专题17 二次函数含参问题（10种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数含参问题核心知识点，先明确含参概念（二次项系数、一次项系数、常数项或自变量范围不确定的二次函数），再梳理轴动区间定、轴动区间动、轴定区间动的分类，通过10类题型（如交点个数、最值、函数值大小关系等）搭建从概念到应用的学习支架。 该资料以分类思想和数形结合为特色，通过典例与变式对比（如已知交点个数求参数、已知最值求参数）培养学生推理能力与几何直观，巩固与强化训练分层设计，课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，提升模型意识与应用能力。

专题17 二次函数含参问题 1.明白什么是含“参”的二次函数 2.知道含参二次函数中，求最值有几种不同的形式 3.会根据题目条件区分所要求的最值属于哪种形式 4.在每种不同情况下，会画出不同位置的图形求出相应的值或范围 5.体会分类思想和数形结合思想在解题中的应用 重点与难点： 重点：目标2，目标3，目标4 难点：目标5 一、含参二次函数的概念： （1）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项，或自变量取值范围不确定的二次函数。 如：；；中x的范围－1＜x≤a （2）最值：函数的最大值与最小值． 二、知识梳理： 轴动区间定：对称轴不确定，自变量取值范围确定 轴定区间动：对称轴确定，自变量取值范围不确定 轴动区间动：对称轴不确定，自变量取值范围不确定 题型01已知抛物线与x轴交点个数求字母参数的值或范围 【典例】关于的函数的图象与轴有三个不同的公共点，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，难度很大，利用转化和数形结合思想是解决本题的关键．将函数转化为，换元处理，令，则，令，则，得到，令，，则问题转化为函数与图象有3个不同的交点，后面就是画图分析即可． 【详解】解：∵函数， ∴ ， 令， 在原函数转化为：， 令，则， ∴， 令， ∴问题转化为函数与图象有3个不同的交点， 对于函数，可知， ∴函数图象经过点， 对于函数，可化简为：， 当，，则函数与y轴交于点， 画出函数与图象如图： 当直线经过点时，符合题意，如图： 则， ∴； 当直线与函数的y轴右侧部分图象相切时，符合题意，如图： 则联立函数解析式得：， 整理得：， 则， 解得：（舍）或， 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式】已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围； (3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出的值； （2）根据题意点，关于对称轴对称，可得到的值，根据已知不等式可得到的取值范围，然后利用图象上点的坐标特征即可求得的取值； （3）分当时和当时两种情况讨论，根据是该函数的图象与轴的一个公共点，且，分别确定的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入中， 得： ， 两式相减得， ； （2）解：当时，， 将代入得，，解得， ， 对称轴为直线， 函数的图象同时经过点，， ， ， ， ，即， ， ， 对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 的取值范围是． （3）解：由（1）知，中， 将代入得，， ， ， 当时，如图， 当时，； 当时，，解得； 即； 当时，如图， 当时，； 当时，，解得； 即； 综上，的取值范围为或． 题型02已知抛物线与坐标轴交点个数求字母参数的值或范围 【典例】函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 【答案】，， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题．函数与坐标轴有个交点，需分函数为一次函数和二次函数讨论；一次函数时需不经过原点；二次函数时需满足判别式为零且不与原点重合，或常数项为零（经过原点）且与轴有另一个交点 【详解】解：函数与坐标轴有个交点，分情况讨论： （1）当时，，函数为一次函数，与轴交于点，与轴交于点，有个交点，符合 （2）当时，函数为二次函数，与轴交于点 判别式 ①若，即，，此时与轴有一个交点，与轴交于点，两点不同，有个交点，符合 ②若常数项，即，函数为，令，得或，与轴交于点和，与轴交于点，共有个，符合 其他情况如且常数项不为，则有个交点，不符合 故的值为，， 故答案为：，，． 【变式】函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，分两种情况讨论：当时，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点； 当时，函数为二次函数，其图像与y轴恒有一个交点， 若要与坐标轴至少有两个交点，则必须与x轴有交点，故，解得， 因此，此种情况下m的取值为且， 综上所述，结合的情况，满足题意的m的取值范围为， 故选：A． 题型03已知一元二次方程解的情况求字母参数的值或范围 【典例】已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次函数纵坐标相等的两点求出原函数对称轴，再根据函数平移规律得到目标方程对应函数的对称轴，最后利用二次函数交点关于对称轴对称的性质推导两根之和． 【详解】解：∵二次函数经过纵坐标相等的两点， ∴原二次函数的对称轴为直线， ∵令 ，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数， ∴的对称轴为直线， ∵方程的两个根是图象与图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数的对称轴对称， ∴，整理得； 而的值不确定，因此只有B选项正确． 【变式】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，首先根据题意得到抛物线开口向下，得到，对称轴为直线，然后得到，代入得到，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为， ∴抛物线开口向下， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵与轴一个交点的横坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 题型04已知抛物线与直线y-kx+b的交点个数求参数字母的取值范围 【典例】已知：二次函数（a为常数）． （1）请写出该二次函数图像的对称轴； （2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值； （3）直角坐标系中，若该二次函数的图像在的部分与一次函数的图像有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）≤a＜2 【分析】（1）根据二次函数一般式的对称轴为，代入数值即可； （2）根据二次函数当，有最小值7，代入求出a的值即可； （3）根据二次函数的图象与一次函数y＝2x−1的图象有两个交点，则x2−4x＋3a＋2＝2x−1的方程的Δ＞0，求得a＜2，把x＝4和代入y＝2x−1，求得函数值7，把（4，7）代入y＝x2−4x＋3a＋2，得到关于a的方程，解方程求得a＝，根据题意求出a的取值即可． 【详解】解：（1）∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为：， 即：； （2）当时，有最小值7， 即， 解得：； （3）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x−1的图象有两个交点， ∴x2−4x＋3a＋2＝2x−1， 整理为：x2−6x＋3a＋3＝0， ∴△＝36−4（3a＋3）＞0， 解得a＜2， 把x＝4代入y＝2x−1，解得y＝2×4−1＝7， 把（4，7）代入y＝x2−4x＋3a＋2得7＝16−16＋3a＋2，解得a＝， 故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x−1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的性质，根据题意得出的取值是解题的关键． 【变式】已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 题型05已知字母参数的值或范围求最值 【典例】已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则的取值范围为______，代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，结合题意可得，求出抛物线与轴的交点坐标为，结合线段的长不大于4，得出，求出，从而可得的最小值为，代入所求式子即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线过点，两点， ∴， 当时，， ∴，， 即点A、B的横坐标为，， ∵线段的长不大于4， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时代数式，即代数式的最小值为， 故答案为：，． 【变式】已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（   ） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解，，，再建立二次函数，从而可得答案. 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴，即，对称轴为直线． ∴， ∵二次函数过和两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，的最小值为， 故选：A 题型06已知最值求字母参数的值或范围 【典例】已知二次函数（为常数）的图象过点． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标． (2)已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 【答案】(1)， (2)①点坐标为，② 【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可； （2）①，当时，，分类求解． ②分和时，求解． 【详解】（1）解： 二次函数的图象过点， ， 解得， 该二次函数的表达式为． ， 图象的顶点坐标为． （2）解：（2）①， 当时，， 当时，取得最大值0， 当时，， 当时，取得最大值3， ， 又， 与同时取得最大值． 点坐标为． ②情况一：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 当时，取得最大值为． ， 又的最大值为9， 该情况不成立． 情况二：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 时，取得最大值为， 的最大值为9． ， 解得（舍）或． 综上所述：． 【变式】已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数（）的对称轴直线 ，图象具有如下性质：①当时，抛物线（）的开口向上， 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当时，抛物线（）的开口向下， 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出． 【详解】解：∵二次函数（其中是自变量）， ∴对称轴是直线 ， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴时，， ∴， ∴，或（不合题意舍去）． 故选：A． 题型07由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的值或范围 【典例】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，写出抛物线的解析式并求出顶点坐标； (2)如图，当时，抛物线与直线交于和点，在直线下方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在求出点的坐标并求出面积的最大值； (3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点； (2)， (3)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的对称性，最值问题，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，根据顶点式得到顶点坐标； （2）先求出点B坐标，进而求出直线的解析式，作轴交于点H，设，则，根据即可求解； （3）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线的解析式为，顶点； （2）解：当时，， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于点H， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时点P的纵坐标为， ，的最大值为； （3）解： ， 抛物线的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： 当时，如图： ，，，且当时，y随x的增大而增大， ， 解得， 又 ， ； 当时，如图： 由题意得关于对称轴对称的点的坐标为， ，，，且当时，y随x的增大而减小， ， 解得， 又 ， ； 综上可知，a的取值范围为或． 【变式】已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作差法分解因式，判断因式符号后，根据恒成立条件即可求出a的取值范围. 【详解】解：∵， 在抛物线 上， ∴，， ∴， ∵ 对任意 ，都有 ，即 ， ∵，， ∴ ， ∴ 要满足，需对所有恒成立， ∴， ∴，解得. 题型08 由字母参数的值或范围确定函数值的大小关系 【典例】已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴． 【变式】已知抛物线，点、、、均在此抛物线上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先求得抛物线的对称轴为，再抛物线开口向上，最后根据判断离对称轴比较近，从而判断出与的大小关系． 【详解】解：点、均在此抛物线上， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 开口向上， 、均在此抛物线上，且， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键． 题型09由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值 【典例】已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先将二次函数的关系式配成顶点式，然后得出顶点坐标，再根据顶点到x轴的距离可得取值范围，求出解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴是，顶点坐标是． ∵二次函数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， 解得． 故选：B． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 故选：C． 题型10 抛物线与线段的公共点个数确定参数范围或参数的值 【典例】已知二次函数． (1)将此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； (2)设点在该二次函数的图象上，且，求实数m的取值范围； (3)已知点，线段与此函数图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 (3)且． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线和的交点问题以及不等式解法，二次函数的平移问题以及二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）先求出顶点坐标，再根据平移的性质结合平移后图象的顶点落在x轴上，得到，解绝对值方程即可； （2）根据抛物线的对称性，分，，两种情况，结合抛物线的增减性即可解答； （3）求出直线表达式为，根据抛物线与线段只有一个公共点，分，，两种情况，根据图象，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：． ∴顶点为， ∵此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上， ∴， ①当时，则， 解得； ②当时，则，无解； 故； （2）解：由题可知对称轴为直线， ①当时，抛物线开口向上 当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∵， ∴点M更加靠近对称轴， ∴； ②当时，抛物线开口向下 很明显， 此时点M离对称轴更远， ∴； ∴ 综上，且； （3）解：设表达式为，将点代入得， ，解得； ∴， 当时，二次函数开口向上， 把代入 得 把代入 得 ∵线段与抛物线图象只有一个公共点 ∴或 ∴或 ∴ 又∵ ∴ 当时，二次函数开口向下， 把代入 得 把代入 得 ∵线段与抛物线图象只有一个公共点 ∴或 ∴或 ∴ 又∵ ∴ 综上，且． 【变式】如图，在平面直角坐标系中有两点，如果抛物线与线段有公共点，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把A（1，1）代入y=ax2得a=1， 把B（3，1）代入y=ax2得a=， 所以a的取值范围为. 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 【巩固训练】 1．若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象与x轴的交点问题．二次函数图象与x轴有两个公共点，等价于对应方程有两个不相等的实数根，据此即可求出答案． 【详解】解：对于函数 ，令 得方程： 即 ∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 观察选项，只有D选项满足． 故选：D． 2．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再求得平移后的顶点坐标为，根据题意得到不等式，据此即可求解． 【详解】解：∵平移前二次函数解析式为， ∴平移前二次函数的顶点坐标为， ∴平移后二次函数的顶点坐标为，即 ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且平移后的二次函数开口向上， ∴平移后的二次函数只能是与y轴有一个交点，与x轴没有交点， ∴平移后的二次函数顶点一定在x轴上方， ∴， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 4．若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 此时分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ∴， 解得， ∵，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件， ∴． 5．二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出对称轴为直线，故点为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得，，进而可判断出，因为恒为正，且，故必为负，必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，故点为顶点坐标． ， 二次函数的图象还过，两点， ，， 比较点和点到对称轴的距离， 即，且， ． ∵， 恒为正， ∵， 必为负，必为正， 故有， 解得：． 6．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为________． 【答案】7或0 【分析】由解析式可知该函数在时取得最大值1；时，y随x的增大而增大、当时，y随x的增大而减小，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，y取得最大值；②若，当时，y取得最大值，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：∵， 则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴①若，，时，y取得最大值， 可得：， 解得：0或4（舍）； ②若，，当时，y取得最大值， 可得：， 解得：7或3（舍）； ③当，时，最大值为1，不符合题意， 综上，h的值为7或0， 故答案为：7或0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 7．已知二次函数的解析式为． (1)若： ①直接写出二次函数的顶点坐标__________； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可；②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，得到对称轴为直线，利用二次函数的性质结合，进行分类讨论，即可． 【详解】（1）解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； ②， ， ，， ， ，即； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 在中， ①当时，时，最大值为，时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时，时，最大值为，时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时，时，最大值为，时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． (1)求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，A点的横坐标为 (2)①；②且或 【分析】（1）根据二次函数图象过得到c的值，根据二次函数对称轴直线的计算得到A的横坐标； （2）①把，代入，得到点，的纵坐标，由此即可求解； ②用含，的式子表示出的值，结合二次函数图象的性质判定即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，A两点， ∴，抛物线的对称轴直线为， ∴， 解得， ， ∴A点的横坐标为； （2）解：①当，时，二次函数解析式为，直线的解析式为， ∴当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为 ， ∴； ②∵， ∴抛物线 的图象开口向上，对称轴直线为，， 直线的图象经过第一、三象限， 当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 当 时， ， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴，且， ∴； 当时， ， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴； ∵点与点不重合， ∴， ∴ 综上所示，且或． 9．在平面直角坐标系中，点是抛物线上不重合的两点． (1)抛物线的对称轴为直线_____ (2)当时，求的值； (3)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)对于，都有，的取值范围为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，增减性，对称轴，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）运用对称轴直线公式计算即可； （2）根据题意得到，，，由此代入计算即可求解； （3）根据对称轴，函数的增减性分类讨论：当时，二次函数图象开口向上，当时，随的增大而减小；当时，二次函数图象开口向下，当时，随的增大而增大；由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴对称轴直线为， 故答案为：1； （2）解：当时，，抛物线解析式为， ∴，， ∴， 解得，， 当时，点重合，不符合题意，舍去， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，当时，随的增大而减小， 若对于，都有， ∴关于的对称 点为， ∴， 解得，， ∵， ∴； 当时，二次函数图象开口向下，当时，随的增大而增大， ∴关于的对称 点为， ∴或， 解得，或， ∵， ∴； 综上所述，对于，都有，的取值范围为或． 10．已知关于的二次函数（，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． (2)若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①由待定系数法求解即可；②根据抛物线与不等式的关系求解； （2）当时，，对称轴为直线，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； ②， 则向下平移7个单位得到新函数，即， 令，则，解得或， ∵抛物线开口向上， ∴当时，； （2）解：当时，，对称轴为直线， ①当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ②当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ③当时，将，代入解析式得， ， 解得． ， 此时的值不合题意，舍去． 综上所述，或． 【强化训练】 1．已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了的图象与性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用二次函数上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出函数的对称轴，进而确定二次函数解析式，再根据点A在点B右侧的条件确定横坐标的取值范围，最后结合二次函数的性质求出n的取值范围． 【详解】解：∵点A、B纵坐标均为n，且在二次函数的图象上， ∴A、B关于二次函数的对称轴对称， ∵二次函数的对称轴为，且A、B横坐标的中点为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，其对称轴为，开口向上，顶点为， ∵点A始终在B右侧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 对于点A的横坐标，当时，， 对于点B的横坐标，当时，， 当时，二次函数随x的增大而减小， 取，则， 取，则， ∴， 当时，二次函数随x的增大而增大， 取时，则， 取时，则， ∴， 综上，的取值范围为． 故选：B． 2．若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，得故，根据顶点在第四象限，确定b的范围，解答即可． 本题考查了抛物线性质，图象过点，顶点与象限，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 故即， 设， 则， 又 且图象的顶点在第四象限， 故， 若，则故即， 此时，顶点不能落在第四象限，不符合题意，舍去， 故， 故，，， 故， 故， 故， 故选：B． 3．已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，首先根据二次函数中，可得抛物线开口向下，对称轴为，又根据可知，根据当时，抛物线在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 整理可得：， 抛物线的对称轴为，且在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小， ， ， A选项：当时，可知，且，， 抛物线的对称轴是， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， ， ， 故A选项错误； B选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 若点、都在右侧时，恒成立， 此时， 解得：； 当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时， 可得：， 解得：， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， 又， 则有， 解得：， ； 综上所述，当时，或， 故B选项错误； C选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 此时，， 解得：； 故C选项错误； D选项：当时，可知， 此时点、都在对称轴左侧， 根据二次函数的性质可知， 故D选项正确； 故选：D． 4．定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次函数的性质，由一个点的横纵坐标之和为，可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ， 故选：． 5．（在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__． 【答案】. 【分析】根据y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）可求出顶点坐标和A、B的坐标，再根据题意结合图象列出关于a的不等式组，求解即可得出答案． 【详解】∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1， ∴顶点坐标为（﹣2，1）， 令y＝0，得x＝﹣2±， 设A（﹣2+，0），B（﹣2﹣，0）， ∵此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），且顶点坐标为（﹣2，1）， ∴﹣6＜﹣2+≤﹣5，1≤﹣2﹣＜2， 解得：﹣≤a＜﹣； 故答案为﹣≤a＜﹣． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于a的不等式． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)若点在抛物线上， ①求a的值； ②过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； (2)点，是抛物线上的两点，且．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点，（点M，N不重合），使得，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②设，中点得到点坐标，对称性得到关于的方程，求出的值，代入函数解析式，进行求解即可. （2）求出抛物线的对称轴，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①把点代入，得， ∴； ②由（1）可知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点， ∴两点关于对称轴对称，纵坐标均为， 设， ∵点E为线段的中点， ∴， 又两点关于对称轴对称， ∴，解得， ∴； （2）解：， 对称轴为直线； （ⅰ）当时，， 点在对称轴左侧，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， ， 点也在对称轴左侧，如图答图①， ， ， ， 此时，在点，之间（含点，）的抛物线上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点不可能存在纵坐标相等的情况） （ⅱ）当时，， 点在对称轴右侧，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，点在对称轴左侧，点的对称点在对称轴右侧，如答图②，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等） ， ， ， 此时，在点，之间的抛物线上存在关于对称轴对称的两点，，使得； 综上所述，的取值范围为． 7．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式． (2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：． 【答案】(1) (2)， （答案不唯一） (3)证明：∵二次函数的图象和直线都经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）把代入二次函数的关系式，再把代入求出b的值，进而即可确定二次函数的关系式； （2）令，则，当时，求得,据此写出一组a,b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到,整理得，则，最后根据二次函数的性质即可得证明结论． 【详解】（1）解：把代入得:， ∵当时，， ∴， ∴， ∴二次函数的关系式为． （2）解：令，则， 当时，则， ∴， ∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为， ∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ． （3）略 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 8．若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①有最大值；② 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； （2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ①如果，，求线段的长； ②已知点在抛物线上，当时，线段的长随着的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线， (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求出、的关系，进而求出对称轴； （2）①根据题意得到抛物线和直线的表达式，进而求出点、的坐标，从而求出线段的长； ②当时，得到，设抛物线与直线交于点H，进而求出点的坐标，设、，当或时，线段的长随着的增大而减小，分两种情况讨论，求出的表达式，进而列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线， 则抛物线对称轴为：； （2）解：①由（1）知，抛物线， 当，时， 抛物线，直线，， 将代入抛物线得：， ， 将代入直线得：， ， ； ②解：由题意得，抛物线图象开口向下， 由（1）知，抛物线， ， 、， 设抛物线与直线交于点H， 则， 解得：或， 为原点坐标， ， 点在抛物线上， 当时，， ， 设、， ， 如图，当或时，线段的长随着的增大而减小， 分情况讨论： 当时， 由题意得：， ； 当时，， ， 当时，有最大值， ， ， 此不等式组无解； 综上所述，当时，线段的长随着的增大而减小，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 10．已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或5 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象交轴于点，可得，又将点向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解； （2）依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，结合，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，分当、和进行分类讨论，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，二次函数的图象交轴于点， ， 将点向右平移4个单位得到， 又此时在二次函数上， ， ， 故答案为：2； （2）解：∵点，在二次函数的图象上， ，         ，         ， ，         ． （3）解：①当时， 二次函数在的范围内随的增大而增大， 当时，的最小值为3． ， 解得，（舍去）；         ②当时， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去；         ③当时， 二次函数在的范围内随的增大而减小， 当时，的最小值为3． ， 解得（舍去），． 综上可知，的值为或5． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 二次函数含参问题 1.明白什么是含“参”的二次函数 2.知道含参二次函数中，求最值有几种不同的形式 3.会根据题目条件区分所要求的最值属于哪种形式 4.在每种不同情况下，会画出不同位置的图形求出相应的值或范围 5.体会分类思想和数形结合思想在解题中的应用 重点与难点： 重点：目标2，目标3，目标4 难点：目标5 一、含参二次函数的概念： （1）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项，或自变量取值范围不确定的二次函数。 如：；；中x的范围－1＜x≤a （2）最值：函数的最大值与最小值． 二、知识梳理： 轴动区间定：对称轴不确定，自变量取值范围确定 轴定区间动：对称轴确定，自变量取值范围不确定 轴动区间动：对称轴不确定，自变量取值范围不确定 题型01已知抛物线与x轴交点个数求字母参数的值或范围 【典例】关于的函数的图象与轴有三个不同的公共点，则的值为_____． 【变式】已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若，函数的图象同时经过点，，且，求的取值范围； (3)设是该函数的图象与轴的一个公共点．当时，求的取值范围． 题型02已知抛物线与坐标轴交点个数求字母参数的值或范围 【典例】函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 【变式】函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 题型03已知一元二次方程解的情况求字母参数的值或范围 【典例】已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是_______． 题型04已知抛物线与直线y-kx+b的交点个数求参数字母的取值范围 【典例】已知：二次函数（a为常数）． （1）请写出该二次函数图像的对称轴； （2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值； （3）直角坐标系中，若该二次函数的图像在的部分与一次函数的图像有两个交点，求a的取值范围． 【变式】已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A．B． C． D．或 题型05已知字母参数的值或范围求最值 【典例】已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则的取值范围为______，代数式的最小值是______． 【变式】已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（   ） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 题型06已知最值求字母参数的值或范围 【典例】已知二次函数（为常数）的图象过点． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标． (2)已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 【变式】已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 题型07由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的值或范围 【典例】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，写出抛物线的解析式并求出顶点坐标； (2)如图，当时，抛物线与直线交于和点，在直线下方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在求出点的坐标并求出面积的最大值； (3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 【变式】已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型08 由字母参数的值或范围确定函数值的大小关系 【典例】已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】已知抛物线，点、、、均在此抛物线上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 题型09由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值 【典例】已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 题型10 抛物线与线段的公共点个数确定参数范围或参数的值 【典例】已知二次函数． (1)将此函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； (2)设点在该二次函数的图象上，且，求实数m的取值范围； (3)已知点，线段与此函数图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【变式】如图，在平面直角坐标系中有两点，如果抛物线与线段有公共点，那么的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 2．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 4．若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 5．二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为________． 7．已知二次函数的解析式为． (1)若： ①直接写出二次函数的顶点坐标__________； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． (1)求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，点是抛物线上不重合的两点． (1)抛物线的对称轴为直线_____ (2)当时，求的值； (3)若对于，都有，求的取值范围． 10．已知关于的二次函数（，为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． (2)若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 【强化训练】 1．已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)若点在抛物线上， ①求a的值； ②过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； (2)点，是抛物线上的两点，且．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点，（点M，N不重合），使得，求a的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式． (2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：． 8．若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ①如果，，求线段的长； ②已知点在抛物线上，当时，线段的长随着的增大而减小，求的取值范围． 10．已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $