专题25 余角和补角（2知识点+5大题型+3大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题25 余角和补角 （2知识点+5大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）若，则的余角的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，则它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的度数是 ． 知识点2：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 5．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 【题型1 求一个角的余角】 1．下列角中，可能与角互余的是（    ） A． B． C． D． 2．已知和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 5．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线平分，射线在的内部，且，写出图中所有互为余角的角．    【题型2 求一个角的补角】 6．若和的两边分别平行，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．不确定 7．下列选项中，一定能说明和互为补角的是（   ） A． B． C．和是对顶角 D． 8．已知的补角度数为，则的度数为 ． 9．若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少，求这个角． 10．如图，点是直线上任意一点，以为端点在直线的同侧依次画出射线、，与互补．    (1)若，则的度数为________； (2)若在外部，平分，，求的度数． 【题型3 余角、补角的辩证分析】 11．下列结论中不正确的个数是（   ） ①一个角的补角一定大于这个角 ②一个角的度数为，则这个角的补角的度数用度表示为 ③若，，那么 ④一个角的余角是这个角的倍，那么这个角是度 A．个 B．个 C．个 D．个 12．对于余角有下列三种说法：①角的余角的度数是；②互为余角的两个角不可能相等；③同角或等角的余角一定相等．其中正确的说法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 13．下列说法正确的是（   ） A．两个锐角一定互余 B．互余的两个角一定都是锐角 C．一个角的补角一定是钝角 D．一个锐角和一个钝角一定互补 14．如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④能表示补角的是 ．（填序号） 15．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有 个． 【题型4 与余角、补角有关的计算】 16．如图，，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 18．如图，已知在直线上有一点，和互补． (1)是的角平分线吗？为什么？ (2)在（1）的基础上，若，以为边画，求的度数． 19．如图，在内部，若，与互余，求的度数． 20．请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以 °． 因为，所以 °， 因为，所以______，所以 °， 因为 °，所以 ° °． 【题型5 同角的余角、补角相等的应用】 21．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 22．如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 23．如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起，其中和是直角．则可知，理由是 ． 24．数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 25．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)猜想与的大小关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 【拓展训练一 余角、补角计算综合】 26．如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 27．如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 28．如图，点A在直线上，过A作射线和，，是的角平分线，已知． 求： (1)的度数； (2)的度数． 29．如图，直线，相交于点，和互余，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 30．如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【拓展训练二 余角、补角的动角计算】 31．【实践操作】三角尺中的数学问题． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与之间的数量关系________； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，试猜想与的数量关系，并给出证明． (3)如图3，已知点O为直线上一点，在直线上方，，，在的内部，在直线下方，则________． 32．综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系． 已知点O是直线上一点，．现将直角三角尺的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋转． (1)如图1，落在直线上，若，求的度数． (2)将直角三角尺旋转至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． (3)将直角三角尺旋转至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含β的代数式表示） 33．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 34．综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 35．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【拓展训练三 利用余角、补角探索角度关系】 36．把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)如图1，若，求出的度数； (3)若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，写出和之间的数量关系，并说明理由． 37．如图，点为直线上一点，过点作射线，是直角三角形，，平分． (1)填空：与互为余角的角是_____； (2)延长至点，射线平分吗？为什么？ (3)将图中的绕点运动至图所示位置，在的内部．若，则，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 38．如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 39．如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (1)若，则______，______，______； (2)比较与的大小关系，并说明理由； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 40．如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 1．下列说法中正确的是（   ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．任何一个角都有补角 C．若，则互余 D．一个角如果有余角，那么这个角的补角与这个角的余角的差为 2．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点在直线上，过点作，射线在内，过点作，则下列结论错误的是（　　） A． B．与互为余角 C． D．与互为补角 5．如图，为直线上一点，，分别是，的角平分线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，射线的端点O在直线上，，点D在平面内，与互余，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论： ①与互余； ②与互补； ③； ④． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知一个角比它的余角的倍多，则这个角的度数为 ． 10．如果一个角是，那么它的余角的补角的度数为 ． 11．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 12．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则 ．    13．如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 14．如图，直线两两相交于点平分平分．点在直线上，且．则下列结论：①图中总共有9条线段：②：③与互为余角：④．正确的是 ．（填相应的序号） 15．如图，已知． (1)若，分别求的度数； (2)请思考：与互为补角吗？说明理由． 16．如图，直线与相交于点O，，． (1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） (2)如果比的小，求的度数． 17．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 18．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数是多少？ (2)找出图中除已知直角外的一对相等的角？ (3)若越来越小，则如何变化？ 19．如图1，直线经过点O，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，其它条件不变，求度数（用含  的式子表示）． 20．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，是直角三角形，，平分． (1)填空：与互为余角的角是 ； (2)延长至点F，射线平分吗？为什么？ (3)将图1中的绕点O运动至图2所示位置，在的内部．若，则与之间是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25 余角和补角 （2知识点+5大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）若，则的余角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角求解即可． 【详解】解：根据题意得，的余角的大小为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，则它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进位制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与补角有关的计算，度数之和为180度的两个角互补，设这个角的度数为，则这个角的补角的度数为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为；． 知识点2：余角和补角的性质 （1）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （2）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为，根据题意列出等式，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角，一元一次方程的应用，熟记“余角的和等于，补角的和等于”是解题的关键．设这个角的度数为，由一个角的余角比这个角的补角的小建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，由题意得： ， 解得：， ∴这个角的度数为． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知． (1)若，求的度数． (2)与互补吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)与互补，理由见解析 【分析】本题考考查了角度的几何计算，互补的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据求解即可； （2）由题意可得，再根据互补的定义判断即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：与互补，理由如下： ， ， ， 与互补． 【题型1 求一个角的余角】 1．下列角中，可能与角互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握互余的两个角的度数之和为． 根据互余的两个角的度数之和为结合图形可得出答案． 【详解】A．此角基本上等于，不可能与互余，故本选项错误． B．此角大于小于，可能与互余，故本选项正确； C．此角基本上等于，不可能与互余，故本选项错误； D．此角为钝角，不可能与互余，故本选项错误； 故选B． 2．已知和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了余角的性质．根据余角的性质直接解答． 【详解】∵和互余，， ∴． 故选：B． 3．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 【答案】35 【分析】本题考查平角的性质．由，计算可得结论． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：35． 5．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线平分，射线在的内部，且，写出图中所有互为余角的角．    【答案】与，与，与，与 【分析】利用余角的定义直接数出结果即可． 【详解】解：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中所有互为余角的角：与，与，与，与． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、平角及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键． 【题型2 求一个角的补角】 6．若和的两边分别平行，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的运算. 若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，据此求解即可. 【详解】∵若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， ∴或 ∴的值为或. 故选C. 7．下列选项中，一定能说明和互为补角的是（   ） A． B． C．和是对顶角 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了补角的定义．解答的关键是熟练掌握补角的定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角．根据补角的概念求解即可． 【详解】如果与互为补角，那么． 故选：D． 8．已知的补角度数为，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据互补的两个角的和为计算即可得解． 【详解】解：∵的补角度数为， ∴的度数为， 故答案为：． 9．若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少，求这个角． 【答案】这个角为． 【分析】设这个角为x，根据题意列出方程解出即可． 【详解】解：设这个角为x， 根据题意可得：， 解得． 答：这个角为． 【点睛】本题考查的是补角的概念，根据题意设出未知数，列出方程是解决此题的关键． 10．如图，点是直线上任意一点，以为端点在直线的同侧依次画出射线、，与互补．    (1)若，则的度数为________； (2)若在外部，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义： （1）根据度数之和为180度的两个角互为补角得到，则； （2）根据度数之和为180度的两个角互为补角得到，由角平分线的定义得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与互补， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3 余角、补角的辩证分析】 11．下列结论中不正确的个数是（   ） ①一个角的补角一定大于这个角 ②一个角的度数为，则这个角的补角的度数用度表示为 ③若，，那么 ④一个角的余角是这个角的倍，那么这个角是度 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是补角、余角的性质及角度单位的换算，解题关键是熟练掌握补角、余角的性质及角度单位的换算． 根据补角、余角的性质及角度单位的换算对结论进行逐一判断即可． 【详解】解：结论①：一个角的补角不一定大于这个角，当原角为直角时，补角等于原角；当原角为钝角时，补角为小于原角，因此结论①错误； 结论②：，，则补角为，结论②正确； 结论③：若，，由等量代换可知，和均为的余角，故，结论③正确； 结论④：余角是原角的倍，设原角为，余角为，则，解得,结论④正确； 综上，仅结论①错误，不正确的个数为个． 故选：． 12．对于余角有下列三种说法：①角的余角的度数是；②互为余角的两个角不可能相等；③同角或等角的余角一定相等．其中正确的说法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的定义和性质，根据余角的定义的性质一一判断即可． 【详解】解：①角的余角的度数是：，故①错误， ②当两个角都是时，它们互余且相等，故②错误， ③同角或等角的余角一定相等，故③正确， 故正确的说法有1种， 故选：A 13．下列说法正确的是（   ） A．两个锐角一定互余 B．互余的两个角一定都是锐角 C．一个角的补角一定是钝角 D．一个锐角和一个钝角一定互补 【答案】B 【分析】本题主要考查余补角的概念，正确理解概念是解题的关键．直接根据补角、余角的概念直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、两个锐角不一定互余，如，故A不符合题意； B、互余的两个角一定都是锐角，故B符合题意； C、一个角的补角不一定是钝角，如：的补角为是锐角；故C不符合题意； D、一个锐角和一个钝角不一定互补，如：，；故D不符合题意． 故选B． 14．如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④能表示补角的是 ．（填序号） 【答案】①④ 【分析】根据：“和为的两角互余，和为的两角互补”，进行求解即可． 题目主要考查余角和补角的计算，理解题意，进行等量代换是解题关键． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∴补角为：，故①正确； ，故④正确； ，故③错误； 无法得出②中结果， 综上：能表示补角的是①④； 故答案为：①④． 15．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键．根据余角的性质即可判断①；根据即可判断②；根据，，得出，即可判断③；根据角平分线定义得出，，求出，即可判断④． 【详解】解：∵和都是直角， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 若，则：， ∴，故③正确； 若平分，平分，   则：，， ∴；故④正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故答案为：4． 【题型4 与余角、补角有关的计算】 16．如图，，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、两角互余等知识点，先利用角平分线的定义求出的度数，再利用角的和差及互余关系求出度数． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴ ． 故选：C． 17．如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 18．如图，已知在直线上有一点，和互补． (1)是的角平分线吗？为什么？ (2)在（1）的基础上，若，以为边画，求的度数． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义、角的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据等角的补角相等可得，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得出,进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线 ∵和互补，即 又∵ ∴， ∴是的角平分线； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∵， 当在的内部时， ∴ 当在的内部时， ∴， 综上所述，或 19．如图，在内部，若，与互余，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互余，得到，根据角的和差关系，得到，再根据，进行求解即可． 【详解】解：因为与互余， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 20．请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以 °． 因为，所以 °， 因为，所以______，所以 °， 因为 °，所以 ° °． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据互余的定义得，因为，所以，再结合，即可作答． 【详解】解：因为与互余，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以． 故答案为：． 【题型5 同角的余角、补角相等的应用】 21．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 22．如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 【答案】A 【分析】本题考查的是余角的概念和性质，熟知同角的余角相等是解题关键． 根据余角的概念证明，即可得到答案． 【详解】解：， ， 既是的余角，又是的余角， ，其依据是同角的余角相等， 故选A． 23．如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起，其中和是直角．则可知，理由是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查了余角的概念，解题关键是掌握同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， （同角的余角相等）， 故答案为：同角的余角相等． 24．数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查等角或同角的余角相等．由图可得与互余，与互余，得到是运用“同角的余角相等”，据此可解答． 【详解】∵是刻度线， ∴， ∴与互余， ∵支杆垂直地面，是水平线， ∴， ∴与互余， 根据“同角的余角相等”可得． 故答案为：同角的余角相等． 25．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)猜想与的大小关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)的度数为； (3)的度数为． 【分析】（1）通过同角的余角相等，即可得出，（2）通过等量代换即可求解，（3）通过比例关系结合图形列式，即可求解，本题考查了同角或等角的余角相等，解题的关键是，熟练掌握同角或等角的余角相等的性质，并结合图形，并正确列式求解． 【详解】（1） 解：， 理由是：， ， ； （2）， ， ， 故答案为：的度数为； （3）， 设，则， ， ， ， 又， ，解得：， ， 故答案为：的度数为． 【拓展训练一 余角、补角计算综合】 26．如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1) (2)65° 【分析】此题主要考查了互为余角的定义，角平分线的定义，角度的计算，理解互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据互为余角的定义求出α的余角的度数即可； （2）依题意得画出图形，先求出，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：当时， α的余角的度数为：； （2）如图所示： ∵， ∴， ∵射线平分， ∴ 27．如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2) (3)与互余 【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键． （1）根据互为补角的和等于找出即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的定义解答； （3）根据角平分线的定义表示出与，然后整理即可得解． 【详解】（1）解：的补角为 故答案为： （2）解：， ， 平分， ； （3）解：与互余或， 证明：， ， 与互余． 28．如图，点A在直线上，过A作射线和，，是的角平分线，已知． 求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的有关计算． （1）利用补角的定义求出，再根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义即可求出． （2）根据求出，根据角的和差关系求出，最后再根据角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ 29．如图，直线，相交于点，和互余，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角和补角，角的计算，垂直的定义及一元一次方程的应用，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系． （1）根据余角的定义可得，由，得到，再根据平角的定义即可求出； （2）设，则，结合可求解x值，进而可求解的度数． 【详解】（1）解：∵和互余， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 30．如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的计算等知识． （1）根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义得出，再根据，可得出，，进而可得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【拓展训练二 余角、补角的动角计算】 31．【实践操作】三角尺中的数学问题． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与之间的数量关系________； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，试猜想与的数量关系，并给出证明． (3)如图3，已知点O为直线上一点，在直线上方，，，在的内部，在直线下方，则________． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【分析】本题考查了余角和补角，与三角板有关的角度求解，解决本题的关键是利用数形结合找出角之间的关系． （1）①根据三角板的角度特征表示出进而得出结果； ②由角度关系从而得出结果； （2）由角度的关系得出进而得出结果； （3）根据角度关系结合题意得到从而求出结果． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ； 当， ， ②． 故答案为：；；； （2）解：， 理由：， ， ； （3）解：，，在的内部， ， 故答案为：． 32．综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系． 已知点O是直线上一点，．现将直角三角尺的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋转． (1)如图1，落在直线上，若，求的度数． (2)将直角三角尺旋转至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． (3)将直角三角尺旋转至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含β的代数式表示） 【答案】(1) (2)和互补，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了余角与补角和角平分线． （1）先根据余角的定义和已知条件，求出，再根据求出答案即可； （2）先根据，，结合图形求出即可； （3）先根据，把用表示出来，再根据角平分线的定义证明，最后根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：和互补，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴和互补； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ． 33．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，见解析 (2)，见解析 (3)，当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小 (4)或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，等角的余角相等，熟练掌握图形中角的运算是解题的关键． （1）由，平分得，进而得，据此可得出结论； （2）由得，，然后根据同角的余角相等可得出结论； （3）由得，据此可得，进而可得当的值逐渐增大时，的度数的变化情况； （4）①当在的内部时，由得，据此可得与的关系； ②当在的外部时，由可得出与的关系． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 依题意得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：，理由如下： 依题意得：， ∴，， ∴． （3）解：依题意得：， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小． （4）解：或，理由如下： 依题意得：， ①当在的内部时，如图： ， ∴； ②当在的外部时，如图： ． 34．综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，互为余角和补角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）依题意得，，再根据可得出答案； （2）依题意得，，根据角平分线的定义得，再根据可得出答案； （3）设，则，根据，且和互补，得，再根据得，由此解出，进而可得的度数． 【详解】（1）解：依题意得：，， 和互余， ； （2）解：依题意得：，， 是的平分线， ， ； （3）解：设， ， ， ，且和互补， ， 又，， ， 解得：， ． 35．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒或秒． 【拓展训练三 利用余角、补角探索角度关系】 36．把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分． (1)如图1，若，则 ， ； (2)如图1，若，求出的度数； (3)若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据图形直观得出各个角之间的关系是解决问题的关键，等量代换起到非常重要的作用． （1）根据角平分线和互为余角的意义，可求出； （2）由（1）可求，再根据互为补角求出即可； （3）根据角平分线和互为余角的意义可得，再根据互为补角的意义得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：由（1）得：， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．如图，点为直线上一点，过点作射线，是直角三角形，，平分． (1)填空：与互为余角的角是_____； (2)延长至点，射线平分吗？为什么？ (3)将图中的绕点运动至图所示位置，在的内部．若，则，与之间是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 【答案】(1)，； (2)射线平分，理由见解析； (3)存在，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线定义，余角和补角定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平分，则，结合，可得与互余，进而与也互余，又，进而可以判断得解； （） 由，可得，，又平分，故，从而，又，，则，进而可以判断得解； （）由，，则，即，再通过，，从而，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即与互余， ∴与也互余， 又∵， ∴与互为余角的角是，， 故答案为: ，； （2）解：射线平分，理由如下: ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴射线平分； （3）解：，理由如下: ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 【分析】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）由图直接回答即可； （3）由可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ； （2）解：以C为顶点的所有相等的角有；； （3）解：与互补，理由如下： ∵， ∴与互补； 39．如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (1)若，则______，______，______； (2)比较与的大小关系，并说明理由； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查角的计算，熟练运用角的和差是解题的关键． （1）根据角的和差即可得出答案； （2）根据同角的余角相等，即可得出答案； （3）根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ，理由如下： ∵，， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 40．如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，补角定义，几何图形中角的计算．理清角度之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． （1）根据，得出，根据与互补，求出，根据，求出结果即可； （2）根据角平分线定义，求出结果即可； （3）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据（1）可知：， ∵平分， ∴； （3）解：，理由如下： 当在内部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可知：． 1．下列说法中正确的是（   ） A．一个角的补角一定大于这个角 B．任何一个角都有补角 C．若，则互余 D．一个角如果有余角，那么这个角的补角与这个角的余角的差为 【答案】D 【分析】本题主要考查了余角、补角的定义，余角的性质． 根据补角的定义，余角的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故本选项错误，不符合题意； B、任何一个角（小于180度）都有补角，故本选项错误，不符合题意； C、若两角的和等于，则这两角互余，故本选项错误，不符合题意； D、若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为， 设这个角为x，则余角为，补角为， 差为：， 故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角的余角，根据同角的余角相等，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 3．一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余、补角的定义，解一元一次方程． 设这个角的度数为，根据补角和余角的定义，补角为，余角为．根据题意，补角是余角的3倍，建立方程求解． 【详解】设这个角的度数为，则其补角为，余角为． 根据题意，补角是余角的3倍，列方程： 解得 故选：B． 4．如图，点在直线上，过点作，射线在内，过点作，则下列结论错误的是（　　） A． B．与互为余角 C． D．与互为补角 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确，不符合题意； B、∵， 即与互为余角 ∴选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴选项不正确，符合题意； D、∵, ∴与互为补角 ∴选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．如图，为直线上一点，，分别是，的角平分线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角平分线有关计算．熟练掌握角平分线定义，角的和差倍分计算，是解题的关键． 根据角平分线定义可得，结合可得的度数． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 由余角得定义即可判断①；设，则，那么，则，即可判断②③；由于则 ，进而得到，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角，故①正确； 设， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故③正确，②错误； ∵，即， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 7．如图，射线的端点O在直线上，，点D在平面内，与互余，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，角的和差．先根据互为余角的定义求出的度数，再分两种情况讨论：当射线在内部时；当射线在外部时；分别计算求解，即可解题． 【详解】解：因为，与互余， 所以， 当射线在内部时， 则， 当射线在外部时， 则， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 8．如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论： ①与互余； ②与互补； ③； ④． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，余角，补角和角度的和差关系，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线得和，利用平角即可判定①，结合余角和补角得定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分平分， ， ∵三点在同一直线上， ∴， ， 即与互余，故①正确； ∵三点在同一直线上， ， 平分， ， ， 即与互补，故②正确； ， ， 则，故③正确； ， ，故④正确； 故选：D． 9．已知一个角比它的余角的倍多，则这个角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，一元一次方程的应用，设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为，再由这个角比它的余角的3倍多列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为． 故答案为：． 10．如果一个角是，那么它的余角的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角，补角，根据余角的定义（两个角的和等于，那么这两个角互为余角），补角的定义（两个角的和等于，那么这两个角互为补角）求解即可． 【详解】解：∵一个角是， ∴这个角的余角的补角的度数为； 故答案为：． 11．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强． 根据已知条件可直接确定的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：因为是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， 所以， 所以的补角的度数是． 故答案为：． 12．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了余角的概念，角平分线的定义，利用，再根据角平分线得到，再根据与互余即可解答，注意掌握平角中套直角这种模型，理清各角之间的关系． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 13．如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 【答案】10 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互为余角，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有10对； 故答案为：10 14．如图，直线两两相交于点平分平分．点在直线上，且．则下列结论：①图中总共有9条线段：②：③与互为余角：④．正确的是 ．（填相应的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查线段的数量，与角平分线有关的计算，数出线段的条数，判断①；根据角平分线的定义，平角的定义推出，根据同角的余角相等判断②，求出，判断③；根据②和③判断④即可． 【详解】解：图中线段有，，故①错误； ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴与互为余角；故③正确； ∵，故④正确； 故答案为：②③④． 15．如图，已知． (1)若，分别求的度数； (2)请思考：与互为补角吗？说明理由． 【答案】(1)， (2)互为补角，理由见解析 【分析】本题考考查了角度的几何计算，互补的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由，即可求解； （2）设，根据，分别表示出，再由计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：与互为补角． 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互为补角． 16．如图，直线与相交于点O，，． (1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） (2)如果比的小，求的度数． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查了余角和补角； （1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可； （2）设，则，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图中与互余的角是，； 图中与互补的角是，； （2）解：，， ， 设，则， ， ， 解得 ， ． 17．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）解：设， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 18．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数是多少？ (2)找出图中除已知直角外的一对相等的角？ (3)若越来越小，则如何变化？ 【答案】(1) (2) (3)越来越小，则越大 【分析】本题考查了余角，以及角的和差计算，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）可得，先求出，再根据即可求解； （2）根据即可得到； （3）根据，即可判断． 【详解】（1）解：∵和都是直角， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵和都是直角， ∴， ∴， ∴； （3）解：越来越小，则越大，理由如下： ∵和都是直角， ∴， ∴， ∴越来越小，则越大． 19．如图1，直线经过点O，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，其它条件不变，求度数（用含  的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据平角的定义得，由角平分线定义得：，根据角的差可得结果； （2）根据平角的定义和角平分线的定义可得：，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以，     所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以 ． 20．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，是直角三角形，，平分． (1)填空：与互为余角的角是 ； (2)延长至点F，射线平分吗？为什么？ (3)将图1中的绕点O运动至图2所示位置，在的内部．若，则与之间是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 【答案】(1)， (2)射线平分，理由见解析 (3)与之间存在一定的数量关系，，理由见解析 【分析】本题主要考查了余角、邻补角、角平分线等知识，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据余角的定义，即可获得答案； （2）首先根据题意，可得，，进而可知，再证明，由等量代换可知，即可证明结论； （3）根据题意可知，进而可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即与互余， ∴与也互余， 又∵， ∴与互为余角的角是，． 故答案为：，． （2）射线平分，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线平分． （3）与之间存在一定的数量关系，． 理由如下：∵， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$