专题15线段.射线和直线暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题15线段.射线和直线暑假预习讲义 1. 牢记直线、射线、线段三者的定义，明确三者端点数量、延伸性上的区别，能够准确辨别三种图形。 2. 掌握三种几何图形规范书写、字母表示方法，读懂图形符号语言。 3. 熟记基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短，理解两条公理的含义，会结合生活实例解释应用。 4. 学会用刻度尺度量线段长度，掌握叠合法、度量法比较两条线段长短。 5. 理解线段中点概念，能利用中点进行线段和、差长度计算。 6. 规避常见易错点：混淆三者延伸特征；射线书写字母顺序颠倒；误以为直线、射线可以度量长度；计算线段和差时常出现漏段、重复计算问题。 7. 初步养成几何识图能力，规范几何语言书写，为后续角的学习打好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段 2.三种图形规范表示方法 3.直线两大基本事实 4.线段长短两种比较方法 5.线段相关核心知识点 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的联系与区别 2.直线.线段.射线的数量问题 3.直线相交的交点个数问题 4..画出直线.线段.射线 5点与线的位置关系 6.两点确定一条直线 7.两点之间线段最短 8.两点间的距离 9.作线段 10.线段的和与差 11.线段中点的有关计算 12.线段n等分点的有关计算 13.线段之间的数量关系 14与线段有关的动点问题 强化题型 解答题6题 知识点 01 线段、射线、直线定义与特征 名称 定义 延伸性 端点个数 能否度量长度 线段 直线上两个点和它们之间的部分 不能向两方延伸 2 个 可以度量 射线 把线段的一端无限延长得到的图形 只能向一个方向无限延伸 1 个 不可度量 直线 把线段的两端无限延长得到的图形 向两个方向无限延伸 0 个 不可度量 知识点 02 三种图形规范表示方法 1.线段 ① 用两个端点大写字母：线段AB（线段BA，字母无顺序）； ② 用一个小写字母：线段a。 2.射线 用两个大写字母：射线AB； ⚠️关键：端点字母必须写在前面，射线AB与射线BA不是同一条射线。 3.直线 ① 用直线上两个大写字母：直线AB（直线BA，字母无顺序）； ② 用一个小写字母：直线l。 知识点 03 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 04线段长短两种比较方法 方法名称 操作要点 度量法 用刻度尺分别量出两条线段长度，通过数值大小比较线段长短 叠合法（几何标准方法） 将两条线段一端重合，另外两个端点放在重合端点同一侧： 另一端点重合→线段相等； 另一端点落在内部→线段更短； 另一端点落在外部→线段更长。 知识点 05 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 5.线段中点和线段和差综合 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 射线书写 射线AO写成射线OA，混淆顺序 射线端点字母必须写在首位；方向不同不是同一条射线 两点间距离概念 误认为两点之间线段就是距离 距离是线段的长度（数值），线段是几何图形 直线公理运用 表述写成 “两点之间一条直线” 规范表述：两点确定一条直线 线段中点推理 只会看图，不会规范写出倍数关系式 熟练掌握AC=AB双向推理书写 无图形计算题 只考虑点在线段上，忽略点在线段延长线上 题干说直线，则需要分类讨论两种情况；线段上不需要 线段、射线延伸性 认为射线可以双向延长 射线只能向一端无限延伸；直线双向延伸；线段不能延伸 叠合法比较线段 端点不重合、两侧摆放比较 叠合法要求一端重合，剩余端点放在同侧对比 题型1.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 【跟踪专练1】关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【跟踪专练2】小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 题型2.直线.线段.射线的数量问题 【典例】如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【跟踪专练1】往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【跟踪专练2】甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 题型3.直线相交的交点个数问题 【典例】我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【跟踪专练1】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有_______个交点． 【跟踪专练2】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有______个交点，10条直线两两相交，最多有______个交点． 【跟踪专练3】如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型4..画出直线.线段.射线 【典例】根据语句“P是直线外一点，过点有一条直线与直线相交于点．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【跟踪专练2】已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 题型5点与线的位置关系 【典例】如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n不变，则位置在（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练1】如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是__________（直接填写序号）． 【跟踪专练2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 题型6.两点确定一条直线 【典例】2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【跟踪专练1】如图，小明和小红看到建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙．小明认为依据是两点之间，线段最短；小红认为依据是两点确定一条直线，你认为__________的说法正确．（填“小明”或“小红”）    【跟踪专练2】如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是______． 【跟踪专练3】直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型7.两点之间线段最短 【典例】彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【跟踪专练1】贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【跟踪专练2】如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：    ①自来水厂应建在线段的中点处； ②自来水厂应建在线段与线段的交点处； ③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为； ④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于． 其中正确的有______.（填所有正确说法的序号） 【跟踪专练3】如图，将六边形沿虚线裁去一个角得到七边形，则该七边形的周长一定比原六边形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．线段是直线的一部分 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 题型8.两点间的距离 【典例】已知线段，，那么线段的长度是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【跟踪专练1】点，两点间的距离等于______ 【跟踪专练2】如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为______cm．    【跟踪专练3】已知平面内有、、三点，，，若点、之间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 题型9.作线段 【典例】如图，用圆规比较两条线段AB和CD的长短，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】已知线段，．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取，②在射线上截取，那么的长为_____． 【跟踪专练2】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型10.线段的和与差 【典例】如图，点B、C在线段上，，，如果，那么的长度为_________． 【跟踪专练1】如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两根木条长度分别为6cm和8cm，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离________cm．    【跟踪专练3】如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若，则这条绳子的原长为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 题型11.线段中点的有关计算 【典例】如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【跟踪专练2】下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】如图1，C是线段上一点，，现以点C为对折点，将线段向右对折，得到图2，P是中点，沿点P将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______． 题型12.线段n等分点的有关计算 【典例】线段被点M、N三等分，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为______． 【跟踪专练2】已知线段，点C是的三等分点，点M是的中点，则的长为（   ） A．或 B． 或 C． D． 【跟踪专练3】若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，，C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动．在C，D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点C为的三等分点时，点E恰好为中点，此时的长为______． 题型13.线段之间的数量关系 【典例】已知，是线段上一点，且，则的长是（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 【跟踪专练1】如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 【跟踪专练2】已知线段AB，延长AB至C，使，D是线段AC上一点，且，则的值是（    ）． A．6 B．4 C．6或4 D．6或2 题型14与线段有关的动点问题 【典例】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【跟踪专练2】如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 解答题 1．如图所示，点，，，是同一平面内不重合的四个点， (1)按要求画图： ①画射线；②连接，并延长线段； ③画直线、直线；④直线与直线相交于点． (2)根据画出的图形回答下列问题： ①说出点和点与直线的位置关系； ②用字母表示出图中所有的线段． 2．如图，图上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图．（保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)在直线上找一点P，使的值最小． 3．如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 4．如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 5．如图，已知线段，延长到点C，使得，点D为线段的中点，． (1)求线段、、的长； (2)若点P为线段上一点，且，求线段的长． 56．已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______； (2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15线段.射线和直线暑假预习讲义 1. 牢记直线、射线、线段三者的定义，明确三者端点数量、延伸性上的区别，能够准确辨别三种图形。 2. 掌握三种几何图形规范书写、字母表示方法，读懂图形符号语言。 3. 熟记基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短，理解两条公理的含义，会结合生活实例解释应用。 4. 学会用刻度尺度量线段长度，掌握叠合法、度量法比较两条线段长短。 5. 理解线段中点概念，能利用中点进行线段和、差长度计算。 6. 规避常见易错点：混淆三者延伸特征；射线书写字母顺序颠倒；误以为直线、射线可以度量长度；计算线段和差时常出现漏段、重复计算问题。 7. 初步养成几何识图能力，规范几何语言书写，为后续角的学习打好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段 2.三种图形规范表示方法 3.直线两大基本事实 4.线段长短两种比较方法 5.线段相关核心知识点 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的联系与区别 2.直线.线段.射线的数量问题 3.直线相交的交点个数问题 4..画出直线.线段.射线 5点与线的位置关系 6.两点确定一条直线 7.两点之间线段最短 8.两点间的距离 9.作线段 10.线段的和与差 11.线段中点的有关计算 12.线段n等分点的有关计算 13.线段之间的数量关系 14与线段有关的动点问题 强化题型 解答题6题 知识点 01 线段、射线、直线定义与特征 名称 定义 延伸性 端点个数 能否度量长度 线段 直线上两个点和它们之间的部分 不能向两方延伸 2 个 可以度量 射线 把线段的一端无限延长得到的图形 只能向一个方向无限延伸 1 个 不可度量 直线 把线段的两端无限延长得到的图形 向两个方向无限延伸 0 个 不可度量 知识点 02 三种图形规范表示方法 1.线段 ① 用两个端点大写字母：线段AB（线段BA，字母无顺序）； ② 用一个小写字母：线段a。 2.射线 用两个大写字母：射线AB； ⚠️关键：端点字母必须写在前面，射线AB与射线BA不是同一条射线。 3.直线 ① 用直线上两个大写字母：直线AB（直线BA，字母无顺序）； ② 用一个小写字母：直线l。 知识点 03 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 04线段长短两种比较方法 方法名称 操作要点 度量法 用刻度尺分别量出两条线段长度，通过数值大小比较线段长短 叠合法（几何标准方法） 将两条线段一端重合，另外两个端点放在重合端点同一侧： 另一端点重合→线段相等； 另一端点落在内部→线段更短； 另一端点落在外部→线段更长。 知识点 05 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 5.线段中点和线段和差综合 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 射线书写 射线AO写成射线OA，混淆顺序 射线端点字母必须写在首位；方向不同不是同一条射线 两点间距离概念 误认为两点之间线段就是距离 距离是线段的长度（数值），线段是几何图形 直线公理运用 表述写成 “两点之间一条直线” 规范表述：两点确定一条直线 线段中点推理 只会看图，不会规范写出倍数关系式 熟练掌握AC=AB双向推理书写 无图形计算题 只考虑点在线段上，忽略点在线段延长线上 题干说直线，则需要分类讨论两种情况；线段上不需要 线段、射线延伸性 认为射线可以双向延长 射线只能向一端无限延伸；直线双向延伸；线段不能延伸 叠合法比较线段 端点不重合、两侧摆放比较 叠合法要求一端重合，剩余端点放在同侧对比 题型1.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 【答案】B 【详解】解：、线段和射线都是直线的一部分，说法正确，故本选项不符合题意； 、射线和射线不是同一条射线，说法不正确，故本选项符合题意； 、线段与线段是同一条线段，说法正确，故本选项不符合题意； 、直线与直线为同一条直线，说法正确，故本选项不符合题意． 【跟踪专练1】关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的定义和性质，根据直线的定义和性质，直线是向两方无限延伸的，没有端点． 【详解】①线段向两方无限延长后，两端无限延伸，形成直线，正确；②射线反向延长后，变为向两方无限延伸，形成直线，正确；③直线没有端点，正确；④直线没有端点，因此说有无数个端点错误． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 题型2.直线.线段.射线的数量问题 【典例】如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 【详解】解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 【跟踪专练1】往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【分析】本题考查线段计数的实际应用，将站点转化为线段上的点，先求出不同站点间的路线数量，结合车票往返不同计算总票数即可． 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 【跟踪专练2】甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先确定总站点数，中途2个停靠站加甲，乙两地共4个站点，由于高铁票往返方向不同是不同的车票，且所有路程都不相等，先计算单向的不同车票数量，再乘2得到总票数． 【详解】解：∵甲，乙两地加中途2个停靠站，总站点数为 个， 又∵所有站之间路程都不相等，且往返方向不同，车票不同. ∴单向的不同车票种类为 种. ∴总的不同高铁票种类为 种． 题型3.直线相交的交点个数问题 【典例】我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有_______个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 【跟踪专练2】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有______个交点，10条直线两两相交，最多有______个交点． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是相交线，得到在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点是解题的关键． 【详解】解：解：三条直线两两相交交点数， 四条直线两两相交交点数， 五条直线两两相交交点数， 由此推出n条直线两两相交交点数． ∴10条直线两两相交，最多有， 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题考查了图形类规律，直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴条直线两两相交最多能有个交点． 故选：D． 题型4..画出直线.线段.射线 【典例】根据语句“P是直线外一点，过点有一条直线与直线相交于点．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据语句画图问题，掌握基本作图的语句，按要求画图是解题关键． 根据语句逐项排除即可． 【详解】解：根据P是直线外一点，排除A选项； 根据过点有一条直线与直线相交于点排除B，D； 故选：C． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【答案】C 【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果． 【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，    当A、B、C三点不在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，    故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键． 题型5点与线的位置关系 【典例】如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n不变，则位置在（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查点与直线的关系，熟练掌握该知识点是关键． 根据点与直线位置关系，逐项判定即可． 【详解】解：A．位置在①，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线仍只有1条，n没有变化； B．位置在②，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n有变化，增加了一条； C．位置在③，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有3条，n有变化，增加了两条； D．位置在④，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n有变化，增加了一条． 故选A． 【跟踪专练1】如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是__________（直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪专练2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 题型6.两点确定一条直线 【典例】2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 【跟踪专练1】如图，小明和小红看到建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙．小明认为依据是两点之间，线段最短；小红认为依据是两点确定一条直线，你认为__________的说法正确．（填“小明”或“小红”）    【答案】小红 【分析】本题考查的是公理“两点确定一条直线”在实际生活中的运用，根据两点确定一条直线判断即可． 【详解】解：依题意，建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙，依据是两点确定一条直线，故小红的说法正确 故答案为：小红． 【跟踪专练2】如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，据此可得答案． 【详解】解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，利用直线的性质是解题关键． 【跟踪专练3】直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分两步走，通过充分性和必要性来具体分析． 【详解】解：分两步，充分性， 设直线经过，， 、 、 、都是整数，， 设：，， 则直线， 当，即时，为整数， 、2、3.....所以直线经过无数个点． 必要性：∵直线经过无数个整点，∴直线必经过两个整点． 故选： C． 【点睛】本题考查两点确定一条直线，掌握本题中的分情况讨论，正确写出解答过程是解题关键． 题型7.两点之间线段最短 【典例】彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 【详解】解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 【跟踪专练1】贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 【跟踪专练2】如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：    ①自来水厂应建在线段的中点处； ②自来水厂应建在线段与线段的交点处； ③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为； ④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于． 其中正确的有______.（填所有正确说法的序号） 【答案】 【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在与的交点处，即可作答． 【详解】解：如图所示，连接，交于点E，在平面内任取一点，连接，，，，    ∵，， ∴， ∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段的性质，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短． 【跟踪专练3】如图，将六边形沿虚线裁去一个角得到七边形，则该七边形的周长一定比原六边形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．线段是直线的一部分 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的相关性质，题干问题可转化为的原因，根据“两点之间，线段最短”，即可求得答案． 【详解】如图所示，题干问题可转化为的原因． 因为“两点之间，线段最短”，所以． 故选：D 题型8.两点间的距离 【典例】已知线段，，那么线段的长度是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点之间的距离．根据点三点位置不确定，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，点三点位置不确定， 线段的长度是无法确定的， 故选：D． 【跟踪专练1】点，两点间的距离等于______ 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：由两点间的距离公式得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求两点间距离的相关知识，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为______cm．    【答案】5 【分析】由已知条件可知，，又因为M是的中点，N是的中点，则． 【详解】解： 是的中点，是的中点， ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 【跟踪专练3】已知平面内有、、三点，，，若点、之间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握两点间距离的计算方法是解题的关键．分三点在一条直线和不在一条直线两种情况得出的取值即可． 【详解】解：若、、三点在同一直线上， 则，或， 、、三点不在同一直线上由三角形三边关系得出， ， 综上，的取值为， 故选：D． 题型9.作线段 【典例】如图，用圆规比较两条线段AB和CD的长短，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小的比较方法是解决问题的关键． 根据比较线段的长短的方法即可解答． 【详解】解：观察题中所给的图可知，点重合，点在线段AB上，可得． 故选：． 【跟踪专练1】已知线段，．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取，②在射线上截取，那么的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查作一条线段等于已知线段，两点间的距离，根据题意画出图形是解题的关键． 根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】 解：令，， 如图，当点在点的左侧， ，； 如图，当点在点的右侧， ，； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 【详解】、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 题型10.线段的和与差 【典例】如图，点B、C在线段上，，，如果，那么的长度为_________． 【答案】6 【分析】本题考查了线段的和差．观察图形可知，，，根据已知，即可得出，根据，可得，再根据已知即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，小明进行了如下操作：（）作射线；（）在射线上依次截取；（）在线段上截取；（）分别找到线段，的中点，． 则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意得：，， ，是线段，的中点， ，， 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，无法说明，说法错误，符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意； 选项，，说法正确，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，两根木条长度分别为6cm和8cm，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离________cm．    【答案】1或7/7或1 【分析】本题考查了与线段中点有关的线段和差计算．设短木条为，长木条为．根据中点定义得到．当点B与点C重合，点A在延长线上和点A在线段上两种情况分类画出图形，进行计算即可求解． 【详解】解：设短木条为，长木条为． ∵M，N分别为中点， ∴． 如图1，当点B与点C重合，点A在延长线上时，   ；    如图2，当点B与点C重合，点A在线段上时， ． ∴两小孔间的距离为1cm或7cm． 故答案为：1或7 【跟踪专练3】如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若，则这条绳子的原长为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，分当的倍最长时，即以对折点为，当的倍最长时，即以对折点为，两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为； 如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为， 综上，这条绳子的原长为或， 故选：． 题型11.线段中点的有关计算 【典例】如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， ∵， ． 【跟踪专练1】如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 【跟踪专练2】下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，判断点E是线段中点需要满足：点E在线段上，且，逐个分析四个等式即可得出结论． 【详解】解：∵线段中点的定义要求点E必须在线段上，且满足， ①：未说明点E在线段上，点E可在外满足，因此①不能表示点是线段的中点； ②：若E在的延长线上，也可满足，因此②不能表示点是线段的中点； ③：若E在的延长线上，也可满足，因此③不能表示点是线段的中点； ④，此时点E一定在线段上，点是线段的中点，因此④能表示点是线段的中点； ∴只有1个等式能表示点是线段的中点． 【跟踪专练3】如图1，C是线段上一点，，现以点C为对折点，将线段向右对折，得到图2，P是中点，沿点P将线段剪断，使得原线段被剪成三条，则这三条线段长度从小到大的比为______． 【答案】 【分析】设，折叠得到，中点得到，进而得到，，剪成3条，3条线段的长度分别为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵对折， ∴， ∵P是中点， ∴， ∴， ∴， 由题意，3条线段从小到大的长度分别为的长， 故这三条线段长度从小到大的比为． 题型12.线段n等分点的有关计算 【典例】线段被点M、N三等分，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 根据线段被点M、N三等分，得到，即可判断各选项． 【详解】解：∵线段被点M、N三等分， ∴， ∴， 故D错误，符合题意， 故选：D． 【跟踪专练1】已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为______． 【答案】9或/或9 【分析】本题主要考查了线段的三等分点，线段之间的倍数关系.画出图形分类讨论时解题的关键. 分两种情况：①点靠近点；②点靠近点.画出图形分别计算即可. 【详解】解：如图1所示： 点是的三等分点， ． 如图2所示： 点是的三等分点， ． 的长度为9或， 故答案为：9或． 【跟踪专练2】已知线段，点C是的三等分点，点M是的中点，则的长为（   ） A．或 B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，点C是的三等分点，有两种情况：或．M是的中点，因此．分别计算两种情况下的长度． 【详解】解：∵，点C是的三等分点， ∴情况一：， ∵M是的中点， ∴； 情况二：， ∵M是的中点， ∴； 因此的长为或， 故选：B． 【跟踪专练3】若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，，C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动．在C，D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点C为的三等分点时，点E恰好为中点，此时的长为______． 【答案】或6 【分析】本题考查的是线段和差的有关计算及线段中点的有关计算，先得出，再分两种情况：①当点C靠近A点的的三等分点；②当点C靠近E点的的三等分点，分别根据线段的和差计算求出结论即可． 【详解】∵C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线运动， ∴， ①当点C靠近A点的的三等分点，如图所示： ∵E为中点， ， ， ， ； ②当点C靠近E点的的三等分点，如图所示： ， ∵E为中点， ， ， ， ． 故答案为：或6． 题型13.线段之间的数量关系 【典例】已知，是线段上一点，且，则的长是（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，根据，以及，进行求解即可． 【详解】解：∵，是线段上一点，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【跟踪专练1】如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差关系以及线段中点的性质，通过设未知数来表示线段之间的关系，再根据已知条件列出方程求解，最后求出的长度． 【详解】解：设，则，， ， 为中点，， ， 为中点， ， ， ， ， 解得：， ． 【跟踪专练2】已知线段AB，延长AB至C，使，D是线段AC上一点，且，则的值是（    ）． A．6 B．4 C．6或4 D．6或2 【答案】D 【分析】根据延长AB至C，使，求出AC与AB的关系，再根据点D在AB或BC上，分别求出AD与AB的关系，再求两线段的比． 【详解】解：∵线段AB，延长AB至C，使， ∴AC=AB+BC=AB+2AB=3AB， ∵D是线段AC上一点，且， 当点D在AB上，AD=AB-BD=AB-=， ∴, 当点D在BC上， ∴AD=AB+BD=AB+， ∴． 故选择D． 【点睛】本题考查线段的画法，分类考虑点D的位置，线段的和差倍分，两线段的比，掌握线段的画法，分类考虑点D的位置，线段的和差倍分，两线段的比，利用数形结合思想再求求出AD与AB的关系是解题关键． 题型14与线段有关的动点问题 【典例】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 解答题 1．如图所示，点，，，是同一平面内不重合的四个点， (1)按要求画图： ①画射线；②连接，并延长线段； ③画直线、直线；④直线与直线相交于点． (2)根据画出的图形回答下列问题： ①说出点和点与直线的位置关系； ②用字母表示出图中所有的线段． 【答案】(1)见解析 (2)①点在直线上，点在直线外；②图中的线段有线段，，，，，，， 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据射线，线段的概念即可解答； （2）①根据点与直线的关系即可解答；②根据线段的概念即可解答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①点在直线上，点在直线外． ②图中的线段有线段，，，，，，，． 2．如图，图上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图．（保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)在直线上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线，两点之间线段最短． （1）根据直线、射线的定义画图即可； （2）连接交直线于点P即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； 3．如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，整式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）由图可知的长度，根据求解即可； （2）由（1）可知，结合，两站之间的距离是，求出，再由图可知的长度，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵由图可知，，， ∴， ∴，两站之间的距离是； （2）解：∵由（1）可得， 又∵，两站之间的距离是， ∴，即， ∵由图可知，，， ∴． ∴，两站之间的距离为． 4．如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)，理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． (2)3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 5．如图，已知线段，延长到点C，使得，点D为线段的中点，． (1)求线段、、的长； (2)若点P为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差倍分． （1）先根据中点求出的长，再求出的长，然后根据线段的和差求出和的长； （2）先求出的长，得到点在线段上，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】（1）解：点D为线段的中点，， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 点在线段上， ． 56．已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______； (2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)4或17 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由题意可得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形，然后利用线段的中点以及线段的和差求解即可； （3）先求得，再分点D在点O的左侧时、点E在点B的左侧和点D在点O的右侧时、点E在点B的右侧，两种情况分别画出图形、线段的和差以及一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴．， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∵，， ∴， ∴； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ∵，， ∴， ∴； ． 综上，线段的长． （3）解：∵，， ∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∴ ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ， ∴， ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，t的值为4或17． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $