4.4 对数函数的图像与性质（一）（10个题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学对数函数的图像与性质，从指数函数引入对数函数概念，系统梳理定义域、值域、单调性等核心性质，通过10类题型（含概念判断、解析式求解、定义域值域等）搭建学习支架。 资料以题型为纲，每类题型配套方法技巧与例题，助力学生用数学眼光抽象概念本质，用数学思维推理性质应用，如通过奇偶性求参数培养逻辑推理。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生针对性练习，弥补知识盲点。

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.4 对数函数的图像与性质（一）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．（1）概念：给定正数，且，指数函数是定义在上，值域为的单调函数，所以对于每一个正数，都存在唯一确定的实数，使得．由函数的定义，就是的函数，称为以为底的对数函数，记作．习惯上，将自变量写成，函数值写成，因此，一般将对数函数写成________（，且），其中称为__底数______． （2）对数函数的图象与性质 底数 图象 性质 定义域：________ 值域：___R_____ 当时，，即过定点________ 当时，________； 当时，________ 当时，__ ______； ________ 在上是__增函数______ 在上是_减函数_______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数函数的概念与判断】 【练方法】 公式结论 严格标准对数函数定义. 判定必备条件 1对数整体系数必须为 2真数位置只能是单一自变量 3底数为大于0且不等于1的常数 形如、均不属于标准对数函数 方法技巧 1逐项核对系数、真数、底数三项条件全部满足才为标准对数函数 2区分标准对数函数与对数型复合函数二者定义判定标准不同 （25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ）经典例题1例题 A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C （2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ）小试牛刀1 A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． （24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 【题型2：求对数函数的解析式】 【练方法】 公式结论 设标准对数函数通式. 代入函数图像经过的定点坐标求解底数.回代得到完整解析式 方法技巧 1已知函数过定点将点坐标带入通式构造方程解出底数 2若给出定义域、单调性范围结合的取值区间锁定底数数值 3复合对数解析式求解遵循先求内层函数再匹配对数外层结构的顺序 （25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. （24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为 ，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： （24-25高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________．小试牛刀2 【答案】1 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值．小试牛刀3 【答案】9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解． 【详解】将代入得，，则，解得或（不合题意舍去）， 所以，又点为此函数图象上， 所以，则． 【题型3：求对数（型）函数定义域】 【练方法】 公式结论 基础约束条件 f(x)>0 定义域等价于求解不等式 多层叠加形式 分母含对数： 根号内含对数： 方法技巧 1首要列出真数大于0的核心不等式在此基础上叠加分母、根式附加限制条件 2求解分式、根式与对数结合的复合式取所有约束不等式解集的交集 3求解对数不等式时依据底数范围区分增减性合理转化不等号方向 （25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. （25-26高二下·重庆·期末）函数定义域是，则的定义域是（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 （25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ）小试牛刀2 A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】直接由对数函数及幂函数的性质列不等式组，再解不等式组可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由，得，解得或； 由，得，解得或. 因此不等式组的解集为或. 所以函数的定义域为或. （25-26高二下·北京延庆·期末）函数的定义域为__________．小试牛刀3 【答案】 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求函数的定义域为. 【题型4：由对数（型）函数奇偶性求参数的值】 【练方法】 公式结论 函数定义域关于原点对称是具备奇偶性的首要前提 奇函数满足. 偶函数满足. 常见对数奇偶模型.天然为奇函数 方法技巧 1第一步先利用定义域对称列出不等式初步缩小参数取值范围 2带入奇偶恒等式化简式子对应系数相等求解参数 3算出参数后代回原式核验定义域与奇偶性是否成立 （25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． （25-26高一下·河南信阳·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为__________.小试牛刀1 【答案】1 【分析】分析可知函数的定义域为，根据奇函数的定义结合对数运算求解即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即， 可得，结合x的任意性可知. （25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．6 【答案】A 【详解】因为函数是奇函数，所以，即， 所以，即， 化简整理得，解得或， 当时，的定义域为，故不是奇函数； 当时，，由，得或， 所以函数的定义域为， 又，故为奇函数，符合题意. 的值为. （25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据偶函数定义，化简整理，即可得，利用换元法，根据其单调性求复合函数的值域即可. 【详解】，因为其为偶函数， 所以，即 所以，解得. 当时，，由解得， 满足偶函数定义，故. 所以，. 令，，由二次函数图象和性质可知， 当 时，，当趋近于或3时，趋近于0， 所以，的值域为； 因为对数函数 在 上单调递增，令 ， 根据单调性可知，当 时， ，且当 趋近于 0 时， 趋近于， 所以 的值域为 . 综上，函数 的取值范围是 . 故答案为：. 【题型5：求对数函数的值域】 （25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （25-26高二下·江西萍乡·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为________.小试牛刀1 【答案】 【分析】分别求出和时值域，要使函数的值域为，则两部分值域的并集要覆盖所有实数，再列不等式求实数的取值范围即可. 【详解】当时，，因为对数函数在单调递增，所以在单调递减， 所以，因此当时，值域为； 当时，开口向上，对称轴为，所以； 因此当时，值域为； 要使函数的值域为，则，解得. （25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. （25-26高一上·湖北·阶段检测）函数（）的值域为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 【题型6：求对数（型）复合函数的单调性】 【练方法】 方法技巧 1先求出整个复合函数的定义域单调区间不能超出定义域范围 2拆分内外两层函数分别写出各自单调区间利用同增异减合并区间 3书写最终单调区间时分段区间使用逗号分隔不可合并书写 （25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____．经典例题1例题 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. （25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. （25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得. 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. （25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型7：求对数（型）函数的最值】 【练方法】 方法技巧 1锁定定义域范围计算内层真数的最值区间 2根据底数大小判断对数增减性对应求出整体函数最值 3闭区间内最值出现在区间端点开区间结合单调性判断最值是否存在 函数的最大值为_____.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】将函数展开化简为关于的二次函数，即，结合二次函数性质求结论. 【详解】 当，即时，取得最大值. 故答案为：. （25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)求的定义域； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意和函数定义域联立不等式求解即可； （2）根据对数运算得，结合复合函数性质求解最值即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，所以的定义域为． （2）．     因为函数是开口朝下的二次函数，对称轴在区间， 故的最大值为，         所以的最大值为． （25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数．小试牛刀2 (1)当时，求函数的最大值． （1）， 令，则， 由于，当且仅当时，即，取等号， 所以，所以 即当时，函数的最大值为. （25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数．小试牛刀3 (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)最小值为，； (2) 【分析】（1）令，结合二次函数性质求解即可； （2）利用复合函数的单调性列不等式求解可得. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以， 令，，则， 当，即，即时，取得最小值，最小值为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 【题型8：由对数型函数的单调性解不等式】 【练方法】 方法技巧 1同步列出真数大于0的定义域条件与对数不等关系联立不等式组求解 2底数范围不确定时分与两类情况分类讨论计算 3解集需要同时满足定义域约束与对数不等式化简结果 （25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________．经典例题1例题 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）．小试牛刀1 (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或. （2）由，且， 若，对数函数单调递减，则，， 若，对数函数单调递增，则，， 综上，的取值范围是． （25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. （25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数．小试牛刀3 (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域求解即可. （2）根据函数的对称性求解即可. （3）根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，即，解得或， 得到的定义域为． （2）由（1）可知，的定义域为. 因为函数的图象关于直线对称，所以， 则，即， 所以， 从而，解得，故，． （3）①当时，， 易知在和在上均单调递增， 由复合函数的单调性知在为增函数， 则等价于，即， 记，显然为上的增函数，，所以． ②当时，， 此时，， 所以当时，成立， 综上所述，不等式的解集为． 【题型9：对数（型）函数过定点问题】 【练方法】 公式结论 标准对数函数恒过定点 变形对数式恒过定点 令对数的真数整体等于.求解对应值.再代入解析式算出值即为定点坐标 方法技巧 1令对数部分的真数整体取值为求解横坐标数值 2将求出的横坐标带回原式计算纵坐标数值该坐标即为函数恒过定点 3含参数的对数函数参数会被自动消去定点数值与底数无关 （25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.经典例题1例题 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. （25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 【题型10：对数（型）函数的图像问题】 【练方法】 公式结论 底数大小图像规律 在区间内.底数越大.函数图像位置越低 直线右侧.图像从上至下对应底数由小到大排列 图像平移规则.左右平移针对变换.上下平移针对函数整体变换 方法技巧 1依据图像高低对比底数的大小关系牢记区间底数越大图像越低 2函数图像平移遵循左加右减自变量上加下减常数项的变换规则 3对数图像的翻折、对称变换先处理对数内层自变量再处理外层函数 （24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.经典例题1例题    【答案】 【分析】根据已知得，且A在函数图象上，而B在函数图象上，将点坐标代入列方程求参数值. 【详解】由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形， 所以，，得， 显然A在函数图象上，而B在函数图象上， 则，得，解得 故答案为： （2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. （2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________．小试牛刀2 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. （25-26高一上·广东广州·期末）如图，已知点、点在函数图像上，点为函数图象与轴的交点，点、点在轴上，与分别是以、为斜边的等腰直角三角形．若，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，根据等腰直角三角形的性质结合相似三角形的性质，结合图像推得，解出.进而得出，代入解析式即可得出答案. 【详解】设， 因为，所以，则. 因为与分别是以、为斜边的等腰直角三角形， 所以，又，所以，且， 所以，且，所以， 所以，所以，解得（舍去）或， 又是等腰直角三角形，所以，又， 所以，所以，因为，解得. 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 2．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 3．（专题05函数（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高二数学下学期人教A版）已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解. 【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且 ， 则是定义在的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 4．