专题16 二次函数与几何三大变换（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数与几何三大变换核心知识点，先梳理抛物线几何特征（开口方向、顶点坐标、对称轴），再系统讲解平移（左加右减、上加下减）、对称（x轴、y轴、原点等）、旋转（180°等）的变换规律，最终落实到从几何变换推导代数表达式及复合变换应用，搭建完整知识支架。 资料通过表格对比不同变换下函数表达式（如对称变换中一般式与顶点式的对应关系），设计典例、变式及分层训练（巩固到强化），助力学生在数形结合中培养几何直观与推理意识，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生通过实例练习查漏补缺，提升应用能力。

专题16 二次函数与几何三大变换 1. 理解二次函数图像抛物线的几何特征，掌握平移，对称，旋转的基本变化规律。 2. 能根据函数表达式判断图像开口方向，顶点坐标及对称轴，并能几何变换推导变换后的函数表达式。 3. 培养学生数形结合能力，分析几何变换（平移、对称）与函数代数形式的关系，发展抽象概括能力。 4. 体会数学变换的对称美与简洁美，增强数学学习兴趣，感受数学与生活的联系。 重点与难点： 重点：1.二次函数图像的平移规律的几何意义； 2. 对称变换以对称轴x＝h为中心的轴对称与中心对称； 3. 旋转变换。 难点：1.从几何变换推导代数表达式（如平移方向与符号的关系） 2.复合变换（平移与对称的组合）的规律 一、二次函数与平移 （1）平移方法如图所示 （2）平移规律：在原有函数的基础上，“左加右减，上加下减”。 二、二次函数与轴对称（翻折） y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 关于x轴对称 y=－ax2－bx－c y=－a(x-h)2－k 关于y轴对称 y=ax2－bx+c y=a(x＋h)2+k 三、二次函数与旋转 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 关于原点轴对称 y=－ax2＋bx－c y=－a(x-h)2－k 关于顶点轴对称 y=－ax2－bx+c－ y=a(x＋h)2+k 关于点（m,n）对称 y=－ax2＋(4am+b)x+2n－4am2－2bm－c y=－a(x＋h-2m)2+2n－k 题型01二次函数与平移 【典例】如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 【变式1】平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 题型02二次函数与轴对称（翻折） 【典例】《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【变式1】新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【变式2】如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 题型03 二次函数与旋转 【典例】7．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点记为C，将抛物线绕点A旋转后得到新抛物线，抛物线与x轴的另一交点为，顶点为，点D旋转后的对应点为． 如图1，当时，此时抛物线的顶点． ①求抛物线的解析式： ②作直线，若抛物线的对称轴与x轴交于点E，以为圆心，为直径的圆恰好经过点，请判断与直线的位置关系，并说明理由． 【变式】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)若将该抛物线的图象绕轴上一点旋转，点C、E的对应点分别是点，当以为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标及旋转后的抛物线的表达式． 题型04二次函数与复合变换 【典例】（1）问题：将函数的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决方法：设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为→将点P沿y轴翻折得点（______，______）（点在原函数图象上）→翻折后的图象对应的函数表达式为_____． （2）将函数（a，b，c为常数，）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 【变式1】抛物线经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线 ． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为______． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为______． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为______． 【巩固训练】 1．将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个2单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为___________． 4．函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 5．如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折．若直线与翻折后的图象有四个交点，则的取值范围是____________． 6．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是___________ 7．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 8．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 9．有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． (1)请根据以上信息求出二次函数表达式； (2)将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 10．如图，已知抛物线，抛物线与关于点中心对称，与相交于两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线上一点，且位于点和点之间，过点作轴，交抛物线于点，求四边形面积的最大值． 【强化训练】 1．将抛物线以点为中心，顺时针方向旋转，得到一个新的图象，如图，若是图象上的两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 4．如图，抛物线交x轴于O，A两点；将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于；将绕点A2旋转得到抛物线，交x轴于，……，如此进行下去，抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②．则翻折后，当时，函数解析式是_____；当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是______． 6．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 9．【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 10．定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标． (2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ②将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 二次函数与几何三大变换 1. 理解二次函数图像抛物线的几何特征，掌握平移，对称，旋转的基本变化规律。 2. 能根据函数表达式判断图像开口方向，顶点坐标及对称轴，并能几何变换推导变换后的函数表达式。 3. 培养学生数形结合能力，分析几何变换（平移、对称）与函数代数形式的关系，发展抽象概括能力。 4. 体会数学变换的对称美与简洁美，增强数学学习兴趣，感受数学与生活的联系。 重点与难点： 重点：1.二次函数图像的平移规律的几何意义； 2. 对称变换以对称轴x＝h为中心的轴对称与中心对称； 3. 旋转变换。 难点：1.从几何变换推导代数表达式（如平移方向与符号的关系） 2.复合变换（平移与对称的组合）的规律 一、二次函数与平移 （1）平移方法如图所示 （2）平移规律：在原有函数的基础上，“左加右减，上加下减”。 二、二次函数与轴对称（翻折） y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 关于x轴对称 y=－ax2－bx－c y=－a(x-h)2－k 关于y轴对称 y=ax2－bx+c y=a(x＋h)2+k 三、二次函数与旋转 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 关于原点轴对称 y=－ax2＋bx－c y=－a(x-h)2－k 关于顶点轴对称 y=－ax2－bx+c－ y=a(x＋h)2+k 关于点（m,n）对称 y=－ax2＋(4am+b)x+2n－4am2－2bm－c y=－a(x＋h-2m)2+2n－k 题型01二次函数与平移 【典例】如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)1 (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，抛物线顶点沿直线：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为，故的顶点D坐标为，结合与原点重合条件，解答即可； （3）根据题意，得，当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为1． （4）分点，分别在抛物线和上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物线的平移，交点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线：经过，两点， 故， 解得， 故抛物线：的表达式为． （2）解：根据题意，抛物线，顶点沿直线l：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为， 故的顶点D坐标为， 由的顶点D与原点重合时平移停止， 故， 解得， 抛物线停止平移后的表达式． （3）解：设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n． 根据顶点沿着平移，故顶点D的纵坐标为， 新抛物线的表达式为， 故点， 故， 当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为． （4）解：根据（2）得到抛物线停止平移后的表达式， 直线的表达式为，抛物线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 由平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G， 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 综上所述，当线段与图象G有交点时，m的取值范围是或． 【变式1】平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平行线的性质． （1）设平移后的函数解析式为，将点和代入，即可求函数的解析式； （2）根据所给的条件求出，，再求出M、N与对称轴的距离的关系为，，即可得到； （3）设，则，，当时，当时，，求得；当时，，求得；当时，当时，，求得． 【详解】（1）解：设平移后的函数解析式为， 将点和代入， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，到对称轴距离越近值越大， ∵M、N与对称轴的距离的关系为，， ∴， ∴； （3）解：设，则，， 当时， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得或（舍）， ∴； 当时， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得，，不合题意； 综上所述：P点坐标为或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【答案】(1) (2)5 (3)或． 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设顶点的横坐标为，则，根据是平移得到的，得出的解析式为：，由题意，横坐标为，则，根据平行于的对称轴（直线），求出，则，，即可求解； （3）由（2）得原顶点，，求出直线的解析式，根据新抛物线顶点仍在直线上，设，则新抛物线解析式为：，将代入求出或，再根据平移距离为顶点到的距离：解答即可； 【详解】（1）解：抛物线， ∴顶点的坐标为； （2）解：设顶点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵是平移得到， ∴值不变， ∴的解析式为：， 由题意，横坐标为， 代入得的纵坐标：，即， ∵平行于的对称轴（直线）， ∴为垂直于轴的直线，即、横坐标相等： ∴， ∴， ∴，， 此时，点到直线的水平距离为， ∴； （3）解：由（2）得原顶点，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 沿平移时，新抛物线顶点仍在直线上， 设， 则新抛物线解析式为：， 将代入得：，整理得， 解得：或， 平移距离为顶点到的距离： 当时，，平移距离； 当时，，平移距离； 综上，本次平移的距离为或． 题型02二次函数与轴对称（翻折） 【典例】《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，运用数形结合思想是解题的关键； （1）把代入可求得a的值；令，即可求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标； （2）先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； （3）根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； （4）①令，即可求得二次函数与x轴的交点A，B的坐标； ②根据图象写出关于h的不等式，进而求得h的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 【变式1】新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，， 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题． （1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【详解】（1）解：， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）解：①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，过点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点和的坐标分别为：,． 综上，，，的坐标分别为：,,． 【变式2】如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 题型03 二次函数与旋转 【典例】7．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点记为C，将抛物线绕点A旋转后得到新抛物线，抛物线与x轴的另一交点为，顶点为，点D旋转后的对应点为． 如图1，当时，此时抛物线的顶点． ①求抛物线的解析式： ②作直线，若抛物线的对称轴与x轴交于点E，以为圆心，为直径的圆恰好经过点，请判断与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】①；②与直线相切；理由见解析 【分析】（1）①先求出抛物线的解析式，并求出A，B两点的坐标，再根据图形旋转的性质，求出，即可求得答案； ②先求出，再根据勾股定理的逆定理证明即可； 【详解】解：①当时，此时抛物线的顶点， ， 令，则， 解得，， ，， ， 抛物线绕点A旋转后得到新抛物线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 其顶点坐标为， 抛物线的解析式为； ②与直线相切；理由如下： 对于， 令，则， ， 点D旋转后的对应点为， ， 由（1）知抛物线的对称轴与x轴交于点， 以为圆心，为直径的圆恰好经过点， ， ，， ， ， 判断与直线相切； 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，图形旋转的性质，求二次函数的解析式，切线的判定，勾股定理的逆定理，矩形的判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及切线的判定是关键． 【变式】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)若将该抛物线的图象绕轴上一点旋转，点C、E的对应点分别是点，当以为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标及旋转后的抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为 (2)点的坐标为或，旋转后的抛物线的表达式为或 【分析】（1）根据对称的性质求出点的坐标，将点，，的坐标代入抛物线，得方程组，解方程组，即可得出抛物线的函数表达式，再根据顶点在对称轴上，将代入函数表达式，即可求出顶点的坐标； （2）设点坐标为，由旋转性质得点和点关于点对称，点和关于点对称，得到点坐标为，点坐标为，再由四边形是菱形，易得，根据勾股定理得，，，，得到方程，求解即可得到点的坐标，进而得到点，坐标，由旋转性质可得，抛物线形状不变，开口向下，可设旋转后的抛物线表达式为，再利用待定系数法，将，坐标代入函数表达式，求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴相交于，两点， 则点，关于对称，设点坐标为， ，得， ， 将，，代入抛物线， 得方程组，解得，，， 抛物线的函数表达式为， 将代入函数表达式，得， 顶点的坐标为. （2）解：设点坐标为， 抛物线绕点旋转，点，的对应点分别是点，， 点和点，点和分别关于点对称， 点坐标为，点坐标为，四边形是平行四边形， 如图，连接，，，当，即时，四边形是菱形， ， ，，， ， 解得，， 点坐标为或， 由旋转性质得，抛物线绕点旋转后形状不变，开口向下， 故设旋转后的抛物线的表达式为， 当时，点坐标为，点坐标为， 将点，坐标代入抛物线表达式得，解得， 此时，旋转后的抛物线表达式为， 当时，点坐标为，点坐标为， 将点，坐标代入抛物线表式得，解得， 此时，旋转后的抛物线表达式为． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，在直角坐标系中利用勾股定理求点坐标，及二次函数图象与系数的关系． 题型04二次函数与复合变换 【典例】（1）问题：将函数的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决方法：设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为→将点P沿y轴翻折得点（______，______）（点在原函数图象上）→翻折后的图象对应的函数表达式为_____． （2）将函数（a，b，c为常数，）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数翻折、平移、旋转的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据点关于y轴的对称性质得到，代入计算即可求解； （2）根据题意，设最后得到新函数图象的点为，由旋转，翻折，平移的性质得到点是函数（a，b，c为常数，）的一点，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为， ∴将点P沿y轴翻折得点， ∵点在原函数的图象上， ∴， ∴翻折后的图象对应的函数表达式为， 故答案为：，； （2）设最后得到新函数图象上的任意点为， ∴点A绕原点旋转后对应点， 再沿y轴翻折后，点B的对应点为， 图象向右移动1个单位长度后，点C的对应点为， ∴点是函数（a，b，c为常数，）上的一点， ∴， 整理得，， ∴所得到的图象对应的函数表达式为． 【变式1】抛物线经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，通过了解经过平移、旋转或轴对称后过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小，所以不变，选出答案即可． 【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小，所以不变， 而D选项中，不可能是经过平移、旋转或轴对称得到， 故选：D． 【变式2】已知抛物线 ． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为______． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为______． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为______． 【答案】 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）与翻折的规律（沿x轴翻折，x不变y变为相反数，沿y轴翻折，y不变，x变为相反数）分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】解， （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与翻折规律，熟练掌握二次函数图象的平移与翻折规律是解题的关键． 【巩固训练】 1．将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个2单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可． 【详解】解：∵原抛物线为，平移后为， ∴表示向左平移3个单位， 表示向下平移2个单位， ∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数变形，求出原函数与x轴交点和顶点坐标，再得到沿x轴翻折后的顶点坐标，根据四个点组成正方形的性质，利用对角线相等列方程求解a． 【详解】解：∵， 令，解得或， ∴原函数与轴两交点为和，两交点间距离为，即四边形的一条对角线长为． 对原二次函数配方，得， ∴原函数顶点坐标为， ∵图象沿轴翻折，翻折后顶点横坐标不变，纵坐标变号， ∴翻折后顶点坐标为， ∴两顶点之间的距离为，即四边形的另一条对角线长为． ∵四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等， ∴， 解得． 3．把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为：，即． 故答案为：． 4．函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先解方程得到，，则，所以，由于函数的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线，而C、D关于直线对称，所以，，然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 5．如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折．若直线与翻折后的图象有四个交点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，找出直线与抛物线有四个交点的区间，再分别讨论直线与和重合时的的值，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得，， ． 如图，当位于和之间时， 它与翻折后的图象有四个交点． ①若与重合，过点， ，； ②若与重合， 与函数的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等的实根， ， ． 故若直线与翻折后的图象有四个交点， 则的取值范围为． 故答案为：． 6．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是___________ 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 先求出坐标，然后利用旋转的性质得出，的坐标，依此规律得到，的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此抛物线的顶点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得，， ∴ ∵将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，…， ∴，， … ∴，， 即，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为： 7．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 8．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为，得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式，根据重合后的抛物线的顶点为，求出，，即可得平移前的抛物线的解析式为，将点代入求出即可解答． （2）①根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为，将代入解析式即可求解． ②根据是等边三角形，得出，则，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 9．有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． (1)请根据以上信息求出二次函数表达式； (2)将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示： ， 【分析】考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，抛物线的对称性质，二次函数图象的几何变换，直线与抛物线的交点等知识点，综合性较强，需要注意“数形结合”数学思想的应用． （1）利用二次函数解析式的顶点式求得结果即可； （2）由已知条件可知直线与图象“”要有3个交点．分类讨论：分别求得平行于轴的直线与图象“”有2个交点、1个交点时的取值范围，易得直线与图象“”要有3个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为： 设二次函数表达式为：． 该图象过 ，解得． 表达式为； （2）解：由已知条件可知直线与图形“”要有三个交点， ，，应当在直线的下方，且在过顶点且平行于的直线的上方， ， 当直线与轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求， ． 当直线过的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为 令时，解得或（舍去） ． 综上所述． 10．如图，已知抛物线，抛物线与关于点中心对称，与相交于两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线上一点，且位于点和点之间，过点作轴，交抛物线于点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题主要考查了二次函数综合，中点坐标公式，求二次函数解析式等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，则可得抛物线的解析式为：；设，则，其中，则，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线的表达式； （2）解：抛物线：的顶点坐标为，且点关于对称后的点坐标为， ∵抛物线与抛物线关于成中心对称， ∴抛物线的解析式为：． 设，则，其中， ∴， ∴ ， ， ∴当时，有最大值16． 【强化训练】 1．将抛物线以点为中心，顺时针方向旋转，得到一个新的图象，如图，若是图象上的两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据函数图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，若，则． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，数形结合是解答本题的关键． 2．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式，求出，，再利用特殊角的正切值，得到，根据轴对称的性质，作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点，证明是等边三角形，进而得到，，设，则，利用特殊角的三角函数值，求出，则，根据点的纵坐标；列一元二次方程，求出，从而得到，即可得解． 【详解】解：抛物线， 令，则，解得：，， 点A是抛物线与x轴正半轴交点， ， ， 令，则， ， ， 在中，， ， 由题意可知，第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C， 作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 设，则， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， ， 点C的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”， ∴， 解得，故选项A、B错误， ∴， ∴，， 当时，，故选项C正确； ∵， ∴只有当时，， 故选项D错误， 故选：C 4．如图，抛物线交x轴于O，A两点；将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于；将绕点A2旋转得到抛物线，交x轴于，……，如此进行下去，则抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到x轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：∵， ∴配方可得， ∴顶点坐标为， ∴A坐标为， ∵由旋转得到， ∴，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； ……， ∴抛物线的顶点坐标是，，． 抛物线的解析式是． 故选：A． 5．抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②．则翻折后，当时，函数解析式是_____；当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键．先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴当时，函数解析式为， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：；． 6．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 6． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或；过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可； （2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，为，此时； （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线顶点的横坐标为， ∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，，即， 抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）①设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； ②连接交轴于，由（1）可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵点C在y轴正半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴，， 将，代入，得：， 解得：； （2）解：①设平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴； 在中，当时，，即， 又∵在轴负半轴， ∴，即， ∴，， 平移后的抛物线对称轴为直线， ∵原点O到新抛物线的对称轴的距离等于的长度， ∴，即， 解得：， ∴， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵， ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴， 过点作轴，过点E作于G， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的， ∴新抛物线解析式为：， 又∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，解直角三角形，待定系数法求函数解析式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 9．【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、、三点的坐标分别为、、 (2)或 (3) 【分析】（1）令，求解可得点、的坐标和函数的对称轴方程，点在函数的对称轴上，从而可求点的坐标； （2）讨论两种情况，当直线与函数的图象相切时和当直线经过点时，据此即可求解； （3）根据函数的对称性得点翻折后的点坐标为，直线经过该点时和直线与轴重合是2个临界情况，直线在两个情况之间时与新的函数图象有4个公共点，据此求解即可． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象翻折、二次函数的图象和性质，确定临界点和利用根和系数的关系处理求参数是解题的关键． 【详解】（1）解：令， 解得或， 则点、的坐标分别为、，函数的对称轴为直线， 当时，， 则点的坐标为； （2）由题意得翻折部分翻折后的表达式为：， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得， 整理得有且只有1个解， 则， 解得； ②当直线经过点时： 将点的坐标代入得， 则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得点翻折后的点坐标为， 直线经过该点时，与新的函数图象恰有3个公共点，此时， 直线向下移动且保持在轴上方时，与新的函数图象有4个公共点， 则． 10．定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标． (2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ②将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) ； (2)①；②不存在；③ 【分析】（1）求出点A的“抛物中心对称点”为点B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的解析式，运用配方求出顶点坐标即可； （2）①画出的抛物线和直线 即可； ②求出直线 的解析式为，平移后的解析式为，假设存在两点，判断是否在抛物线上即可； ③平移后的抛物线的表达式为 ，设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为，根据 可得 ，结合可得结论． 【详解】（1）解：由题意，可知点，点，且点 均在抛物线上． 把代入 ，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∴抛物线的顶点坐标是． （2）解：①略 ②设直线 的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线 的解析式为， 将直线向下平移3个单位长度得到直线 ， 假设存在两点关于原点对称， 把点的横坐标代入得： 故不存在两点互为“抛物中心对称点”； ③由题意，得平移后的抛物线的表达式为 ． 设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为， ∴ ． ∴ ． 整理，得 ． ∴ ． ∴ ， ∵， ∴ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $