专题07平方根暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题07平方根暑假预习讲义 · 掌握平方根、算术平方根的定义与符号表示，分清二者区别，牢记被开方数a0才有意义。 · 熟记平方根性质：正数有一对互为相反数的平方根，0 的平方根、算术平方根都是 0，负数没有平方根。 · 能借助平方运算逆向求非负数的平方根、算术平方根，掌握算术平方根小数点移动变化规律并简单计算。 · 会估算算术平方根的取值范围，确定无理数介于哪两个整数之间，能求出无理数的整数部分与小数部分。 · 会利用 “平方、算术平方根具有非负性，若干非负数相加为 0 则各自为 0” 求解字母参数。 · 结合正方形面积与边长的几何模型，运用平方根完成边长、阴影面积相关计算。 · 掌握含平方根实数的大小比较方法，能判断平方根相关命题的真假，辨析常见概念误区。 · 熟练运用 “一个正数的两个平方根互为相反数” 解决参数求值题型；了解计算器开方原理，拓展数位推算思路。 · 规避高频易错点：不漏写正数的负平方根、不认为负数有平方根、正确化简，不混淆整数部分与小数部分。 知识梳理 1.平方根相关基础概念 2.平方根三大性质 3.核心恒大公式 4.开平方运算 5.算术平方根非负性 6.常见题型 7.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.求一个数的算术平方根 2.由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4求算术平方根的整数与小数部分 5.算术平方根的实际应用 6.平方根的概念理解 7.算术平方根的实际应用 8.求一个数的平方根 9.平方根的应用 10.由一个数的平方根.求这个数 强化题型 解答题7题 基础概念（课堂板书核心） 1. 平方根定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（二次方根）。 举例： 52=25，(-5)2=25，因此5是 25 的平方根。 2. 开平方运算 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方； 平方与开平方互为互逆运算，可互相检验计算结果。 3. 算术平方根定义 正数a的正的平方根称为a的算术平方根，记作； 规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 4. 标准符号书写规范 （1）a的平方根：，一正一负两个根； （2）a的算术平方根：，仅非负根； （3）：根号；a：被开方数； （4）取值硬性要求：a 0，当a<0时，无实数意义。 5. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02：平方根三大性质（课堂重点，必背） 正数：有两个平方根，二者互为相反数，正根为算术平方根； 0：仅有一个平方根，就是 0 本身，算术平方根也为 0； 负数：不存在平方根，无算术平方根。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03：核心恒等公式（板书重点，易混区分） 1.()2=a (a0) 含义：先开方再平方，结果等于被开方数，前提被开方数非负。 含义：先平方再开方，结果一定是非负数，必须加绝对值化简； 易错示例：-6，正确结果|-6|=6。 3.拓展性质：若一个正数的两个平方根分别为m、n，m+n=0（互为相反数），是参数求值题型核心等量关系。 知识点04:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 知识点05：算术平方根非负性（高频重难点） 基础结论： (a)，算术平方根恒为非负数； 初中三大非负数集合：、|a|0、a20； 核心解题定理：若若干个非负数相加和为 0，则每一项单独等于 0； 标准题型示例：已知+(y+4)2=0，可得x-2=0，y+4=0，求解字母值 知识点06:常见题型 题型 1：判断式子有无意义 解题依据：被开方数 a0，据此列不等式求解字母取值范围。 题型 2：求一个数的平方根、算术平方根。 题型 3：利用公式=a、=|a| 化简计算。 题型 4：已知平方根，求原数或字母的值（利用 “正数两个平方根互为相反数” 解题）。 知识点07:高频易错点 易错点 错误表现 正确要求 概念混淆 把平方根等同于算术平方根，漏写负号 正数平方根有两个，要写 ；算术平方根只取正数 取值范围 认为负数有平方根 负数没有平方根，被开方数必须 0 公式误用 直接写成 =a，忽略负数情况 结果为绝对值，需分正负讨论 审题不清 题干求算术平方根，却求出两个根 看清题目要求，区分 “平方根” 和 “算术平方根” 0 的理解出错 认为 0 有两个平方根 0 只有一个平方根，就是 0 本身 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】计算：______． 【答案】3 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵，∴，D错误． 【跟踪专练2】已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 【跟踪专练3】如图，长方形内两个正方形的面积分别为7，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据正方形的面积公式可得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵长方形内两个正方形的面积分别为7，1， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】利用算术平方根的非负性即可确定的取值范围． 【详解】解：，， ∵， ∴， 根据绝对值的性质，绝对值等于自身的数是非负数， ∴． 【跟踪专练1】若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出，的值，再计算 即可． 【详解】解：，，且， ， ， ． 【跟踪专练2】如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 【跟踪专练3】关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 【跟踪专练1】估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【答案】C 【分析】使用夹逼法估计无理数的大小，只需找到与29相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：，，且， ，即， 因此的值在5到6之间． 【跟踪专练2】已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 【跟踪专练3】物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式 ，其中 ，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】将已知的下落高度和重力加速度代入公式，得到的值，再通过比较被开方数大小估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】将，，代入得，， ∵，即 ， ∴下落时间介于和之间． 题型4求算术平方根的整数与小数部分 【典例】的整数部分值为________． 【答案】2 【分析】确定介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为． 【跟踪专练1】若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先找出与11相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可对应得到整数的值． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 又∵，为整数， ∴． 【跟踪专练2】已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到整数的值，再估算出的取值范围，得到小数部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∵ 是的整数部分， ∴ ， 不等式两边同时加，得 ， ∵ 是的小数部分， ∴ ， ∴ ． 【跟踪专练3】根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 先确定的整数部分m和小数部分n，然后计算的值． 【详解】解：∵  ， ∴， ∴． 故选：A． 题型5.算术平方根的实际应用 【典例】一个物体自由下落时，它所经过的距离和时间之间的关系可以用来估计．若一个物体从的高度自由下落，则它到地面的时间约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入， ∴它到地面的时间约为． 【跟踪专练1】图1是10个边长为1的正方形组成的图形纸，沿图2所示的虚线剪开，再拼成图3所示的大正方形，则大正方形的边长是（     ） A．3 B．3.5 C．10 D． 【答案】D 【分析】根据剪拼前后图形的面积不变，先求出原图形的面积，再根据正方形面积公式求出边长即可． 【详解】解：∵图形由10个边长为1的小正方形组成 ∴原图形的总面积为 ∵剪拼前后图形的面积不变，且拼成的是一个大正方形 ∴大正方形的面积为10 设大正方形的边长为，则 ∵ ∴． 【跟踪专练2】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】由正方形的面积求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积． 【详解】解：根据题意得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的长和宽分别为和， 阴影部分的面积． 【跟踪专练3】小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 题型6.平方根的概念理解 【典例】已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 【跟踪专练1】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 【跟踪专练2】若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可. 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， ， ． 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 题型7.算术平方根的实际应用 【典例】若，，则____． 【答案】 【详解】解：， 由题干可知， ∴． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 【跟踪专练2】观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 【跟踪专练3】利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 【详解】解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 题型8.求一个数的平方根 【典例】16的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 【跟踪专练1】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，需注意区分原式结果和原式结果的平方根两个概念． 【详解】解：， ， ， 又， 的平方根是， 即的平方根是． 【跟踪专练2】若，则的平方根________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x与y的值是解题的关键． 根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到，，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求出，，再代入求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∵25的平方根为， ∴的平方根是，故A正确． 题型9.平方根的应用 【典例】在学校运动会开幕式上，196名学生组成方阵，每排有______名学生． 【答案】14 【分析】本题考查了平方根的应用，由方阵的总人数等于排数的平方，得出，求解即可得出结果，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得或， ∵为正数， ∴， 故答案为：14． 【跟踪专练1】．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的实际应用，根据体积不变原理，正方体体积等于变形后的长方体体积．通过设立未知数，建立方程求解底面正方形的边长． 【详解】解：棱长为的正方体体积为， 设长方体实心铜块底面正方形的边长为，则底面积为， 由题知长方体实心铜块的高为，故体积为， 则，即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为正数， ∴， 因此，底面正方形的边长为． 故选：B． 【跟踪专练2】青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重，h表示身高．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是________ ． 【答案】 【详解】解：设小红的身高为， 由题意得， 整理得， 解得（负值舍去），则她的身高是． 【跟踪专练3】若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型10.由一个数的平方根.求这个数 【典例】已知一个正数的两个平方根分别为和，那么＝_________． 【答案】16 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解的值，再根据平方根的定义求出的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ， 整理得， 解得， 将代入得， ． 【跟踪专练1】若一个正数的两个不同的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．49 【答案】B 【分析】根据平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 【跟踪专练2】已知实数的两个不同的平方根是和，则的值为___________________________． 【答案】49 【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ． 【跟踪专练3】若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根即的算术平方根， ∴的算术平方根为． ∴结果为． 解答题 1．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)的值为 (2)的算术平方根为 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：，解方程即可求出的值； （2）根据的值求出的一个平方根的值，即可求出的值，把和的值代入求值，再求出它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 的值为； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 2．已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 3．已知，求a，b，c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质．根据非负数的性质，令每个非负项分别为零，得到方程组，再求解方程组得出a，b，c的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 4．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的取值范围即可； （2）仿照示例作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵m是的整数部分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6， 所以可以取，则， 则． 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 6．靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是． (1)求红纸的长和宽； (2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3） 【答案】(1)红纸的长为，宽为 (2)能够剪出来，计算过程见解析 【分析】（1）设红纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设完整的圆形剪纸的半径为，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设红纸的长为，宽为，根据题意，得： ， ， ． ， ， ， 答：红纸的长为，宽为． （2）解：能够剪出来． 设完整的圆形剪纸的半径为， 则． 取3， ， 解得（负值已舍去）， ， 她能够完整剪出来． 7．综合与实践：为宣传恩施旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的恩施景点卡片，并给每张卡片制作了一个特色的封皮袋． 课题 恩施州景点卡片及封皮袋制作 分工 男生制作正方形卡片，女生制作长方形封皮袋 图示    相关数据及说明 正方形卡片面积为；长方形封皮袋长与宽的比是，面积为 任务 请你通过计算，判断卡片能否直接装进封皮袋中 【答案】卡片能直接装进封皮袋中 【分析】由题意得，正方形卡片的边长为，设长方形封皮袋的长为，宽为，根据长方形的面积列方程求出的值，进而求出长方形的长和宽，即可判断． 【详解】解：由题意得，正方形卡片的边长为， 设长方形封皮袋的长为，宽为， 则 根据实际意义，解得， 长方形封皮袋的长为，宽为， ，， 卡片能直接装进封皮袋中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平方根暑假预习讲义 · 掌握平方根、算术平方根的定义与符号表示，分清二者区别，牢记被开方数a0才有意义。 · 熟记平方根性质：正数有一对互为相反数的平方根，0 的平方根、算术平方根都是 0，负数没有平方根。 · 能借助平方运算逆向求非负数的平方根、算术平方根，掌握算术平方根小数点移动变化规律并简单计算。 · 会估算算术平方根的取值范围，确定无理数介于哪两个整数之间，能求出无理数的整数部分与小数部分。 · 会利用 “平方、算术平方根具有非负性，若干非负数相加为 0 则各自为 0” 求解字母参数。 · 结合正方形面积与边长的几何模型，运用平方根完成边长、阴影面积相关计算。 · 掌握含平方根实数的大小比较方法，能判断平方根相关命题的真假，辨析常见概念误区。 · 熟练运用 “一个正数的两个平方根互为相反数” 解决参数求值题型；了解计算器开方原理，拓展数位推算思路。 · 规避高频易错点：不漏写正数的负平方根、不认为负数有平方根、正确化简，不混淆整数部分与小数部分。 知识梳理 1.平方根相关基础概念 2.平方根三大性质 3.核心恒大公式 4.开平方运算 5.算术平方根非负性 6.常见题型 7.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.求一个数的算术平方根 2.由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4求算术平方根的整数与小数部分 5.算术平方根的实际应用 6.平方根的概念理解 7.算术平方根的实际应用 8.求一个数的平方根 9.平方根的应用 10.由一个数的平方根.求这个数 强化题型 解答题7题 基础概念（课堂板书核心） 1. 平方根定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（二次方根）。 举例： 52=25，(-5)2=25，因此5是 25 的平方根。 2. 开平方运算 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方； 平方与开平方互为互逆运算，可互相检验计算结果。 3. 算术平方根定义 正数a的正的平方根称为a的算术平方根，记作； 规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 4. 标准符号书写规范 （1）a的平方根：，一正一负两个根； （2）a的算术平方根：，仅非负根； （3）：根号；a：被开方数； （4）取值硬性要求：a 0，当a<0时，无实数意义。 5. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02：平方根三大性质（课堂重点，必背） 正数：有两个平方根，二者互为相反数，正根为算术平方根； 0：仅有一个平方根，就是 0 本身，算术平方根也为 0； 负数：不存在平方根，无算术平方根。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03：核心恒等公式（板书重点，易混区分） 1.()2=a (a0) 含义：先开方再平方，结果等于被开方数，前提被开方数非负。 含义：先平方再开方，结果一定是非负数，必须加绝对值化简； 易错示例：-6，正确结果|-6|=6。 3.拓展性质：若一个正数的两个平方根分别为m、n，m+n=0（互为相反数），是参数求值题型核心等量关系。 知识点04:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 知识点05：算术平方根非负性（高频重难点） 基础结论： (a)，算术平方根恒为非负数； 初中三大非负数集合：、|a|0、a20； 核心解题定理：若若干个非负数相加和为 0，则每一项单独等于 0； 标准题型示例：已知+(y+4)2=0，可得x-2=0，y+4=0，求解字母值 知识点06:常见题型 题型 1：判断式子有无意义 解题依据：被开方数 a0，据此列不等式求解字母取值范围。 题型 2：求一个数的平方根、算术平方根。 题型 3：利用公式=a、=|a| 化简计算。 题型 4：已知平方根，求原数或字母的值（利用 “正数两个平方根互为相反数” 解题）。 知识点07:高频易错点 易错点 错误表现 正确要求 概念混淆 把平方根等同于算术平方根，漏写负号 正数平方根有两个，要写 ；算术平方根只取正数 取值范围 认为负数有平方根 负数没有平方根，被开方数必须 0 公式误用 直接写成 =a，忽略负数情况 结果为绝对值，需分正负讨论 审题不清 题干求算术平方根，却求出两个根 看清题目要求，区分 “平方根” 和 “算术平方根” 0 的理解出错 认为 0 有两个平方根 0 只有一个平方根，就是 0 本身 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知实数和满足，则的值为__________． 【跟踪专练3】如图，长方形内两个正方形的面积分别为7，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（   ） A．2 B． C．3 D． 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 【跟踪专练1】若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【跟踪专练2】如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【跟踪专练3】关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】若，其中n为正整数，则_______． 【跟踪专练1】估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【跟踪专练2】已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【跟踪专练3】物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式 ，其中 ，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 题型4求算术平方根的整数与小数部分 【典例】的整数部分值为________． 【跟踪专练1】若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 【跟踪专练3】根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型5.算术平方根的实际应用 【典例】一个物体自由下落时，它所经过的距离和时间之间的关系可以用来估计．若一个物体从的高度自由下落，则它到地面的时间约为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】图1是10个边长为1的正方形组成的图形纸，沿图2所示的虚线剪开，再拼成图3所示的大正方形，则大正方形的边长是（     ） A．3 B．3.5 C．10 D． 【跟踪专练2】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______． 【跟踪专练3】小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 题型6.平方根的概念理解 【典例】已知是9的平方根，则的值是__________． 【跟踪专练1】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【跟踪专练2】若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 题型7.算术平方根的实际应用 【典例】若，，则____． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【跟踪专练3】利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 题型8.求一个数的平方根 【典例】16的平方根是______． 【跟踪专练1】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的平方根________． 【跟踪专练3】已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 题型9.平方根的应用 【典例】在学校运动会开幕式上，196名学生组成方阵，每排有______名学生． 【跟踪专练1】．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重，h表示身高．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是________ ． 【跟踪专练3】若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 题型10.由一个数的平方根.求这个数 【典例】已知一个正数的两个平方根分别为和，那么＝_________． 【跟踪专练1】若一个正数的两个不同的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．49 【跟踪专练2】已知实数的两个不同的平方根是和，则的值为___________________________． 【跟踪专练3】若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 解答题 1．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 2．已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 3．已知，求a，b，c的值． 4．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 5．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 6．靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是． (1)求红纸的长和宽； (2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3） 7．综合与实践：为宣传恩施旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的恩施景点卡片，并给每张卡片制作了一个特色的封皮袋． 课题 恩施州景点卡片及封皮袋制作 分工 男生制作正方形卡片，女生制作长方形封皮袋 图示    相关数据及说明 正方形卡片面积为；长方形封皮袋长与宽的比是，面积为 任务 请你通过计算，判断卡片能否直接装进封皮袋中 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $