专题11比例线段定理与相似三角形初步认识暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题11比例线段定理与相似三角形初步认识暑假预习讲义 1. 概念识记：理解线段的比、成比例线段含义，熟练运用比例基本性质进行比例式变形、求值；认识比例中项、黄金分割，会简单计算黄金比相关题目。 2. 定理掌握：牢记平行线分线段成比例基本事实以及三角形中的推论，看懂A字形、8字形基础图形，能依据平行线条件列出线段比例式，完成线段长度计算 。 3. 定义理解：掌握相似三角形概念，知晓相似三角形对应角相等、对应边成比例；理解相似比含义，清楚全等是相似比为1的特殊相似，规范书写三角形相似符号，对应顶点顺序摆放正确 。 4. 核心应用：熟练运用平行线判定三角形相似的预备定理，能够证明相似三角形对应线段成比例，完成基础几何证明与长度求解习题。 5. 识图能力：可从几何图形中提炼平行线截线段、相似三角形基本模型，搭建线段比例关系。 6. 易错规避：比例变形时内外项混淆；相似书写顶点不对应导致边角匹配出错；分不清相似比前后顺序；平行线推论图形辨认错误。 7. 素养目标：建立数形结合与比例推理思维，夯实相似三角形整章学习基础，提升几何逻辑推导能力。 预习必备 知识梳理 1.比例的相关概念 2.比例的基本性质与常用变形 3.比例线段定义 4.黄金分割 5.平行线分线段成比例 6.相似三角形的定义 7.相似三角形对应线段成比例 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.比例线段 2.比例的性质 3.成比例线段 4.黄金分割 5.由平行判断成比例线段 6.平行截线求线段长或比值 7.证明三角形的对应线段成比例 强化题型 解答题6题 知识点 01 比例的相关概念 1.比例式：如果四个实数a,b,c,d满足 =，那么称这四个数成比例。 a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项。 2.比例中项：若=，即b2=ac，则称b是a,c的比例中项。 ⚠️注意：线段的比例中项一定是正数；数字的比例中项有正负两个。 知识点 02 比例的基本性质与常用变形 已知=(b0,d0) 性质名称 公式形式 说明 基本性质 比例式 ⇌ 等积式，核心转化工具 反比性质 前后同时颠倒，比例仍然成立 更比性质 交换内项（或交换外项） 合比性质 分子加减分母，分母不变 等比性质 多个相等比例合并运算 知识点 03 比例线段定义 四条线段a、b、c、d，如果=，就称这四条线段成比例线段，简称比例线段。 ⚠️关键：顺序不能随意调换；单位必须统一。 知识点04：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点05:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点 06 相似三角形定义 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号： 书写规范：顶点必须按对应顺序书写！ 知识点07：相似三角形对应线段成比例 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点08：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 比例线段顺序 随意调换四条线段顺序，直接套用比例 成比例线段有严格顺序，=不能随意写成= 比例中项混淆 线段比例中项取正负值 线段长度 > 0，比例中项只取正值 平行线分线段比例 线段不对应，乱列等式 严格找准被平行线截取的对应线段 相似三角形书写 顶点不按对应顺序书写 △ABC△DEF，角、边一一对应，顺序不能乱 预备定理识图 分不清 A 型、8 字型对应顶点 先找平行线，确定公共角 / 对顶角，锁定对应顶点 相似比理解 颠倒两个三角形的相似比 分清谁 “相似于” 谁，前后顺序决定相似比 黄金分割 记错黄金比；认为一条线段只有 1 个黄金分割点 黄金比；一条线段存在 2 个黄金分割点 题型1.比例线段 【典例】已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 【跟踪专练1】如果线段a，b的长分别是3和12，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长为（     ） A．4 B．±4 C．6 D．±6 【跟踪专练2】在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【跟踪专练3】如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则_____________． 题型2.比例的性质 【典例】由，可得比例式：____． 【跟踪专练1】对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 【跟踪专练3】已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 题型3.成比例线段 【典例】已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 【跟踪专练1】下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为______． 【跟踪专练3】如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ） A． B． C． D． 题型4.黄金分割 【典例】“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【跟踪专练1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则_____．（结果保留根号） 【跟踪专练3】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 题型5.由平行判断成比例线段 【典例】如图，直线，已知，，，___________． 【跟踪专练1】如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交边于点D．连接．若，，则的长为___． 【跟踪专练3】已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型6.平行截线求线段长或比值 【典例】如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【跟踪专练1】如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【跟踪专练2】如图，在中，，若，，，则的值为________． 【跟踪专练3】如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型7.证明三角形的对应线段成比例 【典例】两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【跟踪专练1】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 【跟踪专练3】如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 2．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 3．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 4．在中，已知是的角平分线，求证：． 5．如图，在矩形中，若，求的长度． 6．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11比例线段定理与相似三角形初步认识暑假预习讲义 1. 概念识记：理解线段的比、成比例线段含义，熟练运用比例基本性质进行比例式变形、求值；认识比例中项、黄金分割，会简单计算黄金比相关题目。 2. 定理掌握：牢记平行线分线段成比例基本事实以及三角形中的推论，看懂A字形、8字形基础图形，能依据平行线条件列出线段比例式，完成线段长度计算 。 3. 定义理解：掌握相似三角形概念，知晓相似三角形对应角相等、对应边成比例；理解相似比含义，清楚全等是相似比为1的特殊相似，规范书写三角形相似符号，对应顶点顺序摆放正确 。 4. 核心应用：熟练运用平行线判定三角形相似的预备定理，能够证明相似三角形对应线段成比例，完成基础几何证明与长度求解习题。 5. 识图能力：可从几何图形中提炼平行线截线段、相似三角形基本模型，搭建线段比例关系。 6. 易错规避：比例变形时内外项混淆；相似书写顶点不对应导致边角匹配出错；分不清相似比前后顺序；平行线推论图形辨认错误。 7. 素养目标：建立数形结合与比例推理思维，夯实相似三角形整章学习基础，提升几何逻辑推导能力。 预习必备 知识梳理 1.比例的相关概念 2.比例的基本性质与常用变形 3.比例线段定义 4.黄金分割 5.平行线分线段成比例 6.相似三角形的定义 7.相似三角形对应线段成比例 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.比例线段 2.比例的性质 3.成比例线段 4.黄金分割 5.由平行判断成比例线段 6.平行截线求线段长或比值 7.证明三角形的对应线段成比例 强化题型 解答题6题 知识点 01 比例的相关概念 1.比例式：如果四个实数a,b,c,d满足 =，那么称这四个数成比例。 a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项。 2.比例中项：若=，即b2=ac，则称b是a,c的比例中项。 ⚠️注意：线段的比例中项一定是正数；数字的比例中项有正负两个。 知识点 02 比例的基本性质与常用变形 已知=(b0,d0) 性质名称 公式形式 说明 基本性质 比例式 ⇌ 等积式，核心转化工具 反比性质 前后同时颠倒，比例仍然成立 更比性质 交换内项（或交换外项） 合比性质 分子加减分母，分母不变 等比性质 多个相等比例合并运算 知识点 03 比例线段定义 四条线段a、b、c、d，如果=，就称这四条线段成比例线段，简称比例线段。 ⚠️关键：顺序不能随意调换；单位必须统一。 知识点04：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点05:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点 06 相似三角形定义 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号： 书写规范：顶点必须按对应顺序书写！ 知识点07：相似三角形对应线段成比例 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点08：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 比例线段顺序 随意调换四条线段顺序，直接套用比例 成比例线段有严格顺序，=不能随意写成= 比例中项混淆 线段比例中项取正负值 线段长度 > 0，比例中项只取正值 平行线分线段比例 线段不对应，乱列等式 严格找准被平行线截取的对应线段 相似三角形书写 顶点不按对应顺序书写 △ABC△DEF，角、边一一对应，顺序不能乱 预备定理识图 分不清 A 型、8 字型对应顶点 先找平行线，确定公共角 / 对顶角，锁定对应顶点 相似比理解 颠倒两个三角形的相似比 分清谁 “相似于” 谁，前后顺序决定相似比 黄金分割 记错黄金比；认为一条线段只有 1 个黄金分割点 黄金比；一条线段存在 2 个黄金分割点 题型1.比例线段 【典例】已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据物高与影长的比值为，利用比例关系直接计算塔高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设塔高为米，由题意得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果线段a，b的长分别是3和12，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长为（     ） A．4 B．±4 C．6 D．±6 【答案】C 【分析】根据比例中项的定义得到，代入数值计算后，结合线段长度为正数的性质，即可得到正确结果． 【详解】解：∵线段是线段的比例中项，，， ∴， 解得， ∵线段长度为正数， ∴． 【跟踪专练2】在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则_____________． 【答案】/0.75 【分析】设，由题意得，，根据勾股定理得，即，解得，即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， 在中，，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，正确掌握勾股定理及设定未知数求解是解题的关键． 题型2.比例的性质 【典例】由，可得比例式：____． 【答案】 【分析】把等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵，且由题意得， ∴，即． 【跟踪专练1】对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 【跟踪专练2】我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 【答案】B 【分析】结合各选项的实际场景，判断哪一场景符合题中给出的性质即可． 【详解】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项： ∵ 选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意； 选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意； 选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意； 选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意． 【跟踪专练3】已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】设已知连等式的比值为，根据等式性质得到的关系，求出的值，推出，代入所求代数式化简计算即可得到结果； 【详解】解：设， ∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得， 移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此， 解得：， ∴，且， 将代入所求代数式，得． 题型3.成比例线段 【典例】已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：线段是线段，的比例中项， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断．判断一组线段是否成比例，可将其按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则这四条线段成比例；反之，则不成比例，根据成比例线段的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、选项中，，∴A选项的线段不成比例； B、，∴B选项的线段不成比例； C、，∴C选项的线段不成比例； D、，∴D选项的线段成比例； 故选：D． 【跟踪专练2】已知线段，，，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d 的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的概念是解题关键．根据成比例线段的定义可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵线段，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【详解】解：、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项正确． 故选． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 题型4.黄金分割 【典例】“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得，， 解得， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． 【跟踪专练1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：A． 【跟踪专练2】五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则_____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，将一条线段分割成长短两条线段，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，则称这种分割叫黄金分割，这一比值等于，由此可解． 【详解】解：点D是线段的黄金分割点， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 题型5.由平行判断成比例线段 【典例】如图，直线，已知，，，___________． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交边于点D．连接．若，，则的长为___． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．设与交于点，由题可知，直线为线段的垂直平分线，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设与交于点， 由题可知，直线为线段的垂直平分线， ，点为的中点， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 题型6.平行截线求线段长或比值 【典例】如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，由此列方程即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 【跟踪专练2】如图，在中，，若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，可得，代入数值求出的长，再根据计算即可． 【详解】， ， ，，， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型7.证明三角形的对应线段成比例 【典例】两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 【跟踪专练1】如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为______． 【答案】 【分析】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时可以转化为，三点共线取到最小值． 【详解】解：如图，延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小， ， ，， ， ， 为公共边， ， ， ， 当三点共线时取到最小值， ， ， 即,解得：， 又， ， 即， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解． 【跟踪专练3】如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 解答题 1．已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可设，，，再代入，即可求解； （2）根据m是a、b的比例中项，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵m是a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项是解题的关键． 2．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 3．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，设，则，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则，设，即，， ∵为直角三角形， ∴， 即， 化简得， ∴，（舍去）， ∴ 即 ， ∴所以点为黄金分割点． 4．在中，已知是的角平分线，求证：． 【答案】证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行线分线段成比例定理可证结论成立． 【详解】略 5．如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $