第一章二次函数暑假预习单元检测卷（一）2026—2027学年九年级数学上册浙教版

**基本信息** 聚焦二次函数概念、图像性质及应用的系统性检测，通过基础辨析、图像分析、实际应用及综合拓展，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2题|二次函数定义及表达式判断|从定义出发，建立系数与函数类型的关联| |图像性质|选择3-8题、填空9-12题|图像与系数关系、对称轴、单调性、最值分析|通过图像直观理解性质，构建“图像-性质-系数”逻辑链| |综合应用|解答13-18题|解析式求解、销售利润、几何综合、新定义问题|从代数求解到实际建模，再到跨知识综合，体现应用意识与推理能力|

第一章二次函数暑假预习单元检测卷（一）浙教版2026—2027学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 4．如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．由二次函数可知（   ） A．其图象的对称轴为直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．其最小值为2 D．抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位可得抛物线 6．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．抛物线开口向上 D．函数的最小值是1 7．已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 8．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线．下列四个结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中结论正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 10．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 11．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 12．已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线． (1)求抛物线表达式； (2)已知，在该抛物线上，且， ①若，对于，都有，求的取值范围； ②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值． 14．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 15．综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．该茶外形微卷，状似雀舌，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克） (1)设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与，与之间的函数表达式； (2)若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大； (3)若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 16．已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 17．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 18．定义：对于二次函数（其中、、为常数，且 ， ），我们把一次函数 叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数 的“关联函数”为： (1)二次函数 ，求该二次函数的“关联函数”的解析式； (2)设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图象为，与相交于、两点（点在点的右侧）．若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当 时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9． 10．/ 11．或 12．②⑤⑥ 13．【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①设关于对称轴直线的对称点为， ∴， 解得：， ∴关于对称轴直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，对于，都有， ∴， 解得：； ②∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在内，抛物线在取得最大值， 即最大时，， ∵的最大值为2， ∴最大时，， 解得：， 当时，解得（舍去）或． 即． 14．(1)如图，二次函数图象即为所求： （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 15．【详解】（1）解：根据题意设， 将代入得 解得 ∴. 设每天获取的利润为元，每千克成本为60元， ∴. （2）解：由（1）， 该茶叶的日销量不低于80千克 ∴， ∴， 每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， ∴， ∴， ∴， ∵， 抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，每天获取的利润最大， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； （3）解：由题意，令， ∴， ∵，且， ∴开口向下， 当时，． 16．【详解】（1）解：①由对称轴是直线可知：， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 由①可知：二次函数的表达式为，且，两点在该函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由可知：顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， 令，则有， ∴此函数的对称轴为直线， ∵当时，都有，即当时，都有， ∴当时，都有， 则可分：①当时，则需满足时，，即即可， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； ②当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴； ③当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； 综上所述：k的取值范围为． 17．【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由抛物线的对称性可知点与点关于抛物线的对称轴对称， 设与抛物线对称轴的交点为，连接，此时最小，即最小值，如图， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点与点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ． （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ， 设点的坐标为， ， ， 分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若，则，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为； ②若，则，解得， 所以点 P 的坐标为或； ii）当是以为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是或或或． 18．【详解】（1）解：∵二次函数， ， 该二次函数的“关联函数”为 ． （2）根据题意，由二次函数与它的“关联函数”组成的新函数w如图所示： ， ， ， ∴开口向下， ， ∴当时，取得最小值，最小值为0；当 时，取得最大值，最大值为4， ∵当 时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化， ∴当的最大值为4时，符合题意， 则当时，即，解得， ， ， ， ∴当 时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，的取值范围是． $