第16讲 相似多边形与图形的位似（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第16讲 相似多边形与图形的位似 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 相似多边形的判定与性质 题型2 图形相似的实际应用 题型3 图形的位似及坐标应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似多边形、相似比 对应角相等 对应边成比例 周长比、面积比 图形相似 图形放大与缩小 地图比例尺 位似图形 位似中心、位似比 位似作图、坐标系中的位似 1.理解相似多边形的定义，掌握“对应角相等、对应边成比例”是判断两个多边形相似的基本条件，能够根据对应顶点顺序准确写出相似关系和比例式。 2.掌握相似多边形的性质，知道相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能利用这些性质求对应边、周长或面积。 3.理解图形相似的含义，知道图形在放大或缩小的过程中形状不变、大小可以改变，能够结合地图、照片、模型、标准纸对折等实际情境解决简单问题。 4.理解位似图形、位似中心和位似比的概念，知道位似图形一定是相似图形，并能根据对应点连线是否交于同一点判断两个图形是否位似。 5.掌握位似图形放大与缩小的基本规律，能够根据给定的位似中心和位似比画出简单图形的位似图形。 6.掌握以坐标原点为位似中心时的坐标变化规律，能够根据位似比求对应点坐标，并能区分位似图形在原点同侧和异侧时坐标符号的变化。 学习重点：掌握相似多边形与位似图形的基本概念和性质。学习时要重点理解相似多边形中“对应角相等、对应边成比例”的含义，能够准确找出对应顶点和对应边，并正确列出比例式。同时，要熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，能够区分边长、周长和面积在图形放缩中的变化规律。对于位似图形，要重点掌握位似中心、位似比以及坐标系中位似变换的坐标规律。 学习难点：相似多边形对应关系的判断和位似图形位置关系的理解。判断相似多边形时，不能只根据图形名称或外观判断，例如两个矩形、两个菱形不一定相似，必须同时满足对应角相等、对应边成比例。解决比例尺、照片放缩、图形面积变化等实际问题时，要分清长度比和面积比，避免把相似比直接当作面积比使用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似多边形 1.相似多边形的定义 一般地，对应角 ，对应边 的两个多边形叫作 。 相似多边形对应边的比也叫作 。 符号表示：如图，四边形ABCD与四边形相似，记作四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′。AB与A′B′的比就是它们的相似比。 2.相似多边形的性质 与相似三角形类似，相似多边形有以下性质： ①相似多边形的周长之比等于 。 ②相似多边形的面积之比等于 。 3.图形的相似 由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持 （大小可以改变），这样的图形改变叫作图形的相似。 在生活中的应用：地图的绘制、照片的放大与缩小等。 4.经典比例模型（标准纸对折） 矩形纸张的长与宽之比为 ​，沿长边对折，所得的矩形纸张与原来的矩形纸张相似。 即时即练如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长比为________． 【易错提醒】 (1)特殊四边形的相似误区：所有的矩形不一定相似，所有的菱形也不一定相似。只有边长成比例且对应角相等（例如所有的正方形都相似，所有的正六边形都相似）才是相似多边形。不能仅凭“都是矩形”或“都是菱形”就判定相似。 (2)对应边找准找对：在相似多边形中写比例式时，必须严格按照对应顶点找对应边，遵循“短边对短边，长边对长边”的原则，不要想当然地将任意两条边进行比例配对。 (3)面积比等于相似比的平方：相似多边形的面积之比等于相似比的平方。在计算实际地图面积或图形缩放后的面积时，切记不能直接用相似比去乘，而必须先平方。 知识点02 图形的位似 1.位似图形的定义 如果两个图形满足以下两个条件： ①所有经过对应点的直线都 ； ②这个交点到 的距离之比都相等。 那么这两个图形就叫作 。经过各对应两点的直线的交点叫作 。位似中心到两个对应点的距离之比叫作 。 2.位似与相似的关系 位似多边形必定是 ，位似比也就是相似比。 3.位似图形的放大与缩小 ①若所画图形与原图形的位似比大于 1，则将图形 ； ②若所画图形与原图形的位似比小于 1，则将原图形 。 工具应用：放缩尺（可将图形进行放大或缩小）。 4.以坐标原点为位似中心的坐标规律 当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为 或 。 5.位似图形的尺规作图要点 ①连接原图形的各个顶点与位似中心（如原点O）； ②在对应的射线上（或反向延长线上）截取新的点，使对应点到中心点的距离等于原点到中心点距离的k倍； ③依次连结新的点，即可得到放大或缩小的位似图形。 即时即练如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)位似与相似的关系辨析：位似图形必定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似图形除了形状相同、大小成比例外，还有严格的位置要求——即“所有对应点的连线必须相交于同一点（位似中心）”。 (2)位似比与放大缩小的对应：若位似比大于 1，图形被放大；若位似比小于 1，图形被缩小。在设位似比时，建议用小的顶点坐标比对大的顶点坐标，避免求出比值后进行转化时产生混淆。 题型1 相似多边形的判定与性质 【例1】下列命题中正确的个数为（ ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 【例2】小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)判断两个多边形是否相似时，不能只看图形名称或外观相同，必须同时满足“对应角相等、对应边成比例”。 (2)在坐标或位似图形中利用相似性质时，要分清对应点和对应边。若位似比为1:3，则对应边、周长放大到3倍，但对应角不变，坐标也要按相同比例变化。 【变式1-1】手工课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案分别是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边．如果每个图案中花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内、外边缘各自所围成的几何图形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（ ） A． B． C．点的坐标为 D．五边形的周长是五边形周长的3倍 题型2 图形相似的实际应用 【例3】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）. A．或 B．或 C． D． 【易错提醒】 (1)投影、照片放大、图案缩放等问题的核心是“形状保持不变”，也就是图形相似。解题时先确定原图形和变化后图形的对应长边、短边，再列比例式求解。 (2)矩形类实际问题容易出错：两个矩形不一定相似，必须看长宽比是否相同。花边、屏幕、纸张折叠等问题中，要特别注意对应边的比例关系是否保持一致。 (3)标准纸对折问题中，若对折后的小矩形与原矩形相似，要注意原矩形的长边与小矩形的宽边可能对应，不能简单地把长对长、宽对宽直接列比例。 【变式2-1】如图，矩形纸片中，，分别是的中点，将矩形沿所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形相似，则用等式表示与的数量关系为________． 【变式2-2】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 题型3 图形的位似及坐标应用 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是____________． 【例6】如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 【易错提醒】 (1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。判断位似时，关键看对应点的连线是否交于同一点，这个交点就是位似中心。 (2)位似图形的面积比等于位似比的平方。已知位似比或中心到对应点的距离比时，先求出相似比，再根据题目要求判断是求边长、周长、坐标还是面积。 【变式3-1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． A组 基础过关 1．下列说法正确的是（ ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 2．如图，已知，若，，则的长为（ ）． A．12 B．13 C．14 D．15 3．下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，以点为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且四边形与四边形的相似比为，则下列说法错误的是（ ） A．四边形四边形 B．点，，三点在同一直线上 C． D． 6．如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（ ） A． B． C． D． 7．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 8．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 9．如图，四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为．若的长为3，则的长为（ ） A． B．4 C． D．5 10．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A． B． C． D． B组 综合提升 11．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（ ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 12．如果五边形五边形，且相似比为，则这两个五边形各自全部对角线的乘积的比值为（ ） A． B． C． D． 13．如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 14．如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（ ） A． B． C． D． 15．如图，与位似，位似中心是点O，且，若的面积为8，则的面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 16．《墨子》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，四边形的四个顶点在以为圆心的圆上，则该圆的周长为（ ） A． B． C． D． 17．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 19．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ） A． B．2 C． D．4 C组 挑战突破 21．下列命题①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O为△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点分别为、、，则有△ ∽△ABC.其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 23．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案. （1）与位似的三角形是______； （2）已知的面积是3，则的面积为______． 24．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为__________． 25．如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 26．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A． B． C． D． 27．如图，已知平行四边形的面积为24，以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，连接、．则的面积为_____． 28．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 29．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 30．图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 相似多边形与图形的位似 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 相似多边形的判定与性质 题型2 图形相似的实际应用 题型3 图形的位似及坐标应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似多边形、相似比 对应角相等 对应边成比例 周长比、面积比 图形相似 图形放大与缩小 地图比例尺 位似图形 位似中心、位似比 位似作图、坐标系中的位似 1.理解相似多边形的定义，掌握“对应角相等、对应边成比例”是判断两个多边形相似的基本条件，能够根据对应顶点顺序准确写出相似关系和比例式。 2.掌握相似多边形的性质，知道相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能利用这些性质求对应边、周长或面积。 3.理解图形相似的含义，知道图形在放大或缩小的过程中形状不变、大小可以改变，能够结合地图、照片、模型、标准纸对折等实际情境解决简单问题。 4.理解位似图形、位似中心和位似比的概念，知道位似图形一定是相似图形，并能根据对应点连线是否交于同一点判断两个图形是否位似。 5.掌握位似图形放大与缩小的基本规律，能够根据给定的位似中心和位似比画出简单图形的位似图形。 6.掌握以坐标原点为位似中心时的坐标变化规律，能够根据位似比求对应点坐标，并能区分位似图形在原点同侧和异侧时坐标符号的变化。 学习重点：掌握相似多边形与位似图形的基本概念和性质。学习时要重点理解相似多边形中“对应角相等、对应边成比例”的含义，能够准确找出对应顶点和对应边，并正确列出比例式。同时，要熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，能够区分边长、周长和面积在图形放缩中的变化规律。对于位似图形，要重点掌握位似中心、位似比以及坐标系中位似变换的坐标规律。 学习难点：相似多边形对应关系的判断和位似图形位置关系的理解。判断相似多边形时，不能只根据图形名称或外观判断，例如两个矩形、两个菱形不一定相似，必须同时满足对应角相等、对应边成比例。解决比例尺、照片放缩、图形面积变化等实际问题时，要分清长度比和面积比，避免把相似比直接当作面积比使用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似多边形 1.相似多边形的定义 一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 相似多边形对应边的比也叫作相似比。 符号表示：如图，四边形ABCD与四边形相似，记作四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′。AB与A′B′的比就是它们的相似比。 2.相似多边形的性质 与相似三角形类似，相似多边形有以下性质： ①相似多边形的周长之比等于相似比。 ②相似多边形的面积之比等于相似比的平方。 3.图形的相似 由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫作图形的相似。 在生活中的应用：地图的绘制、照片的放大与缩小等。 4.经典比例模型（标准纸对折） 矩形纸张的长与宽之比为​，沿长边对折，所得的矩形纸张与原来的矩形纸张相似。 即时即练如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长比为________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得，根据相似多边形的性质即可解题． 【详解】解：四边形与四边形位似， ，四边形与四边形相似， ， ， ， ， 四边形与四边形的周长比是， 故答案为： 【易错提醒】 (1)特殊四边形的相似误区：所有的矩形不一定相似，所有的菱形也不一定相似。只有边长成比例且对应角相等（例如所有的正方形都相似，所有的正六边形都相似）才是相似多边形。不能仅凭“都是矩形”或“都是菱形”就判定相似。 (2)对应边找准找对：在相似多边形中写比例式时，必须严格按照对应顶点找对应边，遵循“短边对短边，长边对长边”的原则，不要想当然地将任意两条边进行比例配对。 (3)面积比等于相似比的平方：相似多边形的面积之比等于相似比的平方。在计算实际地图面积或图形缩放后的面积时，切记不能直接用相似比去乘，而必须先平方。 知识点02 图形的位似 1.位似图形的定义 如果两个图形满足以下两个条件： ①所有经过对应点的直线都相交于同一点； ②这个交点到两个对应点的距离之比都相等。 那么这两个图形就叫作位似图形。经过各对应两点的直线的交点叫作位似中心。位似中心到两个对应点的距离之比叫作位似比。 2.位似与相似的关系 位似多边形必定是相似多边形，位似比也就是相似比。 3.位似图形的放大与缩小 ①若所画图形与原图形的位似比大于 1，则将图形放大； ②若所画图形与原图形的位似比小于 1，则将原图形缩小。 工具应用：放缩尺（可将图形进行放大或缩小）。 4.以坐标原点为位似中心的坐标规律 当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(−kx,−ky)。 5.位似图形的尺规作图要点 ①连接原图形的各个顶点与位似中心（如原点O）； ②在对应的射线上（或反向延长线上）截取新的点，使对应点到中心点的距离等于原点到中心点距离的k倍； ③依次连结新的点，即可得到放大或缩小的位似图形。 即时即练如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的性质求点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴与的位似比为，且B的坐标为， ∴点D的坐标为，即． 【易错提醒】 (1)位似与相似的关系辨析：位似图形必定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似图形除了形状相同、大小成比例外，还有严格的位置要求——即“所有对应点的连线必须相交于同一点（位似中心）”。 (2)位似比与放大缩小的对应：若位似比大于 1，图形被放大；若位似比小于 1，图形被缩小。在设位似比时，建议用小的顶点坐标比对大的顶点坐标，避免求出比值后进行转化时产生混淆。 题型1 相似多边形的判定与性质 【例1】下列命题中正确的个数为（ ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题，相似图形的判定，相似三角形的判定，根据相似图形的判定定理逐一判断即可，掌握相似图形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：（1）平行四边形邻边比相等但对应角不一定相等，不一定是相似形，错误； （2）四角相等均为但对应边不一定成比例，不一定是相似图形，错误； （3）等腰三角形腰上的高与腰的比等于顶角正弦值，但顶角相等或互补时比相同，而互补时三角形不相似，错误． （4）有两边及第三边上的高对应成比例，高可能在三角形内或三角形外，两三角形不一定相似，错误． （5）直角三角形两边对应成比例，则第三边可由勾股定理推导出成比例，即三边对应成比例，两三角形相似，正确． 综上，正确命题有（5）共1个． 故选：B． 【例2】小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 【易错提醒】 (1)判断两个多边形是否相似时，不能只看图形名称或外观相同，必须同时满足“对应角相等、对应边成比例”。 (2)在坐标或位似图形中利用相似性质时，要分清对应点和对应边。若位似比为1:3，则对应边、周长放大到3倍，但对应角不变，坐标也要按相同比例变化。 【变式1-1】手工课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案分别是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边．如果每个图案中花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内、外边缘各自所围成的几何图形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求的答案． 【详解】解：A、形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合题意； B、形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故B选项不符合题意； C、形状相同，对应边成比例，符合相似形的定义，故C选项不符合题意； D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（ ） A． B． C．点的坐标为 D．五边形的周长是五边形周长的3倍 【答案】C 【分析】根据，得到五边形与五边形的位似比为，计算判断解答即可． 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【详解】解：由五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，得五边形与五边形的位似比为， 点的坐标为， 故，，五边形的周长是五边形周长的3倍． 故C错误， 故选：C． 题型2 图形相似的实际应用 【例3】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形中，都是的位似图形． 【例4】已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）. A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以或．根据比例和坐标与图形性质，即可得到点的坐标． 【详解】解：，以为位似中心，按比例尺，把缩小， 当和E位于同侧时，则， 当和E位于同侧时，则 点的坐标为：或， 故选：A． 【易错提醒】 (1)投影、照片放大、图案缩放等问题的核心是“形状保持不变”，也就是图形相似。解题时先确定原图形和变化后图形的对应长边、短边，再列比例式求解。 (2)矩形类实际问题容易出错：两个矩形不一定相似，必须看长宽比是否相同。花边、屏幕、纸张折叠等问题中，要特别注意对应边的比例关系是否保持一致。 (3)标准纸对折问题中，若对折后的小矩形与原矩形相似，要注意原矩形的长边与小矩形的宽边可能对应，不能简单地把长对长、宽对宽直接列比例。 【变式2-1】如图，矩形纸片中，，分别是的中点，将矩形沿所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形相似，则用等式表示与的数量关系为________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质即可求出答案． 【详解】解：由于ABAD,，E,F分别是AB,DC的中点， ∴矩形AEFD≌矩形BEFC， ∵两个小矩形都和矩形ABCD相似， ∴矩形AEFD∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【变式2-2】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 题型3 图形的位似及坐标应用 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是____________． 【答案】 【分析】首先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据位似变换中对应点坐标的变化规律，结合相似比和点所在的象限，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为， ∵以原点O为位似中心作一个四边形，且它与四边形的相似比为， ∴点的坐标是点B的坐标乘以或， ∵顶点B在第一象限内的对应点， ∴点的横、纵坐标均为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【例6】如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【分析】先说明可得，即相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴，相似比为， ∴，即，解得：． ∴的面积为5． 【易错提醒】 (1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。判断位似时，关键看对应点的连线是否交于同一点，这个交点就是位似中心。 (2)位似图形的面积比等于位似比的平方。已知位似比或中心到对应点的距离比时，先求出相似比，再根据题目要求判断是求边长、周长、坐标还是面积。 【变式3-1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取格点D，连接交于点P即可，根据相似三角形的判定和性质可知； （2）根据位似图形的定义作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1) 解：连接、、相交于点，作图如下 (2) 解：取、、的中点、、，顺次连接各点，作图如下 【分析】（1）连接、、相交于点即可； （2）取、、的中点、、，顺次连接各点即可． 【详解】（1）略 （2）略 A组 基础过关 1．下列说法正确的是（ ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 2．如图，已知，若，，则的长为（ ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 3．下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意． 故选：． 4．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 5．如图，以点为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且四边形与四边形的相似比为，则下列说法错误的是（ ） A．四边形四边形 B．点，，三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形必相似、对应点连线过位似中心、对应边与对应点到位似中心的距离之比均等于相似比这三条核心性质，逐一验证选项找出错误结论． 【详解】解：选项A：位似图形一定是相似图形，因此四边形四边形，故该说法正确，不符合题意； 选项B：位似图形对应点的连线必经过位似中心，因此点，，三点在同一直线上，故该说法正确，不符合题意； 选项C：已知四边形与四边形的相似比为，则对应点到位似中心的距离之比也为，即，变形得，故该说法错误，符合题意； 选项D：相似图形对应边的比等于相似比，因此，该说法正确，不符合题意． 6．如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，位似比等于对应点到位似中心的距离之比作答即可． 【详解】解：与位似，位似中心为， ∴， ∵的面积与的面积之比为， ∴与的相似比为， ∵与是对应点， ∴． 7．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，进而求出． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的周长之比为， ， ， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 9．如图，四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为．若的长为3，则的长为（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，核心知识点为：位似图形的对应边成比例，且该比例等于位似比．先根据对应点、的坐标求出相似比，再利用位似比结合的长度计算出的长度． 【详解】解：∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴相似比为． 又∵，已知， ∴； 故选：C． 10．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：D． B组 综合提升 11．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（ ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：B． 12．如果五边形五边形，且相似比为，则这两个五边形各自全部对角线的乘积的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似图形的性质；根据相似五边形的对应线段（包括对角线）长度之比均等于相似比，五边形有条对角线，故全部对角线的乘积之比为相似比的次方． 【详解】解：∵五边形五边形，且相似比， ∴每条对应对角线长度之比均为， 设五边形的对角线长度为， 五边形的对应对角线长度为， 则 ∴全部对角线的乘积之比为： . 故比值为． 故选：D． 13．如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查图形变换—平移，轴对称，旋转和位似，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：针对①②③④逐一画图分析即可得解． 【详解】解：①如图， 假设沿所在直线向下平移得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次平移和一次位似可以得到， 故①正确； ②如图， 假设绕点C旋转，得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次旋转和一次位似可以得到， 故②正确； ③两次轴对称之后，可以看作一次平移， 所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到， 故③正确； ④如图， 假设先沿所在直线轴对称，得到， 再绕点O旋转得到， 由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与不是位似图形， 故④错误； 故选：A． 14．如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 15．如图，与位似，位似中心是点O，且，若的面积为8，则的面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为， ∵的面积是8， ∴的面积为2． 故选：A． 16．《墨子》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，四边形的四个顶点在以为圆心的圆上，则该圆的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换、正方形的性质，由题意得正方形与正方形的相似比为，则正方形与正方形的面积比为，可得正方形的面积为16，则可得正方形的边长为4，进而可得四边形的外接圆的直径为，从而可得答案． 【详解】解：∵ ∴正方形与正方形的相似比为， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为16， ∴正方形的边长为4． ∴四边形的外接圆的直径为， ∴四边形的外接圆的周长为． 故选：D． 17．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 18．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，并延长交点为，由位似图形的性质得为位似中心，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，并延长交点为， 则为位似中心， ∴， ∴， 结合图形知点的坐标为． 故选：D． 19．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据已知条件得出，再由位似图形的性质可得到，将的值代入即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴， 即， ∴， 故选：C． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4）， ∴AB＝2，BC＝2， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2， ∴线段DF的长度为AC＝， 故选：A． C组 挑战突破 21．下列命题①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O为△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点分别为、、，则有△ ∽△ABC.其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①运用相似三角形和全等三角形的定义判断即可. ②根据相似三角形的性质即可判断. ③根据多边形相似的条件判断即可. ④根据相似三角形的判定判断即可. 【详解】①相似三角形就是形状相同，大小不一定相同的三角形；而全等三角形是形状和大小都相同的三角形，所以全等三角形是特殊的相似三角形，故①错误. ②根据相似三角形的性质，可知相似三角形对应中线，对应角的平分线的比都等于相似比，故②正确. ③如正方形和矩形边数相同，对应角也相等，却不一定相似，故③错误. ④根据三角形的中位线得出三条边对应的比都为，故两个三角形相似，故④正确. 所以②④正确，选B 22．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（ ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 23．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案. （1）与位似的三角形是______； （2）已知的面积是3，则的面积为______． 【答案】 4 【分析】（1）先根据垂直的定义和直角的性质即可解答； （2）先说明，设，则、，由可得；再设，则、，即，然后运用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， 故答案为． ∵12个相似的直角三角形， ∴, ∴， 设，则、， ∵ ∴ 再设，则、， ∴，即 ∴ 故答案为4． 24．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握“位似图形的面积比等于位似比的平方”是解题的关键；先计算位似比再根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行计算即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴． ∵与是位似三角形，位似中心为O， ∴，且相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 25．如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ； （2）解：如图，点M就是所求的点； ； （3）解：如图，点D就是所求的点． ． 26．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据与以原点为位似中心，相似比是2，再根据上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为2， ∵点B坐标为， ∴点E的坐标是． 故选D． 27．如图，已知平行四边形的面积为24，以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，连接、．则的面积为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质．熟练掌握位似图形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 通过构造平行四边形，利用其面积与三角形面积的关系以及位似比与图形面积的关系进行计算． 【详解】解：延长交于点，如图， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 位似图形与原图的位似比为， ，即， ， ， 故答案为4． 28．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 29．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2)作图见解析， 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2）解：如图即为所求； ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 30．图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上取一点F，； (3)在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可； （2）根据面积比，作三等分点，连接就可； （3）根据面积比，作四等分位置即可． 【详解】（1），， ， 当时，则， 故取分别为，中点即可， 如图，点即为所作； （2）， ，即， 如图：连接，点即为所作； （3）如图：点即为所作； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $