第14讲乘法公式（知识点+题型精讲）暑假预习讲义2026年人教版八年级数学上册

第14讲 乘法公式 目录 知识点1 平方差公式（必考基础） 2 知识点2 完全平方公式（重难点） 2 知识点3 完全平方公式高频变形（压轴必备） 2 知识点4 完全平方式判定规则 2 知识点5 乘法公式混合运算规则 2 题型1 平方差公式 3 题型2 运用平方差公式进行简便运算 4 题型3 平方差公式与几何图形 4 题型4 完全平方公式 6 题型5 通过对完全平方公式变形求值 7 题型6 完全平方公式在几何图形中的应用 8 题型7 求完全平方式中的字母系数 10 题型8 整式的混合运算 11 1. 知识目标：熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征、正向运算与逆向变形；理解两个公式的几何意义，熟记常用变形结论，掌握公式适用条件与易错点。 2. 能力目标：能直接套用公式进行整式运算、简便计算；熟练完成公式变形求值、几何图形应用、参数求解；可规范处理乘法公式与整式混合运算综合题型。 3. 素养目标：建立公式建模、数形结合、整体代换思维，精准识别公式结构，规避公式混用、漏项、符号错误，提升整式运算的速度与准确率。 知识点1 平方差公式（必考基础） 1. 标准公式： 2. 结构特征：一同一反，两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 3. 运算规则：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4. 适用范围：a、b可以是数字、字母、单项式、多项式，整体适配即可套用公式。 5. 几何意义：大正方形面积减去小正方形面积，对应平方差运算。 知识点2 完全平方公式（重难点） 1. 和的完全平方： 2. 差的完全平方： 3. 通用口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看前方。 4. 核心易错：完全平方展开是三项式，绝对不能遗漏中间2ab交叉项。 5. 几何意义：完全平方公式对应正方形面积拆分拼接，直观解释公式构成。 知识点3 完全平方公式高频变形（压轴必备） 1. 2. 3. 4. 核心用途：已知两数和、差、积，整体代换求平方和、代数式的值。 知识点4 完全平方式判定规则 1. 三项式结构：首尾为平方项且符号为正，中间项为首尾底数乘积的±2倍。 2. 通用形式：，可快速求解字母系数。 知识点5 乘法公式混合运算规则 1. 运算顺序：先套用乘法公式简化运算，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 2. 核心原则：优先识别公式结构，能套公式绝不硬展开，简化计算量。 3. 最终要求：所有运算结束后合并同类项，结果化为最简整式。 题型1 平方差公式 解题技巧（找同找反，平方相减秒杀法） 1. 结构识别：优先观察式子是否满足“一同一反”二项式乘积结构； 2. 精准拆分：单独找出相同项和相反项，不受项的顺序影响； 3. 直接运算：相同项平方减去相反项平方，一步得出结果； 4. 变形适配：式子顺序杂乱、符号错位时，先调整顺序、提取负号，凑出标准平方差结构再计算。 【典例1】．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2 运用平方差公式进行简便运算 解题技巧（凑整变形，公式速算法） 1. 凑整核心：将接近整十、整百、整千的数，拆成“整数值±差值”的形式； 2. 构造公式：把乘法算式转化为标准结构； 3. 快速计算：利用平方差公式抵消复杂乘法，转化为整数平方减法； 4. 示例思路：，大幅简化运算。 【典例2】．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算：； 【变式2】．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【变式3】．简便计算：． 题型3 平方差公式与几何图形 解题技巧（数形转化，面积等价法） 1. 图形识别：正方形裁剪、拼接、阴影面积题型，优先关联平方差公式； 2. 面积列式：大正方形面积减小正方形面积，直接对应； 3. 拼接转化：图形平移拼接为矩形，矩形面积为，验证公式等价； 4. 解题逻辑：用几何面积相等，实现公式推导、求值、参数计算。【典例3】．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形并将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，得到两个梯形，再将这两个梯形拼成一个长方形，利用这两个图，通过表示阴影部分的面积，能解释一个等式是____________． 【变式2】．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【变式3】．为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 题型4 完全平方公式 解题技巧（口诀套用，三项齐全法） 1. 结构判定：两数和或两数差的平方，直接套用完全平方口诀； 2. 符号锁定：和的平方中间项为正，差的平方中间项为负； 3. 严防漏项：展开必须为三项式，首尾平方、中间交叉项完整； 4. 整体运算：底数为多项式、单项式时，整体视作一个字母套用公式。 【典例4】．下列乘法公式运用正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：________ 【变式2】．化简：． 【变式3】．计算：． 题型5 通过对完全平方公式变形求值 解题技巧（整体代换，变形搭桥法） 1. 审题定位：已知两数和、差、积，求平方和、代数式差值，优先用公式变形； 2. 公式择优：根据已知条件选择适配变形公式，无需单独求单个字母； 3. 整体代入：将整体代入变形公式计算； 4. 常用套路：求平方和必用和/差平方减/加两倍积，差值题型用平方差变形。 【典例5】．已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式1】．已知，．则________． 【变式2】．【基础巩固】已知，，求的值． 同学们探究出解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ， ， ， ，， ． (1)请将方法一与方法二补充完整，方法一中的_____，方法二中的_____． (2)【知识应用】请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值． (3)【知识迁移】如图，以直角三角形的直角边，为边作正方形和正方形．若三角形的面积为20，正方形和正方形面积和为144，求的长． 【变式3】．综合与实践 【阅读材料1】在基本代数中，通过添加和减去适当的项，将给定的二次多项式转化为一个完全平方式加上一个常数项的形式，这种方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用， 【阅读材料2】利用配方法，求的最小值． 解：． 因为取任何值，总是非负数，即， 所以当时，有最小值0，所以有最小值1， 所以当时，有最小值1． 【类比探究】 (1)将变形为的形式__________，则的最小值为__________； 【解决问题】 (2)已知，． ①若是正整数，试判断是奇数还是偶数？并说明理由； ②求的最小值． 题型6 完全平方公式在几何图形中的应用 解题技巧（图形拆分，面积建模法） 1. 正方形面积建模：大正方形拆分为两个小正方形+两个全等矩形，对应完全平方展开式； 2. 边长代换：用含字母的式子表示图形边长，结合面积公式列等式； 3. 数形互化：利用图形面积关系验证公式、求边长、求面积、求参数； 4. 综合计算：结合割补法、整体减空白，结合公式化简求值。 【典例6】．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，如果，，那么阴影部分的面积是________． 【变式2】．完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)若，，求的值； (2)已知a，b满足，，求与的值； (3)如图，已知正方形的边长分别为x，y若，，求图中阴影部分的面积？ 【变式3】．数学活动课上，刘老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式： ； (2)根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片 张； (3)根据图2得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 题型7 求完全平方式中的字母系数 解题技巧（首尾定形，中项定参法） 1. 判定结构：先确认多项式首尾为平方项且符号为正； 2. 找基底：求出首尾平方项的底数； 3. 算中间项：中间项=±2×首尾底数乘积，据此列方程求字母系数； 4. 避坑要点：字母系数必有正负两个解，无特殊说明不可遗漏负解。 【典例7】．若是完全平方式，则p的值为（     ） A．4 B． C．2 D． 【变式1】．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】．是完全平方式，则________． 【变式3】．若是一个完全平方式，则k的值可以是________（k为常数，请你写出一个符合要求的k值） 题型8 整式的混合运算 解题技巧（先套公式，后算化简，分步运算） 1. 优先公式：式子符合平方差、完全平方结构，优先套用公式简化，不盲目展开； 2. 运算顺序：先乘方、再套用公式、后乘除、最后加减，括号优先； 3. 符号管控：全程带符号运算，重点注意完全平方中间项、平方差符号； 4. 最终化简：彻底合并同类项，去除多余括号，结果最简； 5. 化简求值题型：先化简整式，后代入数值计算，简化运算量。 【典例8】．计算： (1) (2) 【变式1】．已知与的积与是同类项． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【变式2】．计算与化简 (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：；（用乘法公式计算） (4)先化简，再求值：，其中，． 【变式3】．解答下列问题： (1)化简： (2)先化简，再求值：，其中，． 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 5．若，．则的值为（     ） A． B．4 C． D．3 6．若，，则的值是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 8．若是一个完全平方式，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”如（，，即8，16均为“美好数”），在不超过525的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17160 B．17170 C．17180 D．17190 11．已知，，则________． 12．如图，，，三点在同一条直线上，正方形和正方形的面积之和为，，则正方形的面积是________． 13．如图，是线段上一点，，，分别以，为边作正方形．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 14．若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若第一个整式的项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．则 （1）若第一个整式为，则________； （2）若第一个整式为，且，则的值为________． 15．近年来人工智能的快速发展，得益于模拟人的神经网络的“深度学习”算法，深度学习需要多层结构支撑．如图是一个计算多项式的层状结构图，奇数层是加法，偶数层是平方，若，则第3层3组多项式的和的值为______． 16．用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)若，，求的值． 18．运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 21．数学活动课上，老师准备了若干张如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是宽为、长为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图所示的大正方形． (1)观察图，代数式，，之间的等量关系为________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 22．小明在数学课外书上看到了这样一道题： 如果x满足，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设，，则，， 所以． 方法2：因为，所以，所以， ． (1)若，求的值．（任选一种方法解答） (2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40， ①图中__________，__________（用含x的代数式表示） ②求图中阴影部分的面积和． 23．探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 乘法公式 目录 知识点1 平方差公式（必考基础） 2 知识点2 完全平方公式（重难点） 2 知识点3 完全平方公式高频变形（压轴必备） 2 知识点4 完全平方式判定规则 2 知识点5 乘法公式混合运算规则 2 题型1 平方差公式 3 题型2 运用平方差公式进行简便运算 6 题型3 平方差公式与几何图形 8 题型4 完全平方公式 11 题型5 通过对完全平方公式变形求值 13 题型6 完全平方公式在几何图形中的应用 17 题型7 求完全平方式中的字母系数 21 题型8 整式的混合运算 22 1. 知识目标：熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征、正向运算与逆向变形；理解两个公式的几何意义，熟记常用变形结论，掌握公式适用条件与易错点。 2. 能力目标：能直接套用公式进行整式运算、简便计算；熟练完成公式变形求值、几何图形应用、参数求解；可规范处理乘法公式与整式混合运算综合题型。 3. 素养目标：建立公式建模、数形结合、整体代换思维，精准识别公式结构，规避公式混用、漏项、符号错误，提升整式运算的速度与准确率。 知识点1 平方差公式（必考基础） 1. 标准公式： 2. 结构特征：一同一反，两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 3. 运算规则：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4. 适用范围：a、b可以是数字、字母、单项式、多项式，整体适配即可套用公式。 5. 几何意义：大正方形面积减去小正方形面积，对应平方差运算。 知识点2 完全平方公式（重难点） 1. 和的完全平方： 2. 差的完全平方： 3. 通用口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看前方。 4. 核心易错：完全平方展开是三项式，绝对不能遗漏中间2ab交叉项。 5. 几何意义：完全平方公式对应正方形面积拆分拼接，直观解释公式构成。 知识点3 完全平方公式高频变形（压轴必备） 1. 2. 3. 4. 核心用途：已知两数和、差、积，整体代换求平方和、代数式的值。 知识点4 完全平方式判定规则 1. 三项式结构：首尾为平方项且符号为正，中间项为首尾底数乘积的±2倍。 2. 通用形式：，可快速求解字母系数。 知识点5 乘法公式混合运算规则 1. 运算顺序：先套用乘法公式简化运算，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 2. 核心原则：优先识别公式结构，能套公式绝不硬展开，简化计算量。 3. 最终要求：所有运算结束后合并同类项，结果化为最简整式。 题型1 平方差公式 解题技巧（找同找反，平方相减秒杀法） 1. 结构识别：优先观察式子是否满足“一同一反”二项式乘积结构； 2. 精准拆分：单独找出相同项和相反项，不受项的顺序影响； 3. 直接运算：相同项平方减去相反项平方，一步得出结果； 4. 变形适配：式子顺序杂乱、符号错位时，先调整顺序、提取负号，凑出标准平方差结构再计算。 【典例1】．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意． B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式即可求解， （2）需要连续两次运用平方差公式计算． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用平方差公式计算； （2）利用平方差公式计算； （3）利用平方差公式计算； （4）利用平方差公式计算； （5）利用平方差公式计算； （6）把代数式写成符合平方差公式的形式，再利用平方差公计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型2 运用平方差公式进行简便运算 解题技巧（凑整变形，公式速算法） 1. 凑整核心：将接近整十、整百、整千的数，拆成“整数值±差值”的形式； 2. 构造公式：把乘法算式转化为标准结构； 3. 快速计算：利用平方差公式抵消复杂乘法，转化为整数平方减法； 4. 示例思路：，大幅简化运算。 【典例2】．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算：； 【答案】 【详解】解：原式． 【变式2】．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式3】．简便计算：． 【答案】 【分析】将2025和2027改写为与2026相差1的形式，再通过公式展开化简即可． 【详解】解：原式． 题型3 平方差公式与几何图形 解题技巧（数形转化，面积等价法） 1. 图形识别：正方形裁剪、拼接、阴影面积题型，优先关联平方差公式； 2. 面积列式：大正方形面积减小正方形面积，直接对应； 3. 拼接转化：图形平移拼接为矩形，矩形面积为，验证公式等价； 4. 解题逻辑：用几何面积相等，实现公式推导、求值、参数计算。【典例3】．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 【变式1】．如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形并将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，得到两个梯形，再将这两个梯形拼成一个长方形，利用这两个图，通过表示阴影部分的面积，能解释一个等式是____________． 【答案】 【分析】分别表示两个图形的面积，根据图形的面积相等，列出等式即可． 【详解】解：第一个图形的面积为， 第二个图形的面积为， ∵两个图形的阴影部分面积相等， ∴． 【变式2】．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 【变式3】．为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 【答案】(1) (2)11300元 【分析】（1）先求出绿化休息区的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可； （2）先求出铺设塑胶地面的面积，再根据塑胶地面的造价为每平方米25元求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：绿化休息区是一个长为，宽为的长方形， 则绿化休息区的面积为 ， 答：绿化休息区的面积为． （2）解：铺设塑胶地面的面积为 ， ∵，， ∴， ∵塑胶地面的造价为每平方米25元， ∴（元）， 答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元． 题型4 完全平方公式 解题技巧（口诀套用，三项齐全法） 1. 结构判定：两数和或两数差的平方，直接套用完全平方口诀； 2. 符号锁定：和的平方中间项为正，差的平方中间项为负； 3. 严防漏项：展开必须为三项式，首尾平方、中间交叉项完整； 4. 整体运算：底数为多项式、单项式时，整体视作一个字母套用公式。 【典例4】．下列乘法公式运用正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A． ，符合平方差公式，正确． B． ，错误． C． ，错误． D． ，错误． 【变式1】．计算：________ 【答案】 【详解】解：. 【变式2】．化简：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式以及单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可化简． 【详解】解： ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】本题先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则展开原式的两个部分，再合并同类项即可得到计算结果． 【详解】解： 题型5 通过对完全平方公式变形求值 解题技巧（整体代换，变形搭桥法） 1. 审题定位：已知两数和、差、积，求平方和、代数式差值，优先用公式变形； 2. 公式择优：根据已知条件选择适配变形公式，无需单独求单个字母； 3. 整体代入：将整体代入变形公式计算； 4. 常用套路：求平方和必用和/差平方减/加两倍积，差值题型用平方差变形。 【典例5】．已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用完全平方公式求出的值，再展开所求代数式，整体代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，已知 ，， ∴ ，解得 ， ∴， 将 ， 代入得， 原式 ． 【变式1】．已知，．则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．【基础巩固】已知，，求的值． 同学们探究出解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ， ， ， ，， ． (1)请将方法一与方法二补充完整，方法一中的_____，方法二中的_____． (2)【知识应用】请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值． (3)【知识迁移】如图，以直角三角形的直角边，为边作正方形和正方形．若三角形的面积为20，正方形和正方形面积和为144，求的长． 【答案】(1)；； (2)21； (3)8． 【分析】（1）根据题目的推理过程，即可填空； （2）根据，，找到两者的关系，即可求解； （3）设，，则，根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：设，，则， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．综合与实践 【阅读材料1】在基本代数中，通过添加和减去适当的项，将给定的二次多项式转化为一个完全平方式加上一个常数项的形式，这种方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用， 【阅读材料2】利用配方法，求的最小值． 解：． 因为取任何值，总是非负数，即， 所以当时，有最小值0，所以有最小值1， 所以当时，有最小值1． 【类比探究】 (1)将变形为的形式__________，则的最小值为__________； 【解决问题】 (2)已知，． ①若是正整数，试判断是奇数还是偶数？并说明理由； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①解：是奇数； 理由：，且是正整数． 中必有一个奇数、一个偶数． 为偶数，为奇数． 为奇数． ②当时，有最小值． 【分析】（1）利用题干的配方法求解即可． （2）①根据奇数和偶数的性质求解即可，②把代入中，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 取任何值，总是非负数，即， 当时，有最小值0，所以有最小值． （2）解：①略 ②解：． ． 取任何值，总是非负数，即； ∴当时，取最小值0， ∴当时，有最小值． 题型6 完全平方公式在几何图形中的应用 解题技巧（图形拆分，面积建模法） 1. 正方形面积建模：大正方形拆分为两个小正方形+两个全等矩形，对应完全平方展开式； 2. 边长代换：用含字母的式子表示图形边长，结合面积公式列等式； 3. 数形互化：利用图形面积关系验证公式、求边长、求面积、求参数； 4. 综合计算：结合割补法、整体减空白，结合公式化简求值。 【典例6】．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 【变式1】．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，如果，，那么阴影部分的面积是________． 【答案】11 【分析】首先利用完全平方公式求出，然后根据三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，再利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 【变式2】．完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)若，，求的值； (2)已知a，b满足，，求与的值； (3)如图，已知正方形的边长分别为x，y若，，求图中阴影部分的面积？ 【答案】(1)40 (2)9，1 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）根据题意得到，利用完全平方公式和梯形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ 两式相加得，故； 两式相减得，故； （3）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为. 【变式3】．数学活动课上，刘老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式： ； (2)根据上述方法，若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片 张； (3)根据图2得出的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)7张 (3)①6；②5 【分析】（1）用两种方式表示出大正方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （3）①利用完全平方公式的变形计算即可得出结果；②设，，则，，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴可得到等式； （2）解： ， 故若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张； （3）解：①，， ∴， ； ②∵， 设，，则，， ，即， ，即． 题型7 求完全平方式中的字母系数 解题技巧（首尾定形，中项定参法） 1. 判定结构：先确认多项式首尾为平方项且符号为正； 2. 找基底：求出首尾平方项的底数； 3. 算中间项：中间项=±2×首尾底数乘积，据此列方程求字母系数； 4. 避坑要点：字母系数必有正负两个解，无特殊说明不可遗漏负解。 【典例7】．若是完全平方式，则p的值为（     ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式首尾项的特征，确定中间项的两种可能，进而求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ∴该式可表示为， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的形式列方程求解即可． 【详解】解：∵完全平方式的一般形式为 给定多项式为，其中常数项 ∴一次项系数满足 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 【变式2】．是完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数的两种可能，即可求解． 【详解】解：完全平方公式为， ∵ 是完全平方式， ∴ 对比公式结构可得 ，即，，即， ∴ 一次项满足 ， ∴ ． 【变式3】．若是一个完全平方式，则k的值可以是________（k为常数，请你写出一个符合要求的k值） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】完全平方式为，注意两种情况即可． 【详解】解：， ∴， 解得或． 题型8 整式的混合运算 解题技巧（先套公式，后算化简，分步运算） 1. 优先公式：式子符合平方差、完全平方结构，优先套用公式简化，不盲目展开； 2. 运算顺序：先乘方、再套用公式、后乘除、最后加减，括号优先； 3. 符号管控：全程带符号运算，重点注意完全平方中间项、平方差符号； 4. 最终化简：彻底合并同类项，去除多余括号，结果最简； 5. 化简求值题型：先化简整式，后代入数值计算，简化运算量。 【典例8】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．已知与的积与是同类项． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)， (2)化简结果：，值：32 【分析】（1）首先计算，再根据同类项的定义，列式求解即可； （2）根据整式的乘法，整式的加减，化简，再代入求值即可； 【详解】（1）解： 又与的积与是同类项 与是同类项 ， ，； （2）解： 原式 当，时， 原式； 【变式2】．计算与化简 (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：；（用乘法公式计算） (4)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)化简结果为，值为 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， 把，代入得∶原式． 【变式3】．解答下列问题： (1)化简： (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) 化简结果为，值为 【详解】（1）解： ； （2）解： 当，时， 原式 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算法则，涉及同底数幂的乘除运算、完全平方公式、积的乘方，根据对应法则逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：选项A、，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、，故C正确； 选项D、，故D错误． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A选项：无法转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，故A选项不符合题意； B选项：，要用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故B选项不符合题意； C选项：，要用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故C选项不符合题意； D选项：，能用平方差公式计算，故D选项符合题意． 3．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：左图阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 右图长方形的长为，宽为，其面积为． ∵左图的阴影面积右图的阴影面积， ∴． 4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出规律：当二项式的次数为时，系数和为，据此求解； 【详解】解：观察可得： 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ⋯， 当二项式的次数为时，系数和为， ∴展开式的系数和是． 5．若，．则的值为（     ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】将两个等式相加，利用完全平方公式构造出的形式，再根据平方根的定义求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， 由完全平方公式得， 开平方得． 6．若，，则的值是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先展开，结合已知条件求出的值，再根据代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 【答案】B 【分析】根据图2中阴影部分的面积为27列式求出，然后利用完全平方公式的变形求出，然后列式求解图2中空白部分的面积即可． 【详解】解：∵图2中阴影部分的面积为27， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴图2中空白部分的面积为． 8．若是一个完全平方式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：完全平方公式为， 将对应完全平方公式可得，，即，， ∴， ∴． 9．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”如（，，即8，16均为“美好数”），在不超过525的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17160 B．17170 C．17180 D．17190 【答案】A 【分析】根据“美好数”的定义，设出两个连续奇数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过525的条件确定的范围，再进行求和即可． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得， ，即“美好数”可表示为， 由题意得， 解得， 为正整数， 的最大值为， ∴所有不超过的“美好数”之和为， ． 11．已知，，则________． 【答案】 【详解】解：，， ∴， ∴． 12．如图，，，三点在同一条直线上，正方形和正方形的面积之和为，，则正方形的面积是________． 【答案】49 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，，，结合完全平方公式进行计算，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 即，， 根据题意可得，，， 即， ∴， 即， 将代入，得， 整理得； 故， 即， ∵正方形的面积为， 故正方形的面积为． 13．如图，是线段上一点，，，分别以，为边作正方形．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】120 【分析】根据割补法求出图中阴影部分的面积，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：如图， ∵，，分别以，为边作正方形， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 14．若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若第一个整式的项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．则 （1）若第一个整式为，则________； （2）若第一个整式为，且，则的值为________． 【答案】 【分析】（1）利用乘以，结合完全平方公式计算即可； （2）先分别求出，，再根据求出关于的等式，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵整式的项数为2，为偶数， ∴． （2）∵整式的项数为1，为奇数， ∴，项数为2，为偶数， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴ ． 15．近年来人工智能的快速发展，得益于模拟人的神经网络的“深度学习”算法，深度学习需要多层结构支撑．如图是一个计算多项式的层状结构图，奇数层是加法，偶数层是平方，若，则第3层3组多项式的和的值为______． 【答案】 170 【分析】首先，根据题意运用整式的混合运算法则计算第3层3组多项式的和，然后，再运用“整体代入”思想代入，即可得出答案． 【详解】解：由图可知第3层3组多项式的和为 ， ∵， ∴． 16．用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 17．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再整体代入即可求解； （2）逆用同底数幂的乘除法和幂的乘方的运算法则，得到，，再将原式化简为，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 20．我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； （2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：令， 则， ． （3）解：设， ， ． 则图中阴影部分的面积为 ． 21．数学活动课上，老师准备了若干张如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是宽为、长为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图所示的大正方形． (1)观察图，代数式，，之间的等量关系为________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个正方形的面积两个长方形的面积求解即可； （2）①根据代入求解即可；②令，则，，可得，进一步化简即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②令，则，． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 22．小明在数学课外书上看到了这样一道题： 如果x满足，求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1：设，，则，， 所以． 方法2：因为，所以，所以， ． (1)若，求的值．（任选一种方法解答） (2)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40， ①图中__________，__________（用含x的代数式表示） ②求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①，；②144 【分析】（1）设两个平方项为和，利用和的关系式求出乘积或展开原式整理成二次方程，再代入待求乘积的展开式中整体求值； （2）①由长方形边长关系和已知，直接用总长度减去表示和； ②阴影面积是两个正方形的面积和，即，设，，由长方形面积条件得乘积，再根据用平方关系求出平方和． 【详解】（1）方法1：设，，则 因为，所以， 所以．              方法2：因为， 所以 所以，， 所以， ． （2）①，，， ，． ②因为长方形的面积为40， 所以，，即， 设，，则， 所以 ． 所以图中阴影部分的面积和为144． 23．探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【答案】(1) (2)平方米 (3)①；② 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）①根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答；②根据（3）①所求代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． （3）解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； ②由（3）①得，， ∴当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $