专题16角的度量.运算与余补角暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题16角的度量.运算与余补角暑假预习讲义 1.牢记角的定义，熟练掌握角的多种规范表示方法，掌握度、分、秒六十进制换算，能够完成角度之间的单位换算与基础度量计算。 2.学会叠合法、度量法两种方式比较角的大小，可以清晰区分锐角、直角、钝角、平角、周角，并熟记各类角的度数范围。 3.理解角的和、差意义，能够借助图形列式计算角度的和与差，看懂角平分线概念，会利用角平分线性质推导相等角度。 4.熟记余角、补角定义，掌握互余、互补的度数关系；牢牢记住同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等两条核心性质，并可以运用性质解题计算。 5.能够结合几何图形，梳理角度之间数量关系，完成综合性角度计算题，规范书写几何简单推理步骤。 6.梳理做题常见易错问题：度分秒换算进制混淆；分不清余角和补角的度数差值；审题遗漏图形隐藏角度条件；角度计算符号、加减运算出错。 7.逐步建立几何识图能力与简单推理思维，养成严谨规范的书写习惯，为后续相交线、平行线内容学习筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的度量与单位换算 5.比较角的大小 6.角平分线 7.角的四则运算 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.钟面角 5..角的单位与角度制 6.角度的四则运算 7.方向角的表示 8.与方向角有关的计算题 9.角的比较 10.角的度数大小比较 11.三角板中角度计算问题 12.几何图形中角度计算问题 13.实际问题中角度计算问题 14.角平分线的有关计算 15.角n等分线的有关计算 16.求一个角的余角 17.求一个角的补角 18.与余角.补角有关的计算 19.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题8题 知识点 01 角的两种定义 1.静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形。 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2.动态定义：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。 起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。 3.特殊角（旋转生成） 平角：射线旋转至和始边成一条直线，平角=180 周角：射线旋转一周回到起始位置，周角=360 ⚠️注意：平角不是直线，周角不是射线，角必须包含顶点与两条边。 知识点 02 角的四种表示方法 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另外两个字母不分顺序。 如图（1）中的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC。 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母；当两个或两个以上的角共用同一个顶点时，不能用这种方法表示其中任意一个角。如图 (2) 中的∠EBC也可以表示为∠B，∠ADC也可以表示为 ∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边标注数字。如图（2）中的∠EAF也可以表示为∠1，∠ECD （∠FCD）也可以表示为∠2。 4.用一个小写希腊字母等来表示 这种方法和用数字表示角的方法类似，同样需要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母。如图（3）中的∠AOB也可以表示为∠。 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点 04角的度量与单位换算 角度单位：度、分'、秒'' ，60 进制 1=60'，1'=60'' 拓展：1=3600'' 换算两类题型： 1 高级单位→低级单位：乘 60； ② 低级单位→高级单位：除以 60。 知识点05：角的大小比较 1.度量法：用量角器测出角度数值，数值越大，角越大； 2.叠合法（几何标准方法） ① 顶点重合；② 一条边重合；③ 另一条边落在同侧，观察另一边位置： 另一边在内部→角更小；另一边在外部→角更大。 ⚠️核心结论：角的大小只与两条边张开程度有关，与边的长短无关（角的边是射线，可以无限延长）。 知识点06：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图所示，OC 是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC， ∠AOC= ∠BOC =∠AOB。 知识点07：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点08：余角与补角 1.余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 2.同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 3.余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点09：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 角的定义理解 认为延长射线能改变角大小；平角是直线 角大小只和张开幅度有关；平角有顶点，不是直线 角的表示 顶点多个角时只用单个字母表示；字母顺序乱写 多个角时禁止单用一个大写字母；顶点字母写中间 角度单位换算 使用 10 进制换算，1=10' 角度为 60 进制，满 60 进 1，不足借 1 当 60 角平分线几何语言 只会看图，不会规范书写推理式子 熟练写出 ∠AOC= ∠AOB倍数关系式 互余互补概念 认为互余的角必须挨在一起；钝角有余角 互余互补只看数量和，与位置无关；钝角没有余角 性质混淆 分不清 “同角” 和 “等角” 的余角、补角性质 同角：共用一个角；等角：角度相等的两个角，性质通用 角度运算 加减时分、秒计算不进位、不借位 度分秒分开运算，严格遵守 60 进制进退位 题型1.角的概念理解 【典例】下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【跟踪专练1】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 ___________个锐角． 【跟踪专练2】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称、、组成的图形为“角分图形”． 如图（1），当平分时，图（1）为角分图形． 如图（2），点O是直线上一点，，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为，小亮认为， 你认为正确的答案为（    ）    A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确 题型2.角的表示方法 【典例】如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【跟踪专练1】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 【跟踪专练2】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 题型3.角的分类 【典例】如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【跟踪专练1】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【跟踪专练2】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 题型4.钟面角 【典例】钟表上2点30分时，时针与分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【跟踪专练2】现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀，隐痛，发紧，僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解症状，则10点10分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 题型5.角的单位与角度制 【典例】若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】__________________； ______ 【跟踪专练2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 题型6.角度的四则运算 【典例】如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算：_______． 【跟踪专练2】下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 题型7.方向角的表示 【典例】白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（     ） A．A B．B C．C D．D 【跟踪专练1】如图，射线的方向是北偏东，，则射线的方向是_______．    【跟踪专练2】如图，，则点在点的（    ）方向 A．西偏南 B．南偏西 C．南偏西 D．西偏南 题型8.与方向角有关的计算题 【典例】如图，某港口O观测到货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向是南偏东______________________＇． 【跟踪专练2】如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型9.角的比较 【典例】如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则______．（填“”，“”或“”） 【跟踪专练2】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A．B． C． D．无法确定 题型10.角的度数大小比较 【典例】已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】比较大小：_________；若，， 则____________；若 ，，则 _____________（填“”、“”或“”号）． 【跟踪专练2】已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 题型11.三角板中角度计算问题 【典例】如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将三个相同的三角尺（内角分别为，，）的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____． 【跟踪专练2】如图，一副三角板（）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 题型12.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 【跟踪专练2】如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 题型13.实际问题中角度计算问题 【典例】将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【跟踪专练2】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 题型14.角平分线的有关计算 【典例】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，在灯塔O观测小岛B位于正西方向，同时小岛C在灯塔O的北偏东的方向，平分，那么________度． 【跟踪专练2】如图，是的平分线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型15.角n等分线的有关计算 【典例】射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【跟踪专练2】定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则___________； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为___________ 题型16.求一个角的余角 【典例】一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系：______； （2）设，用含的代数式表示：______． 【跟踪专练2】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某日太原市正午太阳光线与水平面的夹角为．若调整集热板角度，使光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型17.求一个角的补角 【典例】若，则的补角的大小是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则补角的度数为________．（用度分秒形式表示） 【跟踪专练2】一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   题型18.与余角.补角有关的计算 【典例】如果锐角的余角是，那么锐角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 题型19.同等角的余补角相等的应用 【典例】下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（   ） 已知：如图，直线，相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A．“”表示平角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“⊕”表示对顶角相等 D．“⊕”表示同角的余角相等 【跟踪专练1】如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【跟踪专练2】如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 解答题 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 3．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动，把一副三角尺按照不同方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到图2的位置，得到，当时，求的度数． 4．在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 5．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 6．如图，点A、O、B在一条直线上，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 7．如图，点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)若，写出图1中的余角：_____，的补角：_____； (2)如图2，是的平分线，是的平分线， ①若，求的度数； ②设，直接用含的代数式表示的度数． 8．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16角的度量.运算与余补角暑假预习讲义 1.牢记角的定义，熟练掌握角的多种规范表示方法，掌握度、分、秒六十进制换算，能够完成角度之间的单位换算与基础度量计算。 2.学会叠合法、度量法两种方式比较角的大小，可以清晰区分锐角、直角、钝角、平角、周角，并熟记各类角的度数范围。 3.理解角的和、差意义，能够借助图形列式计算角度的和与差，看懂角平分线概念，会利用角平分线性质推导相等角度。 4.熟记余角、补角定义，掌握互余、互补的度数关系；牢牢记住同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等两条核心性质，并可以运用性质解题计算。 5.能够结合几何图形，梳理角度之间数量关系，完成综合性角度计算题，规范书写几何简单推理步骤。 6.梳理做题常见易错问题：度分秒换算进制混淆；分不清余角和补角的度数差值；审题遗漏图形隐藏角度条件；角度计算符号、加减运算出错。 7.逐步建立几何识图能力与简单推理思维，养成严谨规范的书写习惯，为后续相交线、平行线内容学习筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的度量与单位换算 5.比较角的大小 6.角平分线 7.角的四则运算 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.钟面角 5..角的单位与角度制 6.角度的四则运算 7.方向角的表示 8.与方向角有关的计算题 9.角的比较 10.角的度数大小比较 11.三角板中角度计算问题 12.几何图形中角度计算问题 13.实际问题中角度计算问题 14.角平分线的有关计算 15.角n等分线的有关计算 16.求一个角的余角 17.求一个角的补角 18.与余角.补角有关的计算 19.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题8题 知识点 01 角的两种定义 1.静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形。 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2.动态定义：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。 起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。 3.特殊角（旋转生成） 平角：射线旋转至和始边成一条直线，平角=180 周角：射线旋转一周回到起始位置，周角=360 ⚠️注意：平角不是直线，周角不是射线，角必须包含顶点与两条边。 知识点 02 角的四种表示方法 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另外两个字母不分顺序。 如图（1）中的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC。 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母；当两个或两个以上的角共用同一个顶点时，不能用这种方法表示其中任意一个角。如图 (2) 中的∠EBC也可以表示为∠B，∠ADC也可以表示为 ∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边标注数字。如图（2）中的∠EAF也可以表示为∠1，∠ECD （∠FCD）也可以表示为∠2。 4.用一个小写希腊字母等来表示 这种方法和用数字表示角的方法类似，同样需要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母。如图（3）中的∠AOB也可以表示为∠。 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点 04角的度量与单位换算 角度单位：度、分'、秒'' ，60 进制 1=60'，1'=60'' 拓展：1=3600'' 换算两类题型： 1 高级单位→低级单位：乘 60； ② 低级单位→高级单位：除以 60。 知识点05：角的大小比较 1.度量法：用量角器测出角度数值，数值越大，角越大； 2.叠合法（几何标准方法） ① 顶点重合；② 一条边重合；③ 另一条边落在同侧，观察另一边位置： 另一边在内部→角更小；另一边在外部→角更大。 ⚠️核心结论：角的大小只与两条边张开程度有关，与边的长短无关（角的边是射线，可以无限延长）。 知识点06：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图所示，OC 是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC， ∠AOC= ∠BOC =∠AOB。 知识点07：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点08：余角与补角 1.余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 2.同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 3.余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点09：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 角的定义理解 认为延长射线能改变角大小；平角是直线 角大小只和张开幅度有关；平角有顶点，不是直线 角的表示 顶点多个角时只用单个字母表示；字母顺序乱写 多个角时禁止单用一个大写字母；顶点字母写中间 角度单位换算 使用 10 进制换算，1=10' 角度为 60 进制，满 60 进 1，不足借 1 当 60 角平分线几何语言 只会看图，不会规范书写推理式子 熟练写出 ∠AOC= ∠AOB倍数关系式 互余互补概念 认为互余的角必须挨在一起；钝角有余角 互余互补只看数量和，与位置无关；钝角没有余角 性质混淆 分不清 “同角” 和 “等角” 的余角、补角性质 同角：共用一个角；等角：角度相等的两个角，性质通用 角度运算 加减时分、秒计算不进位、不借位 度分秒分开运算，严格遵守 60 进制进退位 题型1.角的概念理解 【典例】下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【答案】C 【分析】本题考查角的定义，需根据角的静态与动态定义逐一判断各选项的正误，即可解题． 【详解】解：∵角的静态定义为有公共端点的两条射线组成的图形，动态定义为一条射线绕它的端点旋转而成的图形 ∴A选项中“有公共点”表述错误，应为“有公共端点”，故A错误，不符合题意． ∵角是由射线组成的，而非线段， ∴B选项错误，不符合题意． ∵C选项符合角的动态定义 ∴C选项正确，符合题意． ∵两条直线相交组成的图形包含四个角，不符合角的定义， ∴D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 ___________个锐角． 【答案】2043231 【分析】考查了角的概念，解决该题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画2020条不同的射线，可得锐角 故答案为：2043231． 【跟踪专练2】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称、、组成的图形为“角分图形”． 如图（1），当平分时，图（1）为角分图形． 如图（2），点O是直线上一点，，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为，小亮认为， 你认为正确的答案为（    ）    A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确 【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当平分时，当平分时，当平分时，当平分时，再列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当平分时， ∴， ∴， 解得：， 当平分时， ∴， ∴， 解得：， 当平分时， ∴， 解得：， 当平分时， ∴， 解得：． 综上：的值为：，，，； 故选D． 题型2.角的表示方法 【典例】如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 【跟踪专练1】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型3.角的分类 【典例】如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题． 【详解】解：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③． 【跟踪专练2】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 题型4.钟面角 【典例】钟表上2点30分时，时针与分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表盘有12个大格，共，则每一个大格为，当2点30分时，钟表的时针在2点与3点的中间，分针在6点处，共3.5个大格，列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，2点30分，钟表的时针与分针所夹的角度为：． 【跟踪专练1】3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． 【跟踪专练2】现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀，隐痛，发紧，僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解症状，则10点10分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了钟面角，解答此题要注意时针，分针都在移动，只是速度不一样． 由题意知，时针每小时走，10分钟走；分针每小时走，1分钟走；当10点整时，时针，分针的夹角是，当10点10分时，时针和分针的夹角，可用分针和时针的速度差加上即可求得． 【详解】解：当时间为10点整时，时针、分针的夹角是， 当10点10分时，时针走了，分针正好走了， 此时时针和分针的夹角是：， 故选：D． 题型5.角的单位与角度制 【典例】若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了度、分、秒的换算，熟练掌握角度单位之间的换算关系是解题的关键．本题考查度、分、秒的换算，利用的换算关系，将换算为分即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】__________________； ______ 【答案】 35 9 0 12.26 【分析】根据度分秒的进制，根据，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：35，9，0，12.26． 【跟踪专练2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 【答案】D 【分析】本题考查角度运算，涉及度与分的加减乘除，需注意进位和借位规则（），以及除法中的精确计算． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、（精确到分），故此选项正确，符合题意． 故选：D． 题型6.角度的四则运算 【典例】如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键； 先找出图中所有的锐角，然后利用锐角之和为列出方程，解方程即可． 【详解】解：图中的锐角有：，，，，，， ∵，且图中所有锐角之和为， ∴， 故， 故选：B． 【跟踪专练1】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据角的单位转化计算即可． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故A不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； C.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C不符合题意； D.∵， ∴， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 题型7.方向角的表示 【典例】白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（     ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】解：根据题意得： 若点为观测点，则在点的北偏东方向上，不符合题意； 若点为观测点，则在点的正北方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述． 因此，小宛的位置可能是点处． 【跟踪专练1】如图，射线的方向是北偏东，，则射线的方向是_______．    【答案】北偏西或南偏东． 【分析】本题考查了方位角的计算与表示，数形结合是解题的关键．分两种情况画图，再根据或即可求解． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴， ∴射线的方向是北偏西， 如图，    ∵，， ∴， ∴射线的方向是南偏东， 故答案为：北偏西或南偏东． 【跟踪专练2】如图，，则点在点的（    ）方向 A．西偏南 B．南偏西 C．南偏西 D．西偏南 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 根据方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意可知： ，， ∴， ∴点在点的南偏西， 故选：． 题型8.与方向角有关的计算题 【典例】如图，某港口O观测到货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向得到，，即可得到答案； 【详解】解：∵货轮A在北偏西方向，货轮B在南偏西方向， ∴，， ∴． 【跟踪专练1】如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向是南偏东______________________＇． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 根据方向角的定义得出，再根据平角的定义求出的大小即可． 【详解】如图所示， 是北偏东方向的一条射线， ， ， ， 则的方向是南偏东． 故答案为：；． 【跟踪专练2】如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把换成，结合图形，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：， ∴ ． 题型9.角的比较 【典例】如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 【跟踪专练1】如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 【跟踪专练2】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A．B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型10.角的度数大小比较 【典例】已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】比较大小：_________；若，， 则____________；若 ，，则 _____________（填“”、“”或“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，角的度数大小比较，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据“两个负数，绝对值大的反而小”可比较与的大小；统一单位后可比较与的大小；利用作差法可比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：，，． 【跟踪专练2】已知，，，则相等的两个角是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角的度数大小比较，以及角的单位换算，熟练掌握角的单位与角度制的换算是解答本题的关键．根据已知条件，将三个角的单位统一化成度，再比较找出相等的两个角，即可解题． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 题型11.三角板中角度计算问题 【典例】如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，将三个相同的三角尺（内角分别为，，）的一个顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】先分别表示和，再利用列出等式，代入已知角度求出． 【详解】解：如图， 据题意可知，，， ， ，即， ，， ， 解得． 【跟踪专练2】如图，一副三角板（）按图中的位置摆放时，恰有，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差关系和一元一次方程的应用．根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 根据图中三角板的角度得到，再根据，得到，继而得到． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型12.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】首先根据及 求出和的度数；然后根据射线的位置分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时；分别利用角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， 分两种情况讨论： ①当射线在的内部时， 平分 ②当射线在的外部时， 平分 综上所述，的度数为或． 【跟踪专练2】如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的倍数关系得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，继而得到． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型13.实际问题中角度计算问题 【典例】将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算等知识．由题意得，根据，即可求出． 【详解】解：如图， 由题意得， 因为， 所以． 故选：B 【跟踪专练1】如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 题型14.角平分线的有关计算 【典例】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，， ∴. 【跟踪专练1】如图所示，在灯塔O观测小岛B位于正西方向，同时小岛C在灯塔O的北偏东的方向，平分，那么________度． 【答案】 【分析】根据方向角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：由题意可知，小岛位于正西方向，小岛在灯塔的北偏东的方向 平分 【跟踪专练2】如图，是的平分线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、角的和差，关键是灵活应用知识点解题；先求出的度数，然后求出，则即可求出． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：A． 题型15.角n等分线的有关计算 【典例】射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角等分线的有关计算． 将进行五等分，即可得相邻两个等分射线所成角的度数． 【详解】解：∵射线是的五等分线，， ∴相邻两个等分射线所成角的度数为． 故选：A． 【跟踪专练1】已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 【跟踪专练2】定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则___________； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为___________ 【答案】 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，考查角的计算， （1）根据，则，由此可得出结论； （2）根据，是的三分线，且，可得，，据此可得的度数；然后分两种情况：当是的三分线，且时，；当是的三分线，且时，，分别求得的值； 解题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是的一条三分线，，且， ∴，， ∴， ∵将顺时针旋转（）得到， ∴， 分两种情况： 如图，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 如图2，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 综上所述，的值为或． 题型16.求一个角的余角 【典例】一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． 【跟踪专练1】如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系：______； （2）设，用含的代数式表示：______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某日太原市正午太阳光线与水平面的夹角为．若调整集热板角度，使光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角的性质，角度的实际应用，理解集热板与太阳光线垂直是解题关键． 根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 故选：． 题型17.求一个角的补角 【典例】若，则的补角的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补角的定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为补角，列式计算即可． 【详解】解：的补角的大小是． 【跟踪专练1】已知，则补角的度数为________．（用度分秒形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的补角“和为的两个角互为补角”，熟记补角的定义是解题关键．根据补角的定义计算即可得． 【详解】解：∵， ∴补角的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】一定能使等式“”成立的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据平角的定义判断即可． 【详解】根据平角的定义判定  中，符合题意，   中，不符合题意；   中，不符合题意；   中无法确定两个角的关系，不符合题意； 故选Ａ． 【点睛】本题考查了互补的定义，正确理解定义是解题的关键． 题型18.与余角.补角有关的计算 【典例】如果锐角的余角是，那么锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵锐角的余角是， ∴， 【跟踪专练1】如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】根据题意由的度数及求得的度数，结合利用角的和差关系求出，进而得到的度数，计算出的度数，最后根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的补角为． 【跟踪专练2】如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 题型19.同等角的余补角相等的应用 【典例】下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（   ） 已知：如图，直线，相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A．“”表示平角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“⊕”表示对顶角相等 D．“⊕”表示同角的余角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平角的定义，补角的性质，根据平角的定义和补角的性质解答即可． 【详解】解：因为，（平角的定义）， 所以（补角的性质）， 故选：A． 【跟踪专练1】如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ） A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解． 本题主要考查余角和补角，互为余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 【详解】∵， ∴， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴， 即与互余， 故B选项正确； ∵，， ∴， 即与互补， 故C选项正确； 无法判断与是否互余， 例如当时， ， ， 不互余， 故D选项错误； 故选：D． 解答题 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度、分、秒的四则运算． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：． （2）解：原式． 故答案为：． （3）解：原式． 故答案为：． （4）解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了度、分、秒的四则运算，解题关键是掌握度、分、秒的进制规则． 2．如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 【答案】的方向是北偏东 【分析】先求出，得到，求出，则的方向是北偏东，即可解答． 【详解】解：如图 ∵的方向是北偏东，的方向是西偏北， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东． 3．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动，把一副三角尺按照不同方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转__________，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到图2的位置，得到，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， ∴ 即至少旋转，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【分析】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【点睛】本题考查了台秤量程和指示盘转动度数之间的关系，利用量程和转动度数成正比是解题关键. 5．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 6．如图，点A、O、B在一条直线上，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据角平分线的定义可进行求解； （2）由题意可设，则，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴ （2）解：由可设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)若，写出图1中的余角：_____，的补角：_____； (2)如图2，是的平分线，是的平分线， ①若，求的度数； ②设，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)（或）；（或 (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余和互补的定义，结合已知以及平角解答即可； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②用表示出和，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， 又 ∵， ， ∴图1中的余角：（或），的补角：（或）； 故答案为：（或）；（或）； （2）解：①∵， ， ∵是的角平分线，是的角平分线， ， ； ②∵是的角平分线，是的角平分线， ， ． ∴， ， ． 8．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与互补或与互补，理由见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等及角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据互补的两个角和为，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有，； （2）解：与互补或与互补，理由如下： ∵点是直线上一点， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互补； ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴与互补； 综上，与互补或与互补． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $