3.3 一次函数的图象 第一课时 教学设计—2025-2026学年湘教版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦正比例函数的图象与性质，通过复习一次函数定义及函数三种表示方法，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究正比例函数图象的画法与性质。 以“探究—归纳—应用”为主线，学生自主经历列表描点连线培养几何直观（数学眼光），对比k值正负归纳增减性发展推理意识（数学思维），结合电梯运行实例强化模型意识（数学语言），助力学生掌握数形结合，提升教师教学效率。

3.3一次函数的图象（第一课时） 教学设计 课题 一次函数的图象（1） 单元 第3章 学科 数学 年级 八下 教材分析 由于正比例函数的解析式是y=kx(k≠0)，但是函数的表示方法还有列表法、图象法，因此正比例函数可以通过列表、画图的方法来研究其性质，而性质的核心是其增减性与系数k的符号之间的关系.在其性质研究中，通过多种表达式作图体现由特殊到一般的认知过程，蕴含了数形结合的思想、分类讨论的思想和观察、类比、归纳等数学认知活动. 核心素养 能力培养 1.通过探究活动让学生学会画正比例函数的图象，掌握“两点法”画函数图象的简便方法. 2.通过思考活动教学让学生能根据正比例函数的图象和表达式y=kx(k≠0)理解当k>0和k<0时，图象的变化情况，从而理解正比例函数的增减性，体会“分类讨论”的数学思想. 3.通过例题学习、课堂练习巩固正比例函数的图象与性质，学生学会有意识地用数学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律. 教学目标 1.会画正比例函数的图象，掌握“两点法”画函数图象的简便方法. 2.能根据正比例函数的图象和表达式y=kx(k≠0)理解当k>0和k<0时，图象的变化情况，从而理解正比例函数的增减性，体会“分类讨论”的数学思想. 3.学会有意识地用数学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律. 教学重点 会画正比例函数的图象，掌握“两点法”画函数图象的简便方法. 教学难点 学会有意识地用数学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 1.什么叫一次函数？ 一般地，形如 y = kx+b（k， b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数. 特别地，当b=0，一次函数y=kx (k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 正比例函数是特殊的一次函数 2.函数有哪些表示方法？它们之间有什么关系？ 图象法、列表法、公式法 三种方法可以相互转化 我们知道正比例函数用公式法可以表示为y=kx (k为常数，k≠0)，我们还能通过另外两种方法来研究一次函数吗？ 教师出示问题，学生主动积极思考并回答. 适合学生的学习习惯，让学生在温习旧知识的过程中体会旧知与新知之间的联系，活动思维，为后面的学习做准备. 新知探究 探究 如何画正比例函数y = 2x的图象？ 列表：在自变量的取值范围内，取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，列成表格. 下表是正比例函数y = 2x中y与x的几组对应值. 描点：建立平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点. 例如，根据上表中的每组对应值，在平面直角坐标系中描出对应的点，可得图3. 3-1. 连线：观察描出的这些点的分布，猜测函数的图象，然后用平滑的线连接各点. 例如，由图3. 3-1可猜测y = 2x的图象是一条经过原点的直线. 数学上已经证明这个猜测是正确的. 因此，用一条直线将平面直角坐标系中的这些点连接，即可得到y = 2x的图象，如图3. 3-2所示. 归纳：一般地，正比例函数y = kx的图象是一条经过原点O的直线. 根据“两点确定一条直线”，要画正比例函数的图象，只需描出图象上的 两个点即可. 又由于正比例函数的图象经过原点O，因此，只要再描出图象上 的一个点，然后过这点和原点就可作出这条直线 . 通常把这条直线叫作“直线y = kx”. 例题讲解 例1 画出正比例函数y =-2x的图象. 解 函数y =-2x 的图象经过原点O. 当x = 1时，y =-2. 在平面直角坐标系中描出点 A(1，- 2)， 过原点O和点A作直线， 则这条直线是 y =-2x 的图象，如图3. 3-3所示 思考 （1） 观察图 3. 3-2 中 y = 2x 的图象，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值y如何变化？ 解：由图 3. 3-2 可知，对于 y = 2x，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值y由小变大. （2） 观察图3. 3-3中y =-2x的图象，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y如何变化？ 解：由图 3. 3-3 可知，对于 y =-2x，当自变量 x 的取值由小变大时，对 应的函数值y由大变小 （3） 一般地，对于正比例函数y = kx，其图象应该经过哪些象限？函数值随自变量如何变化？ 解：对于正比例函数y = kx，当k > 0 时，若x > 0，则y = kx > 0；若x < 0，则y = kx < 0. 归纳：于是，当k > 0时，点P(x，kx)(x ≠ 0)在第一、三象限. 因此，直线 y = kx(k > 0)经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值 y 随x取值的增 大而增大，如图3. 3-4所示. 解：当k < 0时，若x > 0，则y = kx < 0；若x < 0，则y = kx > 0. 归纳：于是，当k < 0时，点P(x，kx)(x ≠ 0)在第二、四象限. 因此，直线 y = kx(k < 0)经过第二、四象限 且从左向右下降，即函数值 y随x取值的增 大而减小，如图3. 3-5所示. 拓展探究 观察图象讨论： （1）函数y=x与y=3x，随着x的增大，k的值对函数图象有什么影响？ k为正时，k越大，y随x增加得越快 （2）函数y= - x与y=-4x，随着x的增大，k的值对函数图象有什么影响？ k为负时，k越小，y随x减小得越快 归纳：|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴. 例题讲解 例2某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3 m/s的速度匀速上升，运行总高度为300 m. （1） 求电梯运行高度h(m)随运行时间t(s)而变化的函数表达式； （2） 画出这个函数的图象. 解 （1） 由路程=速度×时间可知，h = 3t，0 ≤ t≤ 100. （2） 当t= 0时，h = 0；当t= 100时，h = 300. 在平面直角坐标系中描出点 A(100，300)，再过原点和点A作线段OA，则线段OA即为函数h = 3t（0≤ t≤ 100）的图象，如图3. 3-6所示. 强调：做匀速运动（即速度保持不变）的物体，路程与时间的函数图象一般是一条线段. 学生在教师的引导下，经历列表、描点，独立思考完成作图. 教师引导学生仔细观察函数图象，正确回答问题，并总结归纳，得出结论. 学生独立画图，分享画法. 让学生观察、分析、讨论、对比图象的异同，发现函数图象的性质. 学生观察、分析、讨论、对比图象的异同，发现规律，总结结论. 学生在独立思考的基础上讨论解答．教师注意强调. 锻炼学生的作图能力，通过学生自主作图，提升课堂参与感，让学生直观地感受到正比例函数图象的特征，培养自主学习和观察能力. 锻炼学生的语言归纳能力，在归纳中，感受两点法作正比例函数图象的优越性. 体会画图的捷径，重塑复杂问题简单化的意识. 学生结合图象分组讨论，最终由教师总结出正比例函数的性质．并提醒学生注意区分正比例和正比例函数的概念：在正比例中一个量随另一种量的增大而增大，而在正比例函数中y还可能随着x的增大而减小，正比例函数的增或减是由比例系数k的正负决定的. 考察学生的观察能力，培养数形结合思想. 考查学生的掌握情况，加深对正比例函数的性质的理解，培养数学思维. 课堂练习 1.画出正比例函数y=−x，y=3x的图象，并分别指出其经过哪些象限. 解：图象如图所示： 第一个函数的图象经过第二、四象限； 第二个函数的图象经过第一、三象限. 2.已知矩形的长为6cm，宽为xcm. （1）求矩形的面积y(cm2)随宽x(cm)而变化的函数表达式； （2）画出该函数的图象； （3）当x=3，4，5时，y是多少？ 解：（1）矩形的面积y(cm2)随宽x(cm) 而变化的函数表达式是：y=6x. （2）函数的图象如图： （3）当x=3时，y=18；当x=4时，y=24；当x=5时，y=30. 所有学生动手做，认真审题，仔细作答，教师引导学生积极思考，找代表学生上黑板做，然后讲解. 巩固练习，及时反馈学生学习效果；通过练习，让学生熟练掌握正比例函数图象的做法，明确正比例函数的一般特征. 课堂小结 1.正比例函数图象的画法 两点法：描出图象上的两个点如(0，0)，(1 ，k)， 然后过这两点作一条直线即可. 2.正比例函数图象的性质 正比例函数是直线，图象一定过原点. k的正负是关键，决定直线的象限. k正经过一三限，y随x增大而增大. k负经过二四限，y随x增大而减小. |k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴. 学生和老师对本节课的知识点做梳理. 对本节课的知识点进行总结，使学生在头脑中的知识得到强化和提炼. 课后练习 1. 必做题：教材P102页习题——学而时习之 2. 选做题：教材P103页习题——温故而知新 让学生独立完成作业，进行自我检测. 通过作业及时了解学生对正比例函数的图象和性质的掌握情况，调整下一步教学. www.21cnjy.cOm 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $