第四单元 第3课时 圆的面积（暑假预习讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版（新教材）

第四单元 第3课时 圆的面积 【知识梳理+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 【学习目标】 1.理解圆的面积推导过程，体会转化的数学思想，掌握圆的面积公式。 2.能根据半径、直径、周长灵活求出圆的面积，熟练规范计算。 3.掌握半圆面积计算方法，能解决圆面积相关基础实际问题。 【重难点】 重点：掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积。 难点：理解圆面积公式的推导过程，区分圆的周长与圆的面积。 知识梳理 知识点1 圆的面积含义与推导思想 1.圆的面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2.推导方法（割补转化思想）： 把圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 3.长方形与圆的对应关系： 长方形的长 ≈ 圆周长的一半 长方形的宽 = 圆的半径 知识点2 圆的面积计算公式 1.公式推导： 长方形面积 = 长 × 宽 圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径 2.核心公式： 重点提醒：计算圆面积必须先找半径，不能直接用直径、周长代入公式。 知识点3 已知直径、周长求圆的面积 1.已知直径求面积： 先求半径：，再算面积： 2.已知周长求面积： 先求半径：，再算面积： 知识点4 半圆的面积（常考） 1.半圆面积是整个圆面积的一半，无需加直径（与半圆周长区分）。 2.半圆面积公式： 易错对比： 半圆周长 = 圆周长一半 + 直径 半圆面积 = 圆面积的一半 知识点5 周长与面积的区别 1.周长：围成圆的曲线长度，单位是长度单位（cm、m、dm）。 2.面积：圆所占平面大小，单位是面积单位（cm²、m²、dm²）。 3.数值相等的圆，周长和面积单位不同、意义不同，不能比较。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 计算图中阴影部分的面积。 【答案】6.88cm2 【分析】观察图形可知，长方形的宽等于扇形的半径为4cm，长方形的长是两个半径的和，也就是8cm；两个空白扇形可以拼成一个半径为4cm的半圆，所以阴影部分的面积可以用长方形的面积减去这个半圆的面积来计算。长方形面积＝长×宽，半圆面积＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】长方形面积：（4×2）×4 ＝8×4 ＝32（cm2） 半圆面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 阴影部分的面积：32－25.12＝6.88（cm2） 【跟踪训练】 求出下图阴影部分的面积。 【答案】23.22平方厘米 【分析】通过观察可得，圆的3条直径之和是18厘米，先用除法，求出圆的直径，再根据半径＝直径÷2，求出圆的半径；长方形的长是18厘米，长方形的宽等于圆的直径。 阴影部分的面积等于一个长方形的面积减去三个相同大小圆的面积，根据公式：长方形的面积＝长×宽，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积。 【详解】圆的直径：18÷3＝6（厘米） 圆的半径：6÷2＝3（厘米） 阴影部分的面积： 18×6－3.14×32×3 ＝18×6－3.14×9×3 ＝108－84.78 ＝23.22（平方厘米） 阴影部分的面积是23.22平方厘米。 【例题讲解】 如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【答案】21.98平方米 【分析】先用花坛半径加上小路宽度，求出外圆的半径，再根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），代入数值，即可求出小路的面积。 【详解】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：小路的面积是21.98平方米。 【跟踪训练】 为美化校园，学校计划为一个直径为10米的圆形水池周围修一条宽为1米的鹅卵石小路（阴影部分）。小路的面积是多少平方米？ 【答案】34.54平方米 【分析】小路的面积是圆环的面积，根据圆环面积公式“面积＝π×（外圆半径2－内圆半径2）”计算。先求出内圆半径，再用内圆半径加小路宽度得到外圆半径，最后代入公式计算。 【详解】内圆半径：10÷2＝5（米） 外圆半径：5＋1＝6（米） 小路面积： 3.14×（62－52） ＝3.14×（36－25） ＝3.14×11 ＝34.54（平方米） 答：小路的面积是34.54平方米。 培优练习 一、选择题 1．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9m，宽6m的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是（    ）。 A．254.34m2 B．113.04m2 C．63.585m2 D．28.26m2 【答案】D 【分析】长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积＝πr2，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 这个圆形波纹的面积是28.26平方米。 2．在一个圆的内接正方形中（如图），涂色三角形的面积是108平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．432π B．216π C．108π D．无法计算 【答案】B 【分析】由图可知：涂色三角形是一个等腰直角三角形，两条直角边都是半径：r；即涂色三角形的面积，据此计算出的具体数值，再通过圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【详解】，则 所以圆的面积：（平方厘米） 3．下图中两个大正方形的大小相等，关于阴影部分的说法正确的是（    ）。 A．周长相等，面积不相等 B．面积相等，周长不相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 【答案】D 【分析】把右图中的4块分散的阴影，沿横竖中线平移后，刚好拼成一个和左图完全相同的图形，所以面积相等；再设正方形的边长为a，分别计算出左右两个图形的周长进行比较即可。 【详解】面积对比： 左侧阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积 右侧阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积 因为两个大正方形的大小相等，所以左侧阴影部分的面积等于右侧阴影部分的面积。 设正方形的边长为a 周长比较： 左侧阴影部分的周长＝正方形的周长＋正方形中圆的周长 C左＝4a＋πa 右侧阴影部分的周长：外侧露出的正方形边合计2a，内部十字分割线（横竖各一条）总长2a，四段圆弧拼起来为一个整圆，长度为πa。 C右＝2a＋2a＋πa＝4a＋πa 所以C左＝C右 所以阴影部分周长和面积都相等。 4．如图，折叠方桌的边长为1.2米，把它的四边撑开，就成了圆桌，撑开前后的面积比是（    ）。 A．2∶π B．π∶2 C．4∶π D．π∶4 【答案】A 【分析】设圆的半径是x米，则直径是2x米，正方形的面积等于2个底边是2x米，高是x米的三角形的面积，由此列方程，然后利用正方形的面积公式S＝，圆的面积公式S＝，解答即可。 【详解】 解：设圆的半径是x米，则直径是2x米， 2x×x÷2×2＝1.2×1.2 x2＝1.44÷2 x2＝0.72 撑开前后的面积比：（1.2×1.2）∶（π×x2） ＝1.44∶0.72π ＝（1.44÷0.72）∶（0.72π÷0.72） ＝2∶π 5．如图，直角三角形的面积是18cm2，则空白部分的面积是（    ）cm2。 A．77.04 B．95.04 C．36 D．54 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式S＝ah，用三角形面积乘2就是圆半径的平方，根据圆面积公式，求出圆面积减去直角三角形的面积，即可求出空白部分的面积。 【详解】18×2＝36（cm2） 3.14×36－18＝113.04－18＝95.04（cm2） 空白部分的面积是95.04cm2。 二、填空题 6．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是( )cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 18.84 20.56 25.12 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝π×直径，求出圆的周长；长方形内画最大的半圆，如果半圆的直径等于宽那么半径是6cm，直径是6×2＝12cm，长度不够。所以半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长＝π×半径＋直径，据此求出半圆的周长，再根据圆的面积＝π×半径2，据此求出半圆的面积。 【详解】3.14×6＝18.84（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×4＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 7．一个挂钟分针长12cm，时针长8cm，分针的尖端转一圈走过的路程是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 【答案】 75.36 200.96 【分析】分针的尖端转一圈走过的路程是以钟面的中心为圆心，分针的长度为半径圆的周长，利用求出分针尖端走过的路程；时针转一圈扫过的面积是以钟面的中心为圆心，时针的长度为半径圆的面积，利用求出时针转一圈扫过的面积，据此解答。 【详解】 （cm） （） 分针的尖端转一圈走过的路程是cm，时针转一圈扫过的面积是。 8．中国扇子已成为东方美学的独特缩影。非遗手工课上，安安准备制作一把纱面圆形团扇，扇面的半径为10厘米，至少需要( )厘米的竹条做圆形扇框，需要( )平方厘米的纱做扇面。 【答案】 62.8 314 【分析】要计算做扇框的竹条长度，就是求圆的周长，圆的周长公式C＝2πr；要计算做扇面的纱的面积，就是求圆的面积，圆的面积公式S＝πr2。已知半径，π取3.14，代入对应的公式计算即可。 【详解】2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 9．奇思用电脑绘制了一个组合图形（如图所示），在边长为20cm的正方形中画一个最大的半圆，请问阴影部分面积是( )cm2，周长是( )cm。 【答案】 243 91.4 【分析】已知正方形的边长为20cm，半圆在正方形内直径等于正方形的边长，根据半径等于直径的一半，可得半径为10cm。阴影部分面积等于边长为20cm的正方形面积减去直径为20cm的半圆面积。正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝，这要求出半圆的面积需再乘。 阴影部分周长为正方形三条边的长度加上半圆的弧长。正方形边长为20cm，三条边的长度＝20×3，圆周长公式C＝，先求圆的周长，再求半圆弧长。 【详解】阴影部分面积： 20÷2＝10（cm） 20×20－3.14×× ＝400－3.14×100× ＝400－314× ＝400－157 ＝243（cm2） 阴影部分周长： 20×3＋3.14×20× ＝60＋62.8× ＝60＋31.4 ＝91.4（cm） 10．刮痧是通过刺激人体的相关经络、穴位从而达到健康养生的效果。一个直径为8厘米的半圆形刮痧板（厚度忽略不计）的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 20.56 25.12 【分析】圆的周长C＝πd，代入计算出圆的周长。再除以2加上直径就是半圆的周长。用直径除以2，算出半径。圆的面积＝πr2，代入计算出圆的面积，再除以2即可得到半圆形的面积。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 三、计算题 11．求图中阴影部分的面积。 【答案】7.74平方厘米 【分析】观察图形可知，图中四个空白部分可拼成一个圆，圆的直径等于正方形的边长6厘米，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的面积＝，圆的面积＝，把数据代入公式计算即可。 【详解】62－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 图中阴影部分的面积是7.74平方厘米。 12．计算下图中阴影部分的周长和面积。 【答案】周长51.4厘米；面积21.5平方厘米 【分析】阴影部分的周长等于直径为10厘米的圆的周长加上正方形的两条边长；阴影部分的面积等于边长为10厘米的正方形的面积减去直径为10厘米的圆的面积。 【详解】周长： 3.14×10＋10×2 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 面积： 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 13．求如图阴影部分的面积。 【答案】31.74平方厘米 【分析】通过观察图形可以发现，阴影部分的面积等于整个梯形的面积减去空白部分（即四分之一圆）的面积。 梯形的上底为6厘米，下底为14厘米，高为6厘米，圆的半径：r＝6厘米；根据梯形的面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积公式＝，则四分之一圆的面积为：；把数据代入公式即可解答。 【详解】梯形的面积： （6＋14）×6÷2 ＝20×6÷2 ＝120÷2 ＝60（平方厘米） 四分之一圆的面积： ＝ ＝28.26（平方厘米） 阴影部分面积：60－28.26＝31.74（平方厘米） 阴影部分的面积是31.74平方厘米。 四、解答题 14．为方便储存粮食，李小明的爸爸把晒干的粮食放在一个底面是圆形的粮仓里，这个粮仓的底面直径是6米。这个粮仓的占地面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】由题意可知，粮仓的占地面积等于粮仓底面圆的面积，利用圆的面积公式计算即可。 【详解】 答：这个粮仓的占地面积是28.26平方米。 15．劳动基地里有一块圆形萝卜地，萝卜地的直径是8米。 (1)如果给萝卜地围上一圈栅栏，栅栏长多少米？ (2)如果绕萝卜地铺一条1米宽的环形小路，小路面积是多少平方米？ 【答案】(1)25.12 米 (2)28.26 平方米 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。 （2）由题意可知，已知内圆直径，根据内圆半径＝内圆直径÷2，外圆半径＝内圆半径＋1，环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】（1）3.14×8＝25.12（米） 答：栅栏长25.12米。 （2）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：小路的面积是28.26平方米。 16．如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】秒针转完整一圈是60秒，经过30秒，秒针刚好转半圈，秒针的长度就是扫过图形的半径，即半径r＝4厘米，扫过的面积是半圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：秒针所扫过的面积是25.12平方厘米。 17．一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】人行道的面积相当于求圆环面积，用外圆面积减去内圆面积。内圆（草坪）直径是12米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）计算解答。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） ​答：这条人行道的面积是87.92平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 第3课时 圆的面积 【知识梳理+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 【学习目标】 1.理解圆的面积推导过程，体会转化的数学思想，掌握圆的面积公式。 2.能根据半径、直径、周长灵活求出圆的面积，熟练规范计算。 3.掌握半圆面积计算方法，能解决圆面积相关基础实际问题。 【重难点】 重点：掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积。 难点：理解圆面积公式的推导过程，区分圆的周长与圆的面积。 知识梳理 知识点1 圆的面积含义与推导思想 1.圆的面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2.推导方法（割补转化思想）： 把圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 3.长方形与圆的对应关系： 长方形的长 ≈ 圆周长的一半 长方形的宽 = 圆的半径 知识点2 圆的面积计算公式 1.公式推导： 长方形面积 = 长 × 宽 圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径 2.核心公式： 重点提醒：计算圆面积必须先找半径，不能直接用直径、周长代入公式。 知识点3 已知直径、周长求圆的面积 1.已知直径求面积： 先求半径：，再算面积： 2.已知周长求面积： 先求半径：，再算面积： 知识点4 半圆的面积（常考） 1.半圆面积是整个圆面积的一半，无需加直径（与半圆周长区分）。 2.半圆面积公式： 易错对比： 半圆周长 = 圆周长一半 + 直径 半圆面积 = 圆面积的一半 知识点5 周长与面积的区别 1.周长：围成圆的曲线长度，单位是长度单位（cm、m、dm）。 2.面积：圆所占平面大小，单位是面积单位（cm²、m²、dm²）。 3.数值相等的圆，周长和面积单位不同、意义不同，不能比较。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 计算图中阴影部分的面积。 【跟踪训练】 求出下图阴影部分的面积。 【例题讲解】 如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【跟踪训练】 为美化校园，学校计划为一个直径为10米的圆形水池周围修一条宽为1米的鹅卵石小路（阴影部分）。小路的面积是多少平方米？ 培优练习 一、选择题 1．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9m，宽6m的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是（    ）。 A．254.34m2 B．113.04m2 C．63.585m2 D．28.26m2 2．在一个圆的内接正方形中（如图），涂色三角形的面积是108平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．432π B．216π C．108π D．无法计算 3．下图中两个大正方形的大小相等，关于阴影部分的说法正确的是（    ）。 A．周长相等，面积不相等 B．面积相等，周长不相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 4．如图，折叠方桌的边长为1.2米，把它的四边撑开，就成了圆桌，撑开前后的面积比是（    ）。 A．2∶π B．π∶2 C．4∶π D．π∶4 5．如图，直角三角形的面积是18cm2，则空白部分的面积是（    ）cm2。 A．77.04 B．95.04 C．36 D．54 二、填空题 6．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是( )cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 7．一个挂钟分针长12cm，时针长8cm，分针的尖端转一圈走过的路程是( )cm，时针转一圈扫过的面积是( )。 8．中国扇子已成为东方美学的独特缩影。非遗手工课上，安安准备制作一把纱面圆形团扇，扇面的半径为10厘米，至少需要( )厘米的竹条做圆形扇框，需要( )平方厘米的纱做扇面。 9．奇思用电脑绘制了一个组合图形（如图所示），在边长为20cm的正方形中画一个最大的半圆，请问阴影部分面积是( )cm2，周长是( )cm。 10．刮痧是通过刺激人体的相关经络、穴位从而达到健康养生的效果。一个直径为8厘米的半圆形刮痧板（厚度忽略不计）的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 三、计算题 11．求图中阴影部分的面积。 12．计算下图中阴影部分的周长和面积。 13．求如图阴影部分的面积。 四、解答题 14．为方便储存粮食，李小明的爸爸把晒干的粮食放在一个底面是圆形的粮仓里，这个粮仓的底面直径是6米。这个粮仓的占地面积是多少平方米？ 15．劳动基地里有一块圆形萝卜地，萝卜地的直径是8米。 (1)如果给萝卜地围上一圈栅栏，栅栏长多少米？ (2)如果绕萝卜地铺一条1米宽的环形小路，小路面积是多少平方米？ 16．如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 17．一块直径为12米的圆形草坪，周围有一条宽2米的人行道，这条人行道的面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $