第三十章 直线与圆的位置关系（解答题30题）【刷好题】热点题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系，通过30道解答题系统覆盖切线判定与性质、圆的计算、动态几何等核心内容，注重知识逻辑与题型综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线性质与判定|7题（如7、19、23）|切线证明、作图与计算|以切线定义为基础，结合全等、勾股定理推导判定与性质，形成“定义-判定-性质-应用”逻辑链| |圆的计算与位置关系|8题（如3、4、25）|半径、弦长、距离计算|从点与圆、直线与圆位置关系出发，结合三角函数、点到直线距离公式解决实际问题| |作图与动态问题|15题（如2、12、21）|尺规作图、旋转与动点探究|通过作图深化圆的对称性认知，动态问题中渗透几何直观与空间观念，培养推理能力|

第三十章 直线与圆的位置关系（解答题30题） 1．如图，点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心、的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点C为的中点，点D在数轴上对应的数为8． (1)_____________； (2)点P是优弧上任意一点，则的最大值为___________； (3)在（2）的条件下，当最大，且时，固定的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转． ①连接，，在旋转过程中，与有何数量关系，并说明理由； ②直接写出在旋转过程中，点C到所在直线的距离d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用扇形的面积公式计算即可． （2）如图中，当与相切时，的值最大．解直角三角形即可解决问题． （3）①如图中，连接，．证明，即可解决问题；②如图3，当中点P旋转至点B时，点C到所在直线距离最小为2，如图4，当中点P旋转至点Q时，点C到所在直线距离最大为6，即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴（大于半圆的扇形）， 故答案为：． （2）解：如图1中，当与相切时，的值最大． ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同法当与相切时，， ∴的最大值为． 故答案为：． （3）解：①结论：．理由：如图中，连接，． ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②由题意，， 如图，当中，点P旋转至点B时，点C到所在直线距离最小为2； 如图，当中，点P旋转至点Q时，点C到所在直线距离最大为6； ∴在旋转过程中，点C到所在直线的距离的取值范围为． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，切线的性质，特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，图形的性质等知识，综合性较强，难度较大，熟知相关知识，根据题意画图，并添加辅助线是解题关键． 2．如图，矩形（）与矩形全等，点，，在同一条直线上，的顶点在线段上移动．    (1)如图1，用直尺和圆规在上求作点，使是直角； (2)若，，在上是否一定存在点，使得，且是直角，若存在直接写出的长，若不存在，请说明理由； (3)设，，试通过计算说明（1）中的点一定有两个； (4)过、、三点作交于另一点，连接、，若，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)存在，，详见解析 (3)详见解析 (4),详见解析 【分析】（1）由的顶点P在线段上移动，且为直角，得点P也在以为直径的的圆上运动；所以以为直径作与的交点即为所求； （2）利用，根据全等三角形的性质得出，进而求出的值，即可得出答案； （3）要判断直角顶点的个数，只要判定以为直径的圆与线段的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点； （4）连，作，先证，再证，进而可得线段之间的比值关系． 【详解】（1）∵点在一条直线上，的顶点P在线段上移动，为直角， ∴点P在以为直径的的圆上运动， ∴点P就是与的交点， 如图所示，即为所求；   ． （2）在上存在点P使，且为直角，此时，理由如下： ∵点在一条直线上，的顶点P在线段上移动，为直角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故在存在点P使，且为直角，此时． （3）    连接，延长交于Q， 如图在中， 根据勾股定理可得： ； 过的中点M作于点N，则是梯形的中位线， 则； 以为直径的圆，半径是，， 而只有是等号才成立，因而， 即圆与直线相交，则直角顶点P的位置有两个． （4）    设，连，作于N， 由已知得，， ∴， ∴, ∴, ∴为等腰直角三角形，过的圆的圆心为的中点， ∴， ∴是梯形的中位线， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，直线和圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 3．如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为 【分析】如图：连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距, 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是；的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 4．如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通， 现测得．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明． 【答案】此公路不会穿过该森林公园 【分析】过A做于D，根据三角函数求出的长，与圆的半径作比较．若>半径，则公路不会穿过森林，若<半径，则公路会穿过森林． 【详解】解：过A做于D， 则和都是直角三角形， 在中： ∵， ∴， 在中： ∵， ∴， 又∵ ， ∴即， ∴ ， ∴ 此公路不会穿过该森林公园． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系解决实际问题．当圆心到直线的距离大于半径时直线与圆相离，当圆心与直线的距离等于半径时直线与圆相切，当圆心与直线的距离小于半径时直线与圆相交．掌握以上知识是解题的关键． 5．某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长； （2）利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出的长，利用三角形的面积公式即可解答．本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 【详解】（1）连接， ∵它的地基是半径为的正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为（米）． （2）如图，过点O作于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 6．先阅读材料，再解答问题： 已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算．例如：求点到直线的距离． 解：由直线可知：． 所以点到直线的距离为． 求：（1）求点P（2，-1）到直线y=x+1的距离． （2）已知直线与平行，求这两条平行线之间的距离； （3）如图已知直线分别交轴于两点，☉C是以为圆心，为半径的圆，为☉C上的动点，试求面积的最大值． 【答案】（1）2；（2）；（2）18 【分析】（1）由点到直线的距离公式可求解； （2）在直线y=2x+1上任取一点P（0，1），这两条平行线之间的距离等于点P（0，1）到直线y=2x-5的距离，由点到直线的距离公式可求解； （3）先求出点C到直线AB的距离，即可求解． 【详解】解：（1）∵直线y=x+1， ∴k=1，b=1， ∴点P（2，-1）到直线y=x+1的距离=； （2）在直线y=2x+1上任取一点P（0，1）， ∵直线y=2x+1与y=2x-5平行， ∴这两条平行线之间的距离等于点P（0，1）到直线y=2x-5的距离， ∵直线y=2x-5可变形为2x-y-5=0，其中k=2，b=-5， ∴点P（0，1）到直线y=2x-5的距离d＝， ∴这两条平行线之间的距离等于； （2）令x=0得y=-4；令y=0得x=-3， ∴B（0，-4），A（-3，0）， ∴AB=， 设圆心C（2，2）到直线y＝−x−4即−x−y−4＝0的距离为d，⊙C的半径为R=2， ∴d＝， 又∵⊙C上任意点P到直线y＝−x−4的距离h≤d+R＝+2＝， ∴⊙C上任意点P到直线y＝−x−4的距离的最大值h=d+R＝， ∴△PAB的面积的最大值=AB×(d+R)＝×5×(d+R)＝×5×(+2)＝18． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质及直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弄清题中求两点间的距离以及点到直线的距离方法是解本题的关键． 7． 如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1） 的条件下， 若 ，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图，圆的性质，切线长定理，垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，作直线即可． （2）连接，与交于点，由切线的性质证明，求出，再利用勾股定理求出的值，再利用垂径定理进行计算即可． 【详解】（1）解：连接作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，作直线即可． （2）解：连接，与交于点， 的切线， ， ， ， ， ， 由垂径定理可知，， ， ， ， ． 8．如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°． （1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB=______°；②BD=_______． 【答案】（1）见解析；（2）135；6． 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得△ABC的内切圆； （2）利用角平分线的性质得到∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)，再由三角形内角和定理即可求得∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°；根据切线长定理即可求得BD的长． 【详解】解：（1）如图所示：⊙O即为所求； （2）由作图知，OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线， ∴∠OAB=∠CAB、∠OBA=∠CBA， ∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)， ∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∴∠OAB+∠OBA=45°， ∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°； ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6， ∴AB==10， ∵⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F， 由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE， 设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x， ∵AF+CF=AC=6， ∴10-x+8-x=6， 解得：x=6， 故答案为：135；6． 【点睛】本题主要考查了作图－复杂作图，切线长定理，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． 9．如图，在△ABC中： (1)求作△ABC内心E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，∠C=78°．求∠AEB的值． 【答案】(1)见解析 (2)129° 【分析】（1）以C为圆心，以小于AC、BC长度为半径作圆弧，与AC、BC各相交于一点，分别以交点为圆心，以大于两交点距离一半长度为半径作两个圆弧，相交于一点，连接此交点与C作一条射线，同样的方法从B点作一条射线，两射线的交点即为三解形内心E； （2）根据三角形内心是角平分线交点和三角形内角和为180°，通过证明∠CAB+∠CBA=，∠AEB=180°-即可求出． 【详解】（1）如图： 【小问2详解】 （2）连接AE，如图： ∵∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°， ∴∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB， ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴∠EAB=，， ∴∠EAB+∠EBA=， ∵∠ACB=78°， ∴∠EAB+∠EBA=， ∵∠AEB=180°-(∠EAB+∠EBA)， ∵∠AEB=180°-51°=129°． 【点睛】本题考查了三角形内心的作法和性质，熟练掌握三角形内心是角平分线的交点，会作角的平分线，利用角平分线的性质是解题的关键． 10．如图，在中，，，，．内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请用尺规作图找出点P，并求出这个距离． 【答案】有，下图点即为所求，这个距离为3 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的内心， 过点C作的角平分线，再过点B作的角平分线，二条角平分线交于一点，就是点P； 过点P分别向的三边作垂线段，，，根据角平分线的性质可得点P到各边的距离相等，再根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长． 【详解】解：有．过点A作的平分线，再过点B作的平分线，它们的交点P即为符合要求的点． 理由：如图，过点P分别向的三边作垂线段，，，垂足分别为E，F，D． ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴， ∴． 连接，设． ∵， 即， ∴， 解得． 即这个距离为3． 11．如图，点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．请你仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中作出∠BAC的平分线； （2）连接EF，在图2中的线段EF上作一点P使AP将△AEF分成面积相等的两部分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，根据切线的性质可知，由于，得到，则，根据，得出，则，即是∠BAC的平分线； （2）根据题意作，边上的中线即可，连接交与点，连接，根据圆周角定理可得，得到，则是的中位线，即为的中点，则是的中线． 【详解】解：（1）如图1，即为所求； （2）如图2，即为所求． 【点睛】本题考查了圆切线的性质，圆周角定理，三角形中位线，三角形中线，熟练掌握图形的基本性质定理是解本题的关键． 12．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)画出该圆的圆心O； (2)画出格点E，连接，使为的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，的中点即为所； （2）取格点，作直线即可，取格点，交格线于点，连接交于点，作直线，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，直线，即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图．圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 13．如图，某工厂将A，B两地的两个小工厂合成一个大工厂．为了方便A，B两地职工的联系，该工厂准备在相距的A，B两地之间修建一条笔直的公路．经测量，在A地的北偏东方向、B地的北偏西方向处有一个以点C为圆心，为半径的圆形公园，则修建的这条公路会不会穿过公园？为什么（参考数据：）？ 【答案】不会．理由见解析 【分析】如图，过点C作，垂足为D，设，则，，列方程求出的值，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：不会．理由如下： 如图，过点C作，垂足为D． 由题意可知，， ． 设，则． 由，得， ， 解得， 即． ， ∴修建的这条公路不会穿过公园． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形． 14．如图①所示的是小明用乒乓球和纸片自制的不倒翁，如图②所示的是其示意图．已知圆锥的母线与相切于点，连接，的直径为，不倒翁的顶点到桌面的最大距离（经过圆心）是．现需要将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，求需要涂色部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，圆锥的计算，熟记各性质定理的解题关键；过点作桌面的垂线，交于点，连接，由垂径定理推出的长；可得出的长，即可推出结果. 【详解】解：如图，过点作桌面的垂线，交于点，连接． 由题意可得． 由垂径定理，得， ． 圆锥的母线与相切于点， ， 在中， 由勾股定理，得 ， ， 需要涂色部分的面积为： ； ∴涂色部分的面积为：． 15．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内二分点”． (1)当的半径为时， ①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是 ； ②已知一次函数在第一象限的图像上的所有的点都是的“内二分点”，求的取值范围； (2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内二分点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或． 【分析】（1）①根据圆的“内二分点”即可判断；②由当时，，可得一次函数的图像过定点，根据题意可得，当一次函数的图像与轴的交点也是与轴的交点时，；当一次函数的图像与半径为1的相切时，可得，由此即可求解； （2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：①，的半径为， 但此时在圆上，不合题意，故不是的“内二分点”， ，，， ，，在圆上， ，是的“内二分点”； ②当时，， 一次函数的图像过定点， 若，则在第一象限是一条射线（不含端点），上不可能所有的点都是的“内二分点”，故， 如图当一次函数的图像与轴的交点也是与轴的交点时，， 当一次函数的图像与半径为1的相切于点时， 则，而，， ∴， ∴， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为，代入， 可得， 的取值范围是； （2）①当从点左侧沿轴正方向移动时，线段上存在点为的“内二分点”，如图， 则满足，， 且， 解得：，且，， 结合图形可得，线段上存在点为的“内二分点”，； ②当移动到点的右侧时，线段上存在点为的“内二分点”，如图， 则满足，， 且， 解得：或，且， 结合图形可得，线段上存在点为的“内二分点”，； 综上所述，若线段上存在点为的“内二分点”，则或． 【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图像，解直角三角形的计算，解不等式组等知识，解题的关键是数形结合．理解“内二分点”的定义，找到“临界点”，题目难度较大． 16．图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动． 图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，． (1)的长为 ． (2)求当与相切时，的长度． (3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？ 【答案】(1) (2) (3)电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系． （1）由题意得，，求出； （2）得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到． （3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 【详解】（1）解：由题意，， ， 故答案为：； （2）解：与相切时， ， ， ， ； （3）解：电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可） 17．数学兴趣小组的同学发现在某劳模主题公园大门处放置一排同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子，同学们观察并绘制了如图所示的平面示意图，打算求出球形石墩的半径．已知，和是两个球形石墩的主视图，分别与地面l相切于点M，N．太阳光线与地面的夹角是，经测量，，，，请根据以上数据求出球形石墩的半径．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】球形石墩的半径约为 【分析】本题考查了解直角三角形，涉及了圆的切线的性质定理，根据题意可得和都是直角三角形．在中可得，在中可得，据此即可求解． 【详解】解：，与地面相切， 和都是直角三角形． 设球形石墩的半径为． 在中，由，得， ． 在中，， ． ， ，解得． 答：球形石墩的半径约为． 18．如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【详解】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 19．如图，为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接 (1)求证：直线与⊙O相切； (2)若，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明以及勾股定理的应用，掌握相关结论即可． （1）连接，证即可； （2）设⊙O的半径为，根据即可求解； 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 由题意得： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴直线与⊙O相切 （2）解：设⊙O的半径为， ∵ ∴， 解得： ∴ 20．如图，在ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O经过点B，与BC交于另一点D，与AB交于另一点E，作DF⊥AC，连接EF． （1）求证：DF与⊙O相切； （2）若EF与⊙O相切，AC＝7，DF＝4． ①求证：四边形ODCF为平行四边形； ②求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②2或 【分析】（1）由∠ODF＝180°﹣∠ODB﹣∠FDC＝180°﹣（∠ACB+∠FDC）＝180°﹣90°＝90°，即可求解； （2）①利用两组对边分别平行进行证明即可；②在Rt△AEF中，EF＝4，AE＝AB﹣BE＝7﹣2r，AF＝AC﹣FC＝7﹣r，由勾股定理得：（7﹣r）2＝（7﹣2r）2+42，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵DF⊥AC， ∴∠ACB+∠FDC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠ODB， ∴∠ODB+∠FDC＝90°， ∴∠ODF＝180°﹣（∠ODB+∠FDC）＝180°﹣90°＝90°， ∴DF与⊙O相切； （2）①如上图，连接OF， ∵EF与⊙O相切， ∴OE⊥EF， ∵OE＝OD，OF＝OF， ∴Rt△OFE≌Rt△OFD（HL）， ∴∠FOE＝∠FOD，EF＝DF， ∴∠EOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠ODB＝2∠FOD， ∴∠ODB＝∠FOD， ∴FO∥CD， ∵∠CFD＝∠ODF＝90°， ∴OD∥FC， ∴四边形ODCF为平行四边形； ②∵四边形ODCF为平行四边形，则FC＝OD， 设圆的半径为r， 由①知，EF＝DF＝4， 在Rt△AEF中，EF＝4，AE＝AB﹣BE＝7﹣2r，AF＝AC﹣FC＝7﹣r， 由勾股定理得：（7﹣r）2＝（7﹣2r）2+42， 解得r＝2或． 即圆的半径为2或． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线、平行四边形、全等三角形判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识是解题的关键． 21．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：延长到点，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形性质、结合旋转性质得到相关角度、线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）延长到点，使，连接，如图所示，先由全等三角形的判定定理得到，进而由全等性质及平行性质得到边与角的关系，从而由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质及两角互余即可得证； （3）取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示，先判断，进而得到四边形为矩形，在和中，解直角三角形求出，结合点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ，则， ， 故答案为：； （2）略； （3）解：取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵长度不变， ∴点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，此时， ∴点到直线的距离的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强、难度较大，涉及等腰直角三角形性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、平行线判定与性质、直角三角形的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形、动点最值问题-辅助圆等知识，熟记相关几何判定与性质、全等三角形的判定与性质及动点最值问题-辅助圆问题的解法是解决问题的关键． 22．在数学课上，李老师在黑板上写出一道如下的试题：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的长为4，CD为⊙O的切线，过点O作OD⊥AB，交CD于点D，与AC交于点E李老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答． (1)在黑板内容中添加条件BC＝2，求AB的长，请你解答． (2)以下是小明、小超的对话： 小明：我加的条件是AO＝，就可以求出BC的长了； 小超：你这样太简单了，我加的条件是∠A＝30°，连接OC，可以证明△ACB与△OCD相似． 李老师说：我们这节课侧重学习的是与切线性质有关的知识，小超添加的条件，证明的结论涉及到了切线性质的知识，而小明的没有涉及到切线性质的知识，请你解答一下小超提出来的问题． 【答案】(1)AB＝2 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由勾股定理可得出答案； （2）连接OC，证明△OBC是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠COB＝60°，证出∠ACB＝∠OCD，由相似三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝2， ∴AB＝＝＝2； （2）证明：连接OC， ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∵OD⊥AB， ∴∠DOC＝30°， ∴∠A＝∠DOC， ∵CD为⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°， ∴∠ACB＝∠OCD， ∴△ABC∽△ODC． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 23．如图，是的弦，，交于，且，求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，根据可得，根据等边对等角，可得，，结合对顶角相等，通过等量代换可得，即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接，   ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． 24．如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交的延长线于点F． (1)求证：直线为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，则可得到，推出，进而可证明，根据切线的判定定理得到结论； （2）设，则，，根据勾股定理得到，证明，根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，   ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线为的切线； （2）解：由（1）得，，即， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， （已检验）， ． 25．在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 【答案】(1)点D在外 (2)相切 【分析】（1）根据题意建立图形，利用勾股定理算出的长，再结合直角三角形性质得到的长，比较与半径的大小，即可判断的中点与的位置关系；； （2）利用等面积法求出点到直线的距离，再与半径比较，即可判断直线与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，，， ， 为的中点， ， 的半径为2.4，， 点D在外； （2）解：， 即， 解得， ， 直线与相切． 【点睛】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直角三角形性质，解题的关键在于正确掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系． 26．如图1，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结．已知，，，．    (1)求证：． (2)求与的长． (3)如图2，是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，． ①求关于的表达式． ②连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)①；②或 【分析】（1）根据，得，根据等腰三角形的三线合一，得，根据圆内接四边形的性质，得，根据，等量代换，得，根据，等量代换，即可； （2）连接，根据，得，根据，等量代换，平行线的判定，得，得，根据勾股定理，即可求出，； （3）由（2）得，，根据当点在点处时，点在点处，得，即可；连接，分类讨论：.当于点，根据，得，根据，即可；.当于点，根据，即可；.当于点，即可． 【详解】（1）证明：∵，得， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，． （3）由（1）得，， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ：如图，当于点，连结， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∵， 解得， ∴； ：当于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， 解得， ∴， ∴， ∴； ：当于点， 在中，， ∴， ∴这种情况不存在． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查圆的综合知识，解直角三角形和函数的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆内接四边形的性质，一次函数的表达式，勾股定理的运用，解直角三角形的运用． 27．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①连接，由题意可得，根据圆周角定理可得，以此即可求解； ②连接，根据三角形内角和定理可得，由圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理得，将代入化简即可； （2）如图，连接、，连接交于点，根据勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，设，则，利用双勾股定理建立方程求得，进而求出，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）连接、、、，过点作于点，由圆周角定理可得，易得，由平行线的性质得，由等边对等角得，进而可得，根据等角减等角相等可得，于是可通过证明，得到，根据等腰三角形三线合一性质得，以此即可求解． 【详解】（1）①解：如图，连接， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图，连接、，连接交于点， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，，， ，， 垂直平分， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 解得：， ， ， 为的直径， ， 在中，； （3）解：如图，连接、、、，过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 28．已知直线与圆相离，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解答的关键是熟知直线与圆的三种位置关系的判定方法：计算圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，若，相离；若，相切；若，相交． 本题先利用直线与圆心的距离公式求出d，再与半径r比较列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意，圆心坐标为，半径，直线为， ∵直线与圆相离需满足， ∴， 两边平方得，即， ∴， 解得：． 故k的取值范围为． 29．以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度． 【答案】r为2，长 【分析】本题考查了三角形的外心与内心，勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的判定与性质，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而可得外心O在斜边的中点处，即，作和的平分线交于I，即I就是内心，作于D，于E，于F，则，证明四边形为正方形，得出，求出，，，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴为直角三角形， ∴外心O在斜边的中点处， ∴， 作和的平分线交于I，即I就是内心， 作于D，于E，于F， ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∴，， ∴， ∴，， ∵， 在中，， 综上：r为2，长． 30．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m． (1)求线段OA和AB的长． (2)①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标． ②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式． (3)如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值． 【答案】(1)长为4，长为5； (2)①；②； (3)或或． 【分析】（1）根据点的坐标确定的长度，根据函数值求出的长度，利用勾股定理求出的长度即可； （2）①过点作轴于点，根据，求出，进而求出即可得出点的坐标；②根据①求出点坐标，设抛物线的解析式为：，代入点坐标求出解析式并整理即可； （3）分三种情况分别求出当与三角形三边相切时的值即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ， 由勾股定理得， 即长为4，长为5； （2）解：①如下图所示，过点作轴于点， 在中，， ， ， ，， ， ， 即； ②， ， 解得， ， 设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 解得， ， 即抛物线的解析式为； （3）解：，， 设抛物线解析式为， 由图知，点在轴正半轴上， ①当与相切时，如下图所示， 经过点，且， 且于点， ， ， 即， 把，代入抛物线的解析式， 得：， 解得：， 此时的值为； ②当与相切时，如下图所示， 连接， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， 把，代入抛物线的解析式， 得：， 解得， 此时的值为； ③当与相切时，如下图所示， 则， ， ， 综上，符合条件的的值为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系（解答题30题） 1．如图，点B在数轴上对应的数是，以原点O为圆心、的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点C为的中点，点D在数轴上对应的数为8． (1)_____________； (2)点P是优弧上任意一点，则的最大值为___________； (3)在（2）的条件下，当最大，且时，固定的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转． ①连接，，在旋转过程中，与有何数量关系，并说明理由； ②直接写出在旋转过程中，点C到所在直线的距离d的取值范围． 2．如图，矩形（）与矩形全等，点，，在同一条直线上，的顶点在线段上移动．    (1)如图1，用直尺和圆规在上求作点，使是直角； (2)若，，在上是否一定存在点，使得，且是直角，若存在直接写出的长，若不存在，请说明理由； (3)设，，试通过计算说明（1）中的点一定有两个； (4)过、、三点作交于另一点，连接、，若，求的值． 3．如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 4．如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通， 现测得．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明． 5．某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 6．先阅读材料，再解答问题： 已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算．例如：求点到直线的距离． 解：由直线可知：． 所以点到直线的距离为． 求：（1）求点P（2，-1）到直线y=x+1的距离． （2）已知直线与平行，求这两条平行线之间的距离； （3）如图已知直线分别交轴于两点，☉C是以为圆心，为半径的圆，为☉C上的动点，试求面积的最大值． 7． 如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1） 的条件下， 若 ，的半径为3，求的长． 8．如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°． （1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB=______°；②BD=_______． 9．如图，在△ABC中： (1)求作△ABC内心E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，∠C=78°．求∠AEB的值． 10．如图，在中，，，，．内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请用尺规作图找出点P，并求出这个距离． 11．如图，点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．请你仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中作出∠BAC的平分线； （2）连接EF，在图2中的线段EF上作一点P使AP将△AEF分成面积相等的两部分． 12．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)画出该圆的圆心O； (2)画出格点E，连接，使为的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F． 13．如图，某工厂将A，B两地的两个小工厂合成一个大工厂．为了方便A，B两地职工的联系，该工厂准备在相距的A，B两地之间修建一条笔直的公路．经测量，在A地的北偏东方向、B地的北偏西方向处有一个以点C为圆心，为半径的圆形公园，则修建的这条公路会不会穿过公园？为什么（参考数据：）？ 14．如图①所示的是小明用乒乓球和纸片自制的不倒翁，如图②所示的是其示意图．已知圆锥的母线与相切于点，连接，的直径为，不倒翁的顶点到桌面的最大距离（经过圆心）是．现需要将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，求需要涂色部分的面积． 15．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内二分点”． (1)当的半径为时， ①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是 ； ②已知一次函数在第一象限的图像上的所有的点都是的“内二分点”，求的取值范围； (2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内二分点”，直接写出的取值范围． 16．图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动． 图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，． (1)的长为 ． (2)求当与相切时，的长度． (3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？ 17．数学兴趣小组的同学发现在某劳模主题公园大门处放置一排同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子，同学们观察并绘制了如图所示的平面示意图，打算求出球形石墩的半径．已知，和是两个球形石墩的主视图，分别与地面l相切于点M，N．太阳光线与地面的夹角是，经测量，，，，请根据以上数据求出球形石墩的半径．（结果精确到．参考数据：，，） 18．如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 19．如图，为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接 (1)求证：直线与⊙O相切； (2)若，求直径的长． 20．如图，在ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O经过点B，与BC交于另一点D，与AB交于另一点E，作DF⊥AC，连接EF． （1）求证：DF与⊙O相切； （2）若EF与⊙O相切，AC＝7，DF＝4． ①求证：四边形ODCF为平行四边形； ②求⊙O的半径． 21．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 22．在数学课上，李老师在黑板上写出一道如下的试题：如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的长为4，CD为⊙O的切线，过点O作OD⊥AB，交CD于点D，与AC交于点E李老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答． (1)在黑板内容中添加条件BC＝2，求AB的长，请你解答． (2)以下是小明、小超的对话： 小明：我加的条件是AO＝，就可以求出BC的长了； 小超：你这样太简单了，我加的条件是∠A＝30°，连接OC，可以证明△ACB与△OCD相似． 李老师说：我们这节课侧重学习的是与切线性质有关的知识，小超添加的条件，证明的结论涉及到了切线性质的知识，而小明的没有涉及到切线性质的知识，请你解答一下小超提出来的问题． 23．如图，是的弦，，交于，且，求证：是的切线．    24．如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交的延长线于点F． (1)求证：直线为的切线； (2)当，时，求的长． 25．在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 26．如图1，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结．已知，，，．    (1)求证：． (2)求与的长． (3)如图2，是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，． ①求关于的表达式． ②连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，直接写出的值． 27．如图1，五边形是的内接五边形，，对角线于点． (1)①若，则_______； ②猜想和的数量关系，并证明； (2)如图2，当经过圆心时，若，，求； (3)作于点，求的值． 28．已知直线与圆相离，求k的取值范围． 29．以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度． 30．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m． (1)求线段OA和AB的长． (2)①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标． ②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式． (3)如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $