暑假预习：由不等式的性质比大小、由不等式的性质的证明、由不等式的性质求取值范围专项训练-2026年初升高暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦不等式性质的三类核心应用，通过精选例题与变式构建从基础比较到逻辑证明再到范围求解的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由不等式的性质比大小|3例+3变式|多选为主，考查性质辨析|从基本性质直接应用到多条件综合判断，强化命题真假的推理意识| |由不等式的性质的证明|3例+3变式|解答题，含生活情境应用题|通过作差法、作商法实现代数推理，培养逻辑思维与数学表达能力| |由不等式的性质求取值范围|4例+4变式|选择与填空结合，涉及参数运算|从单变量范围到多变量综合，发展模型意识与运算能力|

暑假预习：由不等式的性质比大小、由不等式的性质的证明、由不等式的性质求取值范围专项训练 暑假预习：由不等式的性质比大小、由不等式的性质的证明、由不等式的性质求取值范围专项训练 考点目录 由不等式的性质比大小 由不等式的性质的证明 由不等式的性质求取值范围 考点一 由不等式的性质比大小 例1．（25-26高一下·湖北荆门·期末·多选）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 【答案】AD 【分析】根据不等式性质、作差法比较大小及基本不等式的应用逐一分析 【详解】对于A，因为，所以，故，可得，A对； 对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错； 对于C，作差得，若，则，反之，，C错； 对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期末·多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 例3．（25-26高一上·山东威海·阶段检测·多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末·多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 变式2．（25-26高二下·重庆璧山·期末·多选）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对A，当时，可得；当时，可得；当时，可得.故A错误； 对B，由可得，两边同除以，不等号方向不变，可得.故B正确； 对C，当时，C选项的结论不成立，故C错误； 对D，因为，，所以，， 所以，所以，故D正确. 变式3．（25-26高二下·山东临沂·期末·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 考点二 由不等式的性质的证明 例1．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 例2．（25-26高一上·山东淄博·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 例3．（25-26高一上·江西赣州·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）（1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 【答案】；证明见解析. 【分析】（1）利用作差法分解因式判断大小即可； （2）利用分析法，分解因式证明即可. 【详解】（1）易知， 因为，所以，则上式大于0， 故 （2）由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕. 变式2．（24-25高一上·山东青岛·期中）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）展开后作差比较大小； （2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 变式3．（24-25高一上·江西鹰潭·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ； （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）略 考点三 由不等式的性质求取值范围 例1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示，再根据不等式的性质求解可得. 【详解】设，即， 则，解得. 由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. 故选：B. 例2．（25-26高一上·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，化简后求出，根据不等式的性质可得答案． 【详解】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 例3．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 例4．（25-26高一上·重庆·期中）已知实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设，求出后由不等式性质求解即可. 【详解】设， 则，解得， 因为，， 所以， 故答案为： 变式1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【详解】由条件，又，故， 所以． 故选：B 变式2．（25-26高一上·河北保定·期中）若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用待定系数法结合不等式性质计算求解. 【详解】设， 则， 所以 解得 所以， 因为， 所以，， 由不等式的性质可得，即， 故选:B． 变式3．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 变式4．（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：由不等式的性质比大小、由不等式的性质的证明、由不等式的性质求取值范围专项训练 暑假预习：由不等式的性质比大小、由不等式的性质的证明、由不等式的性质求取值范围专项训练 考点目录 由不等式的性质比大小 由不等式的性质的证明 由不等式的性质求取值范围 考点一 由不等式的性质比大小 例1．（25-26高一下·湖北荆门·期末·多选）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 例2．（25-26高二下·辽宁大连·期末·多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例3．（25-26高一上·山东威海·阶段检测·多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末·多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 变式2．（25-26高二下·重庆璧山·期末·多选）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 变式3．（25-26高二下·山东临沂·期末·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 考点二 由不等式的性质的证明 例1．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 例2．（25-26高一上·山东淄博·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 例3．（25-26高一上·江西赣州·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）（1）设，试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 变式2．（24-25高一上·山东青岛·期中）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 变式3．（24-25高一上·江西鹰潭·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 考点三 由不等式的性质求取值范围 例1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 例4．（25-26高一上·重庆·期中）已知实数满足，则的取值范围是______. 变式1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·河北保定·期中）若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 变式4．（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $