奥数培优专题09 圆的面积与组合图形（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦圆的面积与组合图形核心知识点，系统梳理圆面积公式推导（转化法化圆为方）、圆及圆环面积计算、外方内圆与外圆内方模型、组合图形面积（分割补全法）的知识脉络，构建完整学习支架。 资料以知识体系全景梳理和图表记忆法为特色，通过奥数思维提升（如转化思想推导公式培养几何直观）、分层进阶练习（基础到思维跃迁）助力学生发展推理意识与应用意识，易错指南有效帮助学生查漏补缺，课中辅助教学，课后强化巩固。

专题九 圆的面积与组合图形 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点1：圆面积公式推导 3 考点2：圆面积计算 4 考点3：圆环面积 5 考点4：外方内圆与外圆内方 6 考点5：组合图形面积 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点1：面积周长公式混淆 9 易错点2：直径直接算面积 9 易错点3：圆环半径搞错 9 易错点4：外圆内方面积算错 9 易错点5：组合图形分割错误 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 ◎ 基础夯实篇 11 ◎ 能力进阶篇 11 ◎ 思维跃迁篇 12 第五部分 精准解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版六年级上册圆的面积部分内容，围绕圆面积公式推导、圆面积计算与实际问题、圆环面积、外方内圆与外圆内方面积关系、组合图形面积五大考点展开，掌握转化法推导圆面积公式，会计算圆、圆环、方圆组合图形面积，用分割补全法计算组合图形面积，培养转化思想、极限思想和空间观念。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 圆面积公式推导 圆等分拼近似长方形，长=πr，宽=r，S=πr²，化圆为方转化法 转化法、极限思想 长方形长是πr不是πd，宽是r不是d 圆面积计算 S=πr²，已知直径先求半径再算面积 公式法 直接用直径平方算面积，忘记除以2得半径 圆环面积 S=πR²-πr²=π(R²-r²)，R外半径r内半径 大圆减小圆法 直径当半径，内外半径搞反 外方内圆/外圆内方 外方内圆：阴影=0.86r²；外圆内方：阴影=1.14r²，r为圆半径 模型法 内正方形面积错算成边长平方，不会用对角线求面积 组合图形面积 分割成基本图形（圆、方、三角等），面积相加或相减 分割补全法 分割错误，多算或少算部分面积 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 圆面积推导记忆法 圆面积公式推导 圆等分拼近似长方形→长πr宽r→S=πr² 圆拼长方，长πr宽r，面积πr方 圆面积计算法 已知半径/直径求面积 找半径→r=d÷2→S=πr² 算面积找半径，π乘半径平方 圆环面积法 圆环面积计算 找外半径R和内半径r→S=π(R²-r²) 圆环面积好计算，大圆减小圆，π乘R方减r方 方圆面积法 外方内圆/外圆内方 外方内圆0.86r²，外圆内方1.14r² 外方内圆零点八六r方，外圆内方一点一四r方 组合图形法 组合图形面积 分割/补全为基本图形→分别算面积→加/减得总面积 组合图不用怕，分割补全变基本，加加减减就得到 三、奥数思维提升 1. 转化思想：化圆为方 核心要点：把圆等分成若干份，拼成近似长方形，将未知的圆面积转化为已学的长方形面积，体现化曲为直、化圆为方的转化思想，是小学几何重要思想方法。 示例：把圆16等分、32等分，拼成的图形越来越接近长方形，分的份数越多越接近长方形，通过长方形面积推导出圆面积。 2. 极限思想：无限等分 核心要点：圆等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，当份数无限多时，曲线就变成直线，就成为真正的长方形，体现极限思想，是微积分思想的萌芽。 示例：分4份拼的图形像平行四边形，分16份更接近长方形，分无限份就完全是长方形，长就是πr，宽就是r。 3. 模型思想：方圆模型 核心要点：外方内圆、外圆内方是经典方圆组合模型，推导得出固定的面积差公式，建立模型后可以快速解题，体现数学模型思想，提高解题效率。 示例：半径为r时，外方内圆阴影面积是0.86r²，外圆内方阴影面积是1.14r²，记住模型直接套用快速计算。 4. 整体思想：圆环整体计算 核心要点：圆环面积不用分别计算两个圆面积再相减，直接用π(R²-r²)，把R²-r²看作整体计算，体现整体思想，简化计算过程。 示例：外半径5，内半径3，圆环面积直接算π(25-9)=16π，不用算25π-9π，更简便。 5. 割补思想：不规则变规则 核心要点：不规则组合图形，通过分割成基本图形，或者补成规则图形再减去多余部分，化不规则为规则，体现割补思想，解决复杂组合图形面积问题。 示例：不规则阴影部分，分割成一个半圆和一个三角形，分别计算面积再相加，得到阴影面积。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点1：圆面积公式推导 典型例题 1（基础型） 题目：把圆拼成近似长方形，长方形的长相当于圆的什么？宽相当于圆的什么？ 思路点拨： ① 拼成长方形，长是圆周长的一半，即πr； ② 宽是圆的半径r； ③ 答案：周长的一半（πr），半径r。 【答案】周长的一半（πr）；半径r 【知识点睛】转化法化圆为方，是圆面积公式推导的核心。 典型例题 2（提高型） 题目：把圆拼成近似长方形后，周长比原来圆增加了8cm，原来圆的半径是多少？ 思路点拨： ① 拼成长方形后，周长比圆多了2条半径； ② 多了8cm，即2r=8，r=4cm； ③ 半径是4cm。 【答案】4cm 【知识点睛】拼长方形后周长增加2条半径，是常考易错点。 典型例题 3（奥数型） 题目：把圆等分拼成近似长方形，长方形的长是6.28cm，原来圆的面积是多少？ 思路点拨： ① 长方形长=πr=6.28，r=6.28÷3.14=2cm； ② S=πr²=3.14×2²=12.56cm²； ③ 圆面积是12.56cm²。 【答案】12.56cm² 【知识点睛】长方形长是πr，先求半径再算面积。 考点2：圆面积计算 典型例题 1（基础型） 题目：一个圆半径3cm，它的面积是多少？ 思路点拨： ① 用公式S=πr²； ② S=3.14×3²=3.14×9=28.26cm²； ③ 面积是28.26cm²。 【答案】28.26cm² 【知识点睛】已知半径直接用S=πr²计算面积。 典型例题 2（提高型） 题目：一个圆直径8cm，它的面积是多少？ 思路点拨： ① 先求半径r=8÷2=4cm； ② S=3.14×4²=50.24cm²； ③ 面积是50.24cm²。 【答案】50.24cm² 【知识点睛】已知直径先求半径，再算面积，不要直接用直径平方。 典型例题 3（奥数型） 题目：羊被拴在树桩上，绳长5米，羊能吃到草的最大面积是多少？ 思路点拨： ① 羊吃草的范围是半径5米的圆； ② S=3.14×5²=78.5平方米； ③ 吃草面积78.5平方米。 【答案】78.5平方米 【知识点睛】实际问题中绳长就是圆的半径，计算圆面积。 考点3：圆环面积 典型例题 1（基础型） 题目：一个圆环外半径5cm，内半径3cm，它的面积是多少？ 思路点拨： ① 用公式S=π(R²-r²)； ② S=3.14×(25-9)=3.14×16=50.24cm²； ③ 圆环面积50.24cm²。 【答案】50.24cm² 【知识点睛】圆环面积=π(R²-r²)，即大圆面积减小圆面积。 典型例题 2（提高型） 题目：圆形花坛直径10米，在周围修1米宽的小路，小路面积是多少？ 思路点拨： ① 内半径r=5米，外半径R=5+1=6米； ② S=3.14×(6²-5²)=3.14×11=34.54平方米； ③ 小路面积34.54平方米。 【答案】34.54平方米 【知识点睛】小路是圆环，外半径=内半径+路宽。 典型例题 3（奥数型） 题目：一个圆环外直径10cm，环宽2cm，圆环面积是多少？ 思路点拨： ① 外半径R=5cm，内半径r=5-2=3cm； ② S=3.14×(5²-3²)=3.14×16=50.24cm²； ③ 圆环面积50.24cm²。 【答案】50.24cm² 【知识点睛】环宽=R-r，内半径=外半径-环宽。 考点4：外方内圆与外圆内方 典型例题 1（基础型） 题目：外方内圆，圆半径1m，正方形和圆之间的面积是多少？ 思路点拨： ① 正方形边长=2m，面积=4m²； ② 圆面积=3.14×1²=3.14m²； ③ 阴影面积=4-3.14=0.86m²。 【答案】0.86m² 【知识点睛】外方内圆阴影面积=0.86r²，r=1时直接得0.86。 典型例题 2（提高型） 题目：外圆内方，圆半径2m，圆和正方形之间的面积是多少？ 思路点拨： ① 圆面积=3.14×2²=12.56m²； ② 正方形对角线长度等于圆的直径，即 4m，正方形面积 = 对角线 × 对角线 ÷2=4×2÷2×2=8m²； ③ 圆和正方形之间的面积=12.56-8=4.56m²。 【答案】4.56m² 【知识点睛】外圆内方阴影面积=1.14r²，r=2时1.14×4=4.56。 典型例题 3（奥数型） 题目：边长4cm的正方形里画最大的圆，圆外正方形内的面积是多少？ 思路点拨： ① 圆半径r=2cm，是外方内圆模型； ② 阴影面积=0.86×2²=0.86×4=3.44cm²； ③ 面积是3.44cm²。 【答案】3.44cm² 【知识点睛】正方形内最大圆就是外方内圆模型，直接套用公式。 考点5：组合图形面积 典型例题 1（基础型） 题目：一个半圆半径2cm，它的面积是多少？ 思路点拨： ① 整圆面积=3.14×2²=12.56cm²； ② 半圆面积=12.56÷2=6.28cm²； ③ 半圆面积6.28cm²。 【答案】6.28cm² 【知识点睛】半圆面积是整圆面积的一半。 典型例题 2（提高型） 题目：一个窗户，下面是边长2m的正方形，上面是直径2m的半圆，窗户面积是多少？ 思路点拨： ① 正方形面积=2×2=4m²； ② 半圆半径1m，面积=3.14×1²÷2=1.57m²； ③ 总面积=4+1.57=5.57m²。 【答案】5.57m² 【知识点睛】组合图形分割成正方形和半圆，面积相加。 典型例题 3（奥数型） 题目：边长4cm的正方形，以四个顶点为圆心，2cm为半径画四个扇形，阴影面积是多少？ 思路点拨： ① 四个扇形都是90度，合起来是一个整圆，半径2cm； ② 圆面积=3.14×2²=12.56cm²； ③ 阴影面积就是12.56cm²。 【答案】12.56cm² 【知识点睛】四个90度扇形合起来是一个整圆，用整体思想计算。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：面积周长公式混淆 错误示例：把面积公式记成S=2πr，或者S=πd²，和周长公式混淆。 正确分析：圆面积S=πr²，2πr是周长公式，面积有平方，周长没有，不要记混。 修正方法：记公式时区分：面积是π乘半径平方，有平方；周长是2πr，没有平方。 易错点2：直径直接算面积 错误示例：直径8cm的圆，错误算面积=3.14×8²=200.96cm²。 正确分析：直径要先除以2得到半径4cm，面积=3.14×4²=50.24cm²，不能直接用直径平方。 修正方法：算圆面积第一步先找半径，给直径就除以2得半径，再平方乘π。 易错点3：圆环半径搞错 错误示例：直径10米花坛修1米宽小路，错误用直径算：3.14×(11²-10²)。 正确分析：要先把直径转成半径，内半径5米，外半径6米，再算圆环面积。 修正方法：算圆环先找内半径和外半径，都转成半径再算，不要直接用直径。 易错点4：外圆内方面积算错 错误示例：半径2m的外圆内方，错误算正方形面积=4×4=16m²。 正确分析：正方形对角线是直径4m，面积=对角线×对角线÷2=8m²，不是边长平方。 修正方法：外圆内方的正方形，对角线是直径，面积=2r²，不是(2r)²。 易错点5：组合图形分割错误 错误示例：计算组合图形时多算或者少算部分面积，比如把半圆周长当面积，或者漏加部分。 正确分析：先画分割线，看清楚组合图形由哪些基本图形组成，是加还是减，标清楚每个图形的尺寸。 修正方法：组合图形先画分割线，分别算每个基本图形面积，再看是加还是减，最后算总面积。 第四部分 分层进阶专题精练 ◎ 基础夯实篇 1. 圆半径2cm，面积是____cm² 2. 圆直径6cm，面积是____cm² 3. 圆环外半径4cm，内半径2cm，面积是____cm² 4. 把圆拼成近似长方形，长相当于圆的____，宽相当于圆的____ 5. 外方内圆r=1m，阴影面积是____m² 6. 半圆半径3cm，面积是____cm² 7. 判断：圆半径扩大2倍，面积扩大2倍。（ ） 8. 羊被3米长的绳子拴住，能吃到草的面积是____平方米 ◎ 能力进阶篇 9. 把圆拼成近似长方形，周长增加了10cm，原来圆的半径是多少？面积是多少？ 10. 直径8米的圆形花坛，周围修2米宽的小路，小路面积是多少平方米？ 11. 外圆内方，圆半径3m，圆和正方形之间的面积是多少？ 12. 窗户：下面是长3m、宽2m的长方形，上面是直径2m的半圆，窗户面积是多少？ 13. 圆环外直径10cm，环宽1cm，圆环面积是多少？ 14. 边长6cm的正方形里画最大的圆，这个圆的面积是多少？ 15. 一个圆周长12.56cm，它的面积是多少？ ◎ 思维跃迁篇 16. 一个半圆的周长是20.56cm，这个半圆的面积是多少？ 17. 正方形面积是20cm²，正方形内最大圆的面积是多少？（提示：r²是正方形面积的） 18. 圆内最大正方形面积是40cm²，这个圆的面积是多少？（提示：2r²=正方形面积） 19. 正方形边长4cm，四个角是半径2cm的四分之一圆，中间阴影面积是多少？ 20. 直角三角形直角边3cm、4cm，斜边5cm，以斜边为直径画半圆，两个月牙形阴影面积和是多少？（提示：两个月牙面积和=三角形面积） 第五部分 精准解析 ◎ 基础夯实篇解析 1. 【答案】12.56 思路点拨： ① S=πr²=3.14×4=12.56cm²； ② 面积12.56cm²。 【知识点睛】已知半径直接算面积。 2. 【答案】28.26 思路点拨： ① r=3cm，S=3.14×9=28.26cm²； ② 面积28.26cm²。 【知识点睛】直径先转半径再算面积。 3. 【答案】37.68 思路点拨： ① S=3.14×(16-4)=3.14×12=37.68cm²； ② 圆环面积37.68cm²。 【知识点睛】圆环面积π(R²-r²)。 4. 【答案】周长的一半（πr），半径r 思路点拨： ① 长是圆周长一半πr； ② 宽是半径r。 【知识点睛】圆面积推导，化圆为方。 5. 【答案】0.86 思路点拨： ① 0.86×1²=0.86m²； ② 阴影0.86m²。 【知识点睛】外方内圆阴影0.86r²。 6. 【答案】14.13 思路点拨： ① 整圆面积3.14×9=28.26，半圆14.13cm²； ② 半圆面积14.13cm²。 【知识点睛】半圆面积是整圆一半。 7. 【答案】× 思路点拨： ① 半径扩大2倍，面积扩大4倍； ② 说法错误。 【知识点睛】面积和半径平方成正比。 8. 【答案】28.26 思路点拨： ① S=3.14×9=28.26平方米； ② 吃草面积28.26平方米。 【知识点睛】绳长是半径，算圆面积。 ◎ 能力进阶篇解析 9. 【答案】半径5cm，面积78.5cm² 思路点拨： ① 增加的是2r=10cm，r=5cm； ② S=3.14×25=78.5cm²； ③ 半径5cm，面积78.5cm²。 【知识点睛】拼长方形周长增加2r，先求半径再算面积。 10. 【答案】62.8平方米 思路点拨： ① 内r=4m，外R=6m； ② S=3.14×(36-16)=62.8平方米； ③ 小路面积62.8平方米。 【知识点睛】圆环面积，外半径=内半径+路宽。 11. 【答案】10.26m² 思路点拨： ① 1.14×3²=1.14×9=10.26m²； ② 阴影面积10.26m²。 【知识点睛】外圆内方阴影1.14r²。 12. 【答案】7.57m² 思路点拨： ① 长方形面积3×2=6m²； ② 半圆面积3.14×1²÷2=1.57m²； ③ 总面积7.57m²。 【知识点睛】组合图形分割，面积相加。 13. 【答案】28.26cm² 思路点拨： ① 外R=5cm，内r=4cm； ② S=3.14×(25-16)=28.26cm²； ③ 圆环面积28.26cm²。 【知识点睛】环宽1cm，内半径=外半径-环宽。 14. 【答案】28.26cm² 思路点拨： ① r=3cm，S=3.14×9=28.26cm²； ② 圆面积28.26cm²。 【知识点睛】正方形内最大圆半径是边长一半。 15. 【答案】12.56cm² 思路点拨： ① r=12.56÷3.14÷2=2cm； ② S=3.14×4=12.56cm²； ③ 面积12.56cm²。 【知识点睛】周长先求半径，再算面积。 ◎ 思维跃迁篇解析 16. 【答案】25.12cm² 思路点拨： ① 半圆周长=πr+2r=5.14r=20.56，r=4cm； ② 半圆面积=3.14×16÷2=25.12cm²； ③ 面积25.12cm²。 【知识点睛】半圆周长先求半径，再算半圆面积。 17. 【答案】15.7cm² 思路点拨： ① 正方形边长=2r，正方形面积=4r²=20，r²=5； ② 圆面积=3.14×5=15.7cm²； ③ 圆面积15.7cm²。 【知识点睛】不用求半径，直接求r²代入面积公式。 18. 【答案】62.8cm² 思路点拨： ① 正方形面积=2r²=40，r²=20； ② 圆面积=3.14×20=62.8cm²； ③ 圆面积62.8cm²。 【知识点睛】外圆内方正方形面积=2r²，直接求r²算圆面积。 19. 【答案】3.44cm² 思路点拨： ① 四个四分之一圆合起来是半径2cm的整圆，面积12.56cm²； ② 正方形面积16cm²，阴影=16-12.56=3.44cm²； ③ 阴影面积3.44cm²。 【知识点睛】四个扇形合起来整圆，正方形减圆得阴影。 20. 【答案】6cm² 思路点拨： ① 两个月牙面积+两个小半圆面积=三角形+大半圆面积； ② 两个小半圆面积和=大半圆面积，所以月牙面积和=三角形面积； ③ 三角形面积=3×4÷2=6cm²。 【知识点睛】希波克拉底月牙，月牙面积和等于直角三角形面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $