专题12相似三角形的判定与性质及应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题12相似三角形的判定与性质及应用暑假预习讲义 1. 牢记三角形相似四类判定定理，明确各个定理使用条件，可依据题目条件选择恰当方法判定三角形相似，规范书写证明过程，做到相似三角形顶点顺序一一对应。 2. 掌握网格背景下判定、绘制相似三角形的方法，会借助方格计算边长，对比三边比例完成相似判断，熟练网格作图要点。 3. 熟悉A字、8字两大基础相似几何模型，能从复杂图形中快速提取基础模型，建立线段比例关系式，求解线段长度。 4. 理解相似三角形在生活场景中的运用逻辑，会利用相似原理测量高度、宽度、距离，掌握实际应用题解题步骤。 5. 梳理本节常见易错点，规避定理混用、对应边找错、比例列式颠倒等问题，提升几何推理与数形结合能力。 预习必备 知识梳理 1.由平行线判定相似 2.三大相似判定 3.直角三角形判定相似 4.相似判定与全等判定类比表 5.相似三角形的性质 6.相似三角形应用 7.通用解题思路 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用平行判定相似 2.两角对应相等判定相似 3.两边成比例且夹角相等证相似 4.三边对应成比例判定相似 5.相似三角形的判定综合 6.补充条件使两个三角形相似 7.由相似三角形的性质求解 8.利用相似求坐标 9.网格中构造相似三角形 10.相似三角形动点问题 11.相似三角形的实际应用 12.相似三角形判定与性质综合 13.重心的概念 14.重心的有关性质 强化题型 解答题8题 知识点 01相似三角形预备定理（由平行线直接判定相似，教材先行出现） 文字表述：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 两大基础图形模型 A 型（正 A 模型）：直线截三角形两条边，在三角形内部； 8 字型（X 型）：直线截三角形两条边的延长线。 ⚠️重要说明： 这条定理是最先学习的相似判定方法，是推导后面 AA、SAS、SSS 判定的理论基础；本质依靠平行线产生同位角相等（AA）证明相似。 知识点02：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点 03 直角三角形相似特殊判定（拓展） 通用方法：任意一组锐角相等（AA）；两条直角边对应成比例（SAS）；三边对应成比例（SSS）均可判定。 斜边、直角边型：一组直角三角形斜边与一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点 04 相似判定与全等判定类比表 全等判定 相似判定 区别 SSS SSS（三边对应成比例） 全等：边长相等；相似：边长成比例 SAS SAS（两边成比例，夹角相等） 全等：边相等；相似：边成比例，夹角相等 ASA、AAS AA（两角对应相等） 相似不需要边条件 HL（Rt△） 斜边、直角边对应成比例（Rt△） 全等：长度相等；相似：长度成比例 知识点05：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点 06：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 1． 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 2． 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 3． 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 知识点07解题通用思路 1.识图：找到目标两个三角形； 2.找条件：优先观察有无平行线（直接使用预备定理）；若无平行线，寻找等角或边比例； 3.选用合适判定证明相似； 4.利用相似性质列出比例式； 5.设未知数，解方程求出线段长度。 知识点08：高频易错点汇总 易错点 错误典型表现 正确标准 相似三角形书写 顶点不按照对应顺序书写 △ABC△DEF顶点一一对应，方便找准对应边、角 预备定理使用 忽略 “直线与两边或延长线相交” 条件，乱套模型 必须存在一组平行线，才能直接判定 A 型、8 字型相似 SAS 相似判定 使用两边成比例 + 非夹角相等证明相似 相等角必须是两组对应边的夹角 面积比运算 直接把面积比当作相似比；面积比不平方 相似比k，面积比k2；已知面积比，相似比为算术平方根 对应线段混淆 随意选取非对应高、中线列出比例 必须选取对应线段，找准相似对应顶点 直角三角形射影模型 分不清三组相似三角形对应关系 大 Rt△、两个小 Rt△两两相似 影子问题 忽略 “同一时刻” 前提；单位不统一 列式前统一长度单位 多个相似叠加 连续相似时对应边不断错位 每一次相似单独标记对应顶点，分步列式 题型1.利用平行判定相似 【典例】如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 【跟踪专练1】已知：如图，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 【跟踪专练2】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 题型2.两角对应相等判定相似 【典例】如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 【跟踪专练1】如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 题型3.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 【跟踪专练1】能说明的条件是（   ） A． B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法：利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似逐一排除即可． 【详解】解：、由，但缺少夹角，故不能说明，故该选项不符合题意； 、当，且时，不能证明，故该选项不符合题意； 、当，且时，能证明，符合题意； 、当，且时，不能证明，故该选项不符合题意． 【跟踪专练2】如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 题型4.三边对应成比例判定相似 【典例】如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 【跟踪专练1】在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 【跟踪专练2】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 题型5.相似三角形的判定综合 【典例】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：由得到， 又， 故， 故选：B． 【跟踪专练1】将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格纸中，点 , , , , 都在格点上，下列四个格点三角形：，中，与相似的三角形个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出及四个格点三角形的各边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得： 在中：，，， 计算三边的比， 再计算的三边比， 它们分别为， 根据三边成比例判定相似，可以发现与相似，即四个格点三角形中有2个三角形与相似． 题型6.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，补充一个条件仍无法判断是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】， ，即， 对于A， ，但夹角不一定相等，不能判定，故A符合题意； 对于B，，且， ，即，故B不符合题意； 对于C，，， ，即，故C不符合题意； 对于D，，， ，即，故D不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是：________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 【跟踪专练2】如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 题型7.由相似三角形的性质求解 【典例】已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 【跟踪专练1】如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，进而即可求出与的相似比． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与的相似比为． 【跟踪专练2】中，E，F分别是的中点，连接，则______． 【答案】 【分析】由中位线的性质得，，再证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：中，E，F分别是的中点， 是的中位线， ，， ，， ， ． 【跟踪专练3】如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 题型8.利用相似求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 【跟踪专练2】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型9.网格中构造相似三角形 【典例】如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 【跟踪专练1】中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，确定“帅”、“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可； 【详解】解：由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，， “兵”、“炮”之间的距离为2， “炮”与②之间的距离为1，“兵”与②之间的距离为， 马应该落在②的位置， 故答案为：②． 【跟踪专练2】如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 题型10.相似三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 【答案】4.8或7.5或10 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分三种情况进行讨论，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 当直线截存在与相似的三角形时，分三种情况讨论： ①当时，则：， 即：，解得：； ②当时，则：， 即：，解得：； ③当点Q和点B重合时，， ∴， ∴ 又∵ ∴，符合题意． 综上：秒或秒或10秒． 【跟踪专练2】如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 题型11.相似三角形的实际应用 【典例】如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 【跟踪专练1】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ． 【跟踪专练2】如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 【跟踪专练3】如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 题型12.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，与相交于点，，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 题型13.重心的概念 【典例】一个三角形的重心是该三角形（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 【答案】C 【分析】根据三角形三条中线的交点是三角形的重心解答即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据三角形三条中线的交点叫作三角形的重心， 故选：C． 【跟踪专练1】把一个平面组合图形分割成甲乙两部分，建立平面直角坐标系．若甲乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心为，则有，．一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角）如图所示，延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，，其重心分别为，．则“”形图形的重心坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，认真分析题意，先算出的值，再结合重心分别为，．以及公式，进行代入数值化简，即可作答． 【详解】解：∵一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，， ∴， ∵其重心分别为，， ∴， ， ∴“”形图形的重心坐标为． 【跟踪专练2】如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 题型14.重心的有关性质 【典例】在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 【答案】4 【分析】根据三角形重心的性质，三角形的重心将中线分为长度比为的两段，重心到顶点的距离为对应中线长度的，代入中线的长度即可计算得到结果． 【详解】解：是的重心，是边上的中线， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】延长交于，由重心得，，即可求解． 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 【跟踪专练2】如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为_____________． 【答案】 【分析】先根据三角形中线的性质推出，，，再根据三角形重心的性质推出，，最后根据进行等量代换计算即可求解． 【详解】∵，，为中边的中线， ∴，，， ∴，，， ∵三边的中线，，的公共点为， ∴为的重心， ∴， ∴，，即，， ∴，， ∵ 即，解得：， ∴． 【跟踪专练3】如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，若四边形的面积为10，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，，则点三点共线，，，在的延长线上取一点，使，连接，则，得到四边形是平行四边形，进而得到，，则，，设，则，证明，得，由此解出，则，然后根据即可得出的面积． 【详解】解：连接交于点，连接，， 点是的重心，点是边的中点， 点三点共线， ， 在的延长线上取一点，使，连接，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设， 四边形的面积为10， ， ， ， ，即 解得：， ， 的面积为：． 解答题 1．如图，D为边上一点．请用尺规作，使点E在边上，且． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角．以点D为顶点，作即可． 【详解】解：所求图形如图所示． ∵，， ∴． 2．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 3．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，求出，进而求出，根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，D，F三点共线，且， 为等腰直角三角形 由勾股定理得： （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 4．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 5．如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 6．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 7．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 8．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12相似三角形的判定与性质及应用暑假预习讲义 1. 牢记三角形相似四类判定定理，明确各个定理使用条件，可依据题目条件选择恰当方法判定三角形相似，规范书写证明过程，做到相似三角形顶点顺序一一对应。 2. 掌握网格背景下判定、绘制相似三角形的方法，会借助方格计算边长，对比三边比例完成相似判断，熟练网格作图要点。 3. 熟悉A字、8字两大基础相似几何模型，能从复杂图形中快速提取基础模型，建立线段比例关系式，求解线段长度。 4. 理解相似三角形在生活场景中的运用逻辑，会利用相似原理测量高度、宽度、距离，掌握实际应用题解题步骤。 5. 梳理本节常见易错点，规避定理混用、对应边找错、比例列式颠倒等问题，提升几何推理与数形结合能力。 预习必备 知识梳理 1.由平行线判定相似 2.三大相似判定 3.直角三角形判定相似 4.相似判定与全等判定类比表 5.相似三角形的性质 6.相似三角形应用 7.通用解题思路 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用平行判定相似 2.两角对应相等判定相似 3.两边成比例且夹角相等证相似 4.三边对应成比例判定相似 5.相似三角形的判定综合 6.补充条件使两个三角形相似 7.由相似三角形的性质求解 8.利用相似求坐标 9.网格中构造相似三角形 10.相似三角形动点问题 11.相似三角形的实际应用 12.相似三角形判定与性质综合 13.重心的概念 14.重心的有关性质 强化题型 解答题8题 知识点 01相似三角形预备定理（由平行线直接判定相似，教材先行出现） 文字表述：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 A 型（正 A 模型）：直线截三角形两条边，在三角形内部； 8 字型（X 型）：直线截三角形两条边的延长线。 ⚠️重要说明： 这条定理是最先学习的相似判定方法，是推导后面 AA、SAS、SSS 判定的理论基础；本质依靠平行线产生同位角相等（AA）证明相似。 知识点02：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点 03 直角三角形相似特殊判定（拓展） 通用方法：任意一组锐角相等（AA）；两条直角边对应成比例（SAS）；三边对应成比例（SSS）均可判定。 斜边、直角边型：一组直角三角形斜边与一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点 04 相似判定与全等判定类比表 全等判定 相似判定 区别 SSS SSS（三边对应成比例） 全等：边长相等；相似：边长成比例 SAS SAS（两边成比例，夹角相等） 全等：边相等；相似：边成比例，夹角相等 ASA、AAS AA（两角对应相等） 相似不需要边条件 HL（Rt△） 斜边、直角边对应成比例（Rt△） 全等：长度相等；相似：长度成比例 知识点05：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点 06：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 1． 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 2． 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 3． 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 知识点07解题通用思路 1.识图：找到目标两个三角形； 2.找条件：优先观察有无平行线（直接使用预备定理）；若无平行线，寻找等角或边比例； 3.选用合适判定证明相似； 4.利用相似性质列出比例式； 5.设未知数，解方程求出线段长度。 知识点08：高频易错点汇总 易错点 错误典型表现 正确标准 相似三角形书写 顶点不按照对应顺序书写 △ABC△DEF顶点一一对应，方便找准对应边、角 预备定理使用 忽略 “直线与两边或延长线相交” 条件，乱套模型 必须存在一组平行线，才能直接判定 A 型、8 字型相似 SAS 相似判定 使用两边成比例 + 非夹角相等证明相似 相等角必须是两组对应边的夹角 面积比运算 直接把面积比当作相似比；面积比不平方 相似比k，面积比k2；已知面积比，相似比为算术平方根 对应线段混淆 随意选取非对应高、中线列出比例 必须选取对应线段，找准相似对应顶点 直角三角形射影模型 分不清三组相似三角形对应关系 大 Rt△、两个小 Rt△两两相似 影子问题 忽略 “同一时刻” 前提；单位不统一 列式前统一长度单位 多个相似叠加 连续相似时对应边不断错位 每一次相似单独标记对应顶点，分步列式 题型1.利用平行判定相似 【典例】如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知：如图，，，则________． 【跟踪专练2】为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 题型2.两角对应相等判定相似 【典例】如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【跟踪专练1】如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【跟踪专练2】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 题型3.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【跟踪专练1】能说明的条件是（   ） A． B．，且 C．，且 D．，且 【跟踪专练2】如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 题型4.三边对应成比例判定相似 【典例】如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【跟踪专练1】在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【跟踪专练2】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 题型5.相似三角形的判定综合 【典例】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【跟踪专练1】将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格纸中，点 , , , , 都在格点上，下列四个格点三角形：，中，与相似的三角形个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型6.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，补充一个条件仍无法判断是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是：________（填序号）． 【跟踪专练2】如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 题型7.由相似三角形的性质求解 【典例】已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【跟踪专练1】如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中，E，F分别是的中点，连接，则______． 【跟踪专练3】如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型8.利用相似求坐标 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【跟踪专练2】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型9.网格中构造相似三角形 【典例】如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 【跟踪专练2】如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型10.相似三角形动点问题 【典例】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 【跟踪专练2】如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 题型11.相似三角形的实际应用 【典例】如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【跟踪专练1】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【跟踪专练3】如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 题型12.相似三角形判定与性质综合 【典例】如图，与相交于点，，，则______________． 【跟踪专练1】如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 题型13.重心的概念 【典例】一个三角形的重心是该三角形（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 【跟踪专练1】把一个平面组合图形分割成甲乙两部分，建立平面直角坐标系．若甲乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心为，则有，．一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角）如图所示，延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，，其重心分别为，．则“”形图形的重心坐标为__________． 【跟踪专练2】如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 题型14.重心的有关性质 【典例】在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 【跟踪专练1】如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【跟踪专练2】如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为_____________． 【跟踪专练3】如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，若四边形的面积为10，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 解答题 1．如图，D为边上一点．请用尺规作，使点E在边上，且． 2．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 3．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 4．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 5．如图，已知：在与中，，．求证：． 6．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 7．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $