专题01 反比例函数与一次函数的综合（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合应用，通过四类题型系统构建从图象判断到实际应用的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象综合判断|5题/题型|考查函数系数与图象位置关系，需结合几何直观分析|基于函数性质（k、b符号）推导图象分布，培养抽象能力| |交点问题|5题/题型|涉及方程求解与数形结合，判断自变量取值范围|通过联立方程求交点，强化推理意识与符号运算| |实际应用|5题/题型|结合生活情境构建函数模型，解决温度、利润等问题|从实际问题抽象函数关系，发展模型意识与应用能力| |其他综合应用|5题/题型|融合几何图形、动态问题，考查综合解题能力|整合函数与几何知识，提升空间观念与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 反比例函数与一次函数的综合 题型归纳 题型一一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二一次函数与反比例函数的交点问题 题型三一次函数与反比例函数的实际应用 题型四一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型专练 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 题型三：一次函数与反比例函数的实际应用 1.D 2.D 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.B 4.C 5.A 题型四：一次函数与反比例函数的其他综合应用 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 212 专题01 反比例函数与一次函数的综合 题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型三 一次函数与反比例函数的实际应用 题型四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 2．在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况当或时，函数图象所经过的象限进行判断即可. 【详解】解：当时，的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、三象限，B符合题意； 当时，的图象经过一、二、四象限，的图象经过二、四象限，不符合题意. 3．在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若，则反比例函数的图象经过的点的坐标不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的增减性判断的符号，再结合反比例函数的性质，反比例函数图象上任意点横纵坐标的乘积等于，根据乘积的符号即可判断哪个点不可能在反比例函数图象上． 【详解】解：∵点，都在直线上，且时， ∴随的增大而增大， ∴， ∵点的横纵坐标异号，， 所以点不可能在的图象上． 4．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，结合图象即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， 因此，当时，自变量x的取值范围是或， 故选：． 5．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 1．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 2．如图，点、是反比例函数 图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 3．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设点坐标为，点坐标为，根据点在反比例函数图象上可得的值，根据点在反比例函数图象上方可得与的关系；根据点在一次函数图象上可得的值，根据点在一次函数图象下方可得与的关系． 【详解】设， 点在反比例函数图象上 点在反比例函数图象的上方 ，即 点在一次函数图象上 ，即 ∵矩形 ∴， 点在一次函数图象的下方 ，即 ∵矩形 ∴， ∴ 综上所述，，． 4．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 5．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 题型三：一次函数与反比例函数的实际应用 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 3．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 对于直线，令，解得， 令，解得， ∴点，， ∴，， ∴， ∴，， 设点坐标为， 则有， ∴， 根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵轴，轴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 5．定义：若x，y满足(m为常数)，则称点为“和谐点”．下列说法正确的是（ ） ①是“和谐点”； ②直线上有且只有一个“和谐点”； ③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依据题意，由“和谐点的定义”以及联立方程组进行求解即可． 【详解】解：①由题意得，， ， 故①成立． ②由题意可得，， ， 将代入上式， ， 或， 故②错误． ③由反比例函数最多有两个和谐点，得 ， 将③代入①，得 ， 即④ 将③代入由②，得 ， 即⑤， 将⑤代入④，得 ， 化简，得， 即 ， 或， ， 解得， 解， ， 当时，， 此时有两个不相等的实数根，且与不相同， 此时方程共有4个实数根， 故③错误． 综上，正确的有①． 故选A． 题型四：一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用， 锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出图形，理解题意是解题的关键． 过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E，分别求出F，D，E的坐标，根据勾股定理求出的长，利用三角函数求出的值，再求出的值，即可得答案． 【详解】解：如下图，过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E， 当直线与的唯一交点为A，且直线时，最小， 整理得：，此时方程有两个相等的实数根， ， 解得：（舍去）， 直线为， 当时，，则；当时，，则；当时，，则， ， ， ， 过D作与C， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（ ） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察到每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，，3个为一组依次循环， ， ， 故选：C． 3．如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， ∴， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．且结合图象： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， 又，，且 即， ， ，，且 ∴ ， 依题意， ， 故选：B． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为4，则k的值为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解， 【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数上， ∴，即：，即， ∴，即：， ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，如图，先求解为，直线为，直线为；再判断内部或边界上的整点有，，，，，，；从而可得答案； 【详解】解：如图，设直线为， ∵， ∴， ∴为， 同理可得：直线为， 直线为； ∴内部或边界上的整点有，，，，，，； ∴，，，， 故选C 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数与一次函数的综合 题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型三 一次函数与反比例函数的实际应用 题型四 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型一：一次函数与反比例函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若，则反比例函数的图象经过的点的坐标不可能是（ ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 5．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 题型二：一次函数与反比例函数的交点问题 1．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 2．如图，点、是反比例函数 图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D．或 5．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 题型三：一次函数与反比例函数的实际应用 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 3．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（ ） A． B． C． D． 4．如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 5．定义：若x，y满足(m为常数)，则称点为“和谐点”．下列说法正确的是（ ） ①是“和谐点”； ②直线上有且只有一个“和谐点”； ③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 题型四：一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（ ） A．2 B． C． D．-2 3．如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A．10 B． C． D．15 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为4，则k的值为（ ） A．2 B． C． D．4 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $