计算劣弧的长度． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵圆半径， ∴ ． 2．（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，构造弧对应的圆心角，因为要求弧长需要先确定圆心角和半径，所以首先明确弧长公式为，其中是圆心角度数，是圆的半径．利用圆周角定理，因为圆周角和圆心角对应同一段弧，所以可由已知的的度数求出的度数．将得到的圆心角的度数和已知的半径代入弧长公式，计算弧的长度． 【详解】连接、， ， ． 半径， ， 因此的长为． 3．（2026·山东济南·二模）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的内角和，弧长公式计算即可； 【详解】解：因为正六边形的一个外角为：， 故， 因为正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧， 故的长度为：； 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，正八边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角度数为， 所以根据弧长公式，得阴影部分的弧长为． 知识点二 计算扇形半径 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 2．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 3．（2026·安徽阜阳·二模）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解得到圆的半径． 【详解】解：设此圆弧所在圆的半径为， 圆心角，弧长，弧长公式为， ，解得， 即此圆弧所在圆的半径为． 4．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 【答案】6 【分析】根据扇形的面积公式，将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为，已知扇形的弧长，面积． 由扇形面积公式，可得 化简得 两边同时除以，得． 知识点三 计算圆心角 1．（2026·河北石家庄·二模）如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 【答案】/60度 【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆心角是，由题意，得， 解得， ∴这个扇形的圆心角是． 2．（2026·湖南·一模）若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______度． 【答案】120 【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度．则 ， 解得：． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【答案】 【分析】设弧的度数为，利用弧长公式构造方程并求解即可． 【详解】解：设弧的度数为， 由弧长公式可得，， ∴， 解得． 4．（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 知识点四 计算扇形面积 1．（2026·辽宁大连·二模）如图，正方形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形和扇形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴图中扇形的面积为． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质得出 ，结合等腰三角形性质得出 ，最后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解： 与 相切于点 ， ，即 ， ， 为等腰直角三角形 ， ， 阴影部分为扇形，半径 ，圆心角 ， ． 3．（2026·辽宁锦州·二模）如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形的性质求出扇形的圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴扇形的面积是， 故选：C． 4．（2026·江苏盐城·二模）如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为，结合题干中正六边形的边长为3，可知阴影部分为半径为、圆心角为的扇形，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：多边形 是正六边形，边长为3， ，且， 经过点、， 的半径， ． 知识点五 计算圆锥的侧面积 1．（2026·江苏徐州·二模）若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵圆锥底面半径 ，母线长 ，圆锥侧面积公式为， ∴代入数据得． 2．（2026·江苏常州·一模）已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是_____（结果保留π）． 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合扇形面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的侧面积 （）． 3．（2026·四川内江·二模）圆锥体的底面直径，高为，则该圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】/15平方厘米 【分析】先根据已知的底面直径求出底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算侧面展开图的面积． 【详解】解：圆锥底面直径为，高为， 底面圆半径， 设圆锥母线长为，由勾股定理得：， 圆锥侧面展开图的面积公式为， 代入得 ． 4．（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出底面半径，再利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，，母线． ． 圆锥的侧面积为． 知识点六 计算圆锥的底面半径 1．（2026·宁夏吴忠·一模）如图用圆心角为度，半径为的扇形，如果将，重合围成一个圆锥，那么圆锥底面的半径是______cm． 【答案】3 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径是rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可求得答案． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径是rcm， 由题意得：， 解得：． ∴这个圆锥的底面圆的半径是cm． 2．（2026·山东济宁·二模）已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】解：如下图，过点O作，垂足为G，连接， 六边形是正六边形， 是3个全等的等边三角形， ， 正六边形的边心距为3，即， ， ， ，即， 解得：， 设圆锥的半径为r，根据题意，得：， 解得：． 3．（2026·云南普洱·二模）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是_____． 【答案】4 【分析】利用圆锥侧面积公式解题即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意得 将母线长代入得 等式两边约去，得 解得． 4．（2026·云南昆明·二模）一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为20，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用圆锥底面圆周长等于其侧面展开扇形弧长，圆锥母线长等于扇形半径的性质，列方程求解底面半径即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图圆心角度数，母线长，且圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开图的弧长为， ∴， 解得． 知识点七 计算圆锥的高 1．（2026·云南楚雄·一模）已知圆锥侧面展开图的面积为，其底面圆半径为，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆锥侧面积公式求出母线长，再根据圆锥母线、底面半径和高的关系，结合勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥母线长为，高为， 已知底面半径，侧面积， ∵圆锥侧面积公式为， ∴代入得， 解得， ∵圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足勾股定理， ∴． 2．（2026·云南临沧·二模）将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 【答案】 【分析】扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，再结合勾股定理，利用圆锥母线长等于扇形半径，计算得到圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 由扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列出关系式：， ，， ， 解得． 圆锥母线长等于扇形半径，即母线长为，底面圆半径为， 根据勾股定理得圆锥的高为：． 3．（2026·云南昭通·一模）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 4．（25-26九年级下·云南昭通·期中）已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【答案】8 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，圆锥侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，可得圆锥母线长，圆锥底面半径． 设圆锥的高为h，根据勾股定理得：． 知识点八 计算圆锥的侧面展开图的圆心角 1．（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 2．（2026·云南玉溪·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，根据该关系列方程求解即可 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∵圆锥底面圆半径，母线长，且圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长 ，侧面展开图的弧长为. ∴，解得. ∴该圆锥侧面展开图的圆心角度数为 3．（2026·江苏扬州·一模）圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则它的侧面展开图的扇形圆心角的度数为________． 【答案】120 【分析】设该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为，圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此根据弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为， 由题意得，， ∴， ∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为． 4．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个半径为6的扇形，该扇形的圆心角的度数________． 【答案】/120度 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 圆锥底面圆半径为，可得圆锥底面圆周长为 ， 圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥母线长，即， 由圆锥底面周长等于扇形弧长，根据扇形弧长公式得 ， 解得． ∴该扇形的圆心角的度数为． 知识点一 求某点的弧形路径长度 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为_____________（结果保留）． 【答案】 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可得， 是等腰三角形，， ， 点B所经过路径的长度． 2．（2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 3．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 4．（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ． 知识点二 计算弓形面积 1．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为______，求阴影部分面积______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长的计算，扇形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，求得的度数，可求弧长，再求得的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接、，如图， ，分别切于点、， ，， ， 而， ， 的长度， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：；． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积． 先设线段与线段的交点为，通过是中点，证明和都是等边三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理得出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，设线段与线段的交点为， ∵是中点，， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作于点C，由勾股定理求出，求出，进而求出，再利用扇形和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作于点C， 则， ∵圆心O到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴胶皮的面积 ． 故选：C． 4．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 知识点三 求其他不规则图形的面积 1．（2026·湖北武汉·一模）如图，是的直径，，，是的三条切线，，，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去半圆的面积. 利用切线长定理求出的长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出直径的长，进而求出半径，最后计算面积即可． 【详解】解：设与相切于点，过点作于点， ∵是的切线，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 即的半径， ∴ 2．（2026·河南商丘·二模）如图，扇形中，，点为弧上一点，以为邻边构造菱形，则图中阴影部分面积的和为_____． 【答案】 【分析】连接，过作于，设与相交于，证明是等边三角形，得出，则可求，，，证明四边形是矩形，得出，最后根据求解即可. 【详解】解：连接，过作于，设与相交于， ∵菱形，， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ . 3．（2026·河南·模拟预测）如图，中，，，，以点为圆心，的长为半径在的右侧作弧，交延长线于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分面积为_______． 【答案】/ 【分析】利用含角直角三角形的性质，得到的长，结合勾股定理求出；再由运算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴ ． 4．（2026·山东青岛·二模）如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】根据得出是等边三角形，，利用三角函数求出，根据，利用扇形及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵正方形的边长为，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴． 知识点四 求图形旋转后扫过的面积 1．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点、的坐标分别是，将绕点按逆时针方向旋转后得到． (1)画出（不要求写出作法； (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可； （2）根据扇形的面积公式计算． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ； （2）解：∵，， ∴线段所扫过的面积． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 【答案】D 【分析】整体图形由和一个扇形组成，白色部分由与扇形组成，总体面积减去白色部分面积，就是阴影部分面积． 【详解】解：中，，， ， ，， ， ， ． 3．（2026·安徽滁州·一模）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的． (2)将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的，并求出在旋转的过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据要求作图，进而根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：关于原点O对称的，如图1即为所求； （2）解：绕点A逆时针旋转得到，如图2即为所求； 扫过的图形为扇形，且， 则在旋转的过程中扫过的面积为：． 4．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 知识点一 求圆锥侧面上的最短路径 1．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、勾股定理，将圆锥侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形求边长是解题的关键． 根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可求解最短路径． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为，则， ∴，即圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示， ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴， ∴在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是：． 故选：B． 2．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 4．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $