08 滚动检测（8）(考查范围：必修第一册第一章至第五章第三节诱导公式)-2026-2027学年高一上学期数学滚动检测卷

**基本信息** 以数学文化与现实问题为载体，覆盖集合、函数、三角等核心知识，通过刘徽割圆术、龙井泡茶温度等情境设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配高一单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、不等式性质、函数单调性|第5题结合方程实根判断代数式符号，考查逻辑推理| |多选|3/18|三角函数性质、函数奇偶性|第10题综合奇偶性与单调性，培养批判性思维| |填空|3/15|三角求值、幂函数、数学文化|第14题《九章算术》弧田面积计算，渗透文化传承| |解答|5/77|函数定义域、指数模型、创新定义|17题用指数模型解决泡茶温度问题（模型意识），19题探究凸函数与琴生不等式（创新意识）|

高一年级第一学期数学滚动检测（八） 考试说明： 1.考查范围：必修第一册第一章至第五章第三节诱导公式 2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟。 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，集合.若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（ ） A. B. C. D. 6.形如的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”.当时，该“囧函数”与函数的交点个数为（ ） A.个 B.个 C.个 D.个 7.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（     ） A． B． C． D． 8.已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（　　） A． B． C．点是函数图象的对称中心 D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称 10.若是定义在上的奇函数,是偶函数,当时,，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 在上恰有5个零点 D. 是偶函数 11．已知与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的值为______. 13.已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 . 14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分)(1)计算：. (2)已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点，计算的值. 16.(本小题15分)已知函数 (1)求的定义域； (2)当， ①求证:在区间上是减函数； ②求使关系式成立的实数的取值范围. 17(本小题15分)西湖龙井是中国名茶，属绿茶，其产于浙江杭州西湖龙井村周围群山，并因此得名，有上千年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足. (1)求常数的值； (2)经过测试可知，求在室温下刚泡好龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：,) 18.(本小题17分)已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)解关于的方程； (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求取值范围． 19.(本小题17分）函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或,或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明诸如： 等函数都是凸函数．在年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数,均有成立，当且仅当时等号成立. (1)除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明； (2)若函数为上的凸函数，求的取值范围； (3)在中，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一年级第一学期数学集中滚动检测（八) 考试说明：1.考查范围：必修第一册第一章至第五章第三节诱导公式 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分） 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知集合A={x1≤x≤3}，集合B={x1-m≤x≤1+m若BcA,则m的取值范围是(） A.(-0,2] B.[-1,3] C.[-3,] D.[0,2] [1-m2-1 1.A【解析】当m<0时，B=,满足BEA:当m≥0时，若BEA,只需1+m≤3，解得0≤m≤2综上， m的取值范围是(-o,2]故选：A. 2.若不等式x-1<a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是() A.a>0 B.a≥0 C.a>1 D.a≥1 2.D【解析】由不等式x-1<a,可得-a+1<x<a+1(a<0不合题意)， -a+1≤0 要使得0<x<1是-a+1<x<a+1的一个充分条件，则满足 a+1≥1，解得a21.故选D 3.若实数a>b>0,则下列不等式不一定成立的是() C.-15-1 Dai<b月 1 A.0.3a<0.3 B.lga<lgb a-1b-1 3.C【解析】由函数单调性可判断出A、B、D均成立，故选C. c(x-a) 4.设函数f(x) 在区间(0,1)上单调递增，则a的取值范围是() A.-2,0) B.(-n,0] c.(0,2] D.[2,+∞) x(x-a) 4.D【解析】根据题意可知f()2 是由指数函数y 和二次函数t=x(x-a 复合而成的，由复合函数单调性可得只需使函数t=x(x-@)在区间(0，)上单调递减即可，易知函数 1=x(r-d关于x=号对称，所以可得号≥l,即a≥2：即@的取值范周是2+e0).故选D, 2 5.已知a是方程e'+x-4=0的实根，则下列各数为正数的是() A.a2-2a B.ea-2 C.In(a-1) D.a2-a3 5.B【解析】因为a是方程e'+x-4=0的实根，令f(x)=e+x-4,当x=1时，f(I)=e+1-4<0,当x=2 时，f(2)=e2+2-4>0,可得1<a<2 对于A,因为1<a<2,所以-1<a-2<0,则a2-2a=a(a-2)<0,故A错误： 对于B,因为1<a<2,所以e<e<e2,则e-2>0,故B正确； 对于C,.因为1<a<2,所以n(a-1)<0,故C错误； 对于D,因为1<a<2,所以-1<1-a<0,则a2-a3=a21-a)<0,故D错误.故选BC 6.形如y= b十c(a>0,b>0,c∈R)的函数，图象很像汉字中的“图”字，被形象地称为“囧函数” -a 当a=1,b=1,c=0时，该“囧函数”与函数g(x)=ln()的交点个数为() A.2个 B.4个 C.0个 D.3个 1 (x≥0且x≠1) 6.B【解析】由题意知，当a=1,b=1c=0时，y= x- -1 1 (x<0且x≠-1) +1 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数8(x)=d的图象如图所示，可知它们有4个交点. V x- y=lgx 故选B 7.我国古代魏晋时期数学家刘徽用割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割， 则与圆周合体无所失矣”刘微从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面 积逼近圆的面积利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正2边形分别计算出的圆周率的比值为() 180 180 360 360 A.sin B.cos C.2sin D.2cos n 360 7.B【解析】对于正n边形，其圆心角为 对于正2n n 边形，其圆心角为 360° 2n 面积为S,=2n2 rrsin 360° =nr2sin 180 由此可得， 2n 、n 2'sin 360 nr2sin 180)° 180° os n n 180 cos 故选：B. 180 180 n nr2sin nr2sin n 1og2(x+2),-2<x≤ 8.已知函数f(x) x2-2x+1,x>0 ,若函数g(x)=「f(f(x)-(a+1)f(f(x)+a(a∈R) 恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是() A.(0,1) B.[0,1 C.(0,+o） D.[0,+o） 8.A【解析】由g(x)=f(f(x)J-(a+1)f(f(x)+a=0得f(f(x)-l[f(f(x)a=0,则f(f(x)=l或f(f(x)=a,作出 f(x)的图象如图， 3 2 1 2 则若f(x)=1,则=0或=2，设tf(x),由f(f(x)=l得f(t)=1,此时t=0或t=2, 当t=0时，f(x)==0,有两个根，当t=2时，f(x)=1=2,有1个根，则必须有f(f(x)=a,(a≠1)有5个 根，设tf(x),由f(fxFa得f(t)=a,若a=0,由f上0得t=1,或t=1,f(x)=-1有一个根，f(x)=1 有两个根，此时有3个根，不满足条件. 若a>1,由f(t)=a得t>2,f(x)=t有一个根，不满足条件. 若a<0,由f(t)=a得-2<t<-1,f(x)=t有一个根，不满足条件. 若0<a<1,由ft)=a得-1<t1<0,或0<t2<1或，1<<2， 当-1<t<0时，f(x)=t,有一个根，当0<t2<1时，f(x)=t2,有3个根， 当1<t3<2时，f(x)=t3,有一个根，此时有1+3+1=5个根，满足条件. 故0<a<1,即实数a的取值范围是(0，l),故选A 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） g.已知西数f(=sin(o)o>0l咔牙 若函数)图象的相邻两个对称中心之间的距离为 2 x=-亚为函数y=f()图象的一条对称轴，则(） 6 A.0=2 8.p=-亚 6 C.点骨0是西数0图象的对称中心 D.将函数0的图象向左平移汇个单位长度后所得函数的图象关于y轴对称 9ABD【解析】因为禹数了四图象的相郁两个对称中心之间的距离为受，所以T=,。=2, 因为直线x=名为西款)-图象的一条对称轴， 所以-亚x2+9=亚 6 c,k∈Z,则0+m,ke乙 因为网<受所以0=石故旭正确： 所以f=si2x-,国为f(孕=sin=1,故c错误： 将函数f)的图象向左平移汇个单位长度后所得函数为 3 y=[x+-月m2x+=2,象关于y对，故D正确 故选：ABD. 10.若f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)是偶函数，当x∈(0,2时，f(x)=log2x,则() A.f(x)在（-4，-2)上单调递减 C.f(x)在-4,4上恰有5个零点 D.f(x-2)是偶函数 10.AD【解析】由f(是定义在R上的奇函数，得f(x)=一f(-x),f(O)=0,由f(x+2)是偶函数，得 f(x+2)=f(-x+2),则f(x)关于x=2对称，又f(x)是奇函数，可得f(x)关于x=-2对称， f(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),f()=-f(x-4)=f(x-8),.函数f(x)的周期为8，当x∈（®]时， f(x)=log2x,则f(x)在(-6,2]1个周期)的图象如图所示， 对A,由图易得，f(x)在（-4，-2)上单调递减，A对； 对B,由西数的寺偶性、对称性和用翔性可得f得==-f-f兮山，B错： 对c,由函数的周期性和图象可得，f(-4)=f(4)=f(0)=0,f(-3)=f(-)=f①=f(3)=0,即f(x)在[-4,4] 上恰有个7个零点，C错： 对D,因为函数关于x=-2对称，∫(x-2)的定义域为R,所以f(x-2)=f(-x-2),故∫(x-2)是偶函数， D对.故选AD .已知f(四=+e-x<0)与8(y)t+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取位 1 可能是() A.e B.1 C.-1 D.-e 1.BCD【解折】在函数f()=+e(x<0的图泉上取点PG,,则点P关于y特的对称点P(列在 函数国的因象上，片以，ye}(小n(a动，类理可得n(a)e号，可得=e, 所以，实教a的取值范因即为西载()=x+e(:<0)的值城，国为内层函数u=。一号在(，0)上为增函 数，外层函数t=e“为增函数， 故函数y=心(c<0)为增函数，又因为函数y=t为增函数， 故函数n()=x+e(x<0)为增函数，所以，h(因)<h(O)=6, 所以，函数h(x)=x+e(x<0的值域为(o,VE), 因此，实数a的取值范围是(-o,V.故选BCD, 第IⅡ卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2已如n有则a君的为 12号【解折1由eoa周)-mga小s经（a+到sin肾+-青 13已知幂函数f(x)=(a2-3列x2r2在(0，+∞)上单调递减，函数n(x)=3*+m,对任意x∈[山，3总存在 x2∈[1,2]使得f(x)=h(x),则m的取值范围为 18[8合]【解1因为通款了倒=（公-动无第通数，别公-31，a=2, :f)在(0，+)上单调递减，则20+a-2<0,可得a=-2, h(x)在[l2]上的值域为[3+m,9+m], [9+m≥1 m≥-8 根据题意有 m的范围为 26 1→ 26, 故答案为： 3+m≤ 9 m≤- 9 14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为： 1 弧田面积=二（弦×矢十矢2）.弧田是由圆弧及其所对的弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢” 等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ,半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得 弧田面积最接近的整数是 14.9【解析】设孤田的圆心为O,弦为AB,C为AB中点，连OC交孤于D,如图所示， D B 由意可得∠ACB=0A=4,在Rt△A0C中，易得∠4AO0= CA0= 6 0=0M=4=2,可得失=4-2=2.由0=0m=4写-25，可得孩8=20=46，片以孤同 2 西织=×(452+2=45+2，因为=贤盟则8万g从丙号45-29，奖 所得孤田面积最接近的整数是9.故答案为：9. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15(体小题13分)1i计算：(0g5+(1g2-12,2+1g5-1g1og,16). 10g9 (2)己知角：以x轴的非负半轴为始边，P(√3，-1为终边上一点，计算 sin-ajoufa-2r)com() 的值. -acos(3r-a)sin(-a) cos 15(0:(2)- 3 1休小题15分已知函数f()-写+g: x+1 (1)求f(x)的定义域： (2)当x∈(1，+0)， ①求证：∫(x)在区间(1，+0)上是减函数： ②求使关系式∫(m-2)>∫(2m-1)成立的实数m的取值范围. 16.【解析】（四由+ 0得x<-1或x>1,所以画数f0的定义战为(-U0,+四. (2①证明：设1<x<5,fx)-f)=lbg:t11og:与+1o 。(+10(x-) 龙-1 5-1 2(x-1)x2+1) =10g,书+5X-1 :+丙-名i因为1<考<，所以5+5-x-1>x%+无--150， 所以5+-L,:≥0，所以f)>f0),☐ xx2+x-x3-1 故f(x)在区间(1，+0)上是减函数. ②由①知f(x)在区间(1，+∞)上是减函数，由f(m-2)>f(2m-1),可得1<m-2<2m-1, 解得m>3. 17(本小题15分)西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因 此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在25C室温下，龙井用85C的 水泡制，再等到茶水温度降至60°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从85C开 始，经过x分钟后的温度为y°C且满足y=ka+25(k∈R,0<a<1,x≥0) (1)求常数k的值 (2)经过测试可知α=0.9227，求在25°C室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用 口感？（结果精确到1分钟）（参考数据：1g2≈0.3010,1g3≈0.4771,1g7≈0.8451,1g0.9227≈-0.0349） 17.【解析】(1)：茶水温度从85C开始，即当x=0时，y=k+25=85,解得k=60: (2)当a=0.9227时，y=60×0.9227+25,当y=60时，60x0.9227+25=60, 7 即0.9227=12’∴x=og09m121g0.9227 7 7 82-g7-2g2-lg3=08451-2x03010-0.47-67049, lg0.9227 -0.0349 故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感. 18.(本小题17分)己知f(x)= 3”+0是定义在R上的奇函数. 3+1 (1)求a的值： 2 (2)解关于x的方程2∫(x)+ (+3: (3)若存在区间[m,n(m<n),使得函数y=f(x)+t在[m,n]上的值域为3,3”]，求t的取值范围. 18.(1)a=-1;(2)x=-1;(3)2√2-2<t<1. 【解折】()由f=3+是定义在R上的奇函数，得了0=1片a=0,解得a=-, 3*+1 2 所以f31,f)+f0=30,即f)是奇函数， Γ3-+13+11+33+1 所以a=-1. (2)令f)+1=元，则方程2f+2 f(x)+1 +元，即+}2+月 3化为2+1=5 21 解得=)或元=2，由(1)知=3-=1-，2 2 3"+13*+1 2即23 当时，)- 1 3产+12，解得3- 3,=-1: 当元=2时，f)=1,即2=0，无解，所以原方程的解为x=-1. 3+1 ⊙》由)如01-写品西y=+1在R上华网志着 -12 3+1 则函数f(x)在R上单调递增，所以函数y=f(x)+1在[m,上单调递增，依题意得， f(0m)+t=3m (f()+1=3”，即 2 1- +t=3m 3m+1 2+1=3” ，今3*=4>0，因此3,3”是方程1-2 +t=u, u+1 3”+1 △=t2+4t-4>0 即u2-tu+1-t=0的两个不等的正根，于是 t>0 ,解得2W2-2<t<1, 1-t>0 所以t的取值范围是2√2-2<t<1. 19.(本小题17分)函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来的.其 中对于凸函数的定义如下：设连续函数f(x)的定义域为a,b(或开区间(a,b)或a=-o,或b=+o都可 以，齐利于区同]上送两个版两有了作生)上因反立则容f刻为区小 上的凸函数.容易证明诸如：y=√x;y=sinx(x∈(0，π)等函数都是凸函数.Johan Jensen在1906年将 上述不等式推广到了n个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数f(x)为其定义域上的凸函数，则对 其定义域内任意n个数x,x2,…,xn,均有f f(x)+f()++f(成立，当且仅 n n 当X=龙3=…=xn时等号成立 (1)除上述给出的凸函数外，请再写出一个凸函数并利用凸函数的定义证明： (2)若函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)为R上的凸函数，求a的取值范围： (3)在△MBC中，求L+1+1 sinAsinB+sinC的最小值 (1)f(x)=-x2,证明见解析(2)a<0(3)2√5 19.【解析】（1)函数f(x)=-x为凸函数，证明如下：对任意x,x∈R, 有fG)4f1-2f)=-片-龙-2年-(21=-听-龙+代+6+2)=2出-≤0， 2 2 故fx)+f,)≤2f古+5)，即f)十f)s西+5)，所以函数f()=-是凸画数. 2 2 (2)由于函数f)=ar2+x(aeR,a≠0)为R上的凸函数，所以对任意的x1,x2∈R, 有fx)+fx)s2f(古+)， 2 故/+f6训-2)-a或+5+a+-2a5y+引-am+a成-G++2)-话-， 2 2 2 因此ax-广≤0，结合a∈R,a≠0，故a<0 (3)由基本不等式 (sin A+sin B+sinC)(1+11 4 sinsinc3+sinC±sin A sin B sinc sin BsinA≥9 sin A sinC sinC sin B sin A sin B 当且仅当A=B=C-时取等号.由Jensen不等式有sinA+sinB+simC≤3sinA+B+C=3sin-35,从 3 3 32 1 而有 1+1≥25， sin A sin B sin C 当且仅当A=B=C一-管时取华号，故过十过6C的成小度方25