第5课时 圆的面积（2）（教案）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该教案聚焦圆的面积延伸知识，涵盖圆环面积计算与不规则阴影面积转化。课堂通过故宫玉璧实物或旧知迁移导入，复习圆面积公式，衔接圆环（大圆减小圆）及转化思想，为后续扇形等复杂图形学习搭建支架。 特色在于融合传统文化与数学探究，用玉璧建立圆环模型渗透文化，对比列式推导公式培养推理意识，借助旋转平移学具与动态课件演示转化思想发展几何直观。提升学生图形变换能力与创新意识，为教师提供清晰的重难点突破路径和实操教学方法。

第5课时 圆的面积（2） 教学内容 人教版六年级上册教材第63页例2、例3以及做一做。 内容简析 本课在学生掌握圆面积公式S=πr2基础上，先学习圆环面积计算，依托故宫玉璧实物建立圆环具象模型，对比两种列式理解乘法分配律简化圆环公式S=π(R2−r2)；再探究割补、平移、旋转法求不规则半圆类阴影面积，渗透转化思想，把不规则图形转化为整圆、长方形等规则图形计算。既是圆面积的延伸拓展，为后续扇形、复杂组合图形面积学习铺垫转化解题思路。 教学目标 1.认识圆环，掌握圆环面积公式；能运用平移、旋转割补法转化图形，计算不规则涂色面积。 2.经历“实物抽象圆环→列式对比推导公式→割补转化不规则图形”探究过程，依托数形结合体会转化思想、简便运算思想，提升识图、图形变换与列式计算能力。 3.结合故宫青玉玉璧历史文物素材，感受古代玉器文化与数学在文物测算中的应用；在动手移图、旋转拼接活动中体会几何变换趣味，提升探究兴趣。 教学重难点 1.掌握圆环面积公式，会用两种方法列式计算圆环；熟练用平移、旋转法转化不规则阴影， 转化为规则图形求面积。重点突破已知环宽求外半径的易错点，区分直径、半径、环宽三 个概念。 2.根据图形特征灵活选用旋转、平移实现不规则到规则图形的转化。 教法与学法 1.教法：本课融合实物情境、对比探究、图形变换演示、讲练结合教法。依托故宫玉璧实物引出圆环概念，借助两种列式对比推导圆环简算公式；利用动态课件演示半圆平移、旋转过程，直观展示割补转化思路。 2.学法：学生以自主观察、小组合作拼摆、对比归纳为主要学法，亲历看图列式、算式对比、动手平移旋转图形全过程，在转化实操中内化圆环公式与不规则图形解题思路。 承前启后链学习：圆环的面积以及利用平移、旋转法转化不规则阴影转为规则图形面积。 复习：圆的面积以及利用圆的面积解决实际问题。 延学：计算圆和其他图形的面积以及扇形的面积。 教学过程 一、情景创设,导入课题 预设 A：文物实物导入（史料角度） 师：（出示故宫青玉御题蚕纹璧图片）同学们，这件珍藏在故宫的玉璧是我国古代精美玉器，外形是中间镂空、外圈圆形的圆环。想要测算玉璧用料大小，实际求什么？ 生：圆环的面积。 师：之前我们会算整圆面积，圆环是大圆挖去小圆得到，怎么列式求面积？今天探究圆环与不规则图形的面积。板书课题。 【设计意图：以国宝文物创设真实测算情境，渗透传统文化，由实际用料问题引出圆环面积， 激发探究必要性。】 预设 B：旧知迁移导入（知识衔接角度） 师：回顾圆面积公式S=πr ²，已知r=5cm，圆面积怎么算？如果在大圆中间挖去一个小圆，剩下的图形是什么？剩下部分面积怎么求？ 学生猜想：大圆面积减小圆面积。 师：像大圆挖去同心小圆的图形叫作圆环，本节课我们先学圆环面积，再探究不规则阴影图形的巧算方法。 【设计意图：由圆面积旧知延伸，在“挖去小圆”的变化中生成圆环概念，衔接新旧知识，顺启新课。】 二、师生合作，探究新知 （一）探究圆环面积 师：出示例题：玉璧外圆直径 26.3cm，内圆直径5.4cm，求圆环面积。 引导：先求内外半径：R=26.3÷2，r=5.4÷2。 学生自主列式，出现两种写法： 小丽：3.14×()²−3.14×( )² 小明：3.14×[()2−()2] 师设疑：两个算式哪里相同？依据什么运算规律可以合并成第二种？ 生小组讨论：依据乘法分配律，πR2−πr2=π(R2−r2)。 师生小结圆环两个公式： ①分步式：S环=πR2−πr2（大圆减小圆） ②简便式：S环= π(R2−r2) 师：如果题目不直接给内外直径，只告诉内圆半径2cm，环宽4cm，怎么求外圆半径？引导得出R=r+环宽，为做一做第1题铺垫。 【设计意图：依托玉璧例题生成两种列式，借助乘法分配律对比推导圆环简算公式，从分步 计算过渡到简便算法，落实公式理解。】 (二)探究不规则阴影 师：我们学会了规则圆环的面积计算，但很多涂色图形边缘弯弯绕绕、形状不规则，没有现成公式可以套用，数学家常用转化思想，通过旋转、平移把不规则图形变成长方形、半圆形这类规则图形，接下来我们一起探究两种图形变换方法。 1.旋转法求面积 出示例3左图：计算下面图形的面积。 师：观察图形，空白小半圆和阴影小半圆大小有什么关系？ 学生先独立观察，再拿出课前剪好的纸质半圆形学具动手旋转演示。 生上台拿着教具演示：把右侧凸出的小半圆沿着大半圆圆心旋转，刚好能填补左侧空白的小半圆缺口。 师课件动态播放旋转全过程，全班直观看到：涂色部分拼接成一个半径 5cm 的标准半圆形。 师生共同列式： 3.14×5 ²÷2=39.25(cm 2 ) 师小结：旋转法：不规则图形→旋转拼接→规则图形。 2.平移割补法求涂色面积 旋转能把零散小块补空缺，除了旋转，上下挪动图形的平移也是常用转化方法，我们看下一 道例题。 出示例3右图：计算下面图形的面积。 师：仔细看图中上下两个半圆，半径都是 3cm，想一想怎么挪动涂色部分，把不规则图形变 规则？ 小组分工：（1人比划平移路线，1人画图示意，1人总结思路） 小组汇报：将上方凸起的绿色半圆垂直向下平移，刚好填满下方凹进去的空白半圆，涂色区域最终拼成边长为 3cm 的正方形。 教师配合课件分步演示平移动画，全班确认图形变化。 列式：3×3=9(cm2 ) 师生对比小结：旋转多用于弧形零散拼接，平移多用于上下、左右规整移位，核心都是化不规则为规则。 【设计意图：借助动手拼摆与课件演示，引导学生利用平移、旋转实现图形转化，渗透化不 规则为规则的转化思想，在自主探究中掌握巧算阴影面积的解题思路。】 三、巩固练习,学有所得 完成教材做一做。 【设计意图：分层习题巩固圆环公式与图形转化两大核心，查漏补缺；通过三类变式完整覆盖圆环、平移、旋转三类重难点，落实本课三类解题方法。】 四、课末小结,融会贯通 师：今天我们借助玉璧认识圆环，通过平移、旋转拼摆图形探究不规则阴影面积。回想本节课，求这两类图形面积分别要掌握什么方法？（学生自由发言） 生 1：圆环面积可以用大圆减小圆，也能利用乘法分配律简算S=π(R 2−r 2 )。 生 2：不规则阴影能通过平移、旋转割补，转化成长方形、半圆形等规则图形再计算。 生 3：算圆环要分清内外半径，给出环宽时要先算出外圆半径。 生 4：转化图形先要观察形状特点，确定用平移还是旋转。 师：总结很全面！本课核心就是两种思路：圆环依托圆面积之差计算，不规则图形依靠割补转化化繁为简，解题找准半径是关键，灵活选择计算方法。 【设计意图：依托实物观察与动手拼摆的课堂活动，引导学生自主梳理圆环公式、图形转化方法与解题易错点，串联整课知识，强化转化思想的理解。】 五、教海拾遗,反思提升 1.回味课堂,发现亮点之处:以国宝玉璧开课融合传统文化，圆环公式依托算式对比自然推导，两类图形变换配合动手比划、课件动态演示，转化思想落地扎实；例题、习题全部紧扣教材原图，贴合课本编排逻辑。 2.反思过程,有待改进之处:部分学生分不清内外半径、直径换算失误；个别学生不会判断该平移还是旋转，图形转化思路模糊；课堂拼摆实操时间紧张。后续通过画图标注内外圆半径、对比辨析直径半径换算，强化环形数据识别；增设平移、旋转特征对比判断题，明确两种变换的适用场景，理清图形转化思路；课前明确小组分工、限定实操时长，精简无效操作，提高课堂实操效率。 我的反思: 板书设计： 圆的面积（2） 圆环 S=πR 2 −πr 2 S=π(R 2 −r 2 )（乘法分配律） 不规则转化： ①旋转拼接 → 半圆：3.14×5 2 ÷2 ②平移拼接 → 正方形：3×3 转化思想：平移/旋转 不规则 转化规则图形 1 学科网（北京）股份有限公司 $