专题09 二次函数的性质（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的性质这一核心知识点，系统梳理抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，衔接待定系数法求解析式，通过9类题型构建从概念理解到应用解决的学习支架。 资料以典例与变式结合设计，融入数形结合思想，培养学生几何直观与推理意识，分层训练助力教师授课与学生课后查漏补缺，有效提升用数学语言解决问题的能力。

专题09 二次函数的性质 1.掌握二次函数的图象和性质，形成有关二次函数的知识体系. 2.通过探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想，形成分析和解决函数问题的一些基本方法. 重点、难点 重点：二次函数的性质. 难点：运用二次函数的性质解决问题. 一、二次函数的性质 二次函数的图像是一条抛物线。当a大于零时，抛物线开口向上，当a小于零时，抛物线开口向下，|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大。 二 、待定系数法求二次函数解析式 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质。 【典例】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小；⑤抛物线与y轴的交点坐标为．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①∵， ∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线，正确； ③顶点坐标为，正确； ④∵时，y随x的增大而减小， ∴时，y随x的增大而减小一定正确； ⑤当时，，故本小题不正确； 综上所述，结论正确的个数是①②③④共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性，解题的关键是熟记二次函数的性质． 【变式】已知二次函数，下列说法正确的是（      ） A．该函数图象经过第一、三象限 B．函数图象有最高点 C．函数图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】∵， ∴，抛物线的开口向下，顶点坐标是，经过三、四象限，故选项A错误； 函数图象有最高点，故选项B正确； 对称轴是，故选项C错误； 抛物线的开口向下，对称轴是，当时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 题型2 根据二次函数的性质比较大小。 【典例】在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上．已知点，，在该抛物线上．若，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点和点代入抛物线解析式可得，，根据结合求出，，然后求得的符号以及的符号即可得出答案． 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴与异号， ∵， ∴， ∴，， ∵，，在该抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据题意得到，． 【变式】若函数的图象上有两点，，若，则（    ） A． B． C． D．，的大小不确定 【答案】A 【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线，开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，找到对称轴，利用到对称轴距离进行判定是解题的关键． 题型3根据二次函数的对称性求字母的取值范围。 【典例】已知点，在二次函数的图象上，当，时，． （1）若，是函数图象上的两点，，则实数的取值范围是（    ） A．                B．                C．或                D． （2）若抛物线与轴只有一个公共点，求二次函数的表达式． （3）若对于任意实数、都有，则的范围是______． 【答案】（1）C；（2）y=x2-4x+4；（3）n≥5 【分析】（1）由已知可知函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，则a＜1； （2）由对称轴可求m=4，抛物线与x轴只有一个交点，则△=0，进而可求n的值； （3）由于对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则判断二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1，即可求n的范围． 【详解】解：（1）∵当x1=1、x2=3时，y1=y2． ∴函数的对称轴x=2， 若P在对称轴右侧，则a＞3； 若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1， ∴a＜1； 综上所述，a＜1或a＞3； 故答案为C； （2）∵对称轴x=2， ∴m=-4， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴m2-4n=0， ∴n=4， ∴y=x2-4x+4； （3）对于任意实数、都有， y=x2-4x+n的最小值大于或等于1， ∵开口向上， ∴当x=2时，函数有最小值n-4， ∴n-4≥1， ∴n≥5． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，利用函数对称轴的性质解题是关键． 【变式】已知抛物线，经过点． （1）若时，，则此抛物线的对称轴为______； （2）当且时，都有，则的取值范围为______． 【答案】 直线； ． 【分析】（）根据二次函数是轴对称图形，则是关于对称轴对称，则； （）根据题意可得，抛物线的对称轴为，然后分四种情况进行讨论分析，最后进行综合即可得出结果； 此题考查了二次函数的图象与性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 【详解】（）∵，时，， ∴此抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线； （）根据题意可得，抛物线的对称轴为直线， 当时，恒成立； 当时，恒不成立； 当时，使，恒成立， ∴， ∴， ∴， 当时，恒不成立； 故答案为：． 题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围。 【典例】已知抛物线与轴交于点，与直线交于点，当时，值随值的增大而增大．记抛物线在线段下方的部分为（包含、两点），为上任意一点，设的纵坐标为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当x=0时，求得，即可得A；当x=4时，可得，即可得B（4，）；求得抛物线的对称轴为，由时，值随值的增大而增大，可得，解得，m≥0；当x=2-m时，y最小=；再由题意可得，，解得，由此可得的取值范围是为． 【详解】解：当x=0时，， ∴A， 当x=4时，， ∴B（4，） 抛物线的对称轴为：， ∵时，值随值的增大而增大， ∴， 解得，m≥0； 当0≤m ≤2时，x=2-m时，y最小=； 由题意可得，，解得； 当m＞2时，2-m＜0，此时x=0时，y最小=恒成立，符合题意 ∴的取值范围是为． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质是解决问题的关键． 【变式】对于二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，解题关键是明确二次函数开口方向、对称轴与单调性的联系，通过对称轴位置建立不等式求解． 二次函数开口向下，当时y随x增大而减小，说明对称轴在左侧或重合，据此列不等式求解． 【详解】∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵当时y随x的增大而减小， ∴对称轴， 解得． 故选B． 题型5 根据二次函数的性质求最值。 【典例】设二次函数（，m，n是实数），则（   ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可． 【详解】解：由题意，令， ∴， ∴． ∴二次函数与x轴的交点坐标是． ∴二次函数的对称轴是：直线． ∵， ∴y有最大值． 当，y最大， 即， 当时，函数y的最大值为； 当时，函数y的最大值为． 综上，C选项正确． 故选：C． 【变式】点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键；根据二次函数的对称轴为，可得出，将代入二次函数解析式中，可得出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， ∴二次函数的解析式为， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：A． 题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围。 【典例】点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 【详解】由，得抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点重合时，，解得； 当点A，B对称时，．此时若函数的最大值为4，最小值为； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ， 解得， ∴a的取值范围是． 故选D． 【变式】已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围______ ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出对称点，根据二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴， 令，， 点关于直线的对称点为， 如图： ， 开口向上， 当时，函数值的最大值为， ， 故答案为：． 题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴。 【典例】若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x=m-2．故设抛物线解析式为y=（x-m+2）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值． 【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A（m，n）、B（m-4，n）， ∴对称轴是x=m-2． 又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴顶点为（m-2，0）， ∴设抛物线解析式为y=（x-m+2）2， 把A（m，n）代入，得n=（m-m+2）2=4， 即n=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段上，与轴相交于，两点，设点，的横坐标分别为，，且．若是-1，则的最大值是_______________________． 【答案】13 【分析】由的顶点在线段上，得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数的对称性，即可求解． 【详解】解：由的顶点在线段上，与轴相交于，两点， 当P与B点重合时，取得最大值， 根据题意知B (6，-2)是该抛物线的顶点， ∴此时抛物线的对称轴为： ∴的最大值为13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的对称性，正确理解题意是解题的关键. 题型8 待定系数法求二次函数的解析式。 【典例】已知二次函数图像经过点 (1) ； ； ； (2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点，求平移后新抛物线的顶点． 【答案】(1)1；；3 (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移： （1）把代入，求出的值即可； （2）先求出直线的解析式，则平移时的抛物线的顶点在与直线平行的直线上，求出解析式为，设平移后的顶点坐标为，得抛物线的解析式为，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得，， 故答案为：1；；3； （2）解：设直线的解析式为：， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为：， 又由（1）得原抛物线的解析式为， ∴原抛物线顶点， ∵平移时的抛物线的顶点在与直线平行的直线上， ∴设平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为， 把代入得，， ∴， ∴平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为， 设平移后的顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得，或6， ∴平移时的抛物线的顶点坐标为或． 【变式】抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且．    (1)求y1的解析式及A、B间距离． (2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及n值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉二次函数的性质和平移的特点是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，最后根据两点间的距离公式，即可求解； （2）由题意得，令，求出，则，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 根据函数的对称性，点， 则； （2）由题意得，， 令，则， 则， 则， 解得：， 则． 题型9 由二次函数的对称性求最短路径。 【典例】如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，根据确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案． 【详解】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接 ， 则， 令， 解得，， ∴． 令，则， ∴． 又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式】已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，会利用待定系数法求函数解析式，能根据对称性求最短路径是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，即可求解； （3）把分解为，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； （3）如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 【巩固训练】 1．抛物线，，共有的性质是( ) A．开口向上 B．对称轴都是轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：，，开口向下，有最大值，对称轴为，即轴； ，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴； ，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴； 共有的性质是：对称轴都是轴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 2．已知函数，则（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案． 【详解】函数，对称轴为直线x＝﹣1，开口方向上， 故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是解题关键． 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上． 根据二次函数图象上点的坐标特征，将，，分别代入二次函数的关系式，分别求得，，的值，最后比较它们的大小即可． 【详解】解：将，，分别代入二次函数的关系式，得 ，，， ∵， ∴， 故选：C． 4．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 5．已知函数和函数的最值互为相反数，则_______0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】先确定两个二次函数的开口方向和最值类型，利用顶点纵坐标公式得到两个最小值，根据最值互为相反数整理得到，代入待比较式子配方即可判断符号． 【详解】解：，开口向上， 只有最小值，最小值为， ∵ 的二次项系数，开口向上， ∴只有最小值，最小值为， 两个函数的最值互为相反数， ∴， 提取公因式得：， ∵ ， ∴， ∴， 将代入，得 ， ∵， ∴，即． 6．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 7．如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． (1) 观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛物线解析式； (2) 求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3) 当取何值时，有两个不相等的实数根． 【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）顶点坐标为（1，-4），对称轴为x=1；（3）m＞-4． 【详解】【试题分析】（1）由图可知，A、B、C三点的坐标分别为：（-1，0）、（0，-3）、（4，5）；设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，将三个点的坐标代入即可， ，解得：a=1，b=-2，c=-3， ∴该抛物线解析式为：y=x2-2x-3． （2）由（1）知，将二次函数解析式化为顶点式，得：y=x2-2x-3=（x-1）2-4， 则该抛物线的顶点坐标为（1，-4），对称轴为x=1． （3）法一：用一元二次方程的角度解决问题：由题意得：x2-2x-3=m，即x2-2x-3-m=0，若该方程组有两个不相等的实数根，则必有△=（-2）2-4×1×（-3-m）＞0，解得：m＞-4．即当m＞-4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根． 法二：用数形结合的方法解决问题：根据（2）中的顶点式，得函数的最小值为-4，所以，根据图像，当m＞-4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根． 【试题解析】（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（-1，0）、（0，-3）、（4，5）； 设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c， 由题意得：， 解得：a=1，b=-2，c=-3， ∴该抛物线解析式为：y=x2-2x-3． （2）由（1）知：y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，-4），对称轴为x=1． （3）由题意得：x2-2x-3=m， 即x2-2x-3-m=0①， 若该方程组有两个不相等的实数根， 则必有△=（-2）2-4×1×（-3-m）＞0， 解得：m＞-4． 即当m＞-4时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根． 【方法点睛】这是一道二次函数的解答题，求二次函数的解析式，已知三个点通常用待定系数法，已知顶点坐标和另一点用顶点式，已知与x轴的两个根和另一点，用交点式. 8．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式及点的坐标； (2)若是轴负半轴上的一点，且，若把点以点为中心顺时针旋转时恰好与该拋物线上的点重合，求点的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）过点E作轴于点H，设点P的坐标为，其中，证明，则，，则，当点E恰好在该二次函数的图象上时，有，即可求得答案； 【详解】（1）解：把点和代入得到， ， 解得 ∴， ∵， ∴顶点D的坐标是； （2）如图1，过点E作轴于点H，设点P的坐标为，其中， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴，， ∴， 当点E恰好在该二次函数的图象上时， 有， 解得（由于所以舍去）， 故所求t的值为， ∴点P的坐标是； 9．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（两点均不与原点重合）． ①若，且，比较、的大小； ②若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①②， 【分析】（1）利用对称轴为直线，其中是抛物线与x轴的交点坐标； （2）①当时，确定抛物线的解析式为，利用作差的方法，求解即可； ②根据题意，得．抛物线解析式为，根据题意，得点在抛物线上，点在抛物线上，得，，化简得，继而得到，求解即可； 【详解】（1）解：抛物线过原点和， 故对称轴为直线； （2）①解：当时，抛物线解析式为， 又都不经过原点，， ， ②解：抛物线经过点， 故， 解得． ， 根据题意，得点在抛物线上，点在抛物线上 ， 又， ， ， ， ， ， ， 是一个与无关的定值， ， 解得， 故． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)8，． 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：如图2，设点P的坐标为 ， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． 【强化训练】 1．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 2．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 3．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 4．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】根据题意得出当P与A点重合时，取得最小值，即是该抛物线的顶点，且经过点，求得该抛物线的解析式的对称轴与的长度，同理得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数与x轴的交点及对称性，即可求解． 【详解】解：当抛物线的顶点与A点重合时，的最小值是， 根据题意知是该抛物线的顶点，且经过点， 此时，设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线， ∴此时， ∴， 当抛物线的顶点与B点重合时，取得最大值， 根据题意知是该抛物线的顶点， ∴此时抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，利用抛物线的对称性解题是关键． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为______． 【答案】或 【分析】根据题意可确定出A，B两点的坐标，从而求出对称轴为，依题意要使最小则D点必在对称轴上，从而根据题意画出图形，分类讨论思想以及数形结合思想，进行求解即可．本题考查了二次函数的综合题，三角形外角性质，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，使最小， 则D点必在对称轴上，过点E作，则， ∴， ∵为的边上的高线， ∴， ∴， ∴．此时在线段上， 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴抛物线解析式为， 整理得． 当在射线上， 同理，可得，即， 解得：． ∴抛物线解析式为， 综上，抛物线解析式为或． 故答案为：或． 7．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 8．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 9．设抛物线：（，）经过点，当时，． (1)计算： ．（用含b的式子表示） (2)求b的取值范围． (3)若，点在抛物线上，点在另一条抛物线上（），为平面内一点，若对于任意实数x，点A、B到点C的距离都相等，设抛物线的顶点为点D，抛物线的对称轴与抛物线的交点为F，直线的解析式为，请求出m的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，整理后即可得到和的关系； （2）先求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的性质得到点在对称轴左侧，即，结合（1）中及求出的取值范围； （3）先代入确定的解析式，根据点A、B到点C的距离都相等，则是线段的中点，进而得到的解析式，再求出的顶点D和交点F的坐标，将其两点坐标代入直线求解的值． 【详解】（1）解：将代入得：， ， ， ； （2）解：根据题意得：抛物线的对称轴为， ， ∴抛物线开口向上，当时，， 点在对称轴左侧或对称轴上， ， ， ， 由（1）知，， ， 解得：， 、， ， ， ， 的取值范围为； （3）解：当时，， ， ， ， 点A、B到点C的距离都相等，且点A、B、C横坐标相同， 点C为中点， ， ， 点D坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 将代入得： ， 点F坐标为 ， 将点D、F的坐标代入得： ， 解得：． 10．二次函数的图象经过点． (1)若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； (2)当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； (3)线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据题意得出函数的对称轴为，然后分两种情况分析：当时，，当时，，求解不等式即可； （3）根据题意得出抛物线经过点和两点，分三种情况分析：时，时，③当抛物线的顶点在线段上时，画出相应函数图象，然后结合图象及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， ， 将点代入，得， ， 二次函数的解析式为． （2）由（1）得，函数的解析式为， 函数的对称轴为， 当时，若二次函数满足随的增大而减小， 当时，， 当时，， 解得：或， 的取值范围为或； （3）解：当时，，当时，， 即抛物线过， ①如图1，当时，，若抛物线与线段只有一个交点，则必有， ， ； ②当时，， 若抛物线顶点在线段下方，则抛物线与线段无交点，不合题意； 若抛物线顶点在线段上方，则抛物线与线段有两个交点，不合题意； 若抛物线的顶点恰在线段上时，则顶点的纵坐标， 由（2）得函数的对称轴为， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍去）或； 综上，抛物线与线段只有一个公共点时，的取值范围是或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数的性质 1.掌握二次函数的图象和性质，形成有关二次函数的知识体系. 2.通过探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想，形成分析和解决函数问题的一些基本方法. 重点、难点 重点：二次函数的性质. 难点：运用二次函数的性质解决问题. 一、二次函数的性质 二次函数的图像是一条抛物线。当a大于零时，抛物线开口向上，当a小于零时，抛物线开口向下，|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大。 二 、待定系数法求二次函数解析式 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质。 【典例】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小；⑤抛物线与y轴的交点坐标为．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】已知二次函数，下列说法正确的是（      ） A．该函数图象经过第一、三象限 B．函数图象有最高点 C．函数图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 题型2 根据二次函数的性质比较大小。 【典例】在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上．已知点，，在该抛物线上．若，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式】若函数的图象上有两点，，若，则（    ） A． B． C． D．，的大小不确定 题型3根据二次函数的对称性求字母的取值范围。 【典例】已知点，在二次函数的图象上，当，时，． （1）若，是函数图象上的两点，，则实数的取值范围是（    ） A．                B．                C．或                D． （2）若抛物线与轴只有一个公共点，求二次函数的表达式． （3）若对于任意实数、都有，则的范围是______． 【变式】已知抛物线，经过点． （1）若时，，则此抛物线的对称轴为______； （2）当且时，都有，则的取值范围为______． 题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围。 【典例】已知抛物线与轴交于点，与直线交于点，当时，值随值的增大而增大．记抛物线在线段下方的部分为（包含、两点），为上任意一点，设的纵坐标为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】对于二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型5 根据二次函数的性质求最值。 【典例】设二次函数（，m，n是实数），则（   ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 【变式】点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围。 【典例】点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围______ ． 题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴。 【典例】若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段上，与轴相交于，两点，设点，的横坐标分别为，，且．若是-1，则的最大值是_______________________． 题型8 待定系数法求二次函数的解析式。 【典例】已知二次函数图像经过点 (1) ； ； ； (2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点，求平移后新抛物线的顶点． 【变式】抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且． (1)求y1的解析式及A、B间距离． (2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及n值．    题型9 由二次函数的对称性求最短路径。 【典例】如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ________________． 【变式】已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【巩固训练】 1．抛物线，，共有的性质是( ) A．开口向上 B．对称轴都是轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点 2．已知函数，则（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 5．已知函数和函数的最值互为相反数，则_______0．（填“”或“”） 6．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 7．如图，二次函数的图象经过A，B，C三点． (1) 观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛物线解析式； (2) 求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3) 当取何值时，有两个不相等的实数根． 8．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式及点的坐标； (2)若是轴负半轴上的一点，且，若把点以点为中心顺时针旋转时恰好与该拋物线上的点重合，求点的坐标； 9．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（两点均不与原点重合）． ①若，且，比较、的大小； ②若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【强化训练】 1．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 2．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 4．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是______． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为______． 7．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 8．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 9．设抛物线：（，）经过点，当时，． (1)计算： ．（用含b的式子表示） (2)求b的取值范围． (3)若，点在抛物线上，点在另一条抛物线上（），为平面内一点，若对于任意实数x，点A、B到点C的距离都相等，设抛物线的顶点为点D，抛物线的对称轴与抛物线的交点为F，直线的解析式为，请求出m的值． 10．二次函数的图象经过点． (1)若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； (2)当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； (3)线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $