微专题02 圆周角与圆心角综合问题五大题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

微专题02 圆周角与圆心角综合问题五大题型 题型一 利用圆周角定理求角 核心技巧：通过所对的弧寻找等角或倍角关系。 1. 寻弧定角：明确所求角是圆周角还是圆心角，找到它们分别所对的弧。 2.关系转换： 等角代换：同弧或等弧所对的圆周角相等。 倍角计算：圆心角等于同弧所对圆周角的2倍。 直角模型：直径所对的圆周角是90°。 3. 综合计算：将转换后的角置于三角形或多边形中，结合内角和等定理求解。 关键：弧是联系圆中角的唯一桥梁，要善于通过弧进行角的“搬运”和转换。 1．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，点均在上，若，则的度数为 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 连接，证得，由垂径定理证得，进而证得． 【详解】解：连接，如下图， ，， ， ， ， ． 故答案为：60． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由圆周角定理可知，因为， 所以，因为，所以，则可求，则题目可解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，是直径，于点，，则的度数为 °． 【答案】23 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 根据可求出，根据余角的性质，求得，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解： 故答案为：23． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由为的直径，是弦，且，根据垂径定理，即可根据圆周角定理证明； （2）由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：为的直径，是弦，且， ， ； （2）解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为． 6．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，四边形内接于，满足，连接 ，，延长，交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，的长为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明； （3）过点作于点，首先根据圆周角定理结合三角形外角的性质得到，，进而得到，，求得，，由（2）得，结合，可求得的长，再根据勾股定理得到，，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：四边形内接于， ， ， ， 又， ； （3）解：如图所示，过点作于点， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 由（2）得， ， ，即， ， ， ， 由（2）得，， ，即， ． 故答案为：． 题型二 半圆（直径）所对的圆周角是直角 核心技巧：连接直径端点与圆上点，构造直角三角形。 1.识别模型：题目中若出现直径、半圆或在圆上寻找直角，应立刻想到此定理。 2. 构造辅助线：通常的连接方法是：将圆上一点（尤其是动点或非特殊点）与直径的两端点分别连接起来。 3. 应用与转化：连接后得到一个直角三角形，斜边为直径。由此可将角度问题（证90°或求角）转化为直角三角形问题，或利用勾股定理进行线段计算。 关键：这是一个“固定动作”，看到直径和圆上点，就尝试连接构成圆周角。 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，是的直径，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题关键在于运用圆周角定理（直径对直角、同弧圆周角相等）推导线段相等关系，再结合勾股定理计算直径，进而求得半径．掌握圆周角定理及其推论是突破此类圆相关几何题的核心．要解决此问题，需结合圆周角定理（直径所对圆周角为直角）、同弧所对圆周角相等及等腰三角形判定来推导．首先利用直径性质得；再由同弧对应的圆周角与相等，结合已知，推出，进而得；最后通过勾股定理计算直径，从而求得半径． 【详解】解： 如图， 连接 . ∴. ∵是的直径， 在中， 的直径 . 的半径为 故答案为：. 3．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知，以为直径的分别交，于点D，E，连接，，若，的半径为4，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，三线合一，勾股定理，熟练利用相关性质是解题的关键． 通过得到，再利用圆内接四边形和角度的转换得到，可利用三线合一得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，、是的直径，点C在上，，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转（），当 时，直径在中截得的三角形与相似． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，旋转的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．分或或三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴，即， 当时， 由，，可知直径在中截得的三角形与相似． 连接， ， ， ∴， ， ， 当时， 由，，可知， 连接， ， ， ∴， ∵，， ， ， 当时， 由，得，可知直径在中截得的三角形与相似． ∵， ， ∴， ； 综上所述：当或或时，直径在中截得的三角形与相似； 故答案为：或或． 5．（2026·全国·模拟预测）如图，是的直径，点C是上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接并延长交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）连接，由点为的中点得，可得；由直径所对圆周角是直角可证明，由得，从而可证得，故可得结论； （2）连接．设，可得，，在中，由勾股定理得，再证明，得，由勾股定理得，再证明，可得出． 【详解】（1）证明：如图1，连接． 点为的中点， ， ． 是直径， ， ． ， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接．设． ， ． ， ． 在中，， ∴， 解得或（舍去）． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ， ， ． ， ，， ， ， ． 6．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图1，在中，直径弦于点E，P是中点，交于点F，连接． (1)当时，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，连接交于点G，若，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最小值为4 【分析】1）首先根据，P是中点，易得，进而可得，然后根据圆周角定理，即可获得答案； （2）连接，首先证明，再证明，进而可知，结合易得，即可证明； （3）连接，证明，易得，设，则，进而可知，结合即可获得答案． 【详解】（1）解：， ，且P是中点， ， ， ； （2）连接，如下图， ∵P是中点， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ； （3）连接，如下图， ∵， ∴ 又∵， ， ， 设，则， ∴， ， ， ， ∴最小值为4． 题型三 90°的圆周角所对的弦是直径 核心技巧：利用直角反向确定直径，从而锁定圆心。 1. 识别条件：当题目中出现或可证得一个90°的圆周角（例如在某个三角形中），应立刻意识到其**所对的弦就是直径。 2. 关键应用：此直径可作为新的已知条件。主要用途有两个： 找圆心：取该直径的中点即为圆心。 转化线段：该直径是圆中最长的弦，可用于构建直角三角形或转换线段关系。 3. 辅助线：若弦未完整画出，常需连接弦的两端点以补全直径。 关键：这是一个由“角”证“弦”为直径的逆向定理，常用于证明中点或确定圆心的位置。 1．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 【答案】120 【分析】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，由，易得点，，，共圆，然后由圆周角定理，求得点在量角器上对应的读数． 【详解】解：连接， ∵，为半圆的直径， ∴，，，四点共圆， ， ， 即第20秒点在量角器上对应的读数是， 故答案为：120． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ． 【答案】 【分析】由可得四点共圆，且该圆的直径为，可知当时，最小，此时最小，过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理可得，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由是等腰直角三角形，可得，，，即得，再利用的面积可得，设，则，可证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可得，得到，即得到，即可求解． 【详解】解：∵交于点，交于点， ∴， ∴， ∴四点共圆，且该圆的直径为，如图， 由垂线段最短可知，当时，最小，此时最小，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 4．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形中，，点是对角线上的一个动点，且不与端点、重合连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在以为直径的圆上运动，进而勾股定理求得，根据当点在处时取得最小值为，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 则点在以为直径的圆上. 取的中点，连接与交于点， 则当点在处时，取得最小值． 在中， ， 则． 即的最小值为． 故答案为：． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，E为的中点，上有一点F，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，根据等腰直角三角形性质得，，则，进而得，是外接圆的直径，再根据得点F在外接圆上，则，由此得是等腰直角三角形，设，，据此得，则，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，如图所示： 在等腰中，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， 是外接圆的直径， 又， 根据圆周角定理得：点F在外接圆上， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 点E是的中点， ， ， 解得：， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，中，，，点是的中点，将绕点顺时针旋转角，得到OP，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质．根据旋转的性质．先连结，如图，由旋转的性质得，则可判断点、在以为直径的圆上，利用圆周角定理得，，，然后分类讨论：当时，，即；当时，，即，；当时，，即，再分别解关于的方程即可． 【详解】解：连结，如图， 点是的中点， ， 绕点顺时针旋转角时，得到， ，点在以为直径的圆上， ，， ， 点、在以为直径的圆上， ，， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得， 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 题型四 已知圆内接四边形求角度 核心技巧：利用对角互补与邻补角、外角的关系。 1. 应用核心性质：圆内接四边形的对角互补（和为180°），这是解题的基石。 2. 建立方程组：通常可设未知角为 x, y，根据对角互补列出方程（如x + 对角 = 180°）。 3. 结合外角定理：若四边形某角的外角已知，该外角等于其不相邻的内对角，此性质常是关键突破口。 4. 整体求解：将上述方程与三角形内角和等其它几何关系联立，即可求解。 关键：首选“对角互补”，次选“外角等于内对角”。 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，求出，再由圆内接四边形的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可得：， ∴， 故答案为：． 2．（2026·全国·模拟预测）如图，是钝角的外接圆，连接，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是、圆内接四边形的性质等，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先延长交于点，连接，得出，根据互余，求出，再根据圆内接四边形的对角互补求出即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，四边形是的内接四边形，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 4．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为，点M是第三象限内弧上的一点，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点． 根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为5， 故答案为：5． 5．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：， ∵， ， ； （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2）是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 题型五 求四边形外接圆的直径 核心技巧：转化为三角形问题，利用正弦定理求解。 1.确定三角形：由于四边形内对角互补，可连接对角线，将其分割为两个共外接圆的三角形。 2.选择三角形：优先选择包含特殊角（如直角、已知两边及夹角）或易于求解的三角形。 3.应用正弦定理：在选定的三角形中，利用正弦定理 = = 2R，其中R即为外接圆半径。若已知一边及其对角，即可直接求出直径2R。 关键：连接对角线是构造可解三角形的关键步骤，对角互补是确保四点共圆的前提。 1．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 2．（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 3．（2025·陕西榆林·一模）问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）玻璃桥的长度存在最小值，玻璃桥长的最小值是 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了三角形的外接圆问题，圆周角定理，勾股定理与垂径定理，解直角三角形，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）连接，根据圆周角定理得到，，由点是的中点，得到，得到，根据等腰三角形得到，根据勾股定理得到； （2）根据三角形的外角的性质得到，，三角形的内角和定理，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，推出点，，，四点共圆，如图②，设圆心为点，半径为 ，连接，，连接，过点作于点，根据圆周角定理得到是直径，根据圆周角定理勾股，求得，则，得到，要使得最小，即最小，而是直径，，当时，取得最小值，此时最小，得到是等腰直角三角形，于是得到玻璃桥长的最小值为． 【详解】解：（1）如图，连接， 为直径， ，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2），， ，， ， ， 过作于，如下图， ， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ， 点，，，四点共圆， 如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点， ， 是直径， ， ， 又，则， ，则， ， 要使得最小，即最小，而是直径，， 当时，取得最小值，此时最小， 此时是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故玻璃桥长的最小值为． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】（1）点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由见解析；点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由见解析； （2）见解析； （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02圆周角与圆心角综合问题五大题型 题型一利用圆周角定理求角 题型二半圆（直径）所对的圆周角是直角 圆周角与圆心角综合问 题型三90°的圆周角所对的弦是直径 题五大题型 题型四已知圆内接四边形求角度 题型五求四边形外接圆的直径 德点至硝 题型一利用圆周角定理求角 妹方法 核心技巧：通过所对的弧寻找等角或倍角关系。 1.寻弧定角：明确所求角是圆周角还是圆心角，找到它们分别所对的弧。 2.关系转换： 等角代换：同弧或等弧所对的圆周角相等。 倍角计算：圆心角等于同弧所对圆周角的2倍。 直角模型：直径所对的圆周角是90°。 3. 综合计算：将转换后的角置于三角形或多边形中，结合内角和等定理求解。 关键：弧是联系圆中角的唯一桥梁，要善于通过弧进行角的“搬运”和转换。 1.(25-26九年级上甘肃定西月考)如图，点A,B,C均在⊙0上，若∠ACB=56°，则LBA0的度数 为 B 2.(25-26九年级上浙江绍兴·期中)如图，在⊙0中，0C1AB,∠APC=30°，则∠B0C的度数为 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O B C 3.(2025辽宁抚顺一模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，AB∥0C,∠D=20°，则∠A0C=一 B 4.(25-26九年级上·浙江绍兴期中)如图，在00中，BC是直径，0D⊥AB于点E,∠B=44°，则∠C的 度数为. B 5.(25-26九年级上广东广州期末)如图，AB为O0的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC、 OC、BC. C B D (I)证明：LB=∠ACD; (②2)若AE=2,BE=8,求弦CD的长 6.(25-26九年级上江苏南京月考)如图，四边形ABCD内接于O0,满足B=2CD,连接AC，BD, 延长BC,AD交于点E. 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Q (I)若∠CAD=35°，求∠E的度数； (2)求证：△ABE∽△CDE; (3)若cos∠ABC=0.6,AD=3,BD=9,AB的长为 题型二半圆（直径)所对的圆周角是直角 啸方法 核心技巧：连接直径端点与圆上点，构造直角三角形。 1识别模型：题目中若出现直径、半圆或在圆上寻找直角，应立刻想到此定理。 2.构造辅助线：通常的连接方法是：将圆上一点（尤其是动点或非特殊点）与直径的两端点分别连接起来。 3.应用与转化：连接后得到一个直角三角形，斜边为直径。由此可将角度问题（证90°或求角）转化为直 角三角形问题，或利用勾股定理进行线段计算。 关键：这是一个“固定动作”，看到直径和圆上点，就尝试连接构成圆周角。 1.(25-26九年级上·青海西宁.期中)如图，AB是00的直径，若AC=4,∠D=60°，则BC的长等于 2.(25-26九年级上全国期末)如图，AB是00的直径，∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则O0的半径 为 3.(25-26九年级上河北石家庄·月考)如图，已知ABC,以AB为直径的O0分别交AC,BC于点D,E, 连接DE,AE,若DE=CE=3,O0的半径为4，则AE的长为一 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上江苏无锡·月考)如图，AB、DE是⊙0的直径，点C在⊙0上，∠ABC=20°，点D从 点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转a°(0<a<180),当a= 时，直径DE在ABC中截得 的三角形与ABC相似. D B 5.(2026全国模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，点C是00上异于A,B的一动点，点E为BC的中点. 作CF⊥AB,垂足为点F,连接BE并延长交FC的延长线于点P. M C 图1 图2 (I)求证：CP=CB; ②如图2，延长AC交BP于点山，若an☑P=),CF=4,求CM的长 6.(25-26九年级上浙江温州月考)如图1，在⊙0中，直径AB⊥弦CD于点E,P是AC中点，PD交AB 于点F,连接PA. B F D D 图1 图2 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当∠D=25时，求∠A的度数. (2)求证：PA=PF. (3)如图2，连接AC交PD于点G,若GF=1,求PD的最小值. 题型三90°的圆周角所对的弦是直径 嫦方法 核心技巧：利用直角反向确定直径，从而锁定圆心。 1.识别条件：当题目中出现或可证得一个90°的圆周角（例如在某个三角形中），应立刻意识到其*所对 的弦就是直径。 2.关键应用：此直径可作为新的已知条件。主要用途有两个： 找圆心：取该直径的中点即为圆心。 转化线段：该直径是圆中最长的弦，可用于构建直角三角形或转换线段关系。 3.辅助线：若弦未完整画出，常需连接弦的两端点以补全直径。 关键：这是一个由“角”证“弦”为直径的逆向定理，常用于证明中点或确定圆心的位置。 1.(25-26九年级上江苏期中)如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻 度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆 弧交于点E,则第20秒点E在量角器上对应的读数是°. TTT E lwlwlwlwlh A(N) 2.(25-26九年级上：广东揭阳·期末)在ABC中，BC=4,AC=V10,tan∠ACB=3,P为AB边上一动 点，PD⊥BC交于点D,PE⊥AC交于点E,连接DE,求DE的最小值 3.(25-26九年级上·黑龙江牡丹江期中)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是ABC内 部的一个动点，且满足AP⊥BP,则线段CP的最小值为」 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(23-24九年级上江苏期末)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是对角线BD上的一个动点，且不 与端点B、D重合连接AE,过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接DF,则DF的最小值是 、 E B C 5.(2025湖南益阳模拟预测)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2,E为BC的中点，AB上有 一点F,若LCFE=∠CAE,则△CFE的面积等于， F 6.(25-26九年级上江西赣州月考)如图，ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点0是AB的中点，将 OB绕点0顺时针旋转角a(0°<a<180),得到OP,当△ACP为等腰三角形时，a的值为 A ○ 题型四已知圆内接四边形求角度 6/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 啸方法 核心技巧：利用对角互补与邻补角、外角的关系。 1.应用核心性质：圆内接四边形的对角互补（和为180°)，这是解题的基石。 2.建立方程组：通常可设未知角为xy,根据对角互补列出方程（如x+对角=180°）。 3.结合外角定理：若四边形某角的外角己知，该外角等于其不相邻的内对角，此性质常是关键突破口。 4.整体求解：将上述方程与三角形内角和等其它几何关系联立，即可求解。 关键：首选“对角互补”，次选“外角等于内对角”。 1.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图，AB是00的直径，点C,D在⊙0上，若∠ABD=20°，则 ∠BCD的度数为 2.(2026全国模拟预测)如图，⊙0是钝角△ADC的外接圆，连接OA,0C.若L0CA=35°，则 ∠ADC的度数是°。 3.(25-26九年级上·浙江嘉兴·月考)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BC=CD,∠C=120°， ∠D=80°，则∠AOB的度数为 4.(25-26九年级上江苏连云港·月考)如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A,点B,点A的坐标 为0,5)，点M是第三象限内弧OB上的一点，LBM0=120°，则⊙C的半径为 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C M 5.(25-26九年级上浙江温州月考)如图，∠ADE是⊙0的内接四边形ABCD的一个外角，连接AC,已 知LADE=∠ACB, (1)求证：AB=AC. (②)若LBAC=70°，求∠ADC的度数， 6.(25-26九年级上湖南长沙.月考)【感知】(1)如图①，点A、B、C、D均在⊙0上，点E在00外， 点A、B、E三点共线，LADC=60°，则LEBC为度； 【理解】(2)如图②，OO是四边形ABCD的外接圆，连接AC、DB,点O在AC上，AB=BC,若延长 DA到点E,使AE=CD,连接BE,请探究线段AD,BD,CD之间的数量关系； 【应用】(3)如图③，AB是OO的直径，点C、D在⊙O上，点C是弧AB的中点，点D为圆周上一动点， 若AB=13,AD=12,求CD的长度 D B A E 图① 图② 图③ 题型五求四边形外接圆的直径 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 啸方法 核心技巧：转化为三角形问题，利用正弦定理求解。 1确定三角形：由于四边形内对角互补，可连接对角线，将其分割为两个共外接圆的三角形。 2选择三角形：优先选择包含特殊角（如直角、己知两边及夹角）或易于求解的三角形。 3.应用正弦定理：在选定的三角形中，利用正弦定理品一·=2R,其中R即为外接圆半径。若已知 sinA sinB 边及其对角，即可直接求出直径2R。 关键：连接对角线是构造可解三角形的关键步骤，对角互补是确保四点共圆的前提。 1.(25-26九年级上福建莆田期中)如图，在四边形ABCD中，AC=3,∠ABC=120°，∠ADC=60°，求 CD的最大值为 2.(2024广西南宁.三模)如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，AB=AC=5,BC=2V5,AC⊥BD,垂 足为点E,则DE的长为一 B 3.(2025陕西榆林.一模)问题探究 (1)如图①，在ABC中，以AB为直径作O0,BC、AC分别交O0于点D、E,连接AD,若 AE=6.5,CD=5,点E是AD的中点，求AD的长： 问题解决 (2)如图②是某生态公园的部分示意图，MN是一条笔直的小溪流，ABC是小溪流旁的一块绿地，点 C、A在MN上，BC=800m,∠BCM=105°，∠BAN=135°.点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的动点， 连接DF、FE、ED,为使游客有更好的观景体验，需沿DF修建玻璃桥，根据规划要使 DE⊥AB,∠FED=2∠ABC.为节约成本，要使玻璃桥DF的长尽可能的小.请问玻璃桥DF的长度存在最 小值吗？若存在，请求出玻璃桥DF长的最小值；若不存在，请说明理由. 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 0 M 图① 图② 4.(24-25九年级上江苏扬州月考)【推理证明】 (1)如图①，在四边形ABCD中，LB=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.小明认为：连接AC, 取AC的中点O,连接OB、OD即可证明，请你按照小明思路完成证明过程， 【尝试应用】 (2)如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE,交AC于点F,请利用无刻度的直 尺与圆规在线段CF上确定点P,使∠DPE=90°，（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 (3)在(2)的基础上，若AB=6,BE=2AE,直接写出线段DP的长. 图① 图② 5.(24-25九年级上江苏盐城·月考)【回归教材】 (1)苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，BD、CE是ABC的高，M是BC的中点.点B、C、 D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O,则点A、D、O、E四点也在同一个圆上.请 对教材原题或小明提出的问题进行解答.（选择一个解答即可) M 图1 图2 图3 【直接应用】 10/11