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知a，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，则，所以， 又因为增函数，所以；当，即， 则，当时，， 当时，不在定义域内； 综上“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，分和两种情况，解不等式结合对数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得， 此时，且，可得， 可知函数在内的值域为； 令，则，解得， 此时，可知函数在内的值域为； 综上所述：函数的值域为. 6．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 7．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以. 故选：B. 8．（24-25高一下·湖南·阶段检测）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对于命题，要使能取到所有大于的数，需分和两种情况讨论，时根据二次函数图象性质确定的取值范围； 对于命题，要使在上恒成立，同样分和两种情况，时根据二次函数图象性质确定的取值范围. 最后根据充分不必要条件的定义判断与的关系. 【详解】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立； 时，，解得，所以. 对于命题在上恒成立.时显然成立； 时，，解得，所以. 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 9．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 11．（24-25高一上·福建三明·期末）已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，将不等式转化为一元二次不等式在闭区间恒成立求解. 【详解】依题意，，令， 当时，，不等式， 则恒成立，当时，成立，； 当时，，函数在上单调递减， 当时，，因此； 当时，，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：换元，把不等式转化为闭区间上的一元二次不等式问题求解. 二、填空题 12．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知，则函数的定义域为___________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，故的定义域为. 13．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 14．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 15．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 16．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据定义域的概念，以及对数函数的性质，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】由题意可得， 对于①，由，解得； 对于②，当时，由，可得，此时无解； 当时，由，可得，解得，故有； 对于③ ，当时，解得， 综上，函数的定义域为. 故答案为：. 17．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性、对数真数大于零求出a的取值范围即可． 【详解】是由外层函数和内层函数复合而成， 内层函数，其中，所以内层函数是一个单调递减的一次函数， 结合题意可知，外层函数必须是单调递增的，所以， 根据对数真数性质，在区间上，恒成立， 由于单调递减，所以在区间上， ，解得， 综上所述，，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 18．（25-26高一上·辽宁·期末）梯形的两顶点是直线与曲线的交点，顶点在曲线上，是一条垂直于轴的梯形底边，轴，则梯形的面积为________. 【答案】 【分析】通过对数性质建立等式求出交点坐标，再确定各点坐标，最后利用梯形面积公式求解. 【详解】因为，轴，设，，，， 因为，在直线上，所以， 因为轴，所以， 解得，， 故，，，， 所以梯形的面积为. 故答案为：. 19．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立，分、讨论，并结合一元二次函数的性质求解. 【详解】由题意可知， 在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 20．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】求解不等式，即可得到函数的定义域. 【详解】由，得，所以. 函数的定义域为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.4 对数函数的图像与性质（一）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．（1）概念：给定正数，且，指数函数是定义在上，值域为的单调函数，所以对于每一个正数，都存在唯一确定的实数，使得．由函数的定义，就是的函数，称为以为底的对数函数，记作．习惯上，将自变量写成，函数值写成，因此，一般将对数函数写成________（，且），其中称为__底数______． （2）对数函数的图象与性质 底数 图象 性质 定义域：________ 值域：___R_____ 当时，，即过定点________ 当时，________； 当时，________ 当时，__ ______； ________ 在上是__增函数______ 在上是_减函数_______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数函数的概念与判断】 【练方法】 公式结论 严格标准对数函数定义. 判定必备条件 1对数整体系数必须为 2真数位置只能是单一自变量 3底数为大于0且不等于1的常数 形如、均不属于标准对数函数 方法技巧 1逐项核对系数、真数、底数三项条件全部满足才为标准对数函数 2区分标准对数函数与对数型复合函数二者定义判定标准不同 （25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ）经典例题1例题 A．3 B． C．2 D．或2 （2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ）小试牛刀1 A．1或2 B．1 C．2 D．且 （24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型2：求对数函数的解析式】 【练方法】 公式结论 设标准对数函数通式. 代入函数图像经过的定点坐标求解底数.回代得到完整解析式 方法技巧 1已知函数过定点将点坐标带入通式构造方程解出底数 2若给出定义域、单调性范围结合的取值区间锁定底数数值 3复合对数解析式求解遵循先求内层函数再匹配对数外层结构的顺序 （25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________．经典例题1例题 （24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________．小试牛刀1 （24-25高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________．小试牛刀2 已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值．小试牛刀3 【题型3：求对数（型）函数定义域】 【练方法】 公式结论 基础约束条件 f(x)>0 定义域等价于求解不等式 多层叠加形式 分母含对数： 根号内含对数： 方法技巧 1首要列出真数大于0的核心不等式在此基础上叠加分母、根式附加限制条件 2求解分式、根式与对数结合的复合式取所有约束不等式解集的交集 3求解对数不等式时依据底数范围区分增减性合理转化不等号方向 （25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·重庆·期末）函数定义域是，则的定义域是（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ）小试牛刀2 A．或 B．或 C．或 D． （25-26高二下·北京延庆·期末）函数的定义域为__________．小试牛刀3 【题型4：由对数（型）函数奇偶性求参数的值】 【练方法】 公式结论 函数定义域关于原点对称是具备奇偶性的首要前提 奇函数满足. 偶函数满足. 常见对数奇偶模型.天然为奇函数 方法技巧 1第一步先利用定义域对称列出不等式初步缩小参数取值范围 2带入奇偶恒等式化简式子对应系数相等求解参数 3算出参数后代回原式核验定义域与奇偶性是否成立 （25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________．经典例题1例题 （25-26高一下·河南信阳·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为__________.小试牛刀1 （25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ）小试牛刀2 A． B． C．2 D．6 （25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________.小试牛刀3 【题型5：求对数函数的值域】 （25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·江西萍乡·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为________.小试牛刀1 （25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________．小试牛刀2 （25-26高一上·湖北·阶段检测）函数（）的值域为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：求对数（型）复合函数的单调性】 【练方法】 方法技巧 1先求出整个复合函数的定义域单调区间不能超出定义域范围 2拆分内外两层函数分别写出各自单调区间利用同增异减合并区间 3书写最终单调区间时分段区间使用逗号分隔不可合并书写 （25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____．经典例题1例题 （25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________．小试牛刀2 （25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：求对数（型）函数的最值】 【练方法】 方法技巧 1锁定定义域范围计算内层真数的最值区间 2根据底数大小判断对数增减性对应求出整体函数最值 3闭区间内最值出现在区间端点开区间结合单调性判断最值是否存在 函数的最大值为_____.经典例题1例题 （25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)求的定义域； (2)求的最大值． （25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数．小试牛刀2 (1)当时，求函数的最大值． （25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数．小试牛刀3 (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 【题型8：由对数型函数的单调性解不等式】 【练方法】 方法技巧 1同步列出真数大于0的定义域条件与对数不等关系联立不等式组求解 2底数范围不确定时分与两类情况分类讨论计算 3解集需要同时满足定义域约束与对数不等式化简结果 （25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________．经典例题1例题 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）．小试牛刀1 (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． （25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数．小试牛刀3 (1)求的定义域； (2)若函数的图象关于直线对称，求，； (3)解关于的不等式． 【题型9：对数（型）函数过定点问题】 【练方法】 公式结论 标准对数函数恒过定点 变形对数式恒过定点 令对数的真数整体等于.求解对应值.再代入解析式算出值即为定点坐标 方法技巧 1令对数部分的真数整体取值为求解横坐标数值 2将求出的横坐标带回原式计算纵坐标数值该坐标即为函数恒过定点 3含参数的对数函数参数会被自动消去定点数值与底数无关 （25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.经典例题1例题 （25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________．小试牛刀1 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型10：对数（型）函数的图像问题】 【练方法】 公式结论 底数大小图像规律 在区间内.底数越大.函数图像位置越低 直线右侧.图像从上至下对应底数由小到大排列 图像平移规则.左右平移针对变换.上下平移针对函数整体变换 方法技巧 1依据图像高低对比底数的大小关系牢记区间底数越大图像越低 2函数图像平移遵循左加右减自变量上加下减常数项的变换规则 3对数图像的翻折、对称变换先处理对数内层自变量再处理外层函数 （24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.经典例题1例题    （2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________．小试牛刀2 （25-26高一上·广东广州·期末）如图，已知点、点在函数图像上，点为函数图象与轴的交点，点、点在轴上，与分别是以、为斜边的等腰直角三角形．若，则______．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·阶段检测）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（专题05函数（6大考点期末真题汇编，黑龙江专用）高二数学下学期人教A版）已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知a，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 7．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高一下·湖南·阶段检测）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·福建三明·期末）已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知，则函数的定义域为___________． 13．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 14．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 15．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数的单调递增区间是_____． 16．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的定义域为______. 17．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 18．（25-26高一上·辽宁·期末）梯形的两顶点是直线与曲线的交点，顶点在曲线上，是一条垂直于轴的梯形底边，轴，则梯形的面积为________. 19．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______. 20．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）函数的定义域为______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $