4.4.2对数函数的图像及性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数函数图像与性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 3.反函数 指数函数，且和对数函数，且)互为反函数． 地 城 考点01 对数型函数的定义域 【例1】函数的定义域为 ． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故答案为: . 【变式1-1】函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，则，解得，且， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式1-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 【变式1-3】函数的定义域为 . 【详解】要使函数有意义，须有：或. 故答案为： 地 城 考点02 对数型函数的定义域图像 【例2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 【变式2-1】若，且，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，且，故，故为减函数，且过， 又的图象为的图象向右平移1个单位，则A满足. 故选：A 【变式2-2】如图所示的四条曲线分别是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为 .（按从大到小的顺序排） 【详解】由题图知： ，，，. 作平行于x轴的直线l：，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然. 故答案为： 地 城 考点03 对数函数图象过定点问题 【例3】若，则函数的图象（    ） A．不经过第一象限，但过点 B．不经过第二象限，但过点 C．不经过第三象限，但过点 D．不经过第四象限，但过点 【详解】函数，的图象过一、四象限，过定点 函数的图象可看成向左平移5个单位得到，则不经过第一象限 当时，，即过点 故选：A 【变式3-1】函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 【详解】由题意知，令，得， 将代入解析式中，得， 则函数的图象恒定点，即. 故答案为： 【变式3-2】函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 地 城 考点04 对数函数解不等式 【例4】解下列关于x的不等式： (1)； (2)（且）； 【详解】（1）由题意可得，解得． 所以原不等式的解集为． （2）当时，原不等式等价于，解得：． 当时，原不等式等价于，解得：． 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【变式4-1】若.如何求x的取值范围. 【详解】不等式可化为， ， 又在上是增函数， 故 解得 故x的取值范围是 【变式4-2】求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)； (2). 【详解】（1）因为，且函数为定义域上的单调递增函数， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. （2）因为函数为定义域上的单调递减函数，且， 所以，所以，所以使成立的实数x的集合为. 【例5】函数的单调递增区间为（   ）地 城 考点05 对数函数单调区间 A． B． C． D． 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 【变式5-1】函数的单调增区间为 ． 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 地 城 考点06 对数（型）函数的值域（最值) 【例6】函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 【变式6-1】函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【详解】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 【变式6-2】函数的值域 【详解】的定义域为R． ∵，∴． ∴， ∴的值域为． 【变式6-3】函数的值域 【例7】 学科网（北京）股份有限公司 $对数函数图像与性质 1.对数函数的图象及性质 a>1 0<a<1 y↑ ,x=1 x=1y=log (1,0) 图象 0 x 1(1,0) y=log x 定义域 (0,+0) 值域 R 性质 定点 过定点山，0 单调性 是0，+o∞) 上的增函数 是0，+oo) 上的增函数 2.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一 象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得 b>a>1>d>c>0, y=log x y=logix y=logx y=logax 3.反函数 指数函数y=㎡(a>0,且a≠1)和对数函数=log。x(a>0,且a≠1)互为反函 数 关于反函数的概念 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数： (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换； (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 目目 考点01 对数型函数的定义域 【例1】两数2中4F的定义域为 【变式1-1】函数”=e。7-a中，实数a的取值范围是( A.-∞，7j B.37) c.(34U(47) D.(3,+0) 【变式1-2】函数到- lgx的定义域为( A.(-∞，2 B.-o,0U(0,2) c.(0,2 D.(01u12) 变式1-3】函数八x=1nx+1的定之 目目 考点02 对数型函数的定义域图像 【例2】已知函数f(刊=1og(x-b) (a>0且a≠1，a,b为常数)的图象如图， 则下列结论正确的是( A.a>0,b<-1 B.a>0,-1<b<0 C.0<a<1,b<-1 D.0<a<1,-1<b<0 【变式2-1】若og,2<0a>0,且a*),则函数'=g.(x-的图象大致是 ( 【变式22】如图所示的四条曲线分别是对数函数'=1og。x,y=1gx, y=1og。x,y=og的图象，则a,b,c,d与1的大小关系为 .(按从大 到小的顺序排) y y=logax y=logba 0 y=logcx y=logax 目目 考点03 对数函数图象过定点问题 【例3】若0<a<1, 则函数少=log,(Gx+5) 的图象( ) A.不经过第一象限，但过点4,0) B.不经过第二象限，但过点4,0) C.不经过第三象限，但过点0， D.不经过第四象限，但过点a-4, 【变式3-1】函数f)=21og,(x-)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P, 则点P的坐标 【变式3-2】函数-g,(3x-列+5的图象恒过定点P,点P在幂函数的图 象上，则f列=( ) 1 A.3 B.3 C.3 D.9 目目 考点04 对数函数解不等式 【例4】解下列关于x的不等式： log x>log (4-x) (1) 7 7 2)1bg.(2x-5j>log.(x-l1(a>0且a*1): 1 【变式41】若o8,2-x)>18as3一2.如何求x的取值范围. 【变式4-2】求使下列不等式成立的实数x的集合： (1)1og2(2-x>-1 (2)log >log (3x-2) 2 目目 考点05 对数函数单调区间 【例5】函数f(=o,r-4)的单调递增区间为( A.(0,+oj B.-∞，0 C.(2+o D.0,-2 【变式5-1】函数=！-2r+3x+的单调增区间为 目目 考点06 对数（型）函数的值域（最值） 【例6】函数 =o!,Q的值城是( A.-3.+) B.3,+∞j C.-0-3) D.(0,3 【变式6-1】函数y=1ogx-2在区间3,4上的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【变式6-2】函数f=1og3+1的值域 【变式63】函数f(x)=10g,(x-2x-3)的值域 【例7】求f)=(og,-log,r'+2,xe[l,9的值域 【变式】求f(x)=(1ogx)2-1og,+2的值域