第14讲 相似三角形及判定（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第14讲 相似三角形及判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用平行判定相似 题型2 利用两角对应相等判定相似 题型3 利用三边对应成比例判定相似 题型4 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似 题型5 相似三角形的判定综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形 相似比 三角形相似的预备定理 三角形相似的判定定理 1.掌握相似三角形的定义，理解“对应角相等、对应边成比例”的含义；能准确用符号“∽”表示三角形相似，并正确写出对应边成比例的比例式。 2.理解相似三角形对应边的比的概念，能根据相似比求解未知线段长，并注意相似比的顺序性。 3.掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的预备定理，能熟练识别“A字型”和“8字型”基本图形。 4.熟练掌握判定两个三角形相似的三种基本定理：两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例。能根据已知条件，灵活选择最简捷的判定方法。 5.能在网格图中利用勾股定理求边长，并用三边对应成比例进行相似判断；能理解相似在解决实际问题（如河宽测量、容器内径测量）中的几何原理。 学习重点：掌握三个判定定理及其实际应用，准确识别对应边与对应角，并理解相似与平行的互推关系。 学习难点：集中在复杂几何图形中精准锁定对应角或对应边，以及透彻理解相似判定定理的完整逻辑推导过程。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形 1.相似三角形的定义 相等，对应边 的两个三角形，叫作相似三角形。 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 如图，若，则与相似，记作。 2.相似比 相似三角形对应边的比叫作 。与的相似比是 （或，）。 3.相似的性质 根据相似三角形的定义，可得到下面的性质：相似三角形的 ， 。 即时即练如图，已知．若，则（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)相似符号“∽”的书写有严格的对应顺序。例如，若写，则A与A′、B与B′、C与C′必须是对应顶点。 (2)相似比是有顺序的，与的相似比为k，则与的相似比为​。 (3)两个全等三角形也是相似三角形，它们的相似比是1。全等是相似的特殊情况。 知识点02 相似三角形的判定 1.预备定理 于三角形一边的直线和其他两边 ，所构成的三角形与原三角形相似。 2.判定定理 判定定理 1（两角对应相等）： 的两个三角形相似。 判定定理 2（两边对应成比例且夹角相等）：两边 ，且 的两个三角形相似。 判定定理 3（三边对应成比例）：三边 的两个三角形相似。 即时即练如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．9 【易错提醒】 (1)“两边对应成比例，且夹角相等”定理中，“夹角”必须是所取两边的夹角。 (2)利用“三边对应成比例”判定时，必须找准对应边，通常短边对短边、长边对长边、中边对中边。 (3)数学语言转化：在直角三角形或网格问题中，若没有直接给出边的比例，可通过勾股定理计算边长，再判定是否满足三边成比例（SSS判定）。 题型1 利用平行判定相似 【例1】1．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（ ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【例2】图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（ ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 【易错提醒】 （1）遇到平行四边形、梯形、平行线截三角形时，先找平行线产生的同位角、内错角相等，再用“两角对应相等”判定相似。 （2）小孔成像、平行线分线段等实际问题，本质常是由平行或垂直构造出相似三角形，关键是先作辅助线，把“距离”和“高度”放进两个三角形中。 【变式1-1】如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【变式1-2】如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 题型2 利用两角对应相等判定相似 【例3】如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例4】下列各组图形一定相似的是（ ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【易错提醒】 （1）两个三角形只要有两组角对应相等即可判定相似，但必须注意“对应”二字，不能只看到一个角相等就下结论。 （2）等腰三角形、直角三角形中常隐藏角相等条件，例如等腰三角形底角相等、直角三角形有一个直角；但“有一个角相等的等腰三角形”或“有一个角相等的直角三角形”不一定相似，要看另一个角是否也能确定。 （3）已知两个角的度数或由相似得到对应角相等时，常用三角形内角和、四边形内角和补出缺失角，再判断相似或求角度。 【变式2-1】如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ） A． B．， C．， D．， 【变式2-2】如图，，若，，则（ ） A． B． C． D． 题型3 利用三边对应成比例判定相似 【例5】下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【例6】如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）网格题中不要凭视觉判断相似，要先用勾股定理求出各边长度，再把三条边按从小到大或对应关系排列，检查是否成比例。 （2）三边判定相似时，最容易错在对应边配错；应先找最短边对应最短边、最长边对应最长边，再比较三组比值是否相等。 【变式3-1】如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【变式3-2】若和满足下列条件，其中能使的是（ ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 题型4 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似 【例7】如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例8】已知在矩形中，，点E是的中点，点F在上，且，则与的关系是（ ） A．全等 B．相似 C．周长相等 D．面积相等 【易错提醒】 （1）使用“两边对应成比例且夹角相等”时，角必须是这两条对应边的夹角，如果给的是非夹角，即使两边成比例也不能直接判定相似。 （2）遇到点在边上、矩形、平行四边形等图形时，常先利用公共角、直角或平行得到夹角相等，再证明两边对应成比例。 【变式4-1】在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 题型5 相似三角形的判定综合 【例9】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例10】与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）综合题中常同时出现平行、垂直、中点、等腰、全等、公共角等条件，要先把能确定的角关系和边关系全部标出，再选择最合适的相似判定方法。 （2）“剪三角形”“过一点作直线使小三角形与原三角形相似”这类题，通常要分类讨论：平行形成相似、垂直形成直角相似、构造相等角形成相似，容易漏情况。 【变式5-1】已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A组 基础过关 1．如图，，，则图中相似三角形有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 3．下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，，添加一个条件_______使得． 8．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 9．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 10．如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． B组 综合提升 11．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 12．如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 13．如图所示的6个三角形中，相似三角形是（ ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 14．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ） A． B． C． D． 15．能判定的条件是（ ） A． B．， C．， D．， 16．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 17．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 18．如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 19．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 20．如图，点A，B，C，D，E均在上，分别连接，，，，，平分，与相交于F，与相交于G，与相交于H． (1)求证：； (2)若，，，求的长． C组 挑战突破 21．如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（ ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 22．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （ ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 23．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 24．如图，，，，则图中相似三角形有（ ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 25．如图，平行四边形ABCD中，∠ACB = 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论： ①△PAB为等边三角形； ②△PEB∽△APF； ③∠PBC - ∠PAC = 30°； ④EA = EB + EP 其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号） 26．如图，是圆内接三角形，且是圆的直径，的角平分线交于点D，交于点E，过点E作交，于点F，点G． (1)求证：． (2)若的面积为15，，求． (3)求证：． 27．如图，是等腰三角形，，点，分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 28．如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 相似三角形及判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用平行判定相似 题型2 利用两角对应相等判定相似 题型3 利用三边对应成比例判定相似 题型4 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似 题型5 相似三角形的判定综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形 相似比 三角形相似的预备定理 三角形相似的判定定理 1.掌握相似三角形的定义，理解“对应角相等、对应边成比例”的含义；能准确用符号“∽”表示三角形相似，并正确写出对应边成比例的比例式。 2.理解相似三角形对应边的比的概念，能根据相似比求解未知线段长，并注意相似比的顺序性。 3.掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的预备定理，能熟练识别“A字型”和“8字型”基本图形。 4.熟练掌握判定两个三角形相似的三种基本定理：两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例。能根据已知条件，灵活选择最简捷的判定方法。 5.能在网格图中利用勾股定理求边长，并用三边对应成比例进行相似判断；能理解相似在解决实际问题（如河宽测量、容器内径测量）中的几何原理。 学习重点：掌握三个判定定理及其实际应用，准确识别对应边与对应角，并理解相似与平行的互推关系。 学习难点：集中在复杂几何图形中精准锁定对应角或对应边，以及透彻理解相似判定定理的完整逻辑推导过程。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形 1.相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫作相似三角形。 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 如图，若，则与相似，记作。 2.相似比 相似三角形对应边的比叫作相似比。与的相似比是（或，）。 3.相似的性质 根据相似三角形的定义，可得到下面的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 即时即练如图，已知．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】相似三角形的对应边成比例． 【详解】解：∵， ∴． 【易错提醒】 (1)相似符号“∽”的书写有严格的对应顺序。例如，若写，则A与A′、B与B′、C与C′必须是对应顶点。 (2)相似比是有顺序的，与的相似比为k，则与的相似比为​。 (3)两个全等三角形也是相似三角形，它们的相似比是1。全等是相似的特殊情况。 知识点02 相似三角形的判定 1.预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.判定定理 判定定理 1（两角对应相等）：两个角对应相等的两个三角形相似。 判定定理 2（两边对应成比例且夹角相等）：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 判定定理 3（三边对应成比例）：三边对应成比例的两个三角形相似。 即时即练如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 【易错提醒】 (1)“两边对应成比例，且夹角相等”定理中，“夹角”必须是所取两边的夹角。 (2)利用“三边对应成比例”判定时，必须找准对应边，通常短边对短边、长边对长边、中边对中边。 (3)数学语言转化：在直角三角形或网格问题中，若没有直接给出边的比例，可通过勾股定理计算边长，再判定是否满足三边成比例（SSS判定）。 题型1 利用平行判定相似 【例1】1．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（ ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴ ，， ∴ ， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 【例2】图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（ ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 【答案】C 【分析】过点O分别作于点E，延长交于点F，推导出，继而得出，得到，即可解答． 【详解】解：过点O分别作于点E，延长交于点F，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴物体的高度为． 【易错提醒】 （1）遇到平行四边形、梯形、平行线截三角形时，先找平行线产生的同位角、内错角相等，再用“两角对应相等”判定相似。 （2）小孔成像、平行线分线段等实际问题，本质常是由平行或垂直构造出相似三角形，关键是先作辅助线，把“距离”和“高度”放进两个三角形中。 【变式1-1】如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，证得，再根据相似比求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2 利用两角对应相等判定相似 【例3】如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 【例4】下列各组图形一定相似的是（ ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 【易错提醒】 （1）两个三角形只要有两组角对应相等即可判定相似，但必须注意“对应”二字，不能只看到一个角相等就下结论。 （2）等腰三角形、直角三角形中常隐藏角相等条件，例如等腰三角形底角相等、直角三角形有一个直角；但“有一个角相等的等腰三角形”或“有一个角相等的直角三角形”不一定相似，要看另一个角是否也能确定。 （3）已知两个角的度数或由相似得到对应角相等时，常用三角形内角和、四边形内角和补出缺失角，再判断相似或求角度。 【变式2-1】如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 【变式2-2】如图，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，， 根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故选：D． 题型3 利用三边对应成比例判定相似 【例5】下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵相似三角形的判定要求必须满足对应条件，三边对应成比例或两角分别相等或两边成比例且夹角相等，才能判定两三角形相似． A、涉及的边不是的对应边，也不符合判定条件，不能判定，错误． B、只给出的两条边长，缺少的相关条件，不能判定，错误． C、满足三边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，∴可以判定，正确． D、仅给出一组角相等，缺少其他必要条件，不能判定，错误． 【例6】如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 【易错提醒】 （1）网格题中不要凭视觉判断相似，要先用勾股定理求出各边长度，再把三条边按从小到大或对应关系排列，检查是否成比例。 （2）三边判定相似时，最容易错在对应边配错；应先找最短边对应最短边、最长边对应最长边，再比较三组比值是否相等。 【变式3-1】如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（ ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 【变式3-2】若和满足下列条件，其中能使的是（ ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 题型4 利用两边对应成比例且夹角相等判定相似 【例7】如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 【例8】已知在矩形中，，点E是的中点，点F在上，且，则与的关系是（ ） A．全等 B．相似 C．周长相等 D．面积相等 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质以及相似三角形的判定定理． 可得，，则，再由夹角相等即可得到． 【详解】解：如图， ∵矩形， ∴, ∵， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【易错提醒】 （1）使用“两边对应成比例且夹角相等”时，角必须是这两条对应边的夹角，如果给的是非夹角，即使两边成比例也不能直接判定相似。 （2）遇到点在边上、矩形、平行四边形等图形时，常先利用公共角、直角或平行得到夹角相等，再证明两边对应成比例。 【变式4-1】在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【变式4-2】如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 题型5 相似三角形的判定综合 【例9】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合等腰直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是两个全等的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 又， ， ， 故有3对， 故选：B． 【例10】与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定条件是解题的关键，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 选项B：添加，两边对应成比例，夹角相等，则，不符合题意； 选项C：添加，无法判定,符合题意； 选项D：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 故选C． 【易错提醒】 （1）综合题中常同时出现平行、垂直、中点、等腰、全等、公共角等条件，要先把能确定的角关系和边关系全部标出，再选择最合适的相似判定方法。 （2）“剪三角形”“过一点作直线使小三角形与原三角形相似”这类题，通常要分类讨论：平行形成相似、垂直形成直角相似、构造相等角形成相似，容易漏情况。 【变式5-1】已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P作直线与另一边平行或垂直，或即可． 【详解】解：如图，过点P作直线与另一边平行（两条）或垂直（一条），或（一条），共4条直线． 【变式5-2】如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得 ，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定 和 与 相似． 【点睛】解：， ． ，， ， ． ， ． 又 ， ． 在 和 中， ， ． 在 和 中， ， ． 综上所述，与 相似的三角形有 、、，共 个． A组 基础过关 1．如图，，，则图中相似三角形有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 3．下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不能判定相似的选项． 【详解】解：∵两角分别相等的两个三角形相似，选项A中，，，A选项能判定． ∵三边对应成比例的两个三角形相似，选项B中，，B选项能判定． ∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项C中，且是与的夹角，是与的夹角，，，C选项能判定． ∵选项D中，但不是与的夹角，不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，D选项符合题意． 故选D． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 将选项中所给的条件添加后，由两个三角形相似的判定定理分析是否能确定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ， A、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； B、当时，则，由于不是边的夹角、不是边的夹角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知，此条件无法判定，符合题意； C、当时，则，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； D、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； 故选：B． 5．如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 6．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 7．如图，，添加一个条件_______使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定推理即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴再加一个条件为：， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 9．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 10．如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据，即可求证； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， 解得：． B组 综合提升 11．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 12．如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 13．如图所示的6个三角形中，相似三角形是（ ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 14．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 15．能判定的条件是（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 16．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 17．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 18．如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 【答案】3 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟知两角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理，即可得到存在的相似三角形有哪些． 【详解】解：， ． 又 ． 同理可得， ∴共有对相似三角形． 故答案为：． 19．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20．如图，点A，B，C，D，E均在上，分别连接，，，，，平分，与相交于F，与相交于G，与相交于H． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合角平分线的定义，可证明，再结合对顶角相等，即可证明结论； （2）连接，先证明，得到，可得，再证明，即可求得答案． 【详解】（1）解：平分， ， 是和所对的弧， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． C组 挑战突破 21．如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（ ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 22．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （ ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 23．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 24．如图，，，，则图中相似三角形有（ ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键； 根据相似三角形的判定定理分析即可求解； 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 25．如图，平行四边形ABCD中，∠ACB = 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论： ①△PAB为等边三角形； ②△PEB∽△APF； ③∠PBC - ∠PAC = 30°； ④EA = EB + EP 其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可． 【详解】连接PC ①∵AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F ∴PA=PC，EF⊥AC，EA=EC ∵PA=PB， ∴PA=PB=PC ∴点A、B、C在以P为圆心的圆上 ∴ ∴△PAB为等边三角形；故①正确； ②∵∠ACB = 30°，EF⊥AC，EA=EC ∴ ∴ ∵△PAB为等边三角形 ∴ ∴ ∴，故②错误； ③∵平行四边形ABCD中 ∴AD∥BC ∴，, ∴△AEF为等边三角形 ∵, ∴ ∵ ∴ 即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确； ∵△AEF、△PAB为等边三角形 ∴ ∴ ∵EF=EP+PF=EA ∴EA=EB+EP，故④正确； 综上，一定正确的是①③④ 故答案为：①③④ 26．如图，是圆内接三角形，且是圆的直径，的角平分线交于点D，交于点E，过点E作交，于点F，点G． (1)求证：． (2)若的面积为15，，求． (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)证明见解析 【分析】（1）根据圆周角定理得，再根据，易得，进而可证得； （2）首先，连接，根据，平分，，易得，进而得，再根据的面积为15，可得，进而得，然后，由，，得，进而得，解方程即可； （3）首先，连接，根据，得，再根据，得，然后，证得，得到点A，E，G，D四点共圆，进而得出，即，最后，根据等腰三角形的“三线合一”得出． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图1，连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）； （3）证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴点A，E，G，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． 27．如图，是等腰三角形，，点，分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得； （2）由，，得到，，由（1）知，进而可得，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设，，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，整理得，由方程有解，即，得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， （2）解：，， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ； （3）解：设，， 由（1）知， ， ， ， 方程有解，即， ， 解得， 即最大值为， 最小值为． 【点睛】本题以等腰三角形为载体，核心是通过角的和差推导证得，再依托相似三角形的比例性质，结合线段长度关系求解的长度；最后通过设元建立一元二次方程，利用判别式的非负性探究的最小值，将几何最值问题转化为代数方程问题，充分体现了数形结合与转化思想。 28．如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）通过等腰三角形得到，结合角平分线平分得到，通过角的差运算推出，再结合公共角，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （）先根据相似三角形的性质得到对应边的比例关系，求出和关于的表达式，再计算出的长度；在中利用勾股定理建立与的等式，进而求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $