专题08从有理数到实数暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题08从有理数到实数暑假预习讲义 · 明晰有理数、无理数、实数定义，能正确区分有限小数、无限循环小数、无限不循环小数，熟练对实数分类；理解实数和数轴上的点一一对应，可在数轴标注简单无理数，借助数轴判断实数正负、大小、绝对值关系。 · 巩固平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，熟练求实数的平方根、立方根，牢记被开方数取值范围限制；掌握算术平方根小数点移动变化规律，用于快速口算与化简。 · 掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的求法，规则和有理数保持一致；熟练运用夹逼法估算无理数范围，准确求出无理数的整数部分与小数部分。 · 掌握实数大小比较的三种常用方法：估算法、平方法、作差法，能比较含根号实数的大小。 · 清楚有理数所有运算法则、运算律在实数范围内全部适用，牢记实数混合运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内；会对无理数取近似值完成实数运算，规范按要求保留小数位数。 · 结合数轴数形结合，判断含字母实数运算结果符号，正确化简含绝对值的根式代数式。 · 灵活运用算术平方根、平方、绝对值的非负性，依据 “若干非负数相加和为 0，则每一项均为 0” 求解字母参数。 · 能结合正方形面积、边长等几何模型，利用开方运算解决周长、阴影面积相关实际计算问题。 · 辨析易混淆概念：区分平方根与算术平方根，不漏写正数的负平方根；牢记负数没有平方根；分清无限循环小数（有理数）、无限不循环小数（无理数），不认为带根号的数都是无理数；分清()2与，化简必须添加绝对值，避免符号出错。 预习必备 知识梳理 1.无理数与有理数 2.实数的分类 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关概念 5.实数的大小比较 6.实数的运算 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.无理数 2.无理数大小估算 3.无理数整数部分的有关计算 4.实数概念理解. 5.实数的分类 6.实数的性质 7.实数与数轴 8.实数的大小比较 9.实数的混合运算 10.实数运算的实际应用 强化题型 解答题5题 知识点01无理数与有理数 1.有理数 整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数；从小数角度：有限小数、无限循环小数都能化为分数，属于有理数。 2.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型： （1）开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 （2）含π的数：如π、2π、π-1等。 （3）特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 （4）特殊根式组合：+2。 3.无理数与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数分类 定义：有理数和无理数统称为实数 分类： 知识点03：实数与数轴的关系 · 一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上唯一一点表示；数轴上每一个点都对应唯一实数。有理数填满数轴，无理数填补空隙。 · 数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数；正数＞0＞负数。 · 理数在数轴表示：利用正方形边长、勾股定理，以单位长度为直角边作直角三角形，斜边长度对应无理数，用圆规截取到数轴。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点07：易错点汇总表 易错类型 错误说法 正确结论 无理数概念混淆 无限小数是无理数 无限不循环小数才是无理数；无限循环小数属于有理数 带根号数判断误区 带根号的数都是无理数 开方能开尽的根号数是有理数，开不尽的才是无理数 π 相关判断误区 凡是含 π 的数都是无理数 π 本身是无理数，π 与非 0 有理数的四则运算结果仍为无理数；0 与 π 的乘积为 0，属于有理数 实数与数轴对应关系误区 有理数和数轴上的点一一对应 只有全体实数与数轴上的点一一对应，有理数无法铺满整个数轴 0 的分类错误 0 是正数 / 0 是负数 0 是有理数，单独为一类，既不是正数也不是负数 绝对值去符号规则误区 去含根号的绝对值时，直接去掉根号和绝对值符号 需先比较根号内式子与常数的大小，负数的绝对值等于它的相反数 倒数概念误区 0 的倒数是 0 0 没有倒数；只有非零实数才有倒数 负实数大小比较误区 两个负实数，绝对值大的数更大 两个负实数，绝对值越大，数值越小 开方取值范围误区 任意实数都有算术平方根 只有非负数（a≥0）才有算术平方根；全体实数都可以开立方 非负数和为 0 的规则误区 几个非负数的和为 0 时，只需部分项为 0 即可 绝对值、算术平方根、平方数均为非负数；若几个非负数的和为 0，则每一项都等于 0 实数运算化简误区 实数运算结果的分母可以保留根号 实数运算的最终结果，分母不能含有根号，需进行分母有理化化简 无理数运算结果误区 无理数的加减乘除运算结果一定是无理数 无理数的运算结果可能为有理数 题型1.无理数 【典例】写出一个小于4的无理数，该无理数可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义和无理数估算方法，找出满足小于条件的无理数即可． 【详解】解：，且是无理数， 符合要求． 【跟踪专练1】下列各数为无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合要求； B、是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； C、，是整数，属于有理数，不符合要求； D、是有限小数，可转化为分数，属于有理数，不符合要求． 【跟踪专练2】有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 【答案】，， 【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断． 【详解】解：， 、、、、、0、中，无理数有，，． 【跟踪专练3】有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，是有理数，不符合要求； 2.1010010001…（每两个“”之间依次多个“”）是无限不循环小数，是无理数，符合要求； ，是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 其中无理数的个数为， 故选：C． 题型2.无理数大小估算 【典例】请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】通过平方数估算和的取值范围，即可找出两者之间的整数． 【详解】解：， ， 即， 又， ， 即， 因此介于和之间的整数为和． 即介于和之间的一个整数可以是． 【跟踪专练1】《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】找到与19相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断的范围． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间． 【跟踪专练2】已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 【详解】解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 【跟踪专练3】已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 题型3.无理数整数部分的有关计算 【典例】某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质确定的取值范围，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ， 即， 因此的整数部分是． 【跟踪专练1】如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 【跟踪专练2】实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． 【答案】 【分析】先估算的大小，再得到的取值范围，最后根据整数部分的定义求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ 根据的定义，不超过的最大整数为 ． 题型4.实数概念理解. 【典例】了解无理数与实数的概念 （1）______小数叫做无理数； （2）有理数和_____统称为实数． 【答案】 无限不循环 无理数 【分析】根据无理数与实数的概念进行填空． 【详解】解：（1）无限不循环小数叫做无理数； （2）有理数和无理数统称为实数． 【点睛】本题考查了无理数与实数的概念． 【跟踪专练1】实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 【详解】解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． 【跟踪专练2】给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是_________________． 【答案】2 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 【跟踪专练3】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 题型5.实数的分类 【典例】下列四个数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），有理数是整数和分数的统称，逐一判断选项即可得出结果． 【详解】解：∵整数和分数都是有理数，无限不循环小数是无理数， ∴ 选项：是整数，是有理数，不符合要求； 选项：是分数，是有理数，不符合要求； 选项：是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求； 选项：是整数，是有理数，不符合要求． 【跟踪专练1】在、、、中，无理数有__________个． 【答案】2 【分析】根据无理数的定义，逐个判断给出的数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数． 对各数逐一判断： 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共有个． 【跟踪专练2】下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 【跟踪专练3】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 题型6.实数的性质 【典例】的相反数是______________． 【答案】 【详解】解：的相反数为 ． 【跟踪专练1】计算（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】．甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得______分． 【答案】5 【分析】此题考查最佳对策问题，实数，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答； 通过分析可知：，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分， 【详解】，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的． 而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数． 甲第一次勾掉这2个数，将剩下的数两两配对：，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分． 故答案为：5． 【跟踪专练3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 题型7.实数与数轴 【典例】如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 【答案】D 【分析】估算出，可得在2和3的对应点之间，即可求解． 【详解】解：， ，即在2和3的对应点之间， 实数在数轴上的对应点可能是D点． 【跟踪专练1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定 ，的正负性及绝对值的大小关系，进而判断各选项． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， 故A、B、C错误，D正确． 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 【跟踪专练3】如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 题型8.实数的大小比较 【典例】比较大小：________（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题比较正数和无理数的大小，可利用平方比较法，两个正数中，平方更大的数本身更大，计算两个数的平方后比较平方的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∵∴ 【跟踪专练1】下列各数中，最小的实数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数大小比较，利用实数大小比较法则即可求解，用到的规则：正数大于0，0大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小． 【详解】解：∵ ∴最小的实数是． 【跟踪专练2】比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 【跟踪专练3】，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 题型9.实数的混合运算 【典例】____________． 【答案】/ 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据算术平方根的非负性、立方根的符号规律、同类二次根式的合并要求，逐一计算验证每个选项的运算是否正确． 【详解】解：A、，因此，计算正确； B、负数的立方根是负数，，计算错误； C、算术平方根本身非负，，计算错误； D、和不是同类二次根式，不能直接合并，等式不成立，错误． 【跟踪专练2】计算：=________． 【答案】1 【详解】解： ． 【跟踪专练3】实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，，，，故A错误； 对于B，，，，又，，故B错误； 对于C，，，又，，故C正确； 对于D，，，，故D错误． 题型10.实数运算的实际应用 【典例】设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 【跟踪专练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 【跟踪专练3】小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 解答题 1．把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 4．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为______；点B表示的数为______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为______，小数部分为______． (3)已知x是整数，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2； (3) 【分析】（1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）根据，有，即可得，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， ， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解： ∴ 是整数，， ， ． 5．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08从有理数到实数暑假预习讲义 · 明晰有理数、无理数、实数定义，能正确区分有限小数、无限循环小数、无限不循环小数，熟练对实数分类；理解实数和数轴上的点一一对应，可在数轴标注简单无理数，借助数轴判断实数正负、大小、绝对值关系。 · 巩固平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，熟练求实数的平方根、立方根，牢记被开方数取值范围限制；掌握算术平方根小数点移动变化规律，用于快速口算与化简。 · 掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的求法，规则和有理数保持一致；熟练运用夹逼法估算无理数范围，准确求出无理数的整数部分与小数部分。 · 掌握实数大小比较的三种常用方法：估算法、平方法、作差法，能比较含根号实数的大小。 · 清楚有理数所有运算法则、运算律在实数范围内全部适用，牢记实数混合运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内；会对无理数取近似值完成实数运算，规范按要求保留小数位数。 · 结合数轴数形结合，判断含字母实数运算结果符号，正确化简含绝对值的根式代数式。 · 灵活运用算术平方根、平方、绝对值的非负性，依据 “若干非负数相加和为 0，则每一项均为 0” 求解字母参数。 · 能结合正方形面积、边长等几何模型，利用开方运算解决周长、阴影面积相关实际计算问题。 · 辨析易混淆概念：区分平方根与算术平方根，不漏写正数的负平方根；牢记负数没有平方根；分清无限循环小数（有理数）、无限不循环小数（无理数），不认为带根号的数都是无理数；分清()2与，化简必须添加绝对值，避免符号出错。 预习必备 知识梳理 1.无理数与有理数 2.实数的分类 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关概念 5.实数的大小比较 6.实数的运算 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.无理数 2.无理数大小估算 3.无理数整数部分的有关计算 4.实数概念理解. 5.实数的分类 6.实数的性质 7.实数与数轴 8.实数的大小比较 9.实数的混合运算 10.实数运算的实际应用 强化题型 解答题5题 知识点01无理数与有理数 1.有理数 整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数；从小数角度：有限小数、无限循环小数都能化为分数，属于有理数。 2.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型： （1）开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 （2）含π的数：如π、2π、π-1等。 （3）特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 （4）特殊根式组合：+2。 3.无理数与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数分类 定义：有理数和无理数统称为实数 分类： 知识点03：实数与数轴的关系 · 一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上唯一一点表示；数轴上每一个点都对应唯一实数。有理数填满数轴，无理数填补空隙。 · 数轴比较大小：数轴上右边的数总大于左边的数；正数＞0＞负数。 · 理数在数轴表示：利用正方形边长、勾股定理，以单位长度为直角边作直角三角形，斜边长度对应无理数，用圆规截取到数轴。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点07：易错点汇总表 易错类型 错误说法 正确结论 无理数概念混淆 无限小数是无理数 无限不循环小数才是无理数；无限循环小数属于有理数 带根号数判断误区 带根号的数都是无理数 开方能开尽的根号数是有理数，开不尽的才是无理数 π 相关判断误区 凡是含 π 的数都是无理数 π 本身是无理数，π 与非 0 有理数的四则运算结果仍为无理数；0 与 π 的乘积为 0，属于有理数 实数与数轴对应关系误区 有理数和数轴上的点一一对应 只有全体实数与数轴上的点一一对应，有理数无法铺满整个数轴 0 的分类错误 0 是正数 / 0 是负数 0 是有理数，单独为一类，既不是正数也不是负数 绝对值去符号规则误区 去含根号的绝对值时，直接去掉根号和绝对值符号 需先比较根号内式子与常数的大小，负数的绝对值等于它的相反数 倒数概念误区 0 的倒数是 0 0 没有倒数；只有非零实数才有倒数 负实数大小比较误区 两个负实数，绝对值大的数更大 两个负实数，绝对值越大，数值越小 开方取值范围误区 任意实数都有算术平方根 只有非负数（a≥0）才有算术平方根；全体实数都可以开立方 非负数和为 0 的规则误区 几个非负数的和为 0 时，只需部分项为 0 即可 绝对值、算术平方根、平方数均为非负数；若几个非负数的和为 0，则每一项都等于 0 实数运算化简误区 实数运算结果的分母可以保留根号 实数运算的最终结果，分母不能含有根号，需进行分母有理化化简 无理数运算结果误区 无理数的加减乘除运算结果一定是无理数 无理数的运算结果可能为有理数 题型1.无理数 【典例】写出一个小于4的无理数，该无理数可以是_____． 【跟踪专练1】下列各数为无理数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 【跟踪专练3】有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2.无理数大小估算 【典例】请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 【跟踪专练1】《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【跟踪专练2】已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【跟踪专练3】已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 题型3.无理数整数部分的有关计算 【典例】某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________． 【跟踪专练1】如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． 题型4.实数概念理解. 【典例】了解无理数与实数的概念 （1）______小数叫做无理数； （2）有理数和_____统称为实数． 【跟踪专练1】实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【跟踪专练2】给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是_________________． 【跟踪专练3】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型5.实数的分类 【典例】下列四个数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在、、、中，无理数有__________个． 【跟踪专练2】下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 【跟踪专练3】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 题型6.实数的性质 【典例】的相反数是______________． 【跟踪专练1】计算（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得______分． 【跟踪专练3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 题型7.实数与数轴 【典例】如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 【跟踪专练1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【跟踪专练3】如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 题型8.实数的大小比较 【典例】比较大小：________（填“”、“”或“”号） 【跟踪专练1】下列各数中，最小的实数是（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【跟踪专练3】，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型9.实数的混合运算 【典例】____________． 【跟踪专练1】下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：=________． 【跟踪专练3】实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型10.实数运算的实际应用 【典例】设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 【跟踪专练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【跟踪专练3】小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 2．计算：． 3．写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 4．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为______；点B表示的数为______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为______，小数部分为______． (3)已知x是整数，，且，求的值． 5．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $