第四章相似三角形暑假预习成果检测卷 2026—2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形核心知识，通过基础计算、性质应用及综合证明题，系统整合比例线段、位似变换与面积关系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3|概念辨析与计算|比例中项→等比性质→黄金矩形定义| |性质应用|选择5-7、填空9-10|图形性质与判定|相似三角形判定→位似坐标变换→面积比推导| |综合探究|解答15-18、填空11|动态与多结论证明|翻折变换→相似与圆综合→跨知识点应用|

第四章相似三角形暑假预习成果检测卷浙教版2026一2027学年九年级上册 总分：120分时间：90分钟 姓名： 班级： 成绩： 一.单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1.如果线段a,b的长分别是3和12，线段c是线段a,b的比例中项，那么线段c的长为 () A.4 B.±4 C.6 D.±6 2.如图，△ABC△DEF,且∠A=83°，则∠D的度数是() A.37 B.83° C.120° D.60° a-b 3 3.已知a=5,则6的值是() A.2 B.5 c.3 D. 5 5-1 4.宽与长的比是2的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩 形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形ABCD截掉正方形AEFB后，剩余的矩形CDEF仍 是黄金矩形，AD是30.86m,求CD的长度，设CD的长度是xm,根据题意，下列的方程 中正确的是() D V5-1 30.86-xV5-1 30.86-x 30.86V5+1 ①30.862；② x 2：③30.86 x;④ x 2. A.① B.①③ C.①②④ D.①②③④ 5.如图，MB与CD交于点O,且1C∥BD.若 BD=2AC ,则a10C S.AoC与 的面积 △BOD 的面积 S.0之间的关系正确的是(） S&BOD=2S△AOC B S△BoD=3S△A0C C.Saoo=4S△0c D.SABOD=5SA40C 6.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,BD=2,则△ADE与△ABC的面积比为 () D A.9:25 B.35 C.9:16 D.3:4 7。在平面直角坐标系中，△M1BC的项点A的坐标为2,3 ,若以原点O为位似中心，画 △ABC的位似图形△AB'C',使△A'B'C'与△ABC的相似比为2，则点A的坐标为() A B.(2,6) D.(2,6)或(-2，-6) &.如图，在四边形ABCD中，AD川BC,BC=3AD,过点A作AE‖DC交BC于点E, 将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E.B'A,B'E分别与直线DC交于M,N两点，则 △MB'N与△ABE的面积之比为(） D B A B c.4 D.8 二.填空题（每小题5分，满分20分） 9.如图，DE∥BC,AD:DB=1:3,S边cE=8 则s B 10.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC上的点，且DE‖AC,AE,CD交于点F, SABDE SADEC=2:5 SADEF SAAFC= 若 ,则 E 11.如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，连接AE并延长，交CD于点 G,交BC的延长线于点F,连接CE.给出下面四个结论： E G B C ①AE=CE: ②LECG=LF; ③AE2=EG·EF; ④若DE:BE=1:2,则EGGF=2:3」 上述结论中，正确结论的序号有」 12.如图， ∠1BD=∠CBE=90°，AB=BD,∠C4AB=∠E.若8E=I0.MD=4 ,则 AC DE的值为. 三.解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） AD 1 13.如图，在AABC中，DE∥BC,DB2,点F在BC边上，连接DF B (I)若△ADE的面积为1，求四边形BCED的面积； (2)若DF∥AC,BF=3,求DE的长度. 14.如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别为 (0,0),A(2,1),B(1,-2) A 4 45 > (1以原点O为位似中心，在'轴的右侧画出△01B的一个位似 OAB ,使它与△01B的位 似比为2：1： (2)画出将△OAB △O2A,B2 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的 OA,B△O2A,B2 (3)判断 和 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点 M的坐标. 15.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E, EF∥CB交BD于点F. A D B (I)求证：△ACE∽△BAC, ②若4C=而，CE=1,求EF的长。 I6.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为 F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G. A G E B (I)求证：△AFG∽aDFC; (2)若正方形ABCD的边长为4，AE=1,求⊙O的半径. 17.△ABC中，已知AB=20,AC=15,BC边上的高AD为12，AE是△ABC的外接圆的直径： (1)求BC的长： (2)求直径AE的长； (3)若一个正方形一边在AB边上，另两个顶点分别在AC和BC边上，求正方形的边长. 18.如图，正方形ABCD中，点M在BC边上，将△ABM沿AM翻折至△AHM处，延长 MH交CD边于点N,连接AN.对角线BD分别交AM,AN于E,F两点. D M (1)∠MAN= (2)求证：△AEF∽△AWM ③若E2N2,DF=2V2,求的K 参考答案 1.c 【详解】解：，线段c是线段a,b的比例中项，a=3,b=12, .c2=ab=3×12=36. 解得C=±6】 ,线段长度为正数， .c=6 2.B 【详解】解：，△ABC∽△DEF, ∠D=∠A=83° 3.A 【详解】解：1，B(2,1) .AB=1 ..CD=2 .CD:AB=2:1. :以原点O为位似中心，线段AB在第一象限内的位似图形为线段CD, 线段CD和线段AB的位似比为2：1. ·点C的坐标 为0x21x2）即2,2列 4.A a-b 3 【详解】解：a5 5(a-b)=3a 5a-5b=3a 2a=5b 0-5 .b2 5.D 【详解】解：设CD的长度是m, 矩形ABCD是黄金矩形，AD是30.86m, CD 5-1 x5-1 .AD2,即30.862，故①正确： AD 2 30.8625+1 CD5-1,即x5-12,故④正确： :四边形AEFB是正方形， :AE=EF =CD=xm, :.DE=AD-AE=(30.86-x)m 矩形CDEF是黄金矩形， DE5-1 30.86-xV5-1 .CD2,即x 2,故②正确： V5-1 …30.862, x30.86-x .30.86 x一，故③正确： 故选：D. 6.A 【详解】DE∥BC, △ADE一△ABC, AB AD=3.BD=2, AB=AD+BD=3+2=5, .S.oE 3 2 9 S。ABC 5 25 7.C 【详解】解：：以原点0为位似中心，△4B'C与△ABC的相似比为2，点A坐标为(2,3) ,位似图形有两种位置情况， ÷当△C与sC在筑点同时.高f内平标2✉引》 当△A'B'C与△ABC在原点异侧时，点A的坐标为) 2对对1别 3 点A的坐标为 2或 8.C 月 【详解】解：，AD:DB=1:3 ∴.AD:AB=1:4 DE∥BC, :.△ADE-△ABC .S.ABc ,S.ABc=S。ADE+S四边形DBCE 且四边形 BCE 的面积为8， S.4DE=1 .S4DE+816 8 .S.4DE=15 10.4:49 【详解】解：5 D=2:5 .BE:CE=2:5 .BE:BC=2:7, DE∥AC, ∴.△BDEP△BCA,△DEFACAF .DE:AC=BE:BC=2:7, 则5e:Sc=2:72=4:49 11.①②③ 【详解】解：~四边形ABCD是正方形， ∠ADE=∠CDE=)∠ADC=45 ，AD=CD,ADIBC· 在△ADE和△CDE中， AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE ∴.△ADE≌△CDE(SAS) ∴.AE=CE∠DAE=∠DCE① ,故正确： .△ADE≌ACDE(SAS) .∠DAE=∠ECG. ADI BC .∠DAE=∠F ·.∠ECG=∠F ② ,故正确； ADlI BC, .∠DAE=∠F, ∠DAE=∠DCE .∠DCE=∠F, .ZCEG=ZCEF ∴.△CEG∽△FEC, CE EG ∴EFCE CE2=EG.EF, .AE=CE, .AE2=EG·EF,故③正确： :四边形ABCD是正方形， .AB∥CD,AD∥BF」 ∴.∠BAE=∠GDE,∠ABE=∠DGE .∴AGDE∽△ABE :DE:BE=GE AE=1:2 .EG:AG=1:3 AD∥BF, ∴∠DAE=∠BFE,∠ADE=∠FBE,∠ADG=∠FCG △ADE∽△FBE :DE BE=AE EF=AD:BF=1:2 :BF =2AD. .BF=BC+CF,AD=BC. .AD=CF 在△ADG和△FCG中 ∠DAG=∠CFG AD=CF ∠ADG=∠FCG :∴.△ADG≌△FCG(SAS) ..AG=FG ..EG.GF=1:3 ④ ，故错误； 综上，正确的结论为①②③. 2 12. 【详解】解：∠ABD=90,AB=BD :∴△ABD是等腰直角三角形， AD=√AB2+BD2=V2AB AD=42 .AB=4, ∠ABD=∠CBE=90° 13.【详解】(1)解：，DE/BC ,∴.△ADEr△ABC, AD 1 :DB2' ADAD 1 :AB AD+DB 3' S.Ac S.ADE =1 S.A0C=9 S四边形8CED=SABC-SADE=9-1=8 (2)解：DElIBC,DF∥AC, ∴.四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=FC. .DF∥AC BF BD ∴.FCAD1 AD 1 DB2 BD 2 AD1' BF=3, 32 F0=i, 解得FC 2, ·DE=FC=3 △OAB 14.(1)解：如 为所求： y米 M A2 5-4-3-240 2 45 B 5 △O2A2B2 (2)解：如图 为所求： 6)△04B△0,4R, 和 是位似图形： 点M的坐标为42) 15.(1).AE⊥CD ∴.∠CEA=∠ACB=90° .∠ACE+∠CAE=90°，∠ACE+∠BCD=90° .∠CAE=∠BCD :∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， cD号8=0 .∠BCD=∠B! .∠CAE=∠B」 又，∠CEA=∠ACB」 ∴.△ACE∽ABAC (2)解：在RtACE中，根据勾股定理，得AB+EC=AC2,即AE2+1P=(可， .AE=3, 由(1)知：△ACE∽△BAC. .AC=CEE BA AC BC :o13 AB 10 BC, .BC=3V10,AB=10 :∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， D-号48=5 ..DE=CD-CE=4 :EF∥CB ∴.∠DEF=∠DCB,∠DFE=∠B ADEF一△DCB」 、EFDE BC-DC EF 4 “3W105, ..EF=12v10 5 16.(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°， ∠CDF+∠ADF=90°， :AF⊥DE, ∴.∠AFD=90° ∴.∠DAF+∠ADF=90° .∠DAF=∠CDF, ,四边形GFCD是OO的内接四边形， .∠FCD+∠DGF=180°， :∠FGA+∠DGF=180°， .∠FGA=∠FCD. ∴.△AFG∽△DFC (2)解：如图，连接CG .∠EAD=∠AFD=9O°，∠EDA=∠ADF G ∴.△EDAP△ADF, EA DA EA AF AF=DF,即DADF, ,△AFG∽△DFC, AG AF DC DF AG EA ·DCDA' 在正方形ABCD中，DA=DC, .AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3. CG=VGD'+DC=5 :∠CDG=90°， ∴.CG是⊙0的直径， ·⊙0的半径为2： 17.【详解】(1)解：①如图，锐角△ABC中，AB=20,AC=15,BC边上高AD=12, D 在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2=202-122=256, BD=16」 在RtaACD中，CD2=AC2-AD2=152-122=81, .CD=9. .BC的长为：BD+DC=16+9=25; ②钝角△ABC中，AB=20,AC=15,BC边上高AD=12, A 在RtAABD中，BD2=AB2-AD2=202-122=256, .BD=16 在RtaACD中，CD2=AC2-AD2=152-122=81. ..CD=9. .BC的长为BD-DC=16-9=7, .BC的长为25或7； (2)解：①如图，锐角△ABC中， E 图1 :AE是△ABC的外接圆的直径， .∠ADC=∠ABE=90° ∠C=∠E. .△ABE∽△ADC, AE AB AC AD AE 20 即1512' .AE=25: ②如图2，钝角△ABC中， 图2 :∠D=∠ABE=90°，∠ACD=∠AEB AE AB :.AC AD' AE 20 即1512， .AE=25: (3)解：①如图3， C F E G 图3 AB=20,BC=25,AC=15」 :'AB2+AC2=BC2, .∠A=90° :四边形AEFG是正方形， .设EF=x,则AG=EF=FG=x, ,FG∥AC, .△BFG∽ABCA」 FG BG x 20-x ·AC=AB,即15=20， 60 ..s 7: ②如图4，过C作CM⊥AB于M, E H MG B 图4 :AB=20,AC=15,BC=7 :EFI‖HG .CN⊥EF, :BC边上的高AD=12, CM=12x721 205’ 、四边形AEFG是正方形， ,设EF=x,则EH=EF=NM=x, ,△CEF∽△CAB, 21 -x 5 .EF_CW,即20=21， AB CM :ts420 121, 60420 “正方形的边长为7或121· 18.【详解】(1)解：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABM=∠ADN=∠BAD=90°. 由翻折的性质可得：AB=AH,∠BAM=∠HAM,∠ABM=∠AHM=90°， ∴.AD=AH,∠AHN=180°-∠AHM=90°， ,在Rt△AHN与Rt△ADN中， AN=AN AH=AD 、Rt△AHN≌Rt△ADN(HL) .∠DAN=∠HAW, ∴2HN-D.∠HM=BMH, &∠MAN=∠MN+∠MM-(☑AD+∠BA)-BAD=45e. (2)证明：：四边形ABCD是正方形， :∠EBM=号∠ABC=)x90=450 2 2 由(1)得：∠EAF=45°、 ∴.在△AEF和△BEM中，∠EAF=∠EBM=45°，∠AEF=∠BEM, ∴.∠AFE=∠BME, 由翻折知∠BME=∠AMN, ∴.∠AFE=∠AMN .∠EAF=∠NAM, .△AEF∽△AWM (3)解：如图，将△ADF绕点A旋转至△ABO,使AD与AB重合，连接EO, A B M :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADF=∠ABE=45°， 由旋转的性质可得：AF=A0,DF=BQ,∠ADF=∠ABQ=45°，∠DAF=∠QAB, 由(1)得，∠EAF=45°」 .∠DAF+∠BAE=45°， ∠QAB+∠BAE=45°，即∠0AE=45° 在△AEO与△AEF中 AO=AF ∠QAE=∠EAF AE=AE ,△AEO≌△AEF(SAS) ..OE=FE. :∠ABQ=∠ADF=∠ABE=45° .∠QBE=90° EO2=BE2+BO2 r=0-5 :BD=EF+BE+DF=2W2+2+2=6N2, DE-DF+EFF-E+EF- AB2+AD2=BD2=72,AB=AD, .'AB=AD=6. ,四边形ABCD是正方形， .BC=AD=CD=AB=6 ,在正方形ABCD中，AD‖BC, ∴.△ADE∽△MBE, AD DE 6_42 .MBBE,即MB2√2， .BM=3 .CM=BC-BM=3, :在正方形ABCD中，AB∥DC, .△ABF∽aNDF, 6 ·ABBF,即DN3V2· DN DF .DN=2 ∴.CN=CD-DN=4 :MW=VCM2+CW2=v32+4=5