专题13相似多边形与图形的位似暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题13相似多边形与图形的位似暑假预习讲义 1. 理解相似多边形的定义，掌握相似多边形两大核心特征：对应角相等、对应边成比例；熟记相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，能类比相似三角形性质完成基础计算。 2. 能够准确判断两个多边形是否相似，厘清相似多边形与相似三角形的联系和区别，明白三角形相似可直接判定，边数大于3的多边形必须同时满足角、边双重条件才可判定相似。 3. 认识位似图形、位似中心的概念，知晓位似属于特殊的相似，位似图形不仅满足相似所有性质，每组对应顶点连线都相交于同一点（位似中心）。 4. 掌握平面直角坐标系中图形位似缩放规律：熟记坐标放大、缩小的变化法则，会依照指定相似比画出已知图形的位似图形，能根据图形变化反推坐标数值。 5. 区分位似变换与平移、轴对称、旋转的不同之处，了解位似在图片缩放、绘图制图中的实际用途。 6. 梳理本节高频易错点：忽略多边形相似需要边角双重条件、位似中心位置不同坐标变化区分不清、缩放正负方向混淆；逐步提升图形变换空间想象能力。 预习必备 知识梳理 1.相似多边形的定义 2.相似比 3.相似多边形的性质 4.位似图形的定义 5.位似图形的性质 6.位似图形的作图步骤 7.平面直角坐标系中的位似变换 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相似多边形 2.相似图形 3.相似多边形的性质 4.求位似图形的对应坐标 5.位似图形的识别 6.判断位似中心 7.位似图形相关概念辨析 8.求两个位似图形的相似比 9.作已知图形缩放n倍的位似图形 10.坐标系位似图形比值计算 11.在坐标系中画位似图形 12.在坐标系中画位似中心 13.坐标与图形综合 强化题型 解答题6题 知识点 01 相似多边形定义 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 ⚠️两个条件缺一不可： ① 所有对应角相等；② 所有对应边对应成比例。 ✅举例：正方形与正方形相似；正五边形与正五边形相似。 ❌反例：矩形与矩形不一定相似（边不一定成比例）；菱形与菱形不一定相似（角不一定相等）。 书写规范：对应顶点按照顺序书写，如四边形ABCD四边形A'B'C'D'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别： 若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点 04 位似图形定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个公共点叫做位似中心。 ⚠️核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 1.位似三要素 1 两个图形相似； 2 对应顶点连线交于同一点（位似中心）； 3 对应边互相平行（或共线）。 2.位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点 05 位似图形的性质 1.位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形一切性质； 2.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）； 3.对应线段互相平行（或在同一直线上）； 4.对应角相等。 知识点 06 位似作图标准步骤 1.确定位似中心； 2.在原图上选取若干关键点； 3.分别连接位似中心与各关键点，并延长（或截取）； 4.根据给定位似比，在射线上截取对应点； 5.顺次连接得到的各对应点，得到位似图形。 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。 知识点 07 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 知识点08：高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 相似多边形判定 只看角相等或者只看边成比例就判定相似 必须同时满足：对应角全部相等、对应边全部成比例 相似多边形面积比 混淆相似比与面积比，忘记平方 周长比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方 位似与相似关系 认为相似图形就是位似图形 位似⇒相似；相似不能推出位似，需要满足连线共点、对应边平行 坐标系位似坐标 只记住(kx,ky)，忽略(-kx,-ky)两种情况 原点为位似中心存在两种位似图形 位似作图 不延长射线，随意找点；比例截取错误 对应点必须在位似中心与顶点的连线上 正多边形相似判断 认为任意多边形都相似 只有边数相同的正多边形才一定相似 题型1.相似多边形 【典例】下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【跟踪专练1】如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______． 【跟踪专练2】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【跟踪专练3】如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 题型相似图形 【典例】如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）． 【跟踪专练1】下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 【跟踪专练3】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠ADC＝120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1＝120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2＝120°…；按此规律，菱形AC2020C2021D2021的面积为_____． 题型3.相似多边形的性质 【典例】五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【跟踪专练3】如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 题型4.求位似图形的对应坐标 【典例】如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练3】如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 题型5.位似图形的识别 【典例】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【跟踪专练1】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【跟踪专练2】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6.判断位似中心 【典例】如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【跟踪专练2】如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 题型7.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__． 【跟踪专练1】如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为，则的面积为______． 【跟踪专练2】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 题型8.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 【跟踪专练1】如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型9.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【跟踪专练1】将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【跟踪专练2】如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 题型10.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与是以O为位似中心的位似图形，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 题型11.在坐标系中画位似图形 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 题型12.在坐标系中画位似中心 【典例】在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型13.坐标与图形综合 【典例】将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 1．如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 2．在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)以点为位似中心，在方格纸中画出，使它与的位似比为； (3)在的内部取一点，则点在中的对应点的坐标为___________． 3．如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 5．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 6．已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13相似多边形与图形的位似暑假预习讲义 1. 理解相似多边形的定义，掌握相似多边形两大核心特征：对应角相等、对应边成比例；熟记相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，能类比相似三角形性质完成基础计算。 2. 能够准确判断两个多边形是否相似，厘清相似多边形与相似三角形的联系和区别，明白三角形相似可直接判定，边数大于3的多边形必须同时满足角、边双重条件才可判定相似。 3. 认识位似图形、位似中心的概念，知晓位似属于特殊的相似，位似图形不仅满足相似所有性质，每组对应顶点连线都相交于同一点（位似中心）。 4. 掌握平面直角坐标系中图形位似缩放规律：熟记坐标放大、缩小的变化法则，会依照指定相似比画出已知图形的位似图形，能根据图形变化反推坐标数值。 5. 区分位似变换与平移、轴对称、旋转的不同之处，了解位似在图片缩放、绘图制图中的实际用途。 6. 梳理本节高频易错点：忽略多边形相似需要边角双重条件、位似中心位置不同坐标变化区分不清、缩放正负方向混淆；逐步提升图形变换空间想象能力。 预习必备 知识梳理 1.相似多边形的定义 2.相似比 3.相似多边形的性质 4.位似图形的定义 5.位似图形的性质 6.位似图形的作图步骤 7.平面直角坐标系中的位似变换 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.相似多边形 2.相似图形 3.相似多边形的性质 4.求位似图形的对应坐标 5.位似图形的识别 6.判断位似中心 7.位似图形相关概念辨析 8.求两个位似图形的相似比 9.作已知图形缩放n倍的位似图形 10.坐标系位似图形比值计算 11.在坐标系中画位似图形 12.在坐标系中画位似中心 13.坐标与图形综合 强化题型 解答题6题 知识点 01 相似多边形定义 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 ⚠️两个条件缺一不可： ① 所有对应角相等；② 所有对应边对应成比例。 ✅举例：正方形与正方形相似；正五边形与正五边形相似。 ❌反例：矩形与矩形不一定相似（边不一定成比例）；菱形与菱形不一定相似（角不一定相等）。 书写规范：对应顶点按照顺序书写，如四边形ABCD四边形A'B'C'D'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别： 若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点 04 位似图形定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个公共点叫做位似中心。 ⚠️核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 1.位似三要素 1 两个图形相似； 2 对应顶点连线交于同一点（位似中心）； 3 对应边互相平行（或共线）。 2.位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点 05 位似图形的性质 1.位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形一切性质； 2.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）； 3.对应线段互相平行（或在同一直线上）； 4.对应角相等。 知识点 06 位似作图标准步骤 1.确定位似中心； 2.在原图上选取若干关键点； 3.分别连接位似中心与各关键点，并延长（或截取）； 4.根据给定位似比，在射线上截取对应点； 5.顺次连接得到的各对应点，得到位似图形。 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。 知识点 07 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 知识点08：高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 相似多边形判定 只看角相等或者只看边成比例就判定相似 必须同时满足：对应角全部相等、对应边全部成比例 相似多边形面积比 混淆相似比与面积比，忘记平方 周长比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方 位似与相似关系 认为相似图形就是位似图形 位似⇒相似；相似不能推出位似，需要满足连线共点、对应边平行 坐标系位似坐标 只记住(kx,ky)，忽略(-kx,-ky)两种情况 原点为位似中心存在两种位似图形 位似作图 不延长射线，随意找点；比例截取错误 对应点必须在位似中心与顶点的连线上 正多边形相似判断 认为任意多边形都相似 只有边数相同的正多边形才一定相似 题型1.相似多边形 【典例】下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 【跟踪专练1】如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______． 【答案】 【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可． 【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a， ∵得到的矩形都和原来的矩形相似， ∴， 则， ∴， ∴这些型号的复印纸的长宽之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 【跟踪专练2】如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似多边形的性质、折叠的性质，设直线交于点，交于点，由折叠的性质并结合矩形的性质可得，再由矩形矩形，得出，即，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：设直线交于点，交于点， ， 由矩形的性质可得：， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 题型相似图形 【典例】如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）． 【答案】⑥④⑤ 【分析】需逐一分析每个图形与其他图形的形状是否相同． 【详解】解：分析图形①：图形①与图形⑥形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形②：图形②与图形④形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形③：图形③与图形⑤形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 综上，图形①和图形⑥是相似图形，图形②和图形④是相似图形，图形③和图形⑤是相似图形． 故答案依次为：⑥、④、⑤． 【点睛】本题考查了相似图形的知识点，解题关键是理解相似图形形状相同、大小可不同的特点，通过观察图形的形状来判断是否为相似图形． 【跟踪专练1】下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查形状相同图形即相似图形的概念，只需逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：形状相同的图形要求对应角相等，对应边成比例，仅大小可以不同. ①∵所有圆仅半径不同，形状完全一致， ∴①正确； ②∵所有正方形的内角均为，对应边一定成比例， ∴所有正方形形状都相同，②正确； ③∵等腰三角形的内角度数不固定，对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不同角度的等腰三角形形状不同， ∴③错误； ④∵矩形的长与宽的比值不一定相等，对应边不成比例，不同长宽比的矩形形状不同， ∴④错误； 综上，正确的说法共2个． 故选：B． 【跟踪专练2】某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的性质．根据相似图形的性质即可求解． 【详解】解：依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大，的度数保持不变． 故选：D 【跟踪专练3】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠ADC＝120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1＝120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2＝120°…；按此规律，菱形AC2020C2021D2021的面积为_____． 【答案】 【分析】根据题意，可以求得菱形ABCD的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积． 【详解】解：作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如右图所示， 由已知可得， ∠ABC＝120°，BC＝1，∠CAB＝30°， ∴∠CBE＝60°， ∴∠BCE＝30°， ∴CE＝， ∴AC＝， ∴菱形ABCD的面积是1×＝， ∵＝，图中的菱形都是相似的， ∴菱形AC2020C2021D2021的面积为：×[（）2]2021＝×（）4042＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答． 题型3.相似多边形的性质 【典例】五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 【跟踪专练1】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似多边形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 【跟踪专练3】如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可知：矩形矩形， ， ， ， 整理得：， ， 解得：或(负值，舍去)， 故选：B． 题型4.求位似图形的对应坐标 【典例】如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____． 【答案】或 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，且， ∴点C的对应点的坐标为或，即或． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为， ∵如图，点的对应点为在第四象限， ∴的坐标为，即． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． 题型5.位似图形的识别 【典例】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 【跟踪专练2】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 题型6.判断位似中心 【典例】如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 【跟踪专练2】如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 题型7.位似图形相关概念辨析 【典例】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__． 【答案】27 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=． ∵△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积为27． 【跟踪专练1】如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 由位似图形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解： A、由位似图形可知，，，故选项A正确，不符合题目要求， B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求， C、由位似图形可知，相似比为，，又三点共线，，故选项C错误，符合题目要求， D、由位似图形可知，相似比为，，故选项D正确，不符合题目要求． 故选：C． 题型8.求两个位似图形的相似比 【典例】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即．再根据相似三角形的周长比等于相似比，结合已知条件求出相似比，进而求出的周长． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，且等于相似比． ， ． 与的相似比为． 相似三角形的周长比等于相似比，． 的周长等于， 的周长． 【跟踪专练1】如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 【跟踪专练2】如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两点间距离公式求出两个三角形的位似比，过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，易证明，则，据此求出、长，从而求出点的坐标． 【详解】解：、、， 、， ， 即与的位似比为， 过点D作轴于点E，过点B作轴于点F， ， ， ， ， 、， 、， ， 解得：、， ， 点D的坐标为． 题型9.作已知图形缩放n倍的位似图形 【典例】如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接并延长到使得，则点是点A的对应点，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点， 故选A． 【跟踪专练1】将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换， ∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变换得到的对应点的坐标是或是解题的关键． 以O为位似中心，将放大2倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以即可解答． 【详解】解：∵放大为原来的2倍，点的对应点， ∴点的坐标是或，即或． 故答案为：D． 题型10.坐标系位似图形比值计算 【典例】如图，与是以O为位似中心的位似图形，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，， ∴与的面积比是． 【跟踪专练1】如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 题型11.在坐标系中画位似图形 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 【跟踪专练1】如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 题型12.在坐标系中画位似中心 【典例】在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，求一次函数解析式，根据点B和点E的坐标可得直线即为直线，利用待定系数法求出直线解析式，再根据位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴直线即为直线， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心， ∴点H即为直线和直线的交点， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 题型13.坐标与图形综合 【典例】将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形缩放的面积变化规律，需明确横、纵坐标同乘一个数时，图形在两个坐标轴方向的缩放比例与面积缩放比例的关系． 【详解】解：∵将图形各个点的横坐标、纵坐标都乘3， ∴图形在轴方向的缩放比例为3，在轴方向的缩放比例也为3， 又∵平面图形缩放后，面积的缩放比例为各坐标轴方向缩放比例的乘积， ∴所得图形的面积是原图形的倍， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点，，的坐标求出的长及点到轴的距离，利用三角形面积公式求出，设点的坐标为，表示出的长，根据题意列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】，，， ，， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为， ， ， ， 解得：或， 或， 点的坐标为或． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键． 画出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，满足条件的点有三个，分别为 故选：C 解答题 1．如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 2．在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)以点为位似中心，在方格纸中画出，使它与的位似比为； (3)在的内部取一点，则点在中的对应点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似三角形，画位似三角形，解题的关键是掌握位似三角形的定义和性质． （1）找出位似中心，然后得出坐标即可； （2）根据位似三角形的性质画出位似三角形即可； （3）根据位似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点为位似中心， ∴点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵与的位似比为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点，得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】解：∵与位似，点O是位似中心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可以假设的面积为，的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到； （2）解：以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，分别延长、、到点、、，使得、、，得到放大后的． 5．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)点， (2) (3) 【分析】（1）利用平方数与绝对值的非负性，若两个非负数的和为 0，则各自为 0，求出 、 的值，即可得到坐标； （2）利用三角形面积公式，根据建立等式，求出长度，结合在轴负半轴确定坐标； （3）用割补法：过点作轴于，利用梯形、三角形面积和差求解． 【详解】（1）解：， 且 ，， ，， 解得 ，， 点 ，点 ． （2）解：由题意：，，， ，，， ， 设，， ， ， ， 解得， ． （3）解：过点作轴于， 则，，，，， ． 6．已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $