3.4用待定系数法确定一次函数表达式 教学设计-2025-2026学年八年级数学下册（湘教版）

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 八年级下册第三章3.4《用待定系数法确定一次函数表达式 》教学设计 （注：标题采用四号宋体，正文采用五号宋体，1.5 倍行距。模板可根据需求稍微调整） 课程基本信息 主备人 唐倩 课型 新授课 学科 数学 年级 八年级 学段 初中 版本章节 湘教版3.4 教学目标 1.理解待定系数法的数学原理；掌握已知两点坐标求一次函数表达式的方法步骤；能准确求出一次函数的表达式 y=kx+b（k≠0）。 2.经历“设—代—求—写”的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想（逻辑推理），通过图象与代数式的对应分析，提升数形结合能力（直观想象）能将实际问题转化为数学模型，体会函数建模的基本流程（数学建模） 3.体会待定系数法以少胜多的简洁美，感悟数学方法的魅力，在解决实际问题中感受数学的实用性，增强学习数学的兴趣，通过AI辅助探究，激发对信息技术与数学融合的好奇心。 教学重难点 重点：待定系数法确定一次函数表达式的方法步骤：设—代—求—写； 难点： 1. 理解“两点确定一次函数”的数学本质——直线由两点唯一确定 2. 理解待定系数法“以未知代换未知”的方程思想 3. 灵活运用：已知不是两点时，能转化为两点问题 学情分析 【已有知识基础】 1.已掌握一次函数的概念、图象与性质（正比例函数y=kx、一次函数y=kx+b） 2.能用描点法画一次函数图象，具备“两点确定一条直线”的几何直观 3.已学习二元一次方程组的解法，具备解方程组的运算基础 【认知障碍分析】 1.方程思想与函数思想的结合：需要学生从“求函数”的角度重新理解方程组的意义 2.从具体到抽象的跨越：从具体两点坐标到一般参数k、b的符号化过程 3.理解“待定”的含义：用未知数表示待求的系数，再通过条件确定这些未知数 【学习风格特点】 八年级学生好奇心强，对信息技术辅助学习有较高兴趣，喜欢动手操作，对动态几何软件有较强的探究欲望，形象思维仍占优势，需要借助数形结合降低认知难度。 教学准备 多媒体课件（PPT）、 AI对话助手（如文心一言、通义千问等）用于生成情境素材和动态演示、几何画板或GeoGebra：动态演示一次函数图象的生成过程、学习任务单（含预习题、探究题、分层练习） 教学过程 环节 教师活动 学生活动 设计意图 环节一：情景导入 【PPT展示】 呈现共享单车计费情境：前2分钟免费之后每分钟0.1元 提问：如何用函数描述费用与骑行时间的关系？ 观察情境，思考问题。 【AI赋能】如学生有困难，可向AI助手提问：“共享单车费用如何用函数表示？” 从真实情境出发，激发学习兴趣，引入函数模型。 【AI赋能】AI生成的生活化情境更具真实感，降低理解门槛。 追问：已知(0,0)和(10,1)两点，如何确定这个函数表达式？ （提示：代入y=kx尝试） 思考后发现：代入(0,0)得到0=k·0，k无法确定。 意识到需要更多条件。 制造认知冲突，引出“为什么两点能确定函数”的核心问题。 环节二：探究新知 【问题引导】 已知一次函数f(x)=kx+b(k≠0)，若f(1)=3，f(3)=7，求k和b的值。 独立思考，尝试用方程思想解决问题： 代入得方程组： k+b=3 3k+b=7 解得k=2，b=1 让学生经历“设—代—求—写”的完整过程，体会方程思想。 【追问】 为什么两个条件就能确定k和b？ 【几何画板演示】 动态展示：任意拖动一次函数图象，两个定点始终唯一确定一条直线。 【AI赋能探究】 学生打开AI助手，输入：“验证：若一次函数经过(1,3)和(3,7)，求表达式”观察AI返回结果，验证自己的解答。 数形结合：几何直观（两点确定直线）与代数证明（方程组唯一解）相结合。 【AI赋能】AI即时验证，让学生获得成就感，同时培养使用工具验证的习惯。 【归纳总结】 引导学生总结待定系数法的步骤： ①设：设一次函数为y=kx+b（k≠0） ②代：将两点坐标代入 ③求：解二元一次方程组 ④写：写出函数表达式 【小组讨论】 完善步骤，与同桌交流为什么步骤①要注明k≠0？ 从具体到抽象，归纳出一般方法，培养逻辑推理能力。注明k≠0体现数学的严谨性。 环节三：典型例题 【例题】 已知一次函数的图象经过点A(2,1)和B(4,5)，求这个一次函数的表达式。 【规范板书示范】 解：设一次函数为y=kx+b（k≠0） 代入A(2,1)：2k+b=1 ……① 代入B(4,5)：4k+b=5 ……② ②-①：2k=4，∴k=2 代入①：2×2+b=1，∴b=-3 ∴y=2x-3 【跟随练习】 在练习本上按照“设—代—求—写”四步完成解答。 【互评互改】 与同桌交换练习本，对照教师板书进行评价。 通过规范示范，让学生掌握标准解题步骤。互评环节培养学生的批判性思维和表达能力。 【变式追问】 ① 如果已知的是函数与坐标轴的交点呢？ ② 如果告诉的是函数图象上两点但坐标含参呢？ 【AI生成变式】 使用AI助手生成2道变式题供课堂使用。 【思考拓展】 尝试将问题①转化为“两点”问题。 【AI赋能】 利用AI生成的变式题进行练习，体验不同题型的解法。 一题多变，培养学生灵活运用方法的能力。 【AI赋能】AI快速生成高质量变式题，减轻教师备课负担，实现个性化练习。 环节四：巩固练习 【分层任务】 基础层：已知两点直接求表达式 提升层：结合实际情境建模 拓展层：开放探究题 【AI辅助】 使用AI系统实时分析学生答题数据，推送个性化练习。 【分层挑战】 A层：完成基础练习 B层：挑战提升题 C层：探究拓展题 【AI赋能】 完成后向AI助手提问：“我的解题过程正确吗？”获取即时反馈。 分层练习满足不同层次学生需求。 【AI赋能】AI即时反馈，实现精准个性化辅导，减轻教师批改压力。 【巡视指导】 关注学生解题规范性： 是否正确设函数形式 是否注明k≠0 解方程组是否正确 答案是否完整 【错题反思】 整理典型错误，准备课堂展示。 【错误资源化】 拍摄典型错例上传班级群供讨论。 及时发现问题，将错误转化为教学资源，培养学生的元认知能力。 环节五：课堂小结与拓展 【知识回顾】 ① 待定系数法的核心思想是什么？ ② “设—代—求—写”四步法的关键是什么？ ③ 本节课涉及哪些核心素养？ 【布置拓展】 思考：待定系数法还能求哪些函数表达式？ 【知识梳理】 完成课堂小结： 方法：设→代→求→写 思想：以少胜多 核心：两点确定函数 【课后探索】 尝试用待定系数法求二次函数表达式（预习） 培养学生自主归纳能力，建立知识框架。拓展思考为后续学习埋下伏笔。 【AI总结助手】 展示AI生成的本节课知识图谱，帮助学生建立知识联系。 【AI体验】 观看AI生成的知识图谱，思考各知识点之间的联系。 【AI赋能】可视化呈现知识结构，帮助学生形成完整的认知体系。 板书设计 用待定系数法确定一次函数表达式 【左栏：概念与步骤】 一、待定系数法 定义：根据已知条件，建立关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数，从而确定函数表达式的方法。 二、方法步骤 ① 设：设一次函数为 y = kx + b（k≠0） ② 代：将已知点的坐标代入 ③ 求：解二元一次方程组 ④ 写：写出函数表达式 三、核心思想 以少胜多：用两个条件确定两个未知数 【右栏：例题与几何意义】 例题：已知一次函数图象经过A(2,1)和B(4,5)，求表达式。 解：设 y = kx + b（k≠0） 代入A(2,1)：2k + b = 1 ……① 代入B(4,5)：4k + b = 5 ……② ②-①：2k = 4，∴ k = 2 代入①：4 + b = 1，∴ b = -3 ∴ y = 2x - 3 几何意义： 一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，因此两个条件（两个点）可以唯一确定一个一次函数。 核心素养落地： 数学抽象：具体→一般 逻辑推理：条件→结论 数形结合：图象↔代数 教学反思 本节课围绕“设—代—求—写”四步法展开，整体教学目标基本达成，但也暴露出一些值得改进的问题。 在目标达成方面，约85%的学生能完成已知两点坐标求表达式的基础题，但当问题变为表格、图像或点斜关系时，部分学生出现机械套用现象，说明灵活运用能力仍需加强。核心素养的落实体现在“两点确定一次函数”的本质理解上，我通过动态演示直线旋转汇聚的过程，多数学生能直观感受“确定”的含义，但学困生在数形互转中仍有困难。 AI赋能尝试让学生用工具验证自编问题和生成变式题，学生热情较高，主动追问“为什么我的k算错了”，但也有部分学生仅将AI当作对答案的工具，后续需设计对比分析任务。分层练习中，提高层学生创意丰富，而基础层约三分之一学生在“代”入步骤卡壳，主要障碍是解含分数系数的方程组，说明前置技能补差需同步跟进。 课堂生成资源被有效利用——将学生典型的符号错误作为“大家来找茬”素材，在辨析中加深理解；有学生提出“只有一个点能否确定函数”，自然引出“需要两个条件”的必要性。时间分配上，探究“两点确定直线”耗时过长（约12分钟），挤压了变式练习反馈。更好方案是将该活动前置为预习任务。情境引入可考虑APP跑步数据或声音传播距离等跨学科问题，更具时代感。AI下一步可让学生互评错误案例，从“答案提供者”转变为“思维挑战者”。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $