专题15 二次函数解析式的确定（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数解析式的确定，系统梳理一般式、顶点式、交点式及平移、翻折、旋转变换等方法，从基础方法到几何图形、线段关系综合应用，构建递进学习支架，衔接函数知识体系。 资料题型分类清晰，典例与变式结合，通过具体问题培养抽象能力、推理意识和模型观念。例如利用顶点式求解析式时，引导学生根据顶点设式，课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化练习，弥补薄弱环节。

专题15 二次函数解析式的确定 1. 能根据具体情况确定二次函数的解析式，掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法 2.在学习过程中发展学生转化，化归的思维方式 重点与难点： 重点：求二次函数的函数解析式 难点：如何选择合理的求函数解析式的方法 1、 用一般式确定二次函数解析式 已知三点求解析式，或已知两点但只有两个未知系数时，选择一般式y=ax2+bx+c，求二次函数解析式 解析式 2、 用顶点式确定二次函数解析式 已知顶点或对称轴时，设顶点式y=a(x-h)2+k，求二次函数解析式 3、 用交点式确定二次函数解析式 已知抛物线与x轴交点坐标时设交点式 y=a( x－x1)(x－x2)，求二次函数解析式 4、 用平移、翻折（对称）、旋转变换确定二次函数解析式 平移：左加右减，上加下减 翻折（对称）与旋转： 方法一： 关于x轴对称，只要把解析式里的y换成－y即可； 关于y轴对称，只要把解析式里的x换成－x即可； 关于原点对称，只要把解析式里的x换成－x，y换成－y即可； 方法二：把解析式化为顶点式，然后求出顶点经过变换后的坐标，再写出解析式即可。 题型01利用一般式求二次函数的解析式 【典例】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 【变式】如图，抛物线，过，，三点，其中D为顶点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在右上方的一点，设点的横坐标为，面积为．是否有最大值？若有，请求出最大值及的坐标，若无，请说明理由． 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 【典例】已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 【变式】如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，-9），该函数的图象与y轴交于点A（0，-5），与x轴交于点B，C． (1)求该二次函数的解析式； (2)求点B的坐标； (3)过点A作ADx轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MNy轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s． ①求s关于m的函数解析式； ②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积． 题型03利用交点式求二次函数的解析式 【典例】二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【变式】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 题型04利用平移变换求二次函数的解析式 【典例】平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式． 【变式】已知二次函数图象经过，、三点． (1)求该二次函数解析式； (2)将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式． 题型05利用对称变换求二次函数的解析式 【典例】把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【变式】将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 题型06利用旋转变换求二次函数的解析式 【典例】将抛物线绕点旋转，得到的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式】已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型07利用图象信息求二次函数的解析式 【典例】如图，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求函数值的最小值和最大值． 【变式】若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 题型08利用几何图形的性质确定二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可） 【变式】如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）； (3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用． 题型09利用线段间的数量关系求二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【巩固训练】 1．将坐标系沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度得到抛物线，则原抛物线函数解析式应为 （    ） A． B． C． D． 2．若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（  ） A． B． C． D． 3．求满足下列条件的二次函数的解析式． (1)图象顶点坐标为，且经过点． (2)图象经过，，函数有最小值； (3)图象经过，，； 4．已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据， （1）求二次函数的解析式； （2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积． 5．已知某二次函数的图象经过点，当时，函数的最大值为，求此二次函数的解析式，并说明点是否在二次函数的图象上． 6．在平面直角坐标系中，抛物线的最低点是，且经过点，，求抛物线解析式和n的值． 7．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 8．已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 9．如图，二次函数图象经过点、、． (1)求此二次函数的解析式； (2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 10．已知抛物线y＝2x2﹣4x+1， （1）求它关于x轴对称的抛物线的解析式？ （2）求它关于y轴对称的抛物线的解析式？ （3）求它关于原点对称的抛物线的解析式？ （4）求将它绕着与y轴的交点旋转180°所得抛物线的解析式？ 【强化训练】 1．已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为______；(2)该函数的图象与轴的交点坐标为______； (3)用五点法画函数图象 … … … … (4)将该抛物线绕顶点旋转180°，求所得抛物线的解析式． 2．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式． （2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积． 3．如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0） （1）求 B、C、D三点的坐标； （2）抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式； 4．已知抛物线与 x 轴只有一个交点，且交点为． (1)求 b．c 的值； (2)若抛物线与 y 轴的交点为 B，坐标原点为 O，求的周长． 5．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点C（0,-6），与x轴的一个交点是A（-2,0）. （1）求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标； （2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当时，求x的取值范围. 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的顶点、分别在轴的正半轴和轴的负半轴上，二次函数的图象经过、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象探索：当时，的取值范围． 7．如图二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(-1，0)，点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点, （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）根据图形，直接写出直线CM在抛物线上方时x的取值范围． 8．如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 9．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 10．已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)求二次函数的表达式； (3)当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 二次函数解析式的确定 1. 能根据具体情况确定二次函数的解析式，掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法 2.在学习过程中发展学生转化，化归的思维方式 重点与难点： 重点：求二次函数的函数解析式 难点：如何选择合理的求函数解析式的方法 1、 用一般式确定二次函数解析式 已知三点求解析式，或已知两点但只有两个未知系数时，选择一般式y=ax2+bx+c，求二次函数解析式 解析式 2、 用顶点式确定二次函数解析式 已知顶点或对称轴时，设顶点式y=a(x-h)2+k，求二次函数解析式 3、 用交点式确定二次函数解析式 已知抛物线与x轴交点坐标时设交点式 y=a( x－x1)(x－x2)，求二次函数解析式 4、 用平移、翻折（对称）、旋转变换确定二次函数解析式 平移：左加右减，上加下减 翻折（对称）与旋转： 方法一： 关于x轴对称，只要把解析式里的y换成－y即可； 关于y轴对称，只要把解析式里的x换成－x即可； 关于原点对称，只要把解析式里的x换成－x，y换成－y即可； 方法二：把解析式化为顶点式，然后求出顶点经过变换后的坐标，再写出解析式即可。 题型01利用一般式求二次函数的解析式 【典例】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 【答案】(1)上， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 二次函数图象的对称轴为直线， 将，，代入， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为； ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 故答案为：上，； （2）由（1）可知二次函数的表达式为； （3）解：当时，； 当时，． 又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，． 故答案为：． 【变式】如图，抛物线，过，，三点，其中D为顶点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在右上方的一点，设点的横坐标为，面积为．是否有最大值？若有，请求出最大值及的坐标，若无，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值1， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键； （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，由，可知，则，当时，有最大值1，此时． 【详解】（1）解：将，，代入， ， 解得， ； （2）， ，对称轴为直线， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， ， ， ， 当时，有最大值1， 此时． 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 【典例】已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点坐标为，； 抛物线与轴的交点坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，深刻理解并运用数形结合思想是解题的关键． （1）首先设二次函数解析式为，然后把代入其中确定的值即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求得抛物线与轴的交点坐标；令，求出，即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）首先把代入（1）中解析式，得到关于、的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出、的值即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 该抛物线经过点， 把代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 即， 分解因式，得：， ，， 抛物线与轴的交点坐标为，； 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）解：点在该抛物线上， 把代入中， ， ， ，为整数， 而的因数有或， 或， 或或或， 或， 点的坐标为或或或． 【变式】如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，-9），该函数的图象与y轴交于点A（0，-5），与x轴交于点B，C． (1)求该二次函数的解析式； (2)求点B的坐标； (3)过点A作ADx轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MNy轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s． ①求s关于m的函数解析式； ②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)该二次函数的解析式为； (2)点B的坐标（-1，0）； (3)①s关于m的函数解析式为；②当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10． 【分析】（1）根据顶点坐标（2，-9），设出抛物线顶点形式，将（0，-5）代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）当y=0时，，求得x的值，即可得出点B的坐标； （3）①先根据当y=-5时，，求得D（4，-5），再分两种情况讨论：当0＜m＜4时，点M在AD的下方的抛物线上；当4≤m≤5时，点M在CD之间的抛物线上，分别求得s关于m的函数解析式；②分两种情况，求得当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10． 【详解】（1）解：∵顶点坐标（2，-9）， 设二次函数的解析式为， 将点A（0，-5）代入，得 -5=4a-9， 解得a=1， ∴抛物线解析式为； （2）解：当y=0时，， 解得=5，=-1， ∴点B的坐标（-1，0），点C的坐标（5，0）； （3）解：①当y=-5时，， 解得=0，=4， ∴D（4，-5）， ∵点M的横坐标为m，且0＜m≤5， ∴当0＜m＜4时，点M在AD的下方的抛物线上， 设M（m，），则 △AMD的面积=×AD×MN， 即； 当4≤m≤5时，点M在CD之间的抛物线上， △AMD的面积=×AD×MN， 即； 综上所述，s关于m的函数解析式为； ②当点M与抛物线顶点重合时，m=2， 此时，， 当点M与点C重合时，m=5， 此时，， ∴当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．解决问题的关键是掌握运用二次函数的顶点式：（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；解题时注意分类思想的运用． 题型03利用交点式求二次函数的解析式 【典例】二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【答案】y＝2x2﹣4x﹣6 【分析】利用待定系数法求解即可. 【详解】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2， ∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键. 【变式】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)函数最大值与最小值的差为9； (3)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得函数的对称轴，得到最小值，再把和代入解析式求得函数值，据此求解即可； （3）先求得时，的值，当线段与二次函数图象的交点分别为或时，据此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵在范围内， ∴当时，函数有最小值为； 当时，； 当时，； ∴当时，求函数最大值与最小值的差为； （3）解：令得， 解得或； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 综上，的取值范围为或． 题型04利用平移变换求二次函数的解析式 【典例】平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象的平移，求函数解析式；由题意设平移后抛物线解析式为顶点式，再把点代入所设解析式中求得t的值，即可写出函数表达式． 【详解】解：设平移后抛物线所表示的函数表达式为， 将点代入函数表达式，得， 解得或， 所以或． 【变式】已知二次函数图象经过，、三点． (1)求该二次函数解析式； (2)将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，、代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：若将该二次函数图象平移后经过点，且对称轴为直线， 设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得，． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 题型05利用对称变换求二次函数的解析式 【典例】把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出，，然后代入解一元一次不等式即可求出答案． 【详解】解：由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为， 则与相同， 由对称轴得：，解得， 当时，由函数得；由函数得 则， 将，代入得：， 整理得： ， ∵， ∴，即， ∴m的最小整数值为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键． 【变式】将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 【答案】A 【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答． 【详解】抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3， 即y＝﹣x2+2x+3， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点． 题型06利用旋转变换求二次函数的解析式 【典例】将抛物线绕点旋转，得到的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，坐标与图形变换—旋转等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及旋转的性质是解题的关键． 先将二次函数化成顶点式，进而得出其顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后写出其顶点式解析式即可． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕点旋转， 旋转后的抛物线的顶点坐标为， 旋转后的抛物线的解析式为， 故选：． 【变式】已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抛物线的解析式为，再分抛物线的对称轴在直线左侧，在直线右侧，在直线和直线之间，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设抛物线上任意一点， 则点原点旋转后对应的点为，且点在抛物线P上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线中，当时，y有最大值， ①当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时； ②当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时a不存在； ③当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时a不存在； 综上所述：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 题型07利用图象信息求二次函数的解析式 【典例】如图，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求函数值的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， ∵点，在抛物线上，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向下，当时，二次函数有最大值，且离对称轴的水平距离越远，函数值越小， ∵在范围内， ∴当时，函数值的最大值为； ∵， 当时，函数值的最小值为； ∴当时，函数的最小值为，最大值为． 【变式】若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象开口向下可知，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可． 【详解】解：把原点代入抛物线解析式，得， 解得， ∵函数开口向上，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键． 题型08利用几何图形的性质确定二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，,， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位， ∵ ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 【变式】如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）； (3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用． 【答案】(1) (2)内接矩形的面积 (3)完成菱形广告牌所需的最低费用为元 【分析】（1）过点D做轴于点M，作于点N，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质，求出，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为设米，则，得出，，求出，证明为等边三角形，得出，求出，得出，最后得出矩形的面积即可； （3）根据（2）的面积解析式求出广告牌费用为，根据二次函数的性质即可得到费用的最小值. 【详解】（1）解：过点D作轴于点M，作于点N，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∴，， ∴在中，，， ∴， 设抛物线的解析式为，则，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在矩形中，设米，则，代入和得： ，， ∴， 由对称性得， ∵轴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 解得， ∴， ∴内接矩形的面积：． （3）解：由（2）得内接矩形的面积， ∵，， ∴， ∴菱形的面积为， ∴总费用： ， ∴当时，最小，最小值为， 答：完成菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析，求一次函数解析式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出二次函数的解析式． 题型09利用线段间的数量关系求二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把、、代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为， 如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小； ∵、两点关于对称， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 【巩固训练】 1．将坐标系沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度得到抛物线，则原抛物线函数解析式应为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移，明确平移对象，掌握平移“左加右减，上加下减” 的规律是解题关键．由题意可知，抛物线沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，得到原抛物线，据此即可得到原抛物线函数解析式． 【详解】解： 将坐标系沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度得到抛物线，相当于原抛物线沿水平方向向左平移1个单位长度，再沿竖直方向向下平移3个单位长度，得到抛物线， 即抛物线沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，得到原抛物线， 原抛物线函数解析式应为， 故选：B． 2．若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交点式设出抛物线解析式再计算即可. 【详解】∵抛物线经过 ∴设抛物线解析式为 把代入得： ∴抛物线解析式为 故选A. 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选择合适的方法是解题的关键. 3．求满足下列条件的二次函数的解析式． (1)图象顶点坐标为，且经过点． (2)图象经过，，函数有最小值； (3)图象经过，，； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式． （1）设抛物线的解析式为：，再把代入解析式，即可求解； （2）根据题意求得抛物线顶点为，设顶点式解析式，将点代入解析式即可求解； （3）设抛物线的解析式为：，再把，，代入解析式即可求解． 【详解】（1）设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 则抛物线的解析式为：或． （2）二次函数的图象与轴交于，， 对称轴为直线， 函数最小值是， 抛物线顶点为 设顶点式解析式， 将点代入得，， 解得， 所以，， 故二次函数解析式为． （3）设二次函数的解析式为， 图象经过点，点，点 ，解得． 二次函数解析式为． 4．已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据， （1）求二次函数的解析式； （2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由图象知函数过两点（-1，0）（3，0）可把函数设为两点式：y=a（x+1）（x-3）又函数图象与与y轴交于点（0，2），代入函数解析式，求出a值，从而求出二次函数解析式． （2）由（1）求得的解析式，把x=1代入求出顶点坐标，再根据三角形面积公式求出△ABP的面积． 【详解】解：（1）由二次函数图象知，函数与x轴交于两点（-1，0），（3，0）， 设其解析式为：y=a（x+1）（x-3）， 又∵函数与y轴交于点（0，2），代入解析式得a×（-3）=2，∴a=-， ∴二次函数的解析式为：，即； （2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1， 当x=1时，，则点P(1,)， ∴△ABP的面积． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量，还考查了三角形面积公式，这类结合的题型比较常见． 5．已知某二次函数的图象经过点，当时，函数的最大值为，求此二次函数的解析式，并说明点是否在二次函数的图象上． 【答案】，点在二次函数的图象上 【分析】根据题意得到抛物线的顶点坐标为，于是可设顶点式，然后把代入求出的值，可得函数解析式，再令，求出y值即可判断． 【详解】解：当时，函数的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设所求二次函数解析式为， 把代入得，解得， 此二次函数解析式为． 当时，， ∴点在二次函数的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 6．在平面直角坐标系中，抛物线的最低点是，且经过点，，求抛物线解析式和n的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意得出抛物线的顶点坐标为，据此设抛物线的解析式为顶点式，再将点M坐标代入求出解析式，最后将点N坐标代入所求解析式即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线的最低点是， 所以抛物线顶点坐标是 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 所以抛物线的解析式为 将点代入，得，． 7．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据题意设二次函数的解析式为，把代入即可得到答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是 ， ∴二次函数的解析式可设为． 把代入 ， 得 ， 解得 ， 则． ∴该二次函数的解析式为． 8．已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】(1) (2)向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 9．如图，二次函数图象经过点、、． (1)求此二次函数的解析式； (2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为：或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点、、， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或． 10．已知抛物线y＝2x2﹣4x+1， （1）求它关于x轴对称的抛物线的解析式？ （2）求它关于y轴对称的抛物线的解析式？ （3）求它关于原点对称的抛物线的解析式？ （4）求将它绕着与y轴的交点旋转180°所得抛物线的解析式？ 【分析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， （1）先确定点（1，﹣1）关于x轴对称的对应点的坐标，由于关于x轴对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式； （2）先确定点（1，﹣1）关于y轴对称的对应点的坐标，然后根据顶点式写出对称后的抛物线解析式； （3）先确定点（1，﹣1）关于原点对称的对应点的坐标，由于关于原点对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式； （4）先确定抛物线y＝2x2﹣4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），再确定顶点（1，﹣1）关于点（0，1）对称的对应点的坐标，由于旋转180°后抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【解答】解：y＝2（x﹣1）2﹣1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， （1）点（1，﹣1）关于x轴对称的对应点的坐标为（1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1； （2）点（1，﹣1）关于y轴对称的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），所以原抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1； （3）点（1，﹣1）关于原点对称的对应点的坐标为（﹣1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+1； （4）抛物线y＝2x2﹣4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），点（1，﹣1）关于点（0，1）对称的对应点的坐标为（﹣1，3），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．记住关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标特征． 【强化训练】 1．已知二次函数． (1)该二次函数的顶点坐标为______； (2)该函数的图象与轴的交点坐标为______； (3)用五点法画函数图象 … … … … (4)将该抛物线绕顶点旋转180°，求所得抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2)； (3)作图见解析； (4)． 【分析】（1）利用配方法得到顶点坐标； （2）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标； （3）利用描点法画二次函数图象； （4）旋转后只是抛物线的开口向下了，即，即可求解． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为：， （2）解：当时，即， 解得：， 抛物线与轴的交点坐标为：； （3）解：当时，， 当时，， 抛物线经过点，填表如下： 二次函数图象如下： （4）解：旋转后只是抛物线的开口向下了，即， 故抛物线的表达式为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，画二次函数图像，主要考查函数图象上点的坐标特征，将与x轴交点的坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 2．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式． （2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积． 【答案】（1）y=x2+6x+5 （2）△BCD的面积=28 【详解】（1）由对称轴公式可求出b值，再将点A的坐标及b值代入到抛物线中求出c，即可得到抛物线的解析；（2）通过C点坐标、对称轴及点B的坐标求出CD及CD上的高即可求出△BCD的面积. 解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得： 16﹣4b+c=﹣3， c﹣4b=﹣19， ∵对称轴是x=﹣3， ∴﹣=﹣3， ∴b=6， ∴c=5， ∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5 （2）∵CD∥x轴， ∴点C与点D关于x=﹣3对称， ∵点C在对称轴左侧，且CD=8， ∴点C的横坐标为﹣7， ∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5=12， ∵点B的坐标为（0，5）， ∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7， ∴△BCD的面积=×8×7=28． 3．如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0） （1）求 B、C、D三点的坐标； （2）抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式； 【答案】（1）B（3，0）；C（1，2 ）；D （0，）；（2）y=- x2+x+ 【详解】试题分析：根据等边三角形的性质求出A、B、C三点的坐标；利用待定系数法求出二次函数解析式 试题解析：（1）根据等边三角形的性质可得：B（3，0）；C（1，2 ）；D （0，） （2）将B、C、D三点坐标代入函数解析式得： 解得： ∴二次函数的解析式为：y=- x2+x+ 考点：二次函数的解析式 4．已知抛物线与 x 轴只有一个交点，且交点为． (1)求 b．c 的值； (2)若抛物线与 y 轴的交点为 B，坐标原点为 O，求的周长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得，即可得； （2）根据题意得，则，根据得，在中，运用勾股定理得，即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与 x 轴只有一个交点，且交点为 ∴， ∴，； （2）解：∵抛物线与 y 轴的交点为 B， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的周长：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 5．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点C（0,-6），与x轴的一个交点是A（-2,0）. （1）求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标； （2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当时，求x的取值范围. 【答案】（1）二次函数的表达式为. 图象的顶点D的坐标为.（2）. 【分析】（1）利用待定系数法，将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标； （2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围． 【详解】解：（1）把C点坐标（0,-6）代入二次函数的表达式，得.把A点坐标（-2,0）代入，得. ∴二次函数的表达式为. 即. ∴图象的顶点D的坐标为. （2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度所得图象对应的函数表达式为. 令，得， 解得，. ∵，当时，x的取值范围是. 【点睛】本题主要考查的是二次函数中待定系数法求法，及利用函数性质解决问题，掌握相关知识是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的顶点、分别在轴的正半轴和轴的负半轴上，二次函数的图象经过、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象探索：当时，的取值范围． 【答案】（1）；（2）当或时， 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数与不等式，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式． （1）把，代入得方程组，解出，的值，即可求出二次函数的解析式， （2）令，解得的值，结合图象可知即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意得，代入得 ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）令， 得， 解得，， 结合图象可知： 当或时，． 7．如图二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(-1，0)，点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点, （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）根据图形，直接写出直线CM在抛物线上方时x的取值范围． 【答案】（1）；（2）15；（3）或． 【分析】（1）将点A、C、D坐标代入，即可求出函数解析式； （2）根据（1）的函数解析式求出顶点M的坐标，过点M作ME⊥x轴与点E，连接BM，再利用求出结果； （3）根据函数图象解答即可. 【详解】（1）将点A、C、D坐标代入， ∴，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）∵=， ∴顶点M（2,9）， ∵对称轴为x=2，A（-1，0）， ∴B（5,0）， 过点M作ME⊥x轴与点E，连接BM， ∴OE=2，ME=9，BE=OB-OE=5-2=3， ∴ = = =15； （3）根据图象，抛物线与直线CM相交于点C（0,5）、M（2,9）， ∴直线CM在抛物线上方时x的取值范围是或. 【点睛】此题考查待定系数法求抛物线解析式，把二次函数化为顶点式，函数图象与坐标轴的交点坐标，几何图形与函数图象的结合，求几何图形的面积，利用函数图象判断自变量的取值范围. 8．如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在．理由见解析；（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）． 【分析】（1）由已知，应用待定系数法问题可解； （2）根据已知条件求出点D的坐标，并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB，利用全等三角形求出点G的坐标，求出直线BP的解析式，联立二次函数解析式，求出点P的坐标． （3）设出点N坐标，根据平行四边形对角线互相平分的性质，表示点M坐标，代入函数关系式，问题可解. 【详解】解：如图： （1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点． ∴  解得 ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）存在．理由如下： y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4． ∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上， ∴m＝3，∴D（2，3）， ∵C（0，3） ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°． 连接CD，∴CD∥x轴， ∴∠DCB＝∠OBC＝45°， ∴∠DCB＝∠OCB， 在y轴上取点G，使CG＝CD＝2， 再延长BG交抛物线于点P， 在△DCB和△GCB中， CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD， ∴△DCB≌△GCB（SAS） ∴∠DBC＝∠GBC． 设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得 k＝﹣，b＝1， ∴BP解析式为yBP＝﹣x+1． yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+2x+3 当y＝yBP 时，﹣x+1＝﹣x2+2x+3， 解得x1＝﹣，x2＝3（舍去）， ∴y＝， ∴P（﹣，）． （3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）． 设点N坐标为（1，n） 当BC、MN为平行四边形对角线时，由BC、MN互相平分，M坐标为（2,3-n） 代入y＝﹣x2+2x+3，3-n=﹣22+4+3，n=0；M（2,3） 当BM、NC为平行四边形对角线时，由BM、NC互相平分，M坐标为（-2,3+n） 代入y＝﹣x2+2x+3，3+n=﹣4-4+3，n=-8；M（-2,-5） 当MC、BN为平行四边形对角线时，由MC、BN互相平分，M坐标为（4, n-3） 代入y＝﹣x2+2x+3，n-3=﹣16+8+3，n=-2；M（4,-5） 故答案为M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3） 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质及其判定，平行四边形的性质，是动态几何问题和二次函数的综合题，解答关键是解答过程中做到数形结合，根据题意构造方程. 9．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 10．已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)求二次函数的表达式； (3)当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 【答案】(1)；0； (2) (3)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）当即时，则当时，，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解∶由表格数据知，顶点坐标为∶， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 故答案为∶ ，0； （2）解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； （3）解∶抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，同理可得∶ ； 当时，， 当即时， 则当时，， 解得∶ (舍去)； 当时， 同理可得∶ 解得∶ (舍去)； 当时， 当即， 则． 解得∶； 当时， 同理可得∶ (不合题意的值已舎去)， 综上，或． 故答案为∶或． / 学科网（北京）股份有限公司 $