专题06 有理数乘方与混合运算及近似数 暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题06有理数乘方与混合运算及近似数暑假预习讲义 · 理解乘方相关概念，分清底数、指数、幂，能准确区分(-a)n与-an两种形式的意义与计算结果，规范读出乘方算式。 · 自主总结正数、负数、0 乘方的符号规律，熟练计算整数、分数、小数的基础乘方；掌握 0、1、-1 的特殊乘方结论。 · 掌握 10 的 n 次幂特征，理解科学记数法定义，明确1≤|a|＜10的要求，能完成大数的科学记数法改写。 · 熟记有理数完整运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，多层括号从内到外依次计算。 · 计算混合运算时分步书写、不随意跳步，能灵活运用各类运算律简化计算，处理含绝对值、负号、分数、小数的综合算式。 · 梳理混合运算常见易错点：乘方符号混淆、运算顺序颠倒、分配律漏乘、符号抄写错误，预习时标记疑难题目。 · 理解近似数、准确数、精确度的含义，能根据要求精确到个位、十分位、百分位等数位，会用四舍五入取近似数。 · 能判断生活场景中的准确数与近似数，掌握带单位、科学记数法形式近似数的精确度判断方法。 · 会结合折纸、细胞分裂、大数统计等实际情境，运用乘方、科学记数法、近似数解决简单应用题。 · 预习过程中标记看不懂的概念、易混淆题型，课堂重点听讲，课后整理对比区分易混知识点。 预习必备 知识梳理 1.有理数乘方相关概念 2.乘方符号判定法则 3.科学记数法 4.有理数混合运算顺序 5.准确数与近似数 6.近似数精确度 7.四舍五入近似数方法 8.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.有理数幂的概念理解 2.有理数的乘方运算 3.有理数乘方的逆运算 4.乘方运算的符号规律 5.乘方的应用 6..大数科学记数法书写 7.科学记数法还原原数 8.程序流程图与有理数计算 9.算“24”点 10.含乘方的有理数混合运算 11.求一个数的近似数 12.求近似数的精确度 13.近似数推断取值范围 14.计算器-有理数 强化题型 解答题7题 知识点01:有理数乘方的相关概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 注意：负数或分数作底数时，必须用括号将底数括起来。 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 特殊数乘方结论 1的任意次幂：1n=1 -1的偶次幂：(-1)2n=1；-1的奇次幂：(-1)2n+1=-1 知识点 03 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a 10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。 【科学记数法形式：a 10n，其中1 a < 10，n 为正整数。】 2.规律方法总结： ① 科学记数法中 a 的要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键，由于 10 的指数比原来的整数位数少 1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出 10 的指数 n。 ② 记数法要求是大于 10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10 的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号。 知识点 05 有理数混合运算运算顺序（必考核心） 1.优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减 2.括号规则：有括号先算括号内，顺序：小括号( )→中括号[ ]→大括号{ } 3.同级运算（只有乘除 / 只有加减）：从左往右依次计算 4.简便优化：可灵活使用加法、乘法运算律简化计算 完整计算步骤 ① 先算所有乘方；② 统一除法为乘法，完成全部乘除；③ 最后进行加减；④ 有括号优先算括号内部。 知识点 06 准确数与近似数 准确数：完全符合实际、没有误差的数，能精确表示事物真实数量。 例：班级 45 人、一张试卷 24 道题。 近似数：与实际数值接近、存在一定误差的数，由测量、估算、四舍五入得到。 例：身高 1.65m、全国人口 14 亿。 知识点 07 近似数精确度（重难点） 1.定义：近似数精确到哪一位，就说它的精确度是哪一位。 2.基础判定方法（普通小数 / 整数） 例： 3.2 精确到十分位（0.1）； 5.46 精确到百分位（0.01）； 700 精确到个位。 3.带单位近似数判定 例：3.2 万 = 32000，精确到千位。 例：4.5103=4500，精确到百位。 知识点 08 四舍五入取近似数方法 1.步骤：① 找到要求精确到的数位；② 观察后一位数字；③ 后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去。 2.题型分类： 1 普通数字精确到指定数位； 2 大数先四舍五入，再改写科学记数法； 3 带单位数值取近似值。 举例：把 25680 精确到千位：26000，写成2.6104 知识点09：高频易错点 1.混淆(-a)n和-an，底数判断错误，符号算反； 2.乘方运算顺序错误，先算乘除再算乘方； 3.科学记数法中a范围出错，写成a10或a<1； 4.近似数带单位、科学记数法形式，误判精确数位； 5.0、1、-1 的乘方规律记忆混乱； 6.混合运算跳步计算，符号、绝对值化简出错； 7.四舍五入时，精确数位后全部清零，遗漏末尾 0（如 2.50 精确到百分位，末尾 0 不能去掉）。 题型1.有理数幂的概念理解 【典例】的底数是________，读作________． 【跟踪专练1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】填空：___；____；____；_____；____；_____． 【跟踪专练3】下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2.有理数的乘方运算 【典例】计算： ____________． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【跟踪专练3】若，为有理数，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 题型3.有理数乘方的逆运算 【典例】若，，则______． 【跟踪专练1】定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【跟踪专练2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【跟踪专练3】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 题型4.乘方运算的符号规律 【典例】用分数表示：_______． 【跟踪专练1】若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】，则________． 【跟踪专练3】观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 题型5.乘方的应用 【典例】将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【跟踪专练1】2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【跟踪专练2】日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【跟踪专练3】生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 题型6..大数科学记数法书写 【典例】2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 【跟踪专练1】据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 【跟踪专练3】被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型7.科学记数法还原原数 【典例】用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【跟踪专练1】2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【跟踪专练2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【跟踪专练3】神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 题型8.程序流程图与有理数计算 【典例】如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【跟踪专练1】沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【跟踪专练2】在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【跟踪专练3】在如图所示的运算程序中，把从“输入的值”到“把得数当成”作为一次运行．若输入的值为，则经过次运行，输出的结果是（） A． B． C． D． 题型9.算“24”点 【典例】“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【跟踪专练1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【跟踪专练3】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 题型10.含乘方的有理数混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】规定一种运算：，则的值为__________． 【跟踪专练2】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．源于中国古代重量单位制的“半斤八两”就与十六进制有关．十六进制数61换算成十进制数是（注意：），十进制数88换算成十六进制数是___． 【跟踪专练3】有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 11.求一个数的近似数 【典例】将数用四舍五入法精确到为______． 【跟踪专练1】用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个三位小数用四舍五入法取近似值是，这个数原来最大是______，最小是______． 【跟踪专练3】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 题型12.求近似数的精确度 【典例】2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【跟踪专练1】自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【跟踪专练2】对于近似数，它的有效数字有___________个． 【跟踪专练3】下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型13.近似数推断取值范围 【典例】近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 【跟踪专练1】近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】近似值是的最大三位小数是______，最小三位小数是______． 【跟踪专练3】数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 题型14：计算器-有理数 【典例】运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是_____． 【跟踪专练1】用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 【跟踪专练2】用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 【跟踪专练3】计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是__________．    解答题 1．用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 2．计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1) (2) (3) 5．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 6．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 7．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数乘方与混合运算及近似数暑假预习讲义 · 理解乘方相关概念，分清底数、指数、幂，能准确区分(-a)n与-an两种形式的意义与计算结果，规范读出乘方算式。 · 自主总结正数、负数、0 乘方的符号规律，熟练计算整数、分数、小数的基础乘方；掌握 0、1、-1 的特殊乘方结论。 · 掌握 10 的 n 次幂特征，理解科学记数法定义，明确1≤|a|＜10的要求，能完成大数的科学记数法改写。 · 熟记有理数完整运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，多层括号从内到外依次计算。 · 计算混合运算时分步书写、不随意跳步，能灵活运用各类运算律简化计算，处理含绝对值、负号、分数、小数的综合算式。 · 梳理混合运算常见易错点：乘方符号混淆、运算顺序颠倒、分配律漏乘、符号抄写错误，预习时标记疑难题目。 · 理解近似数、准确数、精确度的含义，能根据要求精确到个位、十分位、百分位等数位，会用四舍五入取近似数。 · 能判断生活场景中的准确数与近似数，掌握带单位、科学记数法形式近似数的精确度判断方法。 · 会结合折纸、细胞分裂、大数统计等实际情境，运用乘方、科学记数法、近似数解决简单应用题。 · 预习过程中标记看不懂的概念、易混淆题型，课堂重点听讲，课后整理对比区分易混知识点。 预习必备 知识梳理 1.有理数乘方相关概念 2.乘方符号判定法则 3.科学记数法 4.有理数混合运算顺序 5.准确数与近似数 6.近似数精确度 7.四舍五入近似数方法 8.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.有理数幂的概念理解 2.有理数的乘方运算 3.有理数乘方的逆运算 4.乘方运算的符号规律 5.乘方的应用 6..大数科学记数法书写 7.科学记数法还原原数 8.程序流程图与有理数计算 9.算“24”点 10.含乘方的有理数混合运算 11.求一个数的近似数 12.求近似数的精确度 13.近似数推断取值范围 14.计算器-有理数 强化题型 解答题7题 知识点01:有理数乘方的相关概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 注意：负数或分数作底数时，必须用括号将底数括起来。 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 特殊数乘方结论 1的任意次幂：1n=1 -1的偶次幂：(-1)2n=1；-1的奇次幂：(-1)2n+1=-1 知识点 03 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a 10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。 【科学记数法形式：a 10n，其中1 a < 10，n 为正整数。】 2.规律方法总结： ① 科学记数法中 a 的要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键，由于 10 的指数比原来的整数位数少 1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出 10 的指数 n。 ② 记数法要求是大于 10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10 的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号。 知识点 05 有理数混合运算运算顺序（必考核心） 1.优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减 2.括号规则：有括号先算括号内，顺序：小括号( )→中括号[ ]→大括号{ } 3.同级运算（只有乘除 / 只有加减）：从左往右依次计算 4.简便优化：可灵活使用加法、乘法运算律简化计算 完整计算步骤 ① 先算所有乘方；② 统一除法为乘法，完成全部乘除；③ 最后进行加减；④ 有括号优先算括号内部。 知识点 06 准确数与近似数 准确数：完全符合实际、没有误差的数，能精确表示事物真实数量。 例：班级 45 人、一张试卷 24 道题。 近似数：与实际数值接近、存在一定误差的数，由测量、估算、四舍五入得到。 例：身高 1.65m、全国人口 14 亿。 知识点 07 近似数精确度（重难点） 1.定义：近似数精确到哪一位，就说它的精确度是哪一位。 2.基础判定方法（普通小数 / 整数） 例： 3.2 精确到十分位（0.1）； 5.46 精确到百分位（0.01）； 700 精确到个位。 3.带单位近似数判定 例：3.2 万 = 32000，精确到千位。 4.科学记数法近似数判定 例：4.5103=4500，精确到百位。 知识点 08 四舍五入取近似数方法 1.步骤：① 找到要求精确到的数位；② 观察后一位数字；③ 后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去。 2.题型分类： 1 普通数字精确到指定数位； 2 大数先四舍五入，再改写科学记数法； 3 带单位数值取近似值。 举例：把 25680 精确到千位：26000，写成2.6104 知识点09：高频易错点 1.混淆(-a)n和-an，底数判断错误，符号算反； 2.乘方运算顺序错误，先算乘除再算乘方； 3.科学记数法中a范围出错，写成a10或a<1； 4.近似数带单位、科学记数法形式，误判精确数位； 5.0、1、-1 的乘方规律记忆混乱； 6.混合运算跳步计算，符号、绝对值化简出错； 7.四舍五入时，精确数位后全部清零，遗漏末尾 0（如 2.50 精确到百分位，末尾 0 不能去掉）。 题型1.有理数幂的概念理解 【典例】的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 【跟踪专练1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【跟踪专练2】填空：___；____；____；_____；____；_____． 【答案】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 【跟踪专练3】下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据自然数的定义（自然数为非负整数，包括0和所有的正整数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数）、有理数幂的定义（在中，叫做底数，叫做指数）、相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐个判断即可得． 【详解】解：（1）0是最小的自然数；则原说法错误； （2）整数和分数统称为有理数，正数和负数不一定都是有理数，则原说法错误； （3）的底数是3，则原说法错误； （4）、互为相反数，则，原说法正确； （5）当时，，则原说法错误； 综上，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了自然数、有理数、有理数幂、相反数，熟记各概念是解题关键． 题型2.有理数的乘方运算 【典例】计算： ____________． 【答案】 【详解】解：原式． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 【详解】解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 【跟踪专练2】2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 【跟踪专练3】若，为有理数，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质，求出a和b的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型3.有理数乘方的逆运算 【典例】若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 【跟踪专练1】定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 【跟踪专练2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【跟踪专练3】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 题型4.乘方运算的符号规律 【典例】用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相反数的性质，根据题意得到a和互为相反数，进而求解即可． 【详解】∵ ∴a和互为相反数 ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】，则________． 【答案】 【分析】直接利用绝对值和平方的非负性得出的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，得到每一个算式都等于0，是解题的关键． 【跟踪专练3】观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 题型5.乘方的应用 【典例】将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） 【跟踪专练1】2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【分析】根据2026年新能源汽车年产量2025年新能源汽车年产量增长率，列式计算即可得出答案． 【详解】解：（辆）． 【跟踪专练2】日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【答案】2026 【分析】根据十六进制转换为十进制的规则，将十六进制数每一位上的数字乘以的对应幂次，再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，表示，表示，可得： ． 【跟踪专练3】生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 题型6..大数科学记数法书写 【典例】2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【详解】将用科学记数法表示，把小数点向左移动位，得到，满足，，因此． 【跟踪专练1】据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可求解； 【详解】解：将写成科学记数法的形式，先确定，满足. 原数的小数点向左共移动了位，故，故； 【跟踪专练2】2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：亿． 【跟踪专练3】被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出6根国产巨型钢丝绳的总质量，再将单位由转化为，然后用科学记数法表示出来即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：6根国产巨型钢丝绳的总质量为， ， 即这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为． 题型7.科学记数法还原原数 【典例】用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数，科学记数法指把一个数写成（其中 ，为整数）的形式，据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． 【跟踪专练2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 【跟踪专练3】神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 题型8.程序流程图与有理数计算 【典例】如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 【跟踪专练1】沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 【跟踪专练2】在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【答案】3 【分析】根据程序流程图计算即可得出结果． 【详解】解：若开始输入的值为48， 我们发现第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为． 【跟踪专练3】在如图所示的运算程序中，把从“输入的值”到“把得数当成”作为一次运行．若输入的值为，则经过次运行，输出的结果是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的运算与周期规律的探索，发现运算结果的循环周期是解题的关键． 按题中程序运算前次输出结果，即可发现运算进入了一个周期为的循环，再计算余，说明第次运行的结果与第次运行的结果相同，即可得出答案． 【详解】解：由题意， 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 第次运行：输入，是奇数，，输出结果为； 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 第次运行：输入，是奇数，，输出结果为； 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 到第次运行后，结果又回到了初始值，说明运算进入了一个周期为的循环， 计算次运行在周期中的位置： 余， 余数为，说明第次运行的结果与第次运行的结果相同， 第次运行的结果是，所以经过次运行，输出的结果是． 故选：B． 题型9.算“24”点 【典例】“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 【跟踪专练3】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 题型10.含乘方的有理数混合运算 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，首先负数的奇次幂是负数，其次符号不同的两个数相加，符号取绝对值较大的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 【详解】解： 【跟踪专练1】规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．源于中国古代重量单位制的“半斤八两”就与十六进制有关．十六进制数61换算成十进制数是（注意：），十进制数88换算成十六进制数是___． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用，熟练掌握十六进制数的进位，有理数乘方运算，是解题的关键． 将十进制数88转换为十六进制数，需使用除以16取余法，依次计算商和余数，直到商为0，然后将余数从下往上排列得到结果． 【详解】解：，商为5，余数为8； ，商为0，余数为5． 将余数从下往上读取，得到十六进制数为58． 故答案为：． 【跟踪专练3】有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 11.求一个数的近似数 【典例】将数用四舍五入法精确到为______． 【答案】 【分析】精确到，需要对千分位上的数字进行四舍五入，根据四舍五入法则即可得到结果． 【详解】解：的千分位数字为，，向百分位进， 因此用四舍五入法精确到为． 【跟踪专练1】用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，精确到百位需向百位进， ∴精确到百位得到的近似数为，即． 【跟踪专练2】一个三位小数用四舍五入法取近似值是，这个数原来最大是______，最小是______． 【答案】 【分析】本题考查了取一个数的近似数，熟练掌握四舍五入的方法是解题的关键； 根据题目要求灵活掌握解答方法，要考虑是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，由此解答问题即可求解． 【详解】解：一个三位小数，用“四舍五入”法取近似数的结果为，这个三位小数最大是，最小是； 故答案为：，． 【跟踪专练3】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 【答案】D 【分析】本题考查近似数的计算，熟练掌握取近似值的各种说法及四舍五入求近似值的方法是解题关键．根据四舍五入法，对0.05019按照各选项的精度要求进行近似计算，判断正误． 【详解】A、∵ 0.05019精确到0.1（十分位）时，百分位为5，应进位， ∴ 近似值为0.1，A正确； B、∵ 精确到0.0001（万分位）时，十万分位为9，应进位， ∴ 近似值为0.0502，B正确； C、∵ 精确到千分位时，万分位为1，应舍去， ∴ 近似值为0.050，C正确； D、∵ 精确到百分位时，千分位为0，应舍去， ∴ 近似值为0.05，但D选项为0.10，错误． 故选：D． 题型12.求近似数的精确度 【典例】2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【答案】百 【分析】将以“万”为单位的近似数还原为原数，根据近似数精确位数的判定规则，看末位有效数字在原数中对应的数位即可． 【详解】解：因为万， 所以近似数“万”精确到百位． 【跟踪专练1】自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 【跟踪专练2】对于近似数，它的有效数字有___________个． 【答案】4/四 【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，到精确位为止所有的数字都是这个数的有效数字． 【详解】近似数的有效数字有6、1、8、0四个． 故答案是：4． 【点睛】考查了有效数字的概念，解题关键是理解有效数字的定义：从左边第一个不是0的数字起，到精确位为止所有的数字都是这个数的有效数字． 【跟踪专练3】下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，根据近似数最后一位数字所在的数位确定精确度. 【详解】解：∵ 近似数的最后一位在百分位，∴ 精确到百分位，不是个位，故①错误； ∵ 近似数精确到十分位，精确到百分位，∴ 精确度不同，故②错误； ∵ 近似数万中，最后一位对应万，即，∴ 精确到百位，故③正确； ∵ 近似数的最后一位在十分位，∴ 精确到十分位，故④正确； ∴ 正确的说法有种， 故答案选：C． 【点睛】判断近似数的精确度时，需注意单位转换和最后一位数字所在的数位. 题型13.近似数推断取值范围 【典例】近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解决本题的关键． 利用近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数表示的数的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 【跟踪专练2】近似值是的最大三位小数是______，最小三位小数是______． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据“四舍五入”法即可求解，掌握“四舍五入”法是解题的关键． 【详解】解：近似值是的最大三位小数是，最小三位小数是， 故答案为：，． 【跟踪专练3】数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查四舍五入，熟练掌握四舍五入的定义是解题的关键．根据四舍五入进行判断即可． 【详解】解：数a的近似值为，那么a的真实值的范围是． 故选B． 题型14：计算器-有理数 【典例】运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查了用计算器计算的知识点．根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：． 【跟踪专练1】用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（   ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据按键顺序写出算式，求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 【跟踪专练2】用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据数字的特点得到分数，化简即可得到结果，根据数字的特点得到分数是解题的关键． 【详解】解：由题可得， ∵，， ∴， 即再按计算器的转换键显示的分数结果是， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是__________．    【答案】4 【分析】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解． 【详解】解：输入一个数后， 第一步的结果为， 第二步的结果为， 第三步的结果为， 第四步的结果为， 第五步的结果为， 第六步的结果为， 第七步的结果为， 由此可知，运算的结果六步为一个周期，， ， 第2023次按键后，显示的结果是4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键． 解答题 1．用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 2．计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是先结合题意，推导出这11个数的和，进而根据平均数的含义，求出正确的答案．因为自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；因为小明计算出的答数是．老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，因此正确的答案应在和之间；又因为，，所以可以知道这个自然数的和是在和之间，由此可以确定一定是；用除以即可得到答案． 【详解】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数； 又因为，， 所以可以知道这个自然数的和一定是， ； 答：正确答案应该是． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 5．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 6．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 7．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $