第6课时 解决问题（教案）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

第6课时    解决问题

教学内容

人教版六年级上册教材第64页、65页例4以及做一做。

内容简析

本课时依托传统建筑纹样（外方内圆、外圆内方中式雕花）创设探究情境，以“外方内圆”和“外圆内方”两种常见的设计图形为研究对象，引导学生探究正方形与圆之间的面积关系。教材通过“假设圆的半径”逐步引导学生发现规律，并通过“图形叠加”的方法，直观理解两个图形中面积倍数关系的本质。本课旨在发展学生的代数思维、几何直观和推理能力，帮助学生从具体数据中抽象出一般规律。

教学目标

1.理解“外方内圆”和“外圆内方”的含义，掌握正方形与圆之间的面积关系。

2.经历“假设数据→计算面积→观察规律→归纳公式”的探究过程，提升代数推理能力。

3.依托中式古建筑窗格、传统器物方圆纹样素材，感受中国传统工艺美术中的几何美学；在填表计算、图形拆分旋转实操中体会数形结合的数学趣味，增强几何探究兴趣。

教学重难点

1. 掌握“外方内圆”中圆的面积是正方形面积的，“外圆内方”中圆的面积是正方形面积的。

2. 理解“外圆内方”中正方形面积与圆半径之间的关系。

教法与学法 

1.教法：融合情境激趣、列表探究、拆分演示、讲练结合教法。以中式传统雕花建筑实物图导入两种方圆模型；采用列表赋值法引导学生自主计算多组数据，借助课件拆分、旋转正方形（对角线拆分）直观演示外圆内方正方形构成，帮助学生直观理解面积倍数关系。

2.学法：学生采用自主赋值计算、小组合作填表、动手拆拼图形、对比归纳总结学法，亲历数据计算、图形拆分、规律提炼全流程，内化两类方圆模型的解题规律。

承前启后链

 

 

 

 

教学过程

一、情景创设,导入课题

预设A：传统文化实物导入

师：（出示课本中式雕花窗、器物方圆纹样图片）同学们，我国古代建筑、器皿上随处可见这两种经典纹样，一种是方框内嵌圆形（外方内圆），一种是大圆里面镶嵌正方形（外圆内方）。工匠制作纹样时，需要测算用料面积，就需要研究正方形和内部圆、圆和内部正方形的面积关系，今天我们就一起探究这两种经典方圆组合图形的面积规律。

板书课题： 解决问题

【设计意图：依托传统中式纹样创设真实工艺测算情境，融合传统文化美育，由实际用料测

算需求引出探究问题，激发学生主动探究的内在动力。】

预设B：旧知迁移导入（知识衔接角度）

师：回顾：圆面积S=πr2、正方形面积S=a2。如果在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径和正方形边长有什么关系？在圆里画最大的正方形，边长没有直接给出，怎么算正方形面积？

生：正方形内最大圆直径 = 正方形边长；圆内正方形没法直接用边长算面积。

师：这就是我们今天要攻克的两类特殊组合图形，探究它们隐藏的固定面积倍数规律。

【设计意图：从已学基础公式延伸，抛出图形嵌套的认知矛盾，自然生成新课探究主题，衔

接新旧知识。】

二、师生合作，探究新知

（一）探究外方内圆

1.观察图形，找准特征，建立关联

师：出示标准外方内圆几何图，请大家仔细观察：这个图形中，正方形和内部最大的圆有什么位置关系？圆的直径、半径和正方形的边长存在怎样的联系？同桌之间相互讨论。

学生自主观察、交流讨论后汇报：圆是正方形内最大的圆，圆刚好贴合正方形的四条边，圆的直径等于正方形的边长。

师：外方内圆：圆的直径 = 正方形边长（d = a），r = a÷2。这是我们计算这类图形面积的核心依据。

2.逐层推导面积与通用规律

师：不知道边长、半径具体数值，我们用赋值举例法，依次设圆半径r=1cm、2cm、3cm……

acm，分组填表，分别算出对应圆面积、正方形面积，最后算出圆面积占正方形的几分之几。

圆的半径/cm	1	2	3	……	a
圆的面积/cm²	π			……

正方形的面积/cm²	4			……
圆面积是正方形面积的几分之几（用π表示）				……

1.小组分工：

1 人填半径，1 人算正方形面积，1 人算圆面积，1 人计算圆面积是正方形面积的几分之几。

 师巡视点拨：r=1时，直径=2cm，即正方形边长a=2cm；r=a时，边长=2a。

学生分组计算，汇总填入上面表格。

2.小组汇报发现：

无论半径取几，外方内圆里，圆的面积永远是对应正方形面积的 。

师生总结规律：外方内圆：S圆 = S正​；反过来S正 = S圆 。​

【设计意图：引导学生自主发现外方内圆的图形关系，通过具体数值演算、多组数据对比验

证，自主归纳出方圆面积倍比规律；渗透数形结合与不完全归纳数学思想，让学生理解规律

的由来，避免机械记公式，有效培养学生识图分析、合作探究与推理归纳的能力。】

（二）探究外圆内方

师：我们已经顺利掌握了“外方内圆”的计算方法，接下来我们探究第二种经典方圆组合

——外圆内方。请大家认真观察图形，对比刚才的外方内圆，思考：这个图形中的正方形藏在圆的内部，我们能直接找到它的边长吗？能不能直接用正方形面积公式 S=a²进行计算？

学生观察思考后集体反馈：图形中没有给出正方形的边长，无法直接套用公式计算面积。

师：既然边长未知，正常计算行不通，我们可以用到数学中非常重要的什么思想？

生：转化思想！

师：没错！遇到未知、复杂的图形，我们要想办法把它转化成我们学过的、简单的规则图形。请大家继续观察：这个正方形在圆的正中间，它的对角线和圆存在什么关系？

学生独立观察、同桌交流后汇报：正方形的两条对角线刚好就是圆的直径。

师课件动态演示：沿着正方形的两条对角线切割拆分，清晰展示拆分过程。

学生直观看到：整个正方形被平均分成了四个完全一样的等腰直角三角形。

师点拨：仔细观察每个小三角形的边，它的直角边和圆的半径有什么关联？

生：每个等腰直角三角形的直角边长度正好等于圆的半径r。

师：为了让大家更清楚地理解图形结构，现在请全体同学拿出提前准备好的外圆内方纸片，跟着老师的指令动手操作：先找到正方形的两条对角线，再沿着对角线轻轻对折、裁剪。