重难点专题04 二次函数的定义与三种解析式（6大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以二次函数定义为基础，系统构建三种解析式（顶点式、一般式、交点式）的方法体系，通过分级重难点实现概念理解到综合应用的逻辑进阶，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |识别二次函数及系数|7题|三步骤识别法（整式→最高次2→二次项系数≠0）|从定义本质出发，建立二次函数概念认知基础| |定义求参数|7题|双条件参数求解法（指数=2且系数≠0）|深化定义理解，强化参数限制条件的推理意识| |顶点式求解析式|5题|顶点+一点设式法（设y=a(x-h)²+k求a）|结合顶点特征，培养几何直观与模型构建能力| |一般式求解析式|9题|三点联立方程组法（设y=ax²+bx+c解三元方程）|基于代数运算，提升运算能力与方程思想| |交点式求解析式|3题|交点设式法（设y=a(x-x₁)(x-x₂)求a）|关联函数与方程关系，发展应用意识| |解析式综合|4题|解析式互化方法（配方法/去括号/因式分解）|整合三种形式，形成知识网络与转化能力|

重难点专题04 二次函数的定义与三种解析式 重难点一 识别二次函数及各项系数 1.先观察式子是否为整式，再看自变量最高次数是否等于2，最后确认二次项系数不为0； 2.分式、根式、自变量含负次幂的式子直接排除，不满足任意一条都不是二次函数； 3.将二次函数写成一般式的形式，分别是二次项（系数）、一次项（系数）、常数项，对照识别即可。 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 3．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 4．二次函数的常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 5．二次函数的二次项系数是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，解决本题的关键是将二次函数化为一般式． 通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可得出二次项系数． 【详解】解：变形为， 二次项系数为． 故答案为：． 6．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 7．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 重难点二 利用二次函数的定义求参数的值 1.根据二次函数的定义列两组限制条件：一是自变量指数等于2，二是二次项系数不等于0； 2.联立方程或不等式算出参数后，代入二次项系数检验，舍去使系数为0的解。 1．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 4．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 5．已知函数是二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，指数必须为2且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得且 ∴ 故m的值为． 故答案为：． 6．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 7．若函数是二次函数，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数，从而求解的值． 【详解】解：是二次函数， 且， 即，且 ，且， ， 故答案为：3． 重难点三 顶点式求解析式 1.已知顶点+一点坐标：设，把已知点坐标代入求出，无需解多元方程组，计算速度更快； 2.已知对称轴+最值+一点坐标：对称轴为、最值为，等同给出顶点，按顶点式标准步骤求解； 3.顶点加轴交点：求出后，可直接写出完整顶点式，按需展开为一般式。 1．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出的值是解题关键．直接利用顶点式假设出二次函数解析式，进而代入求出即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， 则由顶点为知，． ， 把代入解析式得， 解得， 解析式为． 2．已知抛物线的顶点为，且当自变量时，对应的函数值为，求这条抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式以及求抛物线的解析式，能够根据题意设顶点式是解题的关键． 根据题意设抛物线解析式为：，再将题目中数据代入求解即可． 【详解】解：由题意设抛物线解析式为：， 当自变量时，对应的函数值为， ， 解得：， ． 3．已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 【详解】解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 4．已知抛物线的对称轴是直线，且过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据对称轴得到，进而将代入求出，即可得到二次函数的表达式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线为， 又∵抛物线过点， ∴， 即， 解得， 所以该抛物线的解析式为． 5．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设该二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴该二次函数解析式为． 重难点四 一般式求解析式 1.直接设，将三个点横纵坐标依次代入得到三元一次方程组； 2.消元依次求出，最后带回一般式整理即可。 1．已知二次函数的图像经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．把点代入二次函数即可求出这个函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ∴， ， 故此二次函数的解析式为：． 2．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 3．已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．根据点在抛物线上，将，代入得方程组，求解即可． 【详解】解：将，分别代入 得， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 4．我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式． 【答案】由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值；（2） 【分析】（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式，需求出k，b的值．用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值．类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式，需求出a，b，c的值．由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值． （2）设所求二次函数为，根据已知的三点坐标代入解析式，列出三元一次方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值． （2）设所求二次函数为． 由已知，函数图象经过三点，得关于a，b，c的三元一次方程组 解这个方程组，得 ． 所求二次函数是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 5．抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而即可求解． 【详解】把（－1，－22），（0，－8），（2，8）分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得a＝－2，b＝12， c＝－8，所以抛物线的解析式为y＝－2x2＋12x－8， 将解析式配方，得y＝－2(x－3)2＋10， 又∵a＝－2＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，求出二次函数解析式，是解题的关键． 6．二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点D（3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标． 【答案】，顶点坐标为（2，-9）； 【分析】直接利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出函数顶点坐标； 【详解】由题意，有 解得 ∴此二次函数的解析式为； ∴，顶点坐标为（2，-9）； 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题关键． 7．已知二次函数的图象过点、、，求该函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 设二次函数解析式为，直接将点、、代入计算即可． 【详解】解：设二次函数解析式为，代入点、、得： ， 解得， 故解析式为． 8．已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 【答案】解析式；开口向下 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由a判断开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向下． 9．已知二次函数图像经过点，求该函数解析式 【答案】；（2）． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求二次函数解析式的方法是解题的关键．直接用待定系数法求解即可； 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 重难点五 交点式求解析式 1.已知抛物线与轴两个交点横坐标，设，代入第三个点求； 2.仅当、抛物线和轴有交点时才能使用，无交点只能选用一般式。 1．二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意可设该抛物线的解析式为，然后代入点B坐标可进行求解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 把代入函数得：， 解得：， 该抛物线的解析式为，即． 2．若二次函数的图象与轴的交点为，，且过点，求此二次函数的解析式并直接写出图象的对称轴． 【答案】，对称轴为直线． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称轴，根据二次函数的图象与轴的交点为，，设二次函数的解析式为，因为二次函数的图象过点，可以求出，从而求出二次函数的解析式为，再根据解析式求出对称轴即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 整理可得：， 抛物线的对称轴为直线． 3．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 重难点六 解析式之间的综合 1.一般式转顶点式用配方法，先提取二次项系数，括号内配方后整理常数项； 2.顶点式、交点式转一般式直接去括号合并同类项； 3.一般式转交点式先因式分解，无法分解则不能转化。 1．已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … (1)根据表格，则n的值为______； (2)求此二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数对称性是解题的关键． （1）由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可； （2）由表格数据运用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵与关于对称轴对称， ∴． 故答案为：． （2）解：由表格可知抛物线过点，，， ∴， 解得： ， ∴二次函数的表达式为． 2．已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． (1)求此函数的表达式； (2)求顶点坐标． 【答案】(1)． (2)顶点坐标为． 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数的顶点坐标， （1）设函数解析式为，将三点代入，解出、、即可； （2）将函数解析式化成顶点式，即可知道顶点坐标． 【详解】（1）解：设函数解析式为， ∵抛物线与x轴相交于点，，且过点． ∴， 解得：， ∴函数的表达式为：． （2）将函数的表达式变形：． ∴顶点坐标为． 3．抛物线经过、两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标及对称轴； 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质． （1）把A、C的坐标代入，求出a、b的值，即可求出答案； （2）把（1）中函数解析式化为顶点式即可． 【详解】（1）解：把点、代入，得：， 解得：，， 二次函数的解析式为； （2）解：， 所以顶点坐标为，对称轴为直线． 4．已知二次函数经过点，两点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）把，两点代入中求出，即可； （2）把一般式化为顶点式，写出对称轴和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：把，两点代入中， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：把一般式化为顶点式为， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 二次函数的定义与三种解析式 重难点一 识别二次函数及各项系数 1.先观察式子是否为整式，再看自变量最高次数是否等于2，最后确认二次项系数不为0； 2.分式、根式、自变量含负次幂的式子直接排除，不满足任意一条都不是二次函数； 3.将二次函数写成一般式的形式，分别是二次项（系数）、一次项（系数）、常数项，对照识别即可。 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的常数项为_______． 5．二次函数的二次项系数是 ___________． 6．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 7．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 重难点二 利用二次函数的定义求参数的值 1.根据二次函数的定义列两组限制条件：一是自变量指数等于2，二是二次项系数不等于0； 2.联立方程或不等式算出参数后，代入二次项系数检验，舍去使系数为0的解。 1．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 4．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 5．已知函数是二次函数，则m的值为________． 6．函数是关于的二次函数，则______． 7．若函数是二次函数，则______． 重难点三 顶点式求解析式 1.已知顶点+一点坐标：设，把已知点坐标代入求出，无需解多元方程组，计算速度更快； 2.已知对称轴+最值+一点坐标：对称轴为、最值为，等同给出顶点，按顶点式标准步骤求解； 3.顶点加轴交点：求出后，可直接写出完整顶点式，按需展开为一般式。 1．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，求这个二次函数的解析式． 2．已知抛物线的顶点为，且当自变量时，对应的函数值为，求这条抛物线的表达式． 3．已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 4．已知抛物线的对称轴是直线，且过点．求这个二次函数的表达式． 5．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 重难点四 一般式求解析式 1.直接设，将三个点横纵坐标依次代入得到三元一次方程组； 2.消元依次求出，最后带回一般式整理即可。 1．已知二次函数的图像经过点，求这个二次函数的解析式． 2．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 3．已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 4．我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式． 5．抛物线经过三点，求它的开口方向、对称轴和顶点． 6．二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点D（3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标． 7．已知二次函数的图象过点、、，求该函数的解析式． 8．已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 9．已知二次函数图像经过点，求该函数解析式 重难点五 交点式求解析式 1.已知抛物线与轴两个交点横坐标，设，代入第三个点求； 2.仅当、抛物线和轴有交点时才能使用，无交点只能选用一般式。 1．二次函数图象经过，求二次函数解析式． 2．若二次函数的图象与轴的交点为，，且过点，求此二次函数的解析式并直接写出图象的对称轴． 3．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 重难点六 解析式之间的综合 1.一般式转顶点式用配方法，先提取二次项系数，括号内配方后整理常数项； 2.顶点式、交点式转一般式直接去括号合并同类项； 3.一般式转交点式先因式分解，无法分解则不能转化。 1．已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … (1)根据表格，则n的值为______； (2)求此二次函数的表达式． 2．已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． (1)求此函数的表达式； (2)求顶点坐标． 3．抛物线经过、两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标及对称轴； 4．已知二次函数经过点，两点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